5. Wielomiany wielu zmiennych

Rgmng2VziuU5Z

Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej sześcianu, wystarczy znać długość jego krawędzi (oznaczmy ją jako $x$ ). Pole powierzchni sześcianu możemy wówczas wyznaczyć, wstawiając odpowiednią wartość do wzoru $P (x) = 6 x^{2}$ , czyli obliczyć wartość pewnego wielomianu.
W przypadku prostopadłościanu do obliczenia pola powierzchni nie wystarczy znajomość długości jednej krawędzi. Jeżeli jednak będziemy znać długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka (oznaczmy je jako $x$ , $y$ i $z$ ), to pole powierzchni obliczymy jako wartość funkcji tych trzech zmiennych: $P (x, y, z) = 2 x y + 2 y z + 2 z x$ .
Ta funkcja również może być nazwana wielomianem, ale jest to wielomian z trzema zmiennymi.

W tym materiale zajmiemy się właśnie wielomianami kilku zmiennych.

Twoje cele

Rozpoznasz jednomiany zawierające więcej niż jedną zmienną.
Rozróżnisz wielomiany wielu zmiennych.
Określisz stopień wielomianu wielu zmiennych.
Poznasz przykłady porządkowania zarówno wielomianów z jedną zmienną, jak i wielomianów z kilkoma zmiennymi.
Wykorzystasz sposoby porządkowania wielomianów ze względu na stopień jednomianów składowych.
Udoskonalisz umiejętności nabyte przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych.

Jednomian wielu zmiennych

Definicja: Jednomian wielu zmiennych

Jednomianem wielu zmiennych $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{k}$ nazywamy iloczyn liczb i tych zmiennych.

Zmienne w jednomianie mogą być podniesione do potęgi o wykładniku naturalnym. Zauważmy też, że współczynnikiem liczbowym jednomianu może być w szczególności liczba jeden lub minus jeden.

Przykładowe jednomiany:

$- 5 x^{3} y^{2} z^{}$ - to jednomian zmiennych $x$ , $y$ i $z$
$\frac{14}{25} {x_{1}}^{5} {x_{2}}^{6}$ - to jednomian zmiennych $x_{1}$ , $x_{2}$

Stopień jednomianu wielu zmiennych

Definicja: Stopień jednomianu wielu zmiennych

Stopniem jednomianu wielu zmiennych nazywamy sumę wykładników potęg wszystkich zmiennych danego jednomianu.

Jeżeli jednomian jest liczbą różną od zera, to jest on jednomianem stopnia $0$ .

Jeżeli jednomian jest zerem (stałą równą $0$ ), to przyjmuje się, że nie ma on określonego stopnia.

Przykład 1

Określimy stopień podanych jednomianów.

Stopień jednomianustopień jednomianu wielu zmiennychStopień jednomianu $- 5 x^{3} y^{2} z$ wynosi $3 + 2 + 1 = 6$ .

Stopień jednomianu $\frac{14}{25} {x_{1}}^{5} {x_{2}}^{6}$ to $5 + 6 = 11$ .

Jednomian $6 \sqrt{5}$ jest jednomianem stopnia $0$ .

Jednomian zerowy $0$ nie ma określonego stopnia.

Wielomian wielu zmiennych

Definicja: Wielomian wielu zmiennych

Wielomianem wielu zmiennych $W (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k})$ nazywamy sumę jednomianów z tymi zmiennymi.

Zauważmy, że nie w każdym jednomianie muszą wystąpić wszystkie podane zmienne.

Wielomianami wielu zmiennychwielomian wielu zmiennych $W (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k})$ Wielomianami wielu zmiennych są:

$W (x, y, z) = 5 x^{3} y^{2} z - 11 x y z^{3} + 4 x - 21$

$W (a, b, c, d) = a^{3} b^{2} c^{5} d^{4} - 3 a b c d + a b^{2} c d$

Stopień wielomianu wielu zmiennych

Definicja: Stopień wielomianu wielu zmiennych

Stopniem wielomianu wielu zmiennych $W (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k})$ nazywamy najwyższy spośród stopni jednomianów, których suma tworzy dany wielomian (po zredukowaniu wyrazów podobnych).

Podając stopień wielomianu można użyć oznaczenia $st (W (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}))$ lub $deg (W (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}))$ .

Przykład 2

Ustalimy stopień wielomianustopień wielomianu trzech zmiennych $W (x, y, z) = 5 x^{3} y z - 7 x^{2} y^{2} z + 12 x y z^{6} - 4 x^{5} y + 2 z - 13$

Rozwiązanie:

RH6v78K2onx58

W celu ułatwienia działań na wielomianachwielomianwielomianach kilku zmiennych $W (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k})$ zapisuje się je w postaci uporządkowanej, według następujących zasad:

Na początek redukujemy wyrazy podobne.
Dla każdego jednomianu ustalamy jakiego jest stopnia, wyrazy większego stopnia umieszczamy wcześniej, niż wyrazy mniejszego stopnia.
Jeśli dwa wyrazy będą tego samego stopnia, to wcześniej zapisujemy ten, w którym wykładnik przy pierwszej niewiadomej (czyli w naszym przypadku $x_{1}$ ) będzie większy.
Jeśli wykładniki przy pierwszej niewiadomej są takie same, analogicznie porównujemy wykładniki przy drugiej niewiadomej, itd.

Przykład 3

Uporządkujemy wielomian dwóch zmiennych

$W (x, y) = {(x y^{2})}^{2} x + {(x y^{2})}^{2} y + x y^{2} y + x^{2} y x^{4} + {(x y)}^{2} - 6 x y y x +$ $+ {(x y)}^{3} y - 6 y^{3} {(x y)}^{2} + 5 x y x^{5} - 12 x y \cdot y^{2}$ .

Rozwiązanie:

Uprośćmy wyrazy wielomianu:

Rprp2ZsdjySKq

Ustalmy stopnie kolejnych jednomianów i redukujemy wyrazy podobne:

R1U5PpNqfMo60

Działania na wielomianach wielu zmiennych opierają się na analogicznych zasadach jak dla wielomianów jednej zmiennej. Dodawanie i odejmowanie polega na sumowaniu/odejmowaniu wyrazów podobnych (tych samych zmiennych w tych samych potęgach), a mnożenie (metodą „każdy z każdym”) polega na wymnożeniu każdego wyrazu z pierwszego wielomianu przez każdy wyraz z drugiego, po czym następuje redukcja wyrazów podobnych. Wynikiem tych działań jest zawsze nowy wielomian wielu zmiennych.

Przykład 4

Obliczymy sumę wielomianów $W (x, y) = 2 x^{2} y + 3 x y^{2} - 1$ i $F (x, y) = - x^{2} y + 2 x y^{2} + 5 y$ .

Rozwiązanie:

$W (x, y) + F (x, y) = (2 x^{2} y - x^{2} y) + (3 x y^{2} + 2 x y^{2}) - 1 + 5 y = x^{2} y + 5 x y^{2} + 5 y - 1$

Przykład 5

Obliczymy iloczyn $W (x, y) = (x - y)$ i $F (x, y) = (x^{2} + x y + y^{2})$ .

Rozwiązanie:

$W (x, y) \cdot F (x, y) = (x - y) \cdot (x^{2} + x y + y^{2}) = x \cdot (x^{2} + x y + y^{2}) - y \cdot (x^{2} + x y + y^{2}) =$
$= (x^{3} + x^{2} y + x y^{2}) - (x^{2} y + x y^{2} + y^{3}) =$ $= x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - x^{2} y - x y^{2} - y^{3}$ $= x^{3} - y^{3}$

Ilustracja multimedialna

Polecenie 1

Obejrzyj materiał ilustrujący różne sposoby zamiany iloczynu dwumianów na sumę, a następnie wykonaj Polecenie 2.

RBjmVbz0cgFkz1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z materiałem opisującym sposoby zamiany iloczynu dwumianów na sumę. Różne sposoby mnożenia dwumianów $7 x - 5 y$ i $2 x + 3 y$ .

Sposób pierwszy:

Korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 7 x (2 x + 3 y) - 5 y (2 x + 3 y)$ ,

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 7 x \cdot 2 x + 7 x \cdot 3 y - 5 y \cdot 2 x - 5 y \cdot 3 y$ ,

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 21 x y - 10 x y - 15 y^{2}$ ,

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 11 x y - 15 y^{2}$ .

Drugi sposób:

Korzystamy z interpretacji graficznej.

Kolumna pierwsza	Kolumna druga	Kolumna trzecia
$-$	$7 x$	$- 5 y$
$2 x$	$7 x \cdot 2 x$	$- 5 y \cdot 2 x$
$3 y$	$7 x \cdot 3 y$	$- 5 y \cdot 3 y$

Kolumna pierwsza	Kolumna druga	Kolumna trzecia
$-$	$7 x$	$- 5 y$
$2 x$	$14 x^{2}$	$- 10 x y$
$3 y$	$21 x y$	$- 15 y^{2}$

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 21 x y - 10 x y - 15 y^{2}$ ,

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 11 x y - 15 y^{2}$ .

Trzeci sposób:

Pomnożymy dwumiany pisemnie.

Mnożenie sposobem pisemnym: $7 x - 5 y$ oraz $2 x + 3 y$ .

Pod kreską zapisano: $21 x y - 15 y^{2}$ .

Pod spodem z jednym przesunięciem w lewą stronę zapisano: $14 x^{2} - 10 x y$ .

Pod kreską zapisano wynik: $14 x^{2} - 10 x y + 21 x y - 15 y^{2}$

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 21 x y - 10 x y - 15 y^{2}$ ,

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 11 x y - 15 y^{2}$ .

Polecenie 2

Dane są wielomiany $P (x, y) = 2 x^{3} + 5 x^{2} y - x y^{2} + y^{3}$ i $Q (x, y) = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ .

Niech wielomian $Z (x, y)$ będzie iloczynem podanych wielomianów.

Z (x, y) = P (x, y) \cdot Q (x, y)

R1KQJ1BM6EOOH

Dane są wielomiany $P (x, y) = 2 x^{3} + 5 x^{2} y - x y^{2} + y^{3}$ i $Q (x, y) = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ .

Wykorzystując jedną z metod zaprezentowanych na ilustracji z Polecenia 1, oblicz iloczyn tych wielomianów i zapisz go w postaci uporządkowanej.

Sposób I

Korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

P (x, y) \cdot Q (x, y) = (2 x^{3} + 5 x^{2} y - x y^{2} + y^{3}) \cdot (x^{2} + 2 x y + y^{2}) =

= 2 x^{3} \cdot (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 5 x^{2} y \cdot (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - x y^{2} \cdot (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y^{3} \cdot (x^{2} + 2 x y + y^{2}) =

= 2 x^{5} + 4 x^{4} y + 2 x^{3} y^{2} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 5 x^{2} y^{3} - x^{3} y^{2} - 2 x^{2} y^{3} - x y^{4} + x^{2} y^{3} + 2 x y^{4} + y^{5} =

= 2 x^{5} + 9 x^{4} y + 11 x^{3} y^{2} + 4 x^{2} y^{3} + x y^{4} + 2 y^{5}

Sposób II

Wykorzystujemy interpretację graficzną. Zaczynamy od wpisania jednomianów składowych do pierwszego wiersza i ostatniej kolumny. Mnożymy jednomiany.

$2 x^{3}$	$5 x^{2} y$	$- x y^{2}$	$y^{3}$
$2 x^{5}$	$5 x^{4} y^{2}$	$- x^{3} y^{2}$	$x^{2} y^{3}$	$x^{2}$
$4 x^{4} y$	$10 x^{3} y^{2}$	$- 2 x^{2} y^{3}$	$2 x y^{4}$	$2 x y$
$2 x^{3} y^{2}$	$5 x^{2} y^{3}$	$- x y^{4}$	$y^{5}$	$y^{2}$

Wykonujemy redukcję wyrazów podobnych „po przekątnych”.

	$2 x^{3}$	$5 x^{2} y$	$- x y^{2}$	$y^{3}$
	$2 x^{5}$	$5 x^{4} y^{2}$	$- x^{3} y^{2}$	$x^{2} y^{3}$	$x^{2}$
$2 x^{5}$	$4 x^{4} y$	$10 x^{3} y^{2}$	$- 2 x^{2} y^{3}$	$2 x y^{4}$	$2 x y$
$9 x^{4} y$	$2 x^{3} y^{2}$	$5 x^{2} y^{3}$	$- x y^{4}$	$y^{5}$	$y^{2}$
$11 x^{3} y^{2}$	$4 x^{2} y^{3}$	$x y^{4}$	$y^{5}$

Z pierwszej kolumny i ostatniego wiersza odczytujemy wynik.

= 2 x^{5} + 9 x^{4} y + 11 x^{3} y^{2} + 4 x^{2} y^{3} + x y^{4} + 2 y^{5}

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R12AvKiiFxwlm1

Ćwiczenie 1

R1ecnOM5U9KXQ2

Ćwiczenie 2

Dany jest wielomian W nawias a, przecinek, b, przecinek, c, przecinek, d zamknięcie nawiasu, równa się a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery a b, plussześć a c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a d indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, dwa a d, pluscztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście b c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b d, plusdziewięć c indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, sześć c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d, minus, d indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, d indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Wskaż postać wielomianu po uporządkowaniu według malejącego stopnia i wykładnika przy kolejnych zmiennych. Możliwe odpowiedzi: 1. W nawias a, przecinek, b, przecinek, c, przecinek, d zamknięcie nawiasu, równa się minus, d indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy a d indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plusdziewięć c indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście b c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plussześć c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery a b, plusdwa a d, plus, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b d, plus, d indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. W nawias a, przecinek, b, przecinek, c, przecinek, d zamknięcie nawiasu, równa się minus, d indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy a d indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plusdziewięć c indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście b c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plussześć c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plusd indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery a b, plus, dwa a d, minus, cztery b d, 3. W nawias a, przecinek, b, przecinek, c, przecinek, d zamknięcie nawiasu, równa sięa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery a b, plussześć a c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a d indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, dwa a d, pluscztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście b c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b d, plus, dziewięć c indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plussześć c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d, plus, d indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, d indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego

R17aGI4DwuUag2

Ćwiczenie 3

Uporządkuj wielomian trzech zmiennych. W nawias x, przecinek, y, przecinek, zet zamknięcie nawiasu, równa się 1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego

R17Jw4a0lmHtL2

Ćwiczenie 4

RAmJj6iiD9IsV2

Ćwiczenie 5

R1DTZ7hpSHQRA2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Dane są wielomiany $P (x, y) = 3 x^{2} y + 6 x y + 12 y^{}$ i $Q (x, y) = 8 x^{2} y + 3 x y - 12 y^{}$ .

Oblicz:

P (x, y) + Q (x, y)

P (x, y) - Q (x, y)

Q (x, y) - P (x, y)

P (x, y) \cdot Q (x, y)

P (x, y) + Q (x, y) = (3 x^{2} y + 6 x y + 12 y) + (8 x^{2} y + 3 x y - 12 y) = 11 x^{2} y + 9 x y

P (x, y) - Q (x, y) = (3 x^{2} y + 6 x y + 12 y^{}) - (8 x^{2} y + 3 x y - 12 y^{}) = - 5 x^{2} y + 3 x y + 24 y^{}

Q (x, y) - P (x, y) = (8 x^{2} y + 3 x y - 12 y) - (3 x^{2} y + 6 x y + 12 y^{}) = 5 x^{2} y - 3 x y - 24 y^{}

Q (x, y) \cdot P (x, y) = (8 x^{2} y + 3 x y - 12 y) \cdot (3 x^{2} y + 6 x y + 12 y^{}) = 24 x^{4} y^{2} + 57 x^{3} y^{2} + 78 x^{2} y^{2} - 36 x y^{2} - 144 y^{2}

R6wdExwR25mYT2

Ćwiczenie 8

Słownik

wielomian

wyrażenie, które jest sumą jednomianów (w szczególności może to być jeden jednomian); wielomian można zapisać w postaci:

$W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$

liczby $a_{n}$ , $a_{n - 1}$ , $a_{n - 2}$ , $\dots$ , $a_{2}$ , $a_{1}$ , $a_{0}$ to współczynniki wielomianu ( $a_{n} \neq 0$ )

jednomian wielu zmiennych

x_{1}

x_{2}

\dots

x_{k}

jednomian wielu zmiennych

x_{1}

x_{2}

\dots

x_{k}

iloczyn liczb i tych zmiennych.

Zmienne w jednomianie mogą być podniesione do potęgi o wykładniku naturalnym.

stopień jednomianu wielu zmiennych

suma wykładników potęg wszystkich zmiennych danego jednomianu.

Jeżeli jednomian jest stałą różną od zera, to jest on jednomianem stopnia $0$ ;
Jeżeli jednomian jest zerem (stałą równą $0$ ), to przyjmuje się, że nie ma on określonego stopnia

stopień wielomianu wielu zmiennych

W (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k})

stopień wielomianu wielu zmiennych

W (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k})

najwyższy spośród stopni jednomianów, których suma tworzy dany wielomian (po zredukowaniu wyrazów podobnych), $deg (W (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}))$

wielomian wielu zmiennych

W (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k})

wielomian wielu zmiennych

W (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k})

suma jednomianów z tymi zmiennymi

4. Równość wielomianów

Wielomiany