2. Środek odcinka

R1YUZwQJ0r9U1

Ola ma $160 cm$ wzrostu, a jej brat Marcin $190 cm$ . Jaki jest średni wzrost rodzeństwa? Oczywiście średni wzrost brata i siostry odpowiada średniej arytmetycznej liczb $160$ i $190$ , czyli

$x = \frac{160 + 190}{2} = 175 (cm)$

Na osi liczbowej liczba $175$ jest jednakowo oddalona od obu liczb $160$ i $190$ .

R1VVLC7e1Wl7N1

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi liczbami 150, 155, 160, …, 195, 200. Wyróżnione liczby 160, 175, 190. Zaznaczona odległość między liczbami 160 i 175 oraz między 175 i 190 równa 15. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z własności średniej arytmetycznej dwóch liczb wynika, że liczba odpowiadająca średniej dwóch liczb leży na osi liczbowej dokładnie pośrodku między tymi dwoma liczbami.

Twoje cele

Wyznaczysz współrzędne środka odcinka o danych końcach.
Wykorzystasz wzory na współrzędne środka odcinka do rozwiązywania zadań z parametrem.
Zastosujesz wzory na współrzędne środka odcinka do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej.

Analogicznie do przykładu zamieszczonego we wstępie współrzędne środka odcinkawspółrzędne środka odcinkawspółrzędne środka odcinka położonego w układzie współrzędnych.

O współrzędnych środka odcinka

Twierdzenie: O współrzędnych środka odcinka

R2uV64fUeKD6T1

Rysunek odcinka AB w układzie współrzędnych, którego końce mają współrzędne A =(x z indeksem dolnym a, y z indeksem dolnym a) i B =(x z indeksem dolnym b, y z indeksem dolnym b). Zaznaczony środek odcinka S i jego współrzędne. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$S = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}, \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$

Współrzędne punktu $S$ , który jest środkiem odcinka o końcach w punktach $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ są średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców odcinka $A B$ .

Dowód twierdzenia

Do uzasadnienia twierdzenia wykorzystamy równanie prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ , które ma postać: $(x - x_{A}) (y_{A} - y_{B}) = (y - y_{A}) (x_{A} - x_{B})$ .

Rozważmy punkty $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ . Pokażemy, że punkt $S = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ leży na prostej wyznaczonej przez punkty $A$ i $B$ oraz, że odległość punktu $B$ od punktu $A$ jest równa odległości punktu $S$ od punktu $B$ .

Równanie prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ to $(x - x_{A}) (y_{A} - y_{B}) = (y - y_{A}) (x_{A} - x_{B})$ .

Aby sprawdzić, czy punkt $S$ leży na prostej $A B$ , podstawimy najpierw za $x$ w równaniu prostej pierwszą współrzędną punktu $S$ .

Lewa strona równania przyjmuje postać:

$(\frac{x_{A} + x_{B}}{2} - x_{A}) (y_{A} - y_{B}) = (\frac{- x_{A} + x_{B}}{2}) (y_{A} - y_{B}) = - \frac{1}{2} (x_{A} - x_{B}) (y_{A} - y_{B})$ .

Teraz za $y$ podstawimy $\frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ .

Prawa strona równania przyjmuje postać:

$(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) = (\frac{y_{A} + y_{B}}{2} - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) = (\frac{- y_{A} + y_{B}}{2}) (x_{A} - x_{B}) =$

$= - \frac{1}{2} (y_{A} - y_{B}) (x_{A} - x_{B})$ .

Ponieważ obie strony równości są równe, punkt $S$ leży na prostej $A B$ .

Obliczmy długości odcinków $|A S|$ i $|B S|$ :

$|A S| = \sqrt{{(x_{S} - x_{A})}^{2} + {(y_{S} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{x_{A} + x_{B}}{2} - x_{A})}^{2} + {(\frac{y_{A} + y_{B}}{2} - y_{A})}^{2}} =$

$= \sqrt{{(\frac{- x_{A} + x_{B}}{2})}^{2} + {(\frac{- y_{A} + y_{B}}{2})}^{2}}$ ,

$|B S| = \sqrt{{(x_{S} - x_{B})}^{2} + {(y_{S} - y_{B})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{x_{A} + x_{B}}{2} - x_{B})}^{2} + {(\frac{y_{A} + y_{B}}{2} - y_{B})}^{2}} =$

$= \sqrt{{(\frac{x_{A} - x_{B}}{2})}^{2} + {(\frac{y_{A} - y_{B}}{2})}^{2}} = \sqrt{{(- \frac{- x_{A} + x_{B}}{2})}^{2} + {(- \frac{- y_{A} + y_{B}}{2})}^{2}} =$

$= \sqrt{{(\frac{- x_{A} + x_{B}}{2})}^{2} + {(\frac{- y_{A} + y_{B}}{2})}^{2}}$ .

Widzimy, że długości odcinków $A S$ i $B S$ są równe i punkt $S$ leży na prostej $A B$ , zatem punkt $S$ jest środkiem odcinka $A B$ .

Przykład 1

Środek $S$ odcinka o końcach $A = (3; - 2)$ i $B = (- 7; 6)$ ma współrzędne $S = (\frac{3 + (- 7)}{2}; \frac{- 2 + 6}{2}) = (\frac{- 4}{2}; \frac{4}{2}) = (- 2; 2)$ .

RCpf2iktTnzWD

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do siedmiu oraz pionową osią Y od minus trzech do siedmiu. Na płaszczyźnie wykreślony jest odcinek AB oraz zaznaczony jest na nim punkt C. Współrzędne punktu A to trzy minus dwa, punktu B to minus siedem sześć, punktu C to minus dwa dwa.

Przykład 2

Dany jest punkt $A = (- 4; 5)$ i środek $S$ odcinka $A B$ o współrzędnych $S = (2; 3)$ . Wyznaczymy współrzędne punktu $B$ .

Oznaczmy współrzędne punktu $B$ przez $(x_{B}; y_{B})$ .

Ponieważ współrzędne środka odcinka są równe średnim arytmetycznym współrzędnych jego końców, otrzymujemy równania

$\frac{- 4 + x_{B}}{2} = 2$ i $\frac{5 + y_{B}}{2} = 3$ .

Stąd odpowiednio $- 4 + x_{B} = 4$ i $5 + y_{B} = 6$ .

Zatem punkt $B$ ma współrzędne $(8; 1)$ .

Przykład 3

Wyznaczymy teraz wartości parametrów $m$ i $n$ , dla których środkiem odcinka o końcach $A = (m + 2; 5)$ i $B = (3; 3 n)$ jest punkt o współrzędnych $(5; 4)$ .

Ponieważ współrzędne środka odcinka są równe średnim arytmetycznym współrzędnych końców, otrzymujemy równania

$\frac{m + 2 + 3}{2} = 5$ i $\frac{5 + 3 n}{2} = 4$ .

Zatem $m = 5$ i $n = 1$ , czyli $A = (7; 5)$ i $B = (3; 3)$ .

Przykład 4

Wyznaczymy równanie symetralnej odcinka o końcach $A = (- 4; 2)$ i $B = (3; - 1)$ .

Skorzystamy z faktu, że symetralna odcinkasymetralna odcinkasymetralna odcinka $A B$ jest do niego prostopadła i przechodzi przez jego środek.

Środek $S$ odcinka $A B$ ma współrzędne $(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ .

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ to $\frac{- 1 - 2}{3 - (- 4)} = \frac{- 3}{7}$ , zatem współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka $A B$ jest równy $\frac{7}{3}$ .

Szukane równanie symetralnej ma postać $y = \frac{7}{3} x + b$ .

Po podstawieniu do niego współrzędnych punktu $S$ otrzymujemy równanie: $\frac{1}{2} = \frac{7}{3} \cdot \frac{- 1}{2} + b$ , zatem $b = \frac{5}{3}$ .

Równanie symetralnej odcinka $A B$ to $y = \frac{7}{3} x + \frac{5}{3}$ .

Przykład 5

Oblicz długość przekątnej prostokąta $A B C D$ o wierzchołkach w punktach:

$A = (- 5, - 1)$ , $B = (5, - 5)$ i $C = (7, 0)$ . Wyznacz współrzędne wierzchołka $D$ .

RizJSm3TaYNZk1

Rysunek boków AB i CD prostokąta A B C D w układzie współrzędnych o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A =(-5, -1), B =(5, -5), C =(7, 0). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna prostokąta $A B C D$ jest równa długości odcinka

$|A C| = \sqrt{{(- 5 - 7)}^{2} + {(- 1 - 0)}^{2}} = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145}$

Przekątne w prostokącie przecinają się w punkcie $S$ , który jest środkiem każdej z nich. Wynika z tego, że środek przekątnej $A C$ jest również środkiem przekątnej $B D$ .

Środek $S$ przekątnej $A C$ ma współrzędne

$S = (\frac{- 5 + 7}{2}, \frac{- 1 + 0}{2}) = (1, - \frac{1}{2})$

R1eI3e66O8EQD1

Rysunek boków AB i CD prostokąta A B C D w układzie współrzędnych o wierzchołkach A =(-5, -1), B =(5, -5), C =(7, 0). Zaznaczony środek S przekątnej AC. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $D = (x_{D}, y_{D})$ .

$S = (1, - \frac{1}{2})$ jest środkiem odcinka $B D$ , a zatem

$(1, - \frac{1}{2}) = (\frac{5 + x_{D}}{2}, \frac{- 5 + y_{D}}{2})$

$1 = \frac{5 + x_{D}}{2}$

$- \frac{1}{2} = \frac{- 5 + y_{D}}{2}$

$x_{D} = - 3$

$y_{D} = 4$

Wynika z tego, że $D = (- 3, 4)$ .

R1LB79rylPSUI1

Rysunek prostokąta A B C D w układzie współrzędnych o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A =(-5, -1), B =(5, -5), C =(7, 0), D =(-3, 4). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 6

Punkty $A = (- 3, 7)$ i $B = (4, 8)$ są wierzchołkami rombu $A B C D$ , a punkt $S = (3, 5)$ jest jego środkiem symetrii. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

Środek symetrii rombu jest jednocześnie środkiem każdej przekątnej tego rombu.
Punkt $S = (3, 5)$ jest środkiem przekątnej $A C$ , zatem

$(3, 5) = (\frac{- 3 + x_{C}}{2}, \frac{7 + y_{C}}{2})$

czyli

$3 = \frac{- 3 + x_{C}}{2}$

$5 = \frac{7 + y_{C}}{2}$

$x_{C} = 9$

$y_{C} = 3$

$C = (9, 3)$

Podobnie obliczymy współrzędne punktu $D$ .

$(3, 5) = (\frac{4 + x_{D}}{2}, \frac{8 + y_{D}}{2})$

$3 = \frac{4 + x_{D}}{2}$

$5 = \frac{8 + y_{D}}{2}$

$x_{D} = 2$

$y_{D} = 2$

$D = (2, 2)$

RGBHeetGQ7doc1

Rysunek rombu A B C D w układzie współrzędnych o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A równa się minus trzy, siedem, B równa się cztery, osiem, C równa się dziewięć, trzy, D równa się dwa, dwa. Zaznaczony jest także punkt przecięcia przekątnych tego rombu, który oznaczono S i ma on współrzędne trzy, pięć. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja multimedialna

Polecenie 1

Przeanalizuj, w jaki sposób można wyznaczyć środek odcinka w układzie współrzędnych.

R12RaTTsJu2cG

Polecenie 2

R1UBJx1v9Qd3k

Łączenie par. Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.. nawias, minus, trzy, średnik, cztery zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: Współrzędne drugiego końca odcinka o środku w punkcie S, równa się, nawias jeden, średnik, trzy zamknięcie nawiasu i jednym z końców w punkcie nawias, minus, trzy, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu to, Równanie symetralnej odcinka o końcach A, równa się, nawias trzy, średnik, pięć zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, minus, trzy, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu to, Środek okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A, równa się, nawias cztery, średnik, cztery zamknięcie nawiasu,B, równa się, nawias pięć, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu,C, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu to punkt o współrzędnych. nawias, minus, jeden, średnik, jeden zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: Współrzędne drugiego końca odcinka o środku w punkcie S, równa się, nawias jeden, średnik, trzy zamknięcie nawiasu i jednym z końców w punkcie nawias, minus, trzy, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu to, Równanie symetralnej odcinka o końcach A, równa się, nawias trzy, średnik, pięć zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, minus, trzy, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu to, Środek okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A, równa się, nawias cztery, średnik, cztery zamknięcie nawiasu,B, równa się, nawias pięć, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu,C, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu to punkt o współrzędnych. nawias trzy, średnik, minus, cztery zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: Współrzędne drugiego końca odcinka o środku w punkcie S, równa się, nawias jeden, średnik, trzy zamknięcie nawiasu i jednym z końców w punkcie nawias, minus, trzy, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu to, Równanie symetralnej odcinka o końcach A, równa się, nawias trzy, średnik, pięć zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, minus, trzy, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu to, Środek okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A, równa się, nawias cztery, średnik, cztery zamknięcie nawiasu,B, równa się, nawias pięć, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu,C, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu to punkt o współrzędnych

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RKlx2ZSN771lK1

Ćwiczenie 1

R11TzDUwNH2My1

Ćwiczenie 2

R144vdkxT0ori2

Ćwiczenie 3

Wyznacz współrzędne środka odcinka o końcach w punktach A i B. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. A, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu
Odpowiedź: Współrzędne to nawias1. minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. cztery, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. trzy, 6. minus, jeden, 7. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 8. minus, dwa, 9. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. jeden, 12. zero, 13. minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka przecinek 1. minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. cztery, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. trzy, 6. minus, jeden, 7. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 8. minus, dwa, 9. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. jeden, 12. zero, 13. minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastkazamknięcie nawiasu.
A, równa się, nawias, jeden, przecinek, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, minus, pięć, przecinek, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu
Odpowiedź: Współrzędne to nawias1. minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. cztery, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. trzy, 6. minus, jeden, 7. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 8. minus, dwa, 9. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. jeden, 12. zero, 13. minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka przecinek 1. minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. cztery, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. trzy, 6. minus, jeden, 7. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 8. minus, dwa, 9. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. jeden, 12. zero, 13. minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastkazamknięcie nawiasu.
A, równa się, nawias, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu
Odpowiedź: Współrzędne to nawias1. minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. cztery, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. trzy, 6. minus, jeden, 7. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 8. minus, dwa, 9. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. jeden, 12. zero, 13. minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka przecinek 1. minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. cztery, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. trzy, 6. minus, jeden, 7. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 8. minus, dwa, 9. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. jeden, 12. zero, 13. minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastkazamknięcie nawiasu.
A, równa się, nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, przecinek, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, przecinek, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu
Odpowiedź: Współrzędne to nawias1. minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. cztery, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. trzy, 6. minus, jeden, 7. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 8. minus, dwa, 9. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. jeden, 12. zero, 13. minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka przecinek 1. minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. cztery, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. trzy, 6. minus, jeden, 7. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 8. minus, dwa, 9. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. jeden, 12. zero, 13. minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastkazamknięcie nawiasu.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RmQOewGD8hbHs2

Ćwiczenie 4

R3mO20HbHJ7Ct2

Ćwiczenie 5

RKqREInlVTZDx2

Ćwiczenie 6

R1PPhxTZbCKVw3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Przekątne równoległoboku $A B C D$ przecinają się w punkcie $S$ . Wyznacz współrzędne brakujących wierzchołków równoległoboku.

$A = (0, - 4)$ , $B = (7, - 5)$ , $S = (3, 0)$
$A = (9, 1)$ , $B = (1, - 7)$ , $S = (2, - 2)$
$A = (7, 0)$ , $B = (0, - 4)$ , $S = (0, - 1)$
$A = (10, - 4)$ , $B = (5, - 7)$ , $S = (7, - \frac{7}{2})$

RcyVC5mYMCFMP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Punkt $S$ jest środkiem każdej przekątnej równoległoboku.

Przekątna $A C$ : $S = (3, 0) = (\frac{0 + x_{C}}{2}, \frac{- 4 + y_{C}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{C} = 6$ i $y_{C} = 4$ .
Przekątna $BD$ : $S = (3, 0) = (\frac{7 + x_{D}}{2}, \frac{- 5 + y_{D}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{D} = - 1$ i $y_{D} = 5$ .
Przekątna $A C$ : $S = (2, - 2) = (\frac{9 + x_{C}}{2}, \frac{1 + y_{C}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{C} = - 5$ i $y_{C} = - 5$ .
Przekątna $B D$ : $S = (2, - 2) = (\frac{1 + x_{D}}{2}, \frac{- 7 + y_{D}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{D} = 3$ i $y_{D} = 3$ .
Przekątna $A C$ : $S = (0, - 1) = (\frac{7 + x_{C}}{2}, \frac{y_{C}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{C} = - 7$ i $y_{C} = - 2$ .
Przekątna $B D$ : $S = (0, - 1) = (\frac{x_{D}}{2}, \frac{- 4 + y_{D}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{D} = 0$ i $y_{D} = 2$ .
Przekątna $A C$ : $S = (7, - \frac{7}{2}) = (\frac{10 + x_{C}}{2}, \frac{- 4 + y_{C}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{C} = 4$ i $y_{C} = - 3$ .
Przekątna $B D$ : $S = (7, - \frac{7}{2}) = (\frac{5 + x_{D}}{2}, \frac{- 7 + y_{D}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{D} = 9$ i $y_{D} = 0$ .

Ćwiczenie 9

Punkty $A$ , $B$ , $C$ są wierzchołkami prostokąta $A B C D$ . Oblicz długość przekątnej prostokąta oraz wyznacz współrzędne wierzchołka $D$ . Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$A = (- 2, 3)$ , $B = (1, 6)$ , $C = (5, 2)$
$A = (2, 0)$ , $B = (- 2, 6)$ , $C = (1, 8)$
$A = (0, 3)$ , $B = (- 6, 0)$ , $C = (0, - 12)$

RxfGrNs6xowTS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna $|A C| = \sqrt{{(- 2 - 5)}^{2} + {(3 - 2)}^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ . Środek przekątnych prostokąta ma współrzędne $S = (\frac{- 2 + 5}{2}, \frac{3 + 2}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ . Zatem $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}) = (\frac{1 + x_{D}}{2}, \frac{6 + y_{D}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{D} = 2$ i $y_{D} = - 1$ .
Przekątna $|A C| = \sqrt{{(2 - 1)}^{2} + {(- 8)}^{2}} = \sqrt{65}$ . Środek przekątnych prostokąta ma współrzędne $S = (\frac{2 + 1}{2}, \frac{8}{2}) = (\frac{3}{2}, 4)$ . Zatem $(\frac{3}{2}, 4) = (\frac{- 2 + x_{D}}{2}, \frac{6 + y_{D}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{D} = 5$ i $y_{D} = 2$ .
Zauważ, że punkty $A$ i $C$ mają pierwszą współrzędną równą $0$ , zatem leżą na osi $O y$ . Długość przekątnej $A C$ jest równa $|y_{A} - y_{C}| = |3 + 12| = 15$ . Środek przekątnych również leży na osi $O y$ i ma współrzędne $S = (0, \frac{3 - 12}{2}) = (0, - \frac{9}{2})$ . Zatem $(0, - \frac{9}{2}) = (\frac{- 6 + x_{D}}{2}, \frac{y_{D}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{D} = 6$ i $y_{D} = - 9$ .

Ćwiczenie 10

Rd8jgbH1woFQb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Punkt $S$ jest środkiem odcinka $A B$ , zatem

$(4 \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) = (\frac{3 m + 3}{2}, \frac{2 m - 5}{2})$

$4 \frac{1}{2} = \frac{3 m + 3}{2}$

$- \frac{1}{2} = \frac{2 m - 5}{2}$

Oba równania są prawdziwe dla $m = 2$ .

Słownik

współrzędne środka odcinka

współrzędne środka odcinka są równe średnim arytmetycznym odpowiednich współrzędnych końców tego odcinka; współrzędne środka odcinka o końcach $A = (x_{A}; y_{A}), B = (x_{B}; y_{B})$ są równe $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$

symetralna odcinka

prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez jego środek

1. Odległość między punktami w układzie współrzędnych.

3. Równanie kierunkowe prostej