4. Równość wielomianów

RLJuXpR72ePIw

Wielomiany to szczególny przypadek funkcji – pojęcia często pojawiającego się w matematyce szkolnej – to po prostu funkcje dane wzorem określonej postaci.

Co to znaczy, że dwie funkcje są równe? Jeśli obie zapiszemy po prostu tym samym wzorem, to równość jest oczywista – jasne jest, że jeżeli $f (x) = g (x) = 1 + \frac{2}{x}$ to funkcje równe. Ale już równość funkcji $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ i $g (x) = |x|$ należałoby uzasadnić, na przykład porównując dziedziny obu funkcji i ich wartości dla wszystkich argumentów.

Co zatem oznacza, że wielomiany są równe? Intuicyjnie wydaje się to raczej oczywiste. Ale jak zdefiniować to formalnie?

Twoje cele

Poznasz formalnie określoną definicję równości wielomianów jednej zmiennej.
Określisz, w jakich przypadkach wielomiany zapisane wzorami z parametrem mogą być równe.
Wykorzystasz porządkowanie wielomianów do zweryfikowania równości wielomianów zapisanych w różnych postaciach.

Wielomiany równe

Definicja: Wielomiany równe

Wielomiany $W (x)$ i $P (x)$ są wielomianami równymi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x \in ℝ$ spełniony jest warunek:

W (x) = P (x)

Równość wielomianów $W (x)$ i $P (x)$ można równoważnie sformułować następująco:

Wielomiany $W (x)$ i $P (x)$ są tego samego stopnia.

Wielomiany $W (x)$ i $P (x)$ mają po uporządkowaniu równe współczynniki przy odpowiednich potęgach niewiadomej $x$ .

Poniższe wielomiany są wielomianami równymi:

$W (x) = {(2 x - 3)}^{3}$

$P (x) = x [x (8 x - 36) + 54] - 27$

$Q (x) = 8 x^{3} - 36 x^{2} + 54 x - 27$

Częstym typem zadań, w których rozwiązywaniu wykorzystuje się równość wielomianówrówność wielomianówrówność wielomianów, są zadania z parametrami.

Przykłady poniżej pokazują metody rozwiązywania tego typu zadań.

Przykład 1

Dane są wielomianywielomianwielomiany $W (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + 30$ oraz $Q (x) = (x - 2) (x + 3) (c x + d)$ . Dla jakich wartości parametrów $a$ , $b$ , $c$ i $d$ są to wielomiany równe?

Rozwiązanie:

Przedstawmy wielomian $Q (x)$ w postaci sumy:

$Q (x) = (x^{2} + x - 6) (c x + d) =$
$= c x^{3} + c x^{2} - 6 c x + d x^{2} + d x - 6 d =$
$= c x^{3} + (c + d) x^{2} + (d - 6 c) x - 6 d$

Z porównania współczynników przy $x^{3}$ wiemy, że $c = 2$ .

Z porównania wyrazów wolnychwyraz wolny wielomianuwyrazów wolnych wiemy, że $- 6 d = 30$ , więc $d = - 5$ .

Z porównania współczynników przy $x^{2}$ mamy $a = c + d = - 3$ .

Z porównania współczynników przy $x$ uzyskujemy $b = d - 6 c = - 17$ .

Przykład 2

Dla jakich wartości parametru $m$ wielomiany $F (x) = (2 m^{2} - 2 m - 12) x^{5} - m x^{3} + (3 m^{2} + 15 m + 18) x$
i $G (x) = (3 m^{2} - 3 m - 18) x^{5} - m x^{3} + (4 m^{2} + 9 m + 2) x$
są wielomianami równymi? Jakiego stopnia wielomian wtedy uzyskamy?

Rozwiązanie:

Porównajmy współczynniki przy $x^{5}$ :

$2 m^{2} - 2 m - 12 = 3 m^{2} - 3 m - 18$ .

Po uproszczeniu uzyskujemy równanie kwadratowe $- m^{2} + m + 6 = 0$ , które ma dwa rozwiązania: $m = - 2 \lor m = 3$ – tylko dla tych dwóch wartości $m$ współczynniki przy $x^{5}$ będą równe.

Współczynniki przy $x^{3}$ w obu wielomianach są jednakowe.

Pozostało jeszcze przeanalizowanie współczynników przy $x$ . Można je porównać (podobnie jak współczynniki przy $x^{5}$ ) albo po prostu podstawić $m = - 2 \lor m = 3$ – co może być szybsze.

Dla $m = - 2$ mamy $3 m^{2} + 15 m + 18 = 0$ i $4 m^{2} + 9 m + 2 = 0$ – czyli wielomiany będą równe.

Dla $m = 3$ mamy $3 m^{2} + 15 m + 18 = 90$ oraz $4 m^{2} + 9 m + 2 = 65$ , czyli wielomiany nie są równe.

Podsumowując: $F (x)$ i $G (x)$ są wielomianami równymi dla $m = - 2$ .

Wtedy współczynnik przy $x^{5}$ wynosi $0$ i $F (x) = G (x) = 2 x^{3}$ jest wielomianem trzeciego stopnia.

Prezentacja multimedialna

Dane są wielomiany $W (x) = {(3 x^{2} + a x + b)}^{2}$ oraz $P (x) = 9 x^{4} + 12 x^{3} + c x^{2} + d x + 25$ . Dla jakich wartości parametrów $a$ , $b$ , $c$ , $d$ wielomiany te są równe?

Poniższa prezentacja pokazuje, jak możesz to sprawdzić.

RUGGDFF471TP6

Polecenie 1

Ustal, dla jakich wartości parametrów $p$ i $q$ wielomian $W (x) = x^{4} + p x^{3} - x^{2} + q x + 1$ jest kwadratem innego wielomianu.
Rozwiąż zadanie na kartce i sprawdź odpowiedź.

Wielomian $W (x)$ jest wielomianem czwartego stopnia, więc może być kwadratem wielomianu drugiego stopnia: $W (x) = {(a x^{2} + b x + c)}^{2}$ .

Zgodnie z podpowiedzią $W (x) = {(a x^{2} + b x + c)}^{2}$ , czyli (po wykonaniu obliczeń)
$W (x) = a^{2} x^{4} + 2 a b x^{3} + (b^{2} + 2 a c) x^{2} + 2 b c x + c^{2}$ .
Z równości wielomianów wiemy, że $a^{2} = c^{2} = 1$ , co oznacza, że należy rozważyć przypadki:

dla $a = c = 1$ mamy $b^{2} + 2 = - 1$ , co jest sprzeczne. Analogicznie jest dla $a = c = - 1$ .

dla $a = 1$ i $c = - 1$ mamy $b^{2} - 2 = - 1$ , co oznacza, że $b = 1$ (wtedy $p = 2 a b = 2$ , $q = 2 b c = - 2$ ) lub $b = - 1$ (wtedy $p = 2 a b = - 2$ , $q = 2 b c = 2$ ).

dla $a = - 1$ i $c = 1$ po analogicznych obliczeniach uzyskujemy $b = 1$ , $p = - 2$ , $q = 2$ albo $b = - 1$ , $p = 2$ , $q = - 2$ .

Warunki zadania są spełnione dla $p = 2$ , $q = - 2$ lub $p = - 2$ , $q = 2$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

RBVUQORAEJXTC1

Ćwiczenie 1

R1F8DDKTZQR981

Ćwiczenie 2

RNXZUXDBB7V1H2

Ćwiczenie 3

RXVNCMFELMS1T2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

R1GKXTXGA7MG2

Każdy z wielomianów po prawej stronie przypisz do równego mu wielomianu F nawias x zamknięcie nawiasu lub G nawias x zamknięcie nawiasu F nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, plus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias dwa x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 2. szesnaście nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. szesnaście nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści dwa nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, zamknięcie nawiasu, plus, szesnaście, 4. szesnaście nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. szesnaście nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, jeden G nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześćdziesiąt cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dziewięćdziesiąt sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześćdziesiąt cztery x, plus, szesnaście Możliwe odpowiedzi: 1. nawias dwa x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 2. szesnaście nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. szesnaście nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści dwa nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, zamknięcie nawiasu, plus, szesnaście, 4. szesnaście nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. szesnaście nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, jeden

Ćwiczenie 6

R12SEE176QN4D

Ćwiczenie 7

Udowodnij, że wielomiany $P (x) = (x^{2} - 9) (x^{2} - 16)$ oraz $Q (x) = (x^{2} - x - 12) (x^{2} + x - 12)$ przyjmują taką samą wartość dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ .

RHXmEBMZbxSPy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

sposób $I$ :

Zapiszmy oba wielomiany w postaci sumy
$P (x) = (x^{2} - 9) (x^{2} - 16) = x^{4} - 9 x^{2} - 16 x^{2} + 144 = x^{4} - 25 x^{2} + 144$ oraz
$Q (x) = (x^{2} - x - 12) (x^{2} + x - 12) = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + x^{3} - x^{2} - 12 x - 12 x^{2} +$
$+ 12 x + 144 = x^{4} - 25 x^{2} + 144$ .

Zauważmy, że $P (x)$ oraz $Q (x)$ opisane są tym samym wzorem. Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ przyjmują więc tę samą wartość.

sposób $II$ :

Zapiszmy oba wielomiany w postaci iloczynu czynników liniowych.

Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, mamy $P (x) = (x - 3) (x + 3) (x - 4) (x + 4)$ .

Wielomian $Q (x)$ jest iloczynem dwóch trójmianów kwadratowych. Każdy z nich przedstawimy w postaci iloczynowej.

Wyróżnik trójmianu $W (x) = x^{2} - x - 12$ jest równy $Δ = 1 - 4 \cdot (- 12) = 49$ , czyli trójmian ten ma dwa miejsca zerowe $x = \frac{1 - 7}{2} = - 3$ oraz $x = \frac{1 + 7}{2} = 4$ .

Wyróżnik trójmianu $x^{2} + x - 12$ jest równy $Δ = 1 - 4 \cdot (- 12) = 49$ , czyli trójmian ten ma również dwa miejsca zerowe $x = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4$ oraz $x = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$ .

Ostatecznie więc wielomian $Q (x)$ możemy zapisać w postaci

$Q (x) = (x + 3) (x - 4) (x + 4) (x - 3) = (x - 3) (x + 3) (x - 4) (x + 4)$

Zauważmy, że $P (x)$ oraz $Q (x)$ opisane są tym samym wzorem, przyjmują więc tę samą wartość dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ .

Ćwiczenie 8

RS4E6DAV1J631

R1ARZ6B4Z7S9D

Ćwiczenie 9

Wyznacz wartości parametrów $m$ , $p$ , $q$ , dla których wielomiany
$F (x) = x^{6} - 2 x^{5} - 8 x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} + p x + q$ oraz
$G (x) = (x^{2} + m) (x^{4} - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8)$ są równe.

Zacznij od wymnożenia sum algebraicznych wielomianu $G$ i zapisania go w postaci uporządkowanej. Następnie porównaj współczynniki obu wielomianów.

Wykonujemy mnożenie i przedstawimy wielomian $G$ w postaci uporządkowanej:

$G (x) = x^{6} - 2 x^{5} - 5 x^{4} - 8 x^{2} + m x^{4} - 2 m x^{3} - 5 m x^{2} - 8 m$

$G (x) = x^{6} - 2 x^{5} + (m - 5) x^{4} - 2 m x^{3} + (- 5 m - 8) x^{2} - 8 m$

Wielomiany tych samych zmiennych są równe, jeśli są tego samego stopnia i współczynniki stojące przy zmiennych w tych samych potęgach są równe.

Współczynniki przy zmiennych w potędze szóstej są równe, podobnie w potędze piątej.

Porównamy zatem pozostałe współczynniki:

przy $x^{4}$ :

$m - 5 = - 8$

$m = - 3$

przy $x^{3}$ :

$6 = - 2 m$

$m = - 3$

przy $x^{2}$ :

$- 5 m - 8 = 7$

$m = - 3$

W każdym przypadku otrzymaliśmy dla m tę samą liczbę, zatem $m = - 3$ .

W wielomianie $G$ nie ma wyrazu w pierwszej potędze, zatem: $p = 0$

Na koniec porównujemy wyrazy wolne: $q = - 8 m$ , co daje: $q = (- 8) \cdot (- 3) = 24$

Zatem wielomiany $F$ i $G$ są równe, jeśli: $m = - 3$ , $p = 0$ , $q = 24$ .

Słownik

równość wielomianów

wielomiany $W (x)$ i $P (x)$ są wielomianami równymi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x \in ℝ$ spełniony jest warunek:

W (x) = P (x)

równość wielomianów $W (x)$ i $P (x)$ można równoważnie sformułować następująco:

wielomiany $W (x)$ i $P (x)$ są tego samego stopnia;

wielomiany $W (x)$ i $P (x)$ mają po uporządkowaniu równe współczynniki przy odpowiednich potęgach niewiadomej $x$

wielomian

wyrażenie, które jest sumą jednomianów (lub jednomianem);
wielomian można zapisać w postaci

W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

wyraz wolny wielomianu

składnik wielomianu, w którym nie występuje niewiadoma

3. Mnożenie wielomianów

5. Wielomiany wielu zmiennych