3. Równanie kierunkowe prostej

RE307NzqHZATU

Na pytanie, co przedstawia rysunek, można odpowiedzieć, że jest to wykres funkcji liniowej. Można też powiedzieć, że jest to graficzne przedstawienie rozwiązań równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Obie odpowiedzi są poprawne.

Można też powiedzieć, że jest to prosta, która została narysowana w układzie współrzędnych.

R1DANFJ1EGSP8

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z narysowaną w nim prostą.

Zajmiemy się teraz zebraniem i wykorzystaniem w zadaniach informacji o prostej jako obiekcie umieszczonym w układzie współrzędnych.

Twoje cele

Wyznaczysz równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym, do której należy dany punkt.
Wyznaczysz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.
Zastosujesz poznaną zależność do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej.

Już wiesz

Wiesz już, że:

prosta prostopadła do osi $X$ nie jest wykresem żadnej funkcji.
prostą, która jest wykresem funkcji liniowej można opisać wzorem $y = a x + b$ , gdzie $a$ i $b$ są stałymi. Liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a liczbę $b$ wyrazem wolnym.
jeżeli na wykresie funkcji liniowej leżą dwa różne punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , (gdzie $x_{A} \neq x_{B}$ ), to współczynnik kierunkowy prostej, będącej wykresem funkcji, jest równy:

a = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}}

Współczynnik kierunkowy

Poznajmy teraz jeszcze jedną własność współczynnika kierunkowego.

Wiemy, że współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty jest równy ilorazowi różnicy drugich współrzędnych tych punktów przez różnicę pierwszych współrzędnych tych punktów. Jeśli literą $α$ oznaczymy kąt nachylenia danej prostej do osi $X$ , to z rysunku zamieszczonego poniżej wynika, że współczynniki kierunkowy $a = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = t g α$ .

R1JWx2H1gQbU2

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Rysunek składa się głównie z pierwszej ćwiartki układu, na osiach brak współrzędnych liczbowych. Na płaszczyźnie wykreślono ukośną prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych, nachyloną pod ostrym kątem α do osi X. Na prostej zaznaczono punkt A o współrzędnych xA;yA oraz poprowadzono linią przerywaną rzuty współrzędnych tego punktu na obie osie. Wyżej na prostej zaznaczono punkt B o współrzędnych xB;yB. Również zaznaczono linią przerywaną rzuty współrzędnych tego punktu na obu osiach. Z punktu A linią przerywaną poprowadzono poziomy odcinek o długości xB-xA. W ten sposób powstał trójkąt prostokątny o podstawie xB-xA, pionowej przyprostokątnej yB-yA oraz przeciwprostokątnej będącej odcinkiem AB, należącym do prostej.

Ważne!

Dla prostej o równaniu $y = a x + b$ i kącie $α$ nachylenia do osi $X$ zachodzi związek: $a = tg α$ , gdzie $α \in (0 °, 90 °) \cup (90 °, 180 °)$ .

RqPdbT6qL8b9I

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta, która przechodzi przez punkt 0 0 i tworzy z osią X kąt ostry alfa. Na prostej zaznaczony jest punkt x 0, y 0, a także jego rzut na oś X.

Przykład 1

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych nachylonej do osi $X$ pod kątem:

a) $α = 60 °$

RS5rJSZSr7Rww

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta, która przechodzi przez punkt 0 0 i tworzy z osią X kąt alfa równy 60 stopni.

Ponieważ prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, to ma równanie kierunkowe postaci $y = a x$ . Kąt nachylenia tej prostej to $60 °$ , zatem $a = tg 60^{\circ} = \sqrt{3}$ , czyli prosta ma równanie $y = \sqrt{3} x$ .

b) $β = 150 °$

R170vFWOEscLm

Ponieważ prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, to ma równanie kierunkowe postaci $y = a x$ . Kąt nachylenia tej prostej to $150 °$ , zatem $a = tg 150 ° = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ , czyli prosta ma równanie $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ .

Wykorzystajmy poznany fakt dotyczący związku współczynnika kierunkowego do uzasadnienia warunku prostopadłości prostych.

prosta prostopadła do prostej przechodzącej przez punkt

(0, 0)

Twierdzenie: prosta prostopadła do prostej przechodzącej przez punkt

(0, 0)

Prosta prostopadła do prostej o równaniu $y = a x$ ma równanie:
$y = - \frac{1}{a} x$ .

Dowód

Załóżmy, że proste $y = a_{1} x$ oraz $y = a_{2} x$ są prostopadłe. Przy oznaczeniach z rysunku poniżej mamy równości: $a_{1} = tg α$ oraz $a_{2} = tg β$ .

RAwfcYeJizm7p

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono dwie ukośne proste, pierwsza z nich o równaniu y=a1x, kąt ostry pomiędzy tą prostą a osią x podpisano literą alfa, prosta ta przechodzi przez punkty nawias zero średnik zero zamkniecie nawiasu i nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu. Druga ukośna prosta ma równanie y=a2x, kąt ostry pomiędzy osią x a tą prostą podpisano 90°-α, prosta ta przechodzi przez punkty nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu i nawias minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu. Kąt rozwarty pomiędzy osią x a tą prostą podpisano literą beta.

Zatem, korzystając z zależności trygonometrycznych, otrzymujemy: $tg β = tg (180 ° - (90 ° - α)) = tg (180 ° - 90 ° + α) = - tg (90 ° - α) =$ $= - \frac{1}{tg α} = - \frac{1}{a_{1}}$ .

proste prostopadłe

Twierdzenie: proste prostopadłe

Proste $y = a x + b$ oraz $y = c x + d$ , gdzie $a \neq 0$ i $c \neq 0$ , są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:
$a \cdot c = - 1$ .

Dowód

Na podstawie udowodnionego powyżej twierdzenia wiemy, że proste o równaniach $y = a x$ oraz $y = c x$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $c = - \frac{1}{a}$ .

Ponieważ:

dla dowolnej liczby rzeczywistej $b$ prosta o równaniu $y = a x$ jest równoległa do prostej o równaniu $y = a x + b$ ,
dla dowolnej liczby rzeczywistej $d$ prosta o równaniu $y = c x$ jest równoległa do prostej o równaniu $y = c x + d$ ,

więc proste o równaniach $y = a x + b$ oraz $y = c x + d$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $c = - \frac{1}{a}$ .
Wynika stąd, że $a \cdot c = - 1$ .
Koniec dowodu.

Równanie prostej o znanym współczynniku kierunkowym przechodzącym przez dany punkt

Przykład 2

Wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A = (2; 3)$ i $B = (- 1; - 2)$ .

Rozwiązanie:

Zgodnie z wzorem:

a = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}}

współczynnik kierunkowy prostej $A B$ jest równy $\frac{- 2 - 3}{- 1 - 2} = \frac{- 5}{- 3} = \frac{5}{3}$ .

Przykład 3

Dany jest punkt $A = (2; - 3)$ i $B$ . Współczynnik kierunkowy prostej $A B$ jest równy $\frac{3}{2}$ .

Wyznaczymy współrzędne przykładowych punktów $B$ spełniających warunki zadania.

Rozwiązanie:

Niech $B = (x_{B}; y_{B})$ . Wykorzystując wzór na współczynnik kierunkowy prostej możemy zapisać równanie $\frac{y_{B} + 3}{x_{B} - 2} = \frac{3}{2}$ , które po przekształceniu przyjmuje postać $3 x_{B} - 6 = 2 y_{B} + 6$ , co oznacza, że $x_{B} = \frac{2}{3} y_{B} + 4$ .

W poniższej tabelce otrzymaliśmy współrzędne kilku punktów spełniających warunki zadania:

$y_{B}$	$1$	$-1$	$3$	$- 3$
$x_{B} = \frac{2}{3} y_{B} + 4$	$4 \frac{2}{3}$	$3 \frac{1}{3}$	$6$	$2$

Równanie kierunkowe prostej o znanym współczynniku kierunkowym, do której należy dany punkt

A = (x_{A}, y_{A})

Twierdzenie: Równanie kierunkowe prostej o znanym współczynniku kierunkowym, do której należy dany punkt

A = (x_{A}, y_{A})

Prostą o znanym współczynniku kierunkowym $a$ , która przechodzi przez punkt $A = (x_{A}, y_{A})$ , można opisać równaniem:

$y = a (x - x_{A}) + y_{A}$

Przykład 4

Podamy równanie prostej o współczynniku kierunkowym $(- 3)$ przechodzącej przez punkt $(- 3; 2)$ .

Rozwiązanie:

Podstawiając dane do wzoru $y = a (x - x_{A}) + y_{A}$ równanie przyjmuje postać

$y = - 3 (x + 3) + 2$

co jest równoważne kolejno:

$y = - 3 x - 9 + 2$
$y = - 3 x - 7$

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Przykład 5

Wyznaczymy równanie kierunkowe narysowanej prostej.

RBszOwOSOWKsY

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta, funkcja jest rosnąca. Na płaszczyźnie zaznaczone są trzy punkty: H o współrzędnych minus trzy zero, J o współrzędnych minus jeden jeden oraz K o współrzędnych jeden dwa.

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć równanie $y = a x + b$ narysowanej prostej odczytamy najpierw współrzędne przynajmniej dwóch z punktów kratowych $H = (- 3, 0), J = (- 1, 1), K = (1, 2)$ , przez które przechodzi ta prosta.

I sposób:

Do równania prostej podstawiamy najpierw współrzędne punktu $K = (1, 2)$ , otrzymując równanie $2 = a + b$ .
Następnie podstawiamy współrzędne punktu $J = (- 1, 1)$ , otrzymując równanie $1 = - a + b$ .

Aby wyznaczyć współczynniki $a$ i $b$ wystarczy rozwiązać układ równań

$\{\begin{cases} a + b = 2 \\ - a + b = 1 \end{cases}$

Po dodaniu równań stronami otrzymujemy równanie:

$2 b = 3$

$b = \frac{3}{2}$ ,

zatem

$\{\begin{cases} b = \frac{3}{2} \\ a + b = 2 \end{cases}$ .

Po podstawieniu wyznaczonego $b$ do pierwszego z równań, możemy wyznaczyć $a$ .

$\{\begin{cases} b = \frac{3}{2} \\ a + \frac{3}{2} = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = \frac{3}{2} \\ a = \frac{1}{2} \end{cases}$

Zatem prosta ma równanie $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ .

II sposób:

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej ze wzoru:

a = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}}

wykorzystując współrzędne dwóch punktów kratowych, np. $H = (- 3, 0), K = (1, 2)$ , przez które przechodzi ta prosta

a = \frac{2 - 0}{1 - (- 3)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Podstawiając do wzoru $y = a (x - x_{A}) + y_{A}$ współrzędne jednego z punktów leżącego na prostej np. $H = (- 3, 0)$ wyznaczamy równanie prostej:

y = \frac{1}{2} (x - (- 3)) + 0

y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

Istnieje także inny sposób wyznaczania równania prostej przechodzącej przez dwa punkty. Można do tego wykorzystać następujące twierdzenie:

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Twierdzenie: Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Każda prosta, która przechodzi przez dwa różne punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , ma równanie

$(x_{B} - x_{A}) (y - y_{A}) = (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A})$ .

Przykład 6

Korzystając z powyższego wzoru wyznaczymy równania prostych przechodzących przez wskazane punkty.

$A = (3; - 2)$ , $B = (- 5; 2)$

R1ZunOXp2UWhj

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta z zaznaczonymi na niej punktami: A o współrzędnych trzy minus dwa oraz B o współrzędnych minus pięć dwa.

$(- 5 - 3) (y - ((- 2)) = (2 - (- 2)) (x - 3)$

$- 8 (y + 2) = 4 (x - 3)$

$y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$

$A = (- 4; 2)$ , $B = (5; 2)$ :

REOeCOSWdINRj

$(5 - (- 4)) (y - 2) = (2 - 2) (x - (- 4))$

$9 (y - 2) = 0$

$y = 2$

$A = (- 3; 5)$ , $B = (- 3; - 2)$ :

RrzSkHNdU1j2d

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do czterech oraz pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowana jest pionowa prosta z zaznaczonymi na niej punktami: A o współrzędnych minus trzy pięć oraz B o współrzędnych minus trzy minus dwa.

$(- 3 - (- 3)) (y - 5) = (- 2 - 5) (x - (- 3))$

$0 = - 7 (x + 3)$

$x = - 3$

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z animacją i zobacz jak w rozwiązywaniu zadań wykorzystać równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym i przechodzącej przez dany punkt, a następnie wykonaj polecenie zamieszczone pod nią.

RsCaAjtXAZCWg

Polecenie 1

Rozwiąż test.

Re8vGG3NFTJpP

Zapoznaj się z animacją i dowiedz się, jak wyznaczyć równanie prostej, przechodzącej przez dwa punkty, a następnie wykonaj polecenie zamieszczone pod nią.

R1cfAGiPgKgwn

Polecenie 2

RiP9u5ccItbWz1

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi w każdym wariancie. Wariant pierwszy: Równanie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych A, równa się, nawias, minus, trzy, średnik, cztery zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu ma postać: Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, minus, trzy x, minus, dziewięć, 2. y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, trzy, 3. y, równa się, minus, trzy x, minus, pięć. Wariant drugi: Równanie prostej przechodzącej przez punkt A, równa się, nawias dwa, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu i środek odcinka o końcach B, równa się, nawias jeden, średnik, jeden zamknięcie nawiasu i C, równa się, nawias, minus, trzy, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, minus, x, plus, jeden, 2. y, równa się, minus, x, minus, jeden, 3. y, równa się, x, minus, jeden. Wariant trzeci: Równanie prostej, która dzieli odcinek o końcach A, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, cztery zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias cztery, średnik, minus, pięć zamknięcie nawiasu w stosunku jeden, podzielić na, dwa i przechodzi przez punkt C, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, siedem zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, osiem x, plus, jeden, 2. y, równa się, trzy x, minus, osiem, 3. y, równa się, trzy przecinek dwa pięć x, minus, trzy przecinek siedem pięć. Wariant czwarty: Równanie prostej, która przechodzi przez środki boków A B i B C trójkąta o wierzchołkach A, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias cztery, średnik, jeden zamknięcie nawiasu to. Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, minus, dwa przecinek pięć x, plus, jeden przecinek dwa pięć, 2. y, równa się, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. y, równa się, minus, dwa przecinek pięć x, minus, pięć przecinek siedem pięć.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

R123cmpOrQwhE1

Ćwiczenie 1

R123cmpOrQwhE1

Ćwiczenie 2

RQEFwWajWbGJA1

Ćwiczenie 3

R1XRijedXN7xo2

Ćwiczenie 4

R1dY0x6xuI9Md1

Ćwiczenie 5

RauI11RBJnBKN1

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

R1b6SF51j4FSK