3. Mnożenie wielomianów

ReuZY7X65wt3d

Czy wiesz, że działania na wyrażeniach algebraicznych można wykonywać też pisemnie? Na przykład mnożenie sumy algebraicznej przez liczbę wykonujemy analogicznie jak mnożenie liczby przez liczbę. W wyniku otrzymując oczywiście wyrażenie algebraiczne.

$\begin{array}{r} 2 x + 3 y - x y + 6 \\ \cdot 4 \\ \bar{8 x + 12 y - 4 x y + 24} \end{array}$

Twoje cele

Poznasz metody mnożenia wielomianów jednej zmiennej.
Pomnożysz wielomiany.
Odkryjesz i zredagujesz własność opisującą związek między stopniami dwóch wybranych wielomianów i stopniem wielomianu uzyskanego jako ich iloczyn.

Iloczyn wielomianów

Definicja: Iloczyn wielomianów

Dane są wielomiany $F (x)$ i $G (x)$ .
Iloczynem wielomianówiloczyn wielomianówIloczynem wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ nazywamy taki wielomian $W (x)$ , że dla każdej liczby $a \in ℝ$ spełniony jest warunek:

W (a) = F (a) \cdot G (a)

Iloczynem dowolnego wielomianu $F (x)$ przez wielomian zerowy jest wielomian zerowy.

Stopień iloczynu wielomianów

Własność: Stopień iloczynu wielomianów

Jeżeli $W (x)$ i $P (x)$ nie są wielomianami zerowymi, to $deg (W (x) \cdot P (x)) = deg (W (x)) + deg (P (x))$ .

Jeżeli $W (x)$ lub $P (x)$ jest wielomianem zerowym, to $W (x) \cdot P (x)$ jest wielomianem zerowym.

Dany jest wielomian ósmego stopnia $F (x) = 2 x^{8} - 3 x^{5} + 7 x^{3} + 5$ .

Dla wielomianu siódmego stopnia $G (x) = 5 x^{7} - 3 x^{2} + x + 4$ iloczyn
$F (x) \cdot G (x)$ będzie wielomianem stopnia $15$ .
Dla wielomianu drugiego stopnia $G (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 4$ iloczyn
$F (x) \cdot G (x)$ będzie wielomianem stopnia $10$ .
Dla wielomianu zerowego $G (x)$ iloczyn $F (x) \cdot G (x)$ będzie wielomianem zerowym.

Przykład 1

Dany jest wielomian $W (x) = 3 x^{5} - 2 x^{4} - 7 x^{3} + 5 x + 4$ . Obliczymy iloczyn wielomianu $W (x)$ przez liczbę $(- \frac{2}{3})$ .

Rozwiązanie:

$W (x) \cdot (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{3} W (x) =$

$= - \frac{2}{3} (3 x^{5} - 2 x^{4} - 7 x^{3} + 5 x + 4) =$

$= - \frac{2}{3} \cdot 3 x^{5} + \frac{2}{3} \cdot 2 x^{4} + \frac{2}{3} \cdot 7 x^{3} - \frac{2}{3} \cdot 5 x - \frac{2}{3} \cdot 4 =$

$= - 2 x^{5} + \frac{4}{3} x^{4} + \frac{14}{3} x^{3} - \frac{10}{3} x - \frac{8}{3}$

Przykład 2

Dane są wielomiany $W (x) = 2 x^{5} - 5 x^{4} - 11 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 13$ oraz $P (x) = - 7 x^{9} + 12 x^{5} + 5 x^{2}$ .

Wyznaczymy wielomian $F (x) = 12 x^{6} \cdot W (x) - 5 x^{2} \cdot P (x)$ .

Rozwiązanie:

RDPUX5TJTF8F3

Przykład 3

Wyznaczymy iloczyn wielomianu $W (x) = 5 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 9$ przez wielomian $P (x) = 2 x^{2} - 13 x - 7$ .

Rozwiązanie:

R1Yz3cx3K4tWR

W kolejnym przykładzie zaprezentujemy metodę obliczenia iloczynu wielomianów z pomocą tabelki. Jest przydatna zwłaszcza w sytuacji, gdy mnożone wielomiany zawierają więcej składników.

Przykład 4

Obliczmy iloczyn $(2 x^{4} - 3 x^{3} + 5 x - 1) \cdot (- 3 x^{2} + 7 x - 9)$ .

Rozwiązanie:

RK4AMzBYS00e2

Szukany iloczyn wynosi $- 6 x^{6} + 23 x^{5} - 39 x^{4} + 12 x^{3} + 38 x^{2} - 52 x + 9$ .

Gra edukacyjna

Polecenie 1

Oblicz iloczyny liczb i wielomianów oraz iloczyny jednomianów i wielomianów. Wskaż właściwe odpowiedzi.

RQNC1NFUHF1241

RJFGAV2T54DVO

R11SZRZ2J4CS5

R1EXFSEQOEJ5P

R19F5C9K6J31J

RB5M6PXA6G3KC

R1D1LE1N1SQVH

R1BE1H3T6K1C6

Polecenie 2

Oblicz i przedstaw w postaci uporządkowanej następujące iloczyny:

$- \frac{2}{3} x^{5}$ $(12 x^{5} - 9 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x + 39)$
$16 x^{11}$ $(5 x^{13} - 2 x^{7} + 9 x^{4} - 3 x)$
$0, 6$ $(45 x^{4} - 25 x^{3} - 30 x^{2} + 5 x - 125)$

$- 8 x^{10} + 6 x^{9} - 14 x^{8} + 4 x^{6} - 26 x^{5}$
$80 x^{24} - 32 x^{18} + 144 x^{15} - 48 x^{12}$
$27 x^{4} - 15 x^{3} - 18 x^{2} + 3 x - 75$

Polecenie 3

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną przedstawiającą mnożenie wielomianu przez dwumian, a następnie wykonaj polecenie 2.

RzHtOscwE3TwN

Prezentacja przedstawia przykład mnożenia dwumianu przez wielomian. Wyrażenie to ma postać: nawias pięćdziesiąt dwa x indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, minus, dziewięćdziesiąt jeden x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, nawias dziesięć x indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, minus, piętnaście x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, równa się. Pierwszym krokiem jest mnożenie pierwszego wyrazu dwumianu, czyli: pięćdziesiąt dwa x indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego przez pierwszy wyraz wielomianu, czyli: dziesięć x indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego. Za znakiem równości pojawia się pierwszy człon wyrażenia czyli: pięćset dwadzieścia x indeks górny, trzydzieści dwa, koniec indeksu górnego. Kolejnym krokiem jest mnożenie pierwszego wyrazu dwumianu: pięćdziesiąt dwa x indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego przez drugi wyraz wielomianu: minus, trzy x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego. Za znakiem równości oprócz członu pięćset dwadzieścia x indeks górny, trzydzieści dwa, koniec indeksu górnego pojawia się drugi człon wyrażenia, czyli: minus, sto pięćdziesiąt sześć x indeks górny, dwadzieścia siedem, koniec indeksu górnego. Następnie mnożymy pierwszy wyraz dwumianu przez trzeci wyraz wielomianu: plus, trzydzieści x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego. Za znakiem równości pojawia się trzeci człon wyniku mnożenia, czyli <math">+1560x26. Kolejno mnożymy pierwszy wyraz dwumianu przez czwarty wyraz wielomianu, czyli: minus, piętnaście x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego. Za znakiem równa się pojawia się kolejny człon wyniku mnożenia, czyli minus, siedemset osiemdziesiąt x indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego. Następnie przechodzimy do drugiego wyrazu dwumianu, czyli: minus, dziewięćdziesiąt jeden x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego i mnożymy go przez pierwszy wyraz wielomianu: dziesięć x indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego. Za znakiem równości pojawi a się piąty człon wyrażenia, czyli: minus, dziewięćset dziesięć x indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego. Następnie mnożymy drugi wyraz dwumianu przez drugi wyraz wielomianu, czyli mnożymy minus, dziewięćdziesiąt jeden x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego razy minus, trzy x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego i za znakiem równa się pojawia się szósty człon wyniku mnożenia, czyli: plus, dwieście siedemdziesiąt trzy x indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego. Następnie mnożymy drugi wyraz dwumianu przez trzeci wyraz wielomianu, czyli plus, trzydzieści x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego i za znakiem równości otrzymujemy następny człon wyrażenia, czyli: minus, dwa tysiące siedemset trzydzieści x indeks górny, dziewiętnaście, koniec indeksu górnego. Kolejnym krokiem jest wymnożenie drugiego wyrazu dwumianu z czwartym wyrazem wielomianu, czyli: minus, piętnaście x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego. Co daje nam ósmy człon wyrażenia za znakiem równości: plus, tysiąc trzysta sześćdziesiąt pięć x indeks górny, osiemnaście, koniec indeksu górnego. Całe wyrażenie znajdujące się za znakiem równości ma postać: pięćset dwadzieścia x indeks górny, trzydzieści dwa, koniec indeksu górnego, minus, sto pięćdziesiąt sześć x indeks górny, dwadzieścia siedem, koniec indeksu górnego, plus, tysiąc pięćset sześćdziesiąt x indeks górny, dwadzieścia sześć, koniec indeksu górnego, minus, siedemset osiemdziesiąt x indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego, minus, dziewięćset dziesięć x indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego, plus, dwieście siedemdziesiąt trzy x indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, minus, dwa tysiące siedemset trzydzieści x indeks górny, dziewiętnaście, koniec indeksu górnego, plus, tysiąc trzysta sześćdziesiąt pięć x indeks górny, osiemnaście, koniec indeksu górnego. Następnie wykonujemy redukcję wyrazów podobnych i otrzymujemy: pięćset dwadzieścia x indeks górny, trzydzieści dwa, koniec indeksu górnego, minus, sto pięćdziesiąt sześć x indeks górny, dwadzieścia siedem, koniec indeksu górnego, plus, tysiąc pięćset sześćdziesiąt x indeks górny, dwadzieścia sześć, koniec indeksu górnego, minus, tysiąc sześćset dziewięćdziesiąt x indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego, plus, dwieście siedemdziesiąt trzy x indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, minus, dwa tysiące siedemset trzydzieści x indeks górny, dziewiętnaście, koniec indeksu górnego, plus, tysiąc trzysta sześćdziesiąt pięć x indeks górny, osiemnaście, koniec indeksu górnego.

Polecenie 4

Wykonaj mnożenie i przedstaw w postaci uporządkowanej otrzymane sumy.

$2 \cdot (5 x^{7} - 4 x^{2}) \cdot (x^{3} - 5 x^{2} - x + 11)$ ,

$(x^{100} + 3 x^{10}) \cdot (x^{20} + 2 x^{15} + 3 x^{10} + 4 x^{5})$ ,

$(\frac{3}{4} x^{2} - \frac{2}{3} x) \cdot (24 x^{7} - 60 x^{5} - 36 x^{3} + 12 x)$ .

$10 x^{10} - 50 x^{9} - 10 x^{8} + 110 x^{7} - 8 x^{5} + 40 x^{4} + 8 x^{3} - 88 x^{2}$ ,

$x^{120} + 2 x^{115} + 3 x^{110} + 4 x^{105} + 3 x^{30} + 6 x^{25} + 9 x^{20} + 12 x^{15}$ ,

$18 x^{9} - 16 x^{8} - 45 x^{7} + 40 x^{6} - 27 x^{5} + 24 x^{4} + 9 x^{3} - 8 x^{2}$ .

Polecenie 5

Przeanalizuj przykłady mnożenia wielomianów zaprezentowane w filmie samouczku.

RJTQ9SEN94POU

Polecenie 6

Oblicz wybraną metodą iloczyn wielomianów

a) $(3 x^{2} - x + 7) \cdot (3 x^{2} + x + 7)$ ,

b) $(x^{4} - 5 x^{2} + 7 x - 11) \cdot (x^{3} - 2 x - 9)$ .

a) $9 x^{4} + 41 x^{2} + 49$ ,

b) $x^{7} - 7 x^{5} - 2 x^{4} - x^{3} + 31 x^{2} - 41 x + 99$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RmmMusq1IELSQ

Sprawdź czy iloczyn jednomianu przez wielomian jest obliczony poprawnie. Odpowiedz tak lub nie.

R17r86FldiRWf

R1Swo6tFNVP61

Rnjf2srGl6vhI

R1QuUGn4Pn9iZ1

Ćwiczenie 2

RG2dEQ2si43m42

Ćwiczenie 3

Dobierz jednomian i wielomian, których iloczynem jest wielomian zapisany z lewej strony. piętnaście x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzy x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy, 4. piętnaście x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, 5. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 6. pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 7. trzy, 8. trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego piętnaście x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzy x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy, 4. piętnaście x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, 5. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 6. pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 7. trzy, 8. trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego piętnaście x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzy x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy, 4. piętnaście x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, 5. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 6. pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 7. trzy, 8. trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego piętnaście x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. trzy x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy, 4. piętnaście x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, 5. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 6. pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 7. trzy, 8. trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego

RkmhGPnVZPTRZ2

Ćwiczenie 4

Dane są wielomiany W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, siedem x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden oraz P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, cztery x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem. Wskaż wielomian cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, W nawias x zamknięcie nawiasu, minus, siedem x, razy, P nawias x zamknięcie nawiasu: Możliwe odpowiedzi: 1. osiemdziesiąt osiem x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, minus, pięćdziesiąt dwa x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, minus, sześćdziesiąt dziewięć x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, czterdzieści dziewięć x, 2. minus, pięćdziesiąt sześć x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, osiemdziesiąt osiem x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, minus, pięćdziesiąt dwa x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia dziewięć x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, czterdzieści dziewięć x, 3. osiemdziesiąt osiem x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, minus, pięćdziesiąt dwa x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, minus, sześćdziesiąt jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, siedem x, 4. dwadzieścia osiem x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, minus, czterdzieści dziewięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia osiem x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, osiemdziesiąt osiem x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, pięćdziesiąt dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem x, plus, czterdzieści pięć, 5. minus, dwadzieścia osiem x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, czterdzieści dziewięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia osiem x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, osiemdziesiąt osiem x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, pięćdziesiąt dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem x, minus, pięćdziesiąt trzy

Ćwiczenie 5

Dobierz w pary jednomian i wielomian, których iloczynem jest wielomian $W (x) = 60 \sqrt{2} x^{5} - 24 \sqrt{3} x^{3}$ :

RuJylCcPBvKUD

R1PNclPpfj5Wd

R7O69x5XbJJUQ2

Ćwiczenie 6

Dany jest wielomian W nawias x zamknięcie nawiasu, równa sięosiem, plus, x nawias dziewięć, plus, x nawias siedem, plus, x nawias sześć, plus, x nawias dwa, plus, x nawias trzy, plus, cztery x zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu. Wykonaj mnożenia i uzupełnij brakujące współczynniki w zapisie wielomianu W nawias x zamknięcie nawiasu w postaci uporządkowanej sumy: W nawias x zamknięcie nawiasu, równa sięTu uzupełnijx indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnij

x +

Tu uzupełnij

RqmqzRSsP5RnB3

Ćwiczenie 7

Dobierz w pary odpowiadające sobie elementy: minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jedenaście zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. minus, czternaście x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, 2. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, 3. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, siedemdziesiąt siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, czterdzieści pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, osiem x trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, minus, siedem x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, osiem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. minus, czternaście x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, 2. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, 3. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, siedemdziesiąt siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, czterdzieści pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, osiem x minus, początek ułamka, dwa x, mianownik, pięć, koniec ułamka, nawias, trzydzieści pięć x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, minus, piętnaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. minus, czternaście x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, 2. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, 3. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, siedemdziesiąt siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, czterdzieści pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, osiem x początek ułamka, dwa x, mianownik, siedem, koniec ułamka, nawias, minus, trzydzieści pięć x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia jeden x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, czternaście, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. minus, czternaście x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, 2. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, 3. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, siedemdziesiąt siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, czterdzieści pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, osiem x minus, dwa x nawias pięć x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. minus, czternaście x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, 2. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, 3. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, siedemdziesiąt siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, czterdzieści pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, osiem x

R1e09t7U5OPGl3

Ćwiczenie 8

RZ4vKY7Z82dVE11

Ćwiczenie 9

Dane są wielomiany P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, jedenaście x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, jedenaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego oraz Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, jedenaście x, plus, jeden.
Ile wynosi iloczyn P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, dziewięćdziesiąt x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, minus, dwieście trzydzieści jeden x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia dziewięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, sto dwadzieścia jeden x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, dziewięćdziesiąt x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, minus, dwieście trzydzieści jeden x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia dziewięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, sto dwadzieścia jeden x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, plus, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, dziewięćdziesiąt x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, minus, dwieście trzydzieści jeden x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia dziewięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, sto dwadzieścia jeden x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, plus, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, dziewięćdziesiąt x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, minus, dwieście trzydzieści jeden x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia dziewięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, sto dwadzieścia jeden x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

Rafci6jrTXcmg11

Ćwiczenie 10

Uzupełnij zapis obliczania iloczynu wielomianów. Przyjmijmy, że najpierw mnożymy pierwszy składnik pierwszego wielomianu kolejno przez wszystkie składniki drugiego wielomianu, potem drugi składnik pierwszego wielomianu przez kolejne składniki drugiego itd. Wpisz odpowiednie liczby w puste pole. nawias, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, siedem, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, zamknięcie nawiasu, równa się Tu uzupełnijx indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minusTu uzupełnijx indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minusTu uzupełnijx indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minusTu uzupełnijx indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minusTu uzupełnijx indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx, plusTu uzupełnijx indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minusTu uzupełnijx indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnij

x^{} -

Tu uzupełnij równa się Tu uzupełnijx indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minusTu uzupełnijx indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minusTu uzupełnijx indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnij

x^{} -

Tu uzupełnij

Rwp1oRLgh46CH

Ćwiczenie 11

ROIwZJPF1Di2721

Ćwiczenie 12

Dane są wielomiany P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, jedenaście x, plus, cztery oraz Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, siedem. Przeciągnij odpowiednie współczynniki iloczynu w puste pole. P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się 1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiem

x^{} +

1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiem

x^{} +

RqtjOW3iOJBYg21

Ćwiczenie 13

Dane są wielomiany F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, a x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, b x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, c x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, d x, plus, e oraz G nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, g x, plus, h. Wstaw odpowiednie współczynniki w iloczynie F nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, G nawias, x, zamknięcie nawiasu: F nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, G nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się 1. nawias, a g, plus, b f, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, b h, plus, c g, plus, d f, zamknięcie nawiasu, 3. a f, 4. e h, 5. nawias, d h, plus, e g, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, a h, plus, b g, plus, c f, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, c h, plus, d g, plus, e f, zamknięcie nawiasux indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus1. nawias, a g, plus, b f, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, b h, plus, c g, plus, d f, zamknięcie nawiasu, 3. a f, 4. e h, 5. nawias, d h, plus, e g, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, a h, plus, b g, plus, c f, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, c h, plus, d g, plus, e f, zamknięcie nawiasux indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus1. nawias, a g, plus, b f, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, b h, plus, c g, plus, d f, zamknięcie nawiasu, 3. a f, 4. e h, 5. nawias, d h, plus, e g, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, a h, plus, b g, plus, c f, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, c h, plus, d g, plus, e f, zamknięcie nawiasux indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus1. nawias, a g, plus, b f, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, b h, plus, c g, plus, d f, zamknięcie nawiasu, 3. a f, 4. e h, 5. nawias, d h, plus, e g, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, a h, plus, b g, plus, c f, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, c h, plus, d g, plus, e f, zamknięcie nawiasux indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus1. nawias, a g, plus, b f, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, b h, plus, c g, plus, d f, zamknięcie nawiasu, 3. a f, 4. e h, 5. nawias, d h, plus, e g, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, a h, plus, b g, plus, c f, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, c h, plus, d g, plus, e f, zamknięcie nawiasux indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus1. nawias, a g, plus, b f, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, b h, plus, c g, plus, d f, zamknięcie nawiasu, 3. a f, 4. e h, 5. nawias, d h, plus, e g, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, a h, plus, b g, plus, c f, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, c h, plus, d g, plus, e f, zamknięcie nawiasux, plus1. nawias, a g, plus, b f, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, b h, plus, c g, plus, d f, zamknięcie nawiasu, 3. a f, 4. e h, 5. nawias, d h, plus, e g, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, a h, plus, b g, plus, c f, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, c h, plus, d g, plus, e f, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 14

R16y8RJwBjKsC

Ćwiczenie 15

RMbIyeywhb5GB

RqdBqqbiHyiCl

Ćwiczenie 16

Wykonaj mnożenie wypełniając tabelkę. Zapisz wielomian uzyskany jako iloczyn. Sprawdź poprawność swojej odpowiedzi.

R1SBG6cvbFXug

$2 x^{5} - 25 x^{4} + 55 x^{3} - 78 x^{2} + 113 x - 63$

Słownik

iloczyn wielomianów

dla wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ to wielomian $W (x)$ taki, że dla każdej liczby $a \in ℝ$ spełniony jest warunek:

$W (a) = F (a) \cdot G (a)$

2. Dodawanie i odejmowanie wielomianów

4. Równość wielomianów