1. Odległość między punktami w układzie współrzędnych. - Figury w układzie współrzędnych

R12EpbxhJ6NtE

1. Odległość między punktami w układzie współrzędnych

Między dwoma punktami istnieje nieskończenie wiele dróg o różnych kształtach i długościach. Intuicyjnie można powiedzieć, że odległość między punktami to długość najkrótszej z dróg między tymi punktami. Odległość między punktami $A$ i $B$ oznaczać będziemy $d (A, B)$ . Mała litera $d$ pochodzi od angielskiego słowa distance (dystans, odległość). Na rysunku poniżej na pomarańczowo zaznaczono najkrótszą drogę między punktami $A$ i $B$ na płaszczyźnie euklidesowej.

RyLt037jX6chu

Na ilustracji przedstawione są punkty A i B oraz fragmenty trzech niebieskich krzywych, z których każda prowadzi od punktu A do punktu B. Pierwsza z nich jest o nieco sinusoidalnym kształcie, druga przypomina kształtem połowę spłaszczonej elipsy, a trzecia to bardzo wypłaszczona sinusoidalna krzywa. Z punktu A poprowadzony jest również pomarańczowy odcinek opisany jako deA,B.

Nie zawsze jednak odległość między punktami jest równa długości odcinka rozpiętego między nimi. Łatwo sobie wyobrazić przykłady z życia codziennego: jeżdżąc samochodem po mieście, napotykamy różne przeszkody i poruszać możemy się tylko po wyznaczonych do tego celu drogach. Z tego powodu droga przejechana od punktu $A$ do punktu $B$ jest zwykle dłuższa niż ich odległość w linii prostej.

W związku z tym, w matematyce, istnieją różne metryki i sposoby mierzenia odległości. Na przykład w metryce miasta odległości mierzymy wzdłuż ściśle określonych dróg, które tworzą sieć równoległych i prostopadłych prostych.

Z tego też powodu oznaczenie odległości $d$ czasem występuje z indeksem, by odróżnić zasady obliczania odległości w różnych metrykach.

RRE7J6WTdMw2G

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do dziewięciu oraz z pionową osią y od minus jeden do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowany jest kwadrat o wierzchołkach w punktach: dwa jeden, osiem jeden, osiem siedem oraz dwa siedem. Zaznaczone są także dwa punkty. A ma współrzędne trzy siedem, B natomiast osiem dwa. Na płaszczyźnie pokazane są różne drogi możliwe drogi prowadzące od jednego punktu do drugiego w metryce „miasto”. Jedna z niech wiedzie po lewej części obwodu kwadratu, druga po prawej. Trzecia i czwarta to drogi wewnątrz figury. Trzecia droga to łamana idąca pionowo w dół cztery kratki z punktu A, dwie kratki w prawo jedną w dół i trzy w prawo. Czwarta biegnie nieco inaczej. Z punktu A jedna kratka w dół, trzy w prawo, trzy w dół, jedna w prawo, jedna w dół, jedna w prawo.

$d_{m} (A, B) = |8 - 3| + |2 - 7| = 5 + 5 = 10$

Twoje cele

Poznasz definicję odległości
Zastosujesz wzór na odległość między dwoma punktami w prostokątnym układzie współrzędnych.
Wykorzystasz wzór na długość odcinka do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej.

Określmy, czym jest odległość.

Odległość

Definicja: Odległość

to taka funkcja $d$ , która parom punktów przyporządkowuje pewną liczbę. Funkcja $d$ spełnia następujące warunki:

1. odległość dowolnego punktu $A$ od siebie samego jest równa zeru, czyli $d (A; A) = 0$ ,

R1IBqxCyahfMT

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś pozioma została oznaczona jako X, znajdują się na niej liczby od minus 3 do 5, natomiast oś pionowa została oznaczona jako Y, znajdują się na niej liczby od minus 3 do dwa. W pierwszej ćwiartce zaznaczono punkt A. Zapisano informację: dA;A=0, oznacza to że odległość punktu od niego samego jest równa zero.

2. odległość dowolnego punktu $A$ od dowolnego punktu $B$ jest równa odległości punktu $B$ od punktu $A$ , czyli $d (A; B) = d (B; A)$ ,

RV5aGIIoIelZr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Na osi poziomej X zaznaczono liczby od minus 5 do 5, na osi pionowej Y zaznaczono liczby od minus 2 do dwa. W pierwszej ćwiartce zaznaczono dwa punkty A oraz B. Linią przerywaną zaznaczono odległość pomiędzy nimi. Zapisano również informację: dA;B=dB;A.

3. suma odległości dowolnego punktu $A$ od dowolnego punktu $B$ oraz odległości punktu $B$ od dowolnego punktu $C$ jest większa lub równa odległości punktu $A$ od punktu $C$ , czyli $d (A; B) + d (B; C) \geq d (A; C)$ .

R1PixzlUj0EJZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X ma liczby z zakresu od minus 5 do 5, oś pionowa Y ma liczby z zakresu od minus 2 do dwa. W pierwszej ćwiartce zaznaczono trzy punkty A, B oraz C. Linią przerywaną zaznaczono odległości pomiędzy punktami. Powstał trójkąt A B C o bokach: dA;B, dB;C oraz dA;C.

Przypomnijmy ponadto, że odległość między punktami $A$ i $B$ to długość najkrótszej drogi od $A$ do $B$ . W przypadku płaszczyzny euklidesowej najkrótszą drogą między punktami jest odcinek.

Odległość punktówOdległość punktów $A$ i $B$ w układzie współrzędnychw układzie współrzędnych możemy zatem obliczyć jako długość odcinka AB korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Zauważmy, że jeśli $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ nie leżą na prostej równoległej do żadnej z osi układu, to dla punktu $C = (x_{A}, y_{B})$ trójkąt $A B C$ jest prostokątny.

R1DkXAWmXbB8V

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, oś pozioma została oznaczona jako X, pionowa jako Y. Na osi poziomej X znajdują się liczby od minus 7 do 9, natomiast na pionowej Y od minus 1 do sześć. W pierwszej ćwiartce zaznaczono trzy punkty A, B oraz C o współrzędnych kolejno: 2;4, 6;1, 2;1. Poprowadzono przerywane linie pomiędzy punktami, tworzą one trójkąt prostokątny A B C o bokach: dA;C, dB;C oraz dA;B.

${[d (A; C)]}^{2} + {[d (B; C)]}^{2} = [d (A; B)]^{2}$

$d (A; B) = \sqrt{{[d (A; C)]}^{2} + {[d (B; C)]}^{2}}$

RGlWIsBXxKdIN

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych o osi poziomej X i osi pionowej Y. Na osi X znajdują się liczby z zakresu od minus 7 do 9, a na osi Y od minus 1 do sześć. Zaznaczono trzy punkty: punkt A o współrzędnych 2;4, punkt B o współrzędnych 6;1, punkt C o współrzędnych 2;1. Linią przerywaną połączono te trzy odcinki. Powstał trójkąt prostokątny A B C. Długości boków tego trójkąta są równe odległościom pomiędzy punktami: dA;C, dB;C oraz dA;B. Punkty A B i C rzutowano na obie osie. Na osi Y powstały punkty A prim oraz C prim, a na osi X powstały punkty C bis oraz B prim. Pomiędzy rzutami na tej samej osi poprowadzono linię przerywaną oraz zapisano informację: dA';C'=dA;C oraz dC'';B'=dB;C.

Jeśli zrzutujemy prostopadle punkty $A$ i $C$ na oś $Y$ , zaś punkty $B$ i $C$ na oś $X$ , to otrzymamy odpowiednio punkty $A^{'} = (0, y_{A})$ , $C^{'} = (0, y_{B})$ na osi $Y$ oraz punkty $B^{'} = (x_{B}, 0)$ , $C^{''} = (x_{A}, 0)$ na osi $X$ . Ponadto odległość między punktami $A$ i $C$ jest równa odległości między punktami $A ’$ i $C ’$ , zaś odległość między punktami $B$ i $C$ jest równa odległości między punktami $B ’$ i $C ’$ .

Z określenia odległości punktów na osi wynika, że $d (A; C) = d (A^{'}; C^{'}) = |y_{A} - y_{B}|$ oraz $d (B; C) = d (B^{'}; C^{''}) = |x_{B} - x_{A}|$ .

Podsumowując powyższe rozważania możemy zapisać wzór na odległość punktów $A = (x_{A}; y_{A})$ , $B = (x_{B}; y_{B})$ w układzie współrzędnych $d (A; B) = \sqrt{{|x_{B} - x_{A}|}^{2} + {|y_{B} - y_{A}|}^{2}} = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$ , który jest prawdziwy dla dowolnie wybranych punktów $A$ i $B$ .

Oczywiście jest to ten sam wzór, który uzyskaliśmy wyznaczając długość odcinka o podanych końcach, jedynie jego interpretacja jest nieco inna.

Przykład 1

Dane są punkty $A = (- 1; 7)$ , $B = (- 1; - 2)$ , $C = (4; - 2)$ . Wyznaczymy kolejno odległości między nimi:

$\begin{array}{l} d (A; B) = \sqrt{{(- 1 - (- 1))}^{2} + (7 - (- 2))^{2}} = \sqrt{0^{2} + 9^{2}} = 9 \end{array}$

$d (B; C) = \sqrt{{(- 1 - 4)}^{2} + (- 2 - (- 2))^{2}} = \sqrt{5^{2} + 0^{2}} = 5$

$d (A; C) = \sqrt{{(- 1 - 4)}^{2} + (7 - (- 2))^{2}} = \sqrt{5^{2} + 9^{2}} = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106}$

Zanim podamy kolejny przykład, wprowadzimy nowe pojęcie.

Linia łamanałamanałamana - linia utworzona z ciągu odcinków w taki sposób, że:

żadne dwa sąsiednie odcinki nie leżą na jednej prostej;
punkt będący końcem pierwszego odcinka jest jednocześnie początkiem drugiego, punkt będący końcem drugiego odcinka jest początkiem trzeciego, itd.

Przykład 2

Dane są punkty $A = (- 8; 4)$ , $B = (- 5; 1)$ , $C = (1; 1)$ , $D = (3; - 3)$ . Aby obliczyć długość krzywej $A B C D$ wystarczy dodać odległości między kolejnymi końcami odcinków tworzących tę łamaną:

$d (A; B) + d (B; C) + d (C; D) =$

$= \sqrt{{(- 8 - (- 5))}^{2} + (4 - 1)^{2}} + \sqrt{{(- 5 - 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}} +$

$+ \sqrt{(1 - 3)^{2} + {(1 - (- 3))}^{2}} =$

$= \sqrt{9 + 9} + \sqrt{36 + 0} + \sqrt{4 + 16} = \sqrt{18} + \sqrt{36} + \sqrt{20} =$

$= 3 \sqrt{2} + 6 + 2 \sqrt{5}$

RQv7zZOVCSapH

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X ma na sobie liczby od minus 9 do 7, natomiast oś pionowa Y ma na sobie liczby od minus 3 do pięciu. Zaznaczono punkty: A=-8;4, B=-5;1, C=1;1 oraz D=3;-3. Połączono sąsiadujące punkty ze sobą, tworząc linię łamaną A B C D.

Przykład 3

Wyznaczymy wszystkie wartości parametru $m$ , dla których długość odcinka o końcach $A = (2 m, m)$ i $B = (- 3 m, - 11 m)$ jest równa $13$ .

Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zanotować równanie $\sqrt{{(- 3 m - 2 m)}^{2} + {(- 11 m - m)}^{2}} = 13$ .

Ponieważ obie strony równania są nieujemne, możemy je podnieść do kwadratu otrzymując równanie równoważne ${(- 3 m - 2 m)}^{2} + {(- 11 m - m)}^{2} = 169$ , które przekształca się kolejno:
${(- 5 m)}^{2} + {(- 12 m)}^{2} = 169$ ,
$25 m^{2} + 144 m^{2} = 169$ ,
$169 m^{2} = 169$ ,
$m^{2} = 1$ .

Zatem warunki zadania spełniają dwie liczby: $1$ oraz $- 1$ .

Animacja multimedialna

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją. Następnie na jej podstawie rozwiąż zadania.

RZlDY3mmCd1CX

Polecenie 2

R31mQpIGgXwLF

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Wiadomo, że punkty $A$ i $B$ mają współrzędne całkowite. Jaka jest odległość między punktami przedstawionymi na poniższym rysunku?

RX5B9bv20VfeY

R1DYQ3ZIgGwgx

RiNgnNIdSK9JX

R1dAoh47fNzCn1

Ćwiczenie 2

RUU9siALpHtCa2

Ćwiczenie 3

R1RnN68gniQdm1

Ćwiczenie 4

R1a9lowq4ovL12

Ćwiczenie 5

R14WehRqt4aT62

Ćwiczenie 6

R1VnmZqGjuZ4o2

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wyznacz równanie krzywej, która jest zbiorem wszystkich punktów odległych o $2$ od punktu $S$ o współrzędnych $(3, 4)$ .

Wiemy, że zbiór wszystkich punktów równoodległych od ustalonego punktu to okrąg. Zatem naszym celem jest wyznaczenie równania opisującego okrąg o środku w punkcie $S = (3, 4)$ i promieniu $2$ .

Wybierzmy dowolny punkt $A$ należący do tego okręgu i oznaczmy jego współrzędne przez $(x, y)$ . Z treści zadania wiemy, że jego odległość od punktu $S$ jest równa $2$ , zatem $|A S| = 2$ .

Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy napisać równanie $\sqrt{{(3 - x)}^{2} + {(4 - y)}^{2}} = 2$ .

Ponieważ obie strony powyższego równania są nieujemne, więc można je podnieść do kwadratu otrzymując równanie równoważne ${(3 - x)}^{2} + {(4 - y)}^{2} = 4$ , które zwykle podaje się w postaci ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$

Ćwiczenie 9

Oblicz obwód czworokąta ograniczonego prostymi o równaniach $y = \frac{1}{2} x + 1$ , $y = \frac{1}{2} x - 2$ , $y = - 2 x - 4$ oraz $y = - x + 1$ .

Wyznaczymy współrzędne punktów przecięcia prostych definiujących wierzchołki trapezu. Zauważmy, że proste o równaniach $y = \frac{1}{2} x + 1$ i $y = - x + 1$ przecinają oś $Y$ w punkcie $(0, 1)$ , zatem jest to również ich punkt przecięcia - nazwijmy go $A$ .

Ponadto proste o równaniach $y = \frac{1}{2} x + 1$ i $y = - 2 x - 4$ przecinają oś $X$ w punkcie $(- 2, 0)$ , zatem jest to ich punkt przecięcia - nazwijmy go $B$ .

Wierzchołkiem $C$ niech będzie punkt przecięcia prostych o równaniach $y = - 2 x - 4$ i $y = \frac{1}{2} x - 2$ . Po rozwiązaniu układu równań $\{\begin{cases} y = - 2 x - 4 \\ y = \frac{1}{2} x - 2 \end{cases}$ .

Otrzymujemy punkt o współrzędnych $(- 0, 8; - 2, 4)$ . Przez D oznaczymy punkt wspólny prostych o równaniach $y = - \frac{1}{2} x - 2$ i $y = - x + 1$ , którego współrzędne $(2, - 1)$ otrzymamy rozwiązując układ równań $\{\begin{cases} y = \frac{1}{2} x - 2 \\ y = - x + 1 \end{cases}$ .

Zatem:

$|A B| = \sqrt{{(- 2 - 0)}^{2} + {(0 - 1)}^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ ,

$|B C| = \sqrt{{(- 2 - (- 0, 8))}^{2} + {(0 - (- 2, 4))}^{2}} = \sqrt{{(- 1, 2)}^{2} + {(2, 4)}^{2}} =$

$= \sqrt{7, 2} = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$ ,

$|C D| = \sqrt{{(- 0, 8 - 2)}^{2} + {(- 2, 4 - (- 1))}^{2}} = \sqrt{{(- 2, 8)}^{2} + {(- 1, 4)}^{2}} =$

$= \sqrt{9, 8} = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$ ,

$|A D| = \sqrt{{(2 - 0)}^{2} + {(- 1 - 1)}^{2}} = \sqrt{4 + 4} = 2 \sqrt{2}$ .

Obwód trapezu to $\sqrt{5} + \frac{6 \sqrt{5}}{5} + \frac{7 \sqrt{5}}{5} + 2 \sqrt{2} = \frac{18 \sqrt{5}}{5} + 2 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 10

Oblicz pole trójkąta przedstawionego na rysunku poniżej.

RMzouPUjkyiAd

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono trójkąt ABC. Wierzchołki trójkąta mają współrzędne odpowiednio: A=2,-2, wierzchołek B=-4,4, wierzchołek C=3,3.

Aby obliczyć pole trójkąta potrzebujemy długość podstawy i wysokość. Przyjmijmy jako podstawę odcinek $A B$ , gdzie $A = (2, - 2)$ i $A = (- 4, 4)$ . Jego długość (za jednostkę przyjmujemy odległość między sąsiednimi punktami kratowymi) wynosi

$|A B| = \sqrt{{(- 4 - 2)}^{2} + {(4 - (- 2))}^{2}}$

$|A B| = \sqrt{6^{2} + 6^{2}}$

$|A B| = 6 \sqrt{2}$

Następnie obliczymy długość wysokości $h$ opuszczonej z wierzchołka $C$ stosując twierdzenie Pitagorasa. Jeśli rozważymy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej, którą jest wysokość poprowadzona na podstawę $A B$

R1GUps4d5G6Sj

to jego obie przyprostokątne są odcinkami o długości $3$ . Zatem $h = 3 \sqrt{2}$ .

Ostatecznie pole trójkąta wynosi $P = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} = 18$ .

Pole trójkąta przedstawionego na rysunku wynosi $18$ .

Ćwiczenie 11

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których odcinek o końcach $A = (m, - 2 m - 2)$ i $B = (- 3 m, m + 2)$ ma długość $13$ .

Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać równanie:

$\sqrt{{(- 3 m - m)}^{2} + {(m + 2 - (- 2 m - 2))}^{2}} = 13$ .

Po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymamy równanie równoważne

${(- 3 m - m)}^{2} + {(m + 2 - (- 2 m - 2))}^{2} = 169$ ,

które przekształcamy następująco:

${(- 4 m)}^{2} + {(3 m + 4)}^{2} = 169$ ,

$16 m^{2} + 9 m^{2} + 24 m + 16 = 169$ ,

$25 m^{2} + 24 m - 153 = 0$ ,

$∆ = 24^{2} - 4 \cdot 25 \cdot (- 153) = 15876 = 126^{2}$ ,

$m_{1} = \frac{- 24 - 126}{50} = \frac{- 150}{50} = - 3$ , $m_{2} = \frac{- 24 + 126}{50} = \frac{102}{50} = \frac{51}{25}$

Warunki zadania spełniają dwie liczby: $(- 3)$ oraz $\frac{51}{25}$ .

Słownik

łamana

krzywa zbudowana z odcinków w taki sposób, że żadne dwa kolejne odcinki nie leżą na jednej prostej oraz koniec jednego odcinka jest jednocześnie początkiem następnego

odległość punktów w układzie współrzędnych

odległość punktów $A = (x_{A}; y_{A}), B = (x_{B}; y_{B})$ wyraża się wzorem $d (A; B) = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}}$

2. Środek odcinka

Figury w układzie współrzędnych