2. Dodawanie i odejmowanie wielomianów

RiIGAsl1gTJjH

Wielomiany jednej zmiennej są zapisywane za pomocą odpowiednich wyrażeń algebraicznych. W matematyce wyższej tworzą strukturę zwaną pierścieniem - mają wiele własności analogicznych do odpowiednich własności liczb całkowitych (które również tworzą strukturę pierścienia) . Te pojęcia wykraczają poza program nauczania matematyki w szkole, ale warto o tym pamiętać i szukać analogii między liczbami całkowitymi i wielomianami.

W zbiorze liczb całkowitych mamy zdefiniowane dwa podstawowe działania – dodawanie i mnożenie. Mają one pewne własności. Dla dodawania są to:

przemienność: $a + b = b + a$ ,
łączność: $(a + b) + c = a + (b + c)$ ,
istnienie elementu neutralnego dla dodawania, czyli zera: $a + 0 = a$ .

Dla mnożenia:

przemienność $a \cdot b = b \cdot a$ ,
łączność $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ ,
istnienie elementu neutralnego, czyli jedynki $a \cdot 1 = a$ .

Zachodzą też związki pomiędzy dodawaniem i mnożeniem:

prawo rozdzielności $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ , $(b + c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)$ .

Działania na wielomianach mają analogiczne własności. Teraz je poznamy.

Twoje cele

Znajdziesz wielomian, będący sumą/różnicą danych wielomianów.
Odkryjesz i zredagujesz własność opisującą związek między stopniami dwóch wybranych wielomianów i stopniem wielomianu uzyskanego jako ich suma bądź różnica.

Każdy wielomian jest sumą pewnych jednomianów (lub jednomianem).
Zatem suma dwóch wielomianów również będzie wielomianem.

Suma wielomianów

Definicja: Suma wielomianów

Dane są wielomiany $F (x)$ i $G (x)$ .

Sumą wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ nazywamy taki wielomian $W (x)$ , że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ spełniony jest warunek
$W (a) = F (a) + G (a) .$

Różnica wielomianów

Definicja: Różnica wielomianów

Różnicą wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ nazywamy taki wielomian $W (x)$ , że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ spełniony jest warunek
$W (a) = F (a) - G (a) .$

Sumę wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ możemy zatem obliczyć, dodając współczynniki obu wielomianów stojące przy niewiadomych $x$ o tych samych potęgach, czyli sumując współczynniki wyrazów podobnychwyrazy podobnewyrazów podobnych.

Analogicznie, obliczając różnicę wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ , można odjąć odpowiednie współczynniki przy tych samych potęgach niewiadomej.

Jeśli w którymś z wielomianów występuje zmienna w danej potędze, natomiast nie występuje ona w tej potędze w drugim wielomianie, to przyjmujemy, że zmienna jest w tej potędze w obu wielomianach, jednak tam, gdzie pominięto jej zapis, jej współczynnik wynosi zero, np.:

F (x) = 3 x^{3} - x + 1, G (x) = 2 x^{3} - x^{2}

możemy równoważnie zapisać:

F (x) = 3 x^{3} + 0 x^{2} - x + 1, G (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 0 x + 0 .

Przykład 1

Dane są wielomiany:

$V (x) = 5 x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 11$ ,
$P (x) = - 5 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 7$ ,
$Q (x) = - 3 x^{3} + 11$ .

Obliczymy poniższe sumy wielomianówsuma wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ sumy wielomianów.

$V (x) + P (x)$
$P (x) + Q (x)$
$Q (x) + V (x)$

Rozwiązanie:

$V (x) + P (x) = - 5 x^{3} + 10 x - 4$
$P (x) + Q (x) = - 5 x^{4} - 6 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 18$
$Q (x) + V (x) = 5 x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x$

Przykład 2

Dane są wielomiany:

$V (x) = 5 x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 11$ ,
$P (x) = - 5 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 7$ ,
$Q (x) = - 3 x^{3} + 11$ .

Obliczymy różnice wielomianówróżnica wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ różnice wielomianów:

$V (x) - P (x)$
$P (x) - Q (x)$
$Q (x) - V (x)$

Rozwiązanie:

$V (x) - P (x) = 10 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 18$
$P (x) - Q (x) = - 5 x^{4} + 3 x^{2} + 5 x - 4$
$Q (x) - V (x) = - 5 x^{4} - x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + 22$

Ustalmy, jakiego stopniastopień wielomianu jednej zmiennejstopnia mogą być wielomiany $W (x) + P (x)$ oraz $W (x) - P (x)$ .

Stopień sumy oraz różnicy wielomianów

Własność: Stopień sumy oraz różnicy wielomianów

Stopień sumy dwóch wielomianów jest mniejszy lub równy najwyższemu z ich stopni, co oznaczamy $deg (W (x) + P (x)) ⩽ max (deg (W (x)), deg (P (x)))$ lub wielomian $W (x) + P (x)$ jest wielomianem zerowym.
Stopień różnicy dwóch wielomianów jest mniejszy lub równy najwyższemu z ich stopni, co oznaczamy $deg (W (x) - P (x)) ⩽ max (deg (W (x)), deg (P (x)))$ lub wielomian $W (x) - P (x)$ jest wielomianem zerowym.

Suma wielomianu trzeciego stopnia i wielomianu piątego stopnia będzie na pewno wielomianem piątego stopnia.

np.: $W (x) = x^{3}$ , $P (x) = x^{5}$ . Wtedy $W (x) + P (x) = x^{5} + x^{3}$ .

Suma dwóch wielomianów stopnia piątego może być wielomianem stopnia piątego lub mniejszego, może też być wielomianem zerowymwielomian zerowywielomianem zerowym.

np.: $W (x) = x^{5}$ , $P (x) = 2 x^{5}$ . Wtedy $W (x) + P (x) = 3 x^{5}$ (wielomian piątego stopnia).
np.: $W (x) = x^{5}$ , $P (x) = - x^{5} + x^{4}$ . Wtedy $W (x) + P (x) = x^{4}$ (wielomian czwartego stopnia).
np.: $W (x) = x^{5}$ , $P (x) = - x^{5} + 1$ . Wtedy $W (x) + P (x) = 1$ (wielomian stopnia zerowego).
np.: $W (x) = x^{5}$ , $P (x) = - x^{5}$ . Wtedy $W (x) + P (x) = 0$ (wielomian zerowy).

Przykład 3

Dane są wielomiany $W (x) = 5 x^{3} + a x^{2} + 7 x - b$ oraz $P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ . Wiadomo, że ich suma to wielomian $W (x) + P (x) = - 4 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 6$ .
Film pokazuje, jak wyznaczyć wartości parametrów $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .

RLXFLL7A6457R

Animacja multimedialna

Przeanalizuj animację dotyczącą dodawania wielomianów.

R1M37JSSV5JPN1

Polecenie 1

Na podstawie obejrzanej animacji przeanalizuj w analogiczny sposób odejmowanie wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ .
Uzupełnij następujące własności:

Jeżeli $\deg (F (x)) = \deg (G (x)) = n$ , to ...
Jeżeli $\deg (F (x)) = n > \deg (G (x))$ , to ...
Jeżeli $\deg (F (x)) < \deg (G (x)) = m$ , to ...

Jeżeli $\deg (F (x)) = \deg (G (x)) = n$ , to $\deg (F (x) - G (x)) ⩽ n$ lub $F (x) - G (x)$ jest wielomianem zerowym.
Jeżeli $\deg (F (x)) = n > \deg (G (x))$ , to $\deg (F (x) - G (x)) = n$ .
Jeżeli $\deg (F (x)) < \deg (G (x)) = m$ , to $\deg (F (x) - G (x))) = m$ .

R1PHMJZ78CKAP1

Ćwiczenie 1

Uzupełnij współczynniki wielomianu W nawias x zamknięcie nawiasu, plus, P nawias x zamknięcie nawiasu (liczby ujemne poprzedź znakiem minus bez spacji): W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, jedenaście x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięćdziesiąt jeden x, plus, dziewięć P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, czternaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, trzynaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x, plus, cztery W nawias x zamknięcie nawiasu, plus, P nawias x zamknięcie nawiasu, równa sięTu uzupełnijx indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnij

x +

Tu uzupełnij

R1CNM14Z6K2OB1

Ćwiczenie 2

R18DU9GKSM1GF1

Ćwiczenie 3

R1UCSVXP1MXFT1

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

R138DUCC8GSET

RM941N9G4J6VB

minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, 2. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 3. siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, 2. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 3. siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, 2. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 3. siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego minus, pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x Możliwe odpowiedzi: 1. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, 2. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 3. siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, 2. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 3. siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego minus, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, 2. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 3. siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

RMH86OAUHAEOC2

Ćwiczenie 6

R11A73MUKN3PS2

Ćwiczenie 7

R1MOBGSDZJOPD3

Ćwiczenie 8

Pogrupuj podane wielomiany tak, by ich suma była odpowiednio równa wielomianowi F nawias, x, zamknięcie nawiasu lub wielomianowi G nawias, x, zamknięcie nawiasu. Przeciągnij każdy element do odpowiedniej grupy. F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x, minus, trzy, 2. cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem x, plus, jeden, 3. pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, 5. minus, dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, jedenaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć G nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x, minus, trzy, 2. cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem x, plus, jeden, 3. pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, 5. minus, dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, jedenaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć

Słownik

wyrazy podobne

jednomiany tej samej zmiennej występujące w tej samej potędze, np.: $x^{4}$ i $15 x^{4}$

różnica wielomianów

F (x)

G (x)

różnica wielomianów

F (x)

G (x)

wielomian $W (x)$ , taki że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ spełniony jest warunek $W (a) = F (a) - G (a)$

stopień wielomianu jednej zmiennej

dla wielomianu $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0}$ (gdy $a_{n} \neq 0$ ) to liczba $n$ (najwyższy wykładnik zmiennej); stopień wielomianu, który jest stałą niezerową, wynosi $0$ ; wielomian zerowy nie ma określonego stopnia

suma wielomianów

F (x)

G (x)

suma wielomianów

F (x)

G (x)

wielomian $W (x)$ , taki że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ spełniony jest warunek $W (a) = F (a) + G (a)$

wielomian zerowy

wielomian określony wzorem $W (x) = 0$ ; wielomian ten nie ma określonego stopnia

jednomian zmiennej

x

jednomian zmiennej

x

iloczyn stałej (liczby) i zmiennej $x$ podniesionej do potęgi o wykładniku naturalnym

1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej

3. Mnożenie wielomianów