4. Równanie ogólne prostej

R1OgeghRlD4BP

Równanie kierunkowe prostej

R1E78rkV7Ppm5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 7 i pionową osią y od minus trzech do trzech. W układzie zaznaczono ukośną prostą o równaniu y=13x−1. Prosta przechodzi przez cztery punkty, które zostały zaznaczone zamalowanymi kropkami, współrzędne tych punktów to kolejno: nawias minus trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik jeden zamknięcie nawiasu.

jest przydatne w rozwiązywaniu zadań z geometrii analitycznej.

Pomimo wielu zalet (m.in. bardzo praktycznej interpretacji współczynników, która pozwala błyskawicznie przechodzić od równania do wykresu i z powrotem) ma jedną zasadniczą wadę: nie można nim opisać prostych, które nie są wykresami funkcji liniowej, czyli prostych równoległych do osi $Y$ . Dlatego właśnie potrzebujemy innego rodzaju równania - takiego, które obejmie wszystkie proste narysowane w prostokątnym układzie współrzędnych.

Twoje cele

Rozpoznasz prostą opisaną równaniem ogólnym.
Przekształcisz równanie kierunkowe prostej na równanie ogólne.
Przekształcisz równanie ogólne prostej na równanie kierunkowe.
Odczytasz z równania ogólnego prostej współrzędne jej wektora normalnego.

Równaniem kierunkowym

y = a x + b, a, b \in ℝ

można opisać każdą prostą, która nie jest równoległa do osi $Y$ . Proste równoległe do osi $Y$ opisuje się równaniami postaci

x = a, a \in ℝ .

W geometrii analitycznej często używa się tzw. równania ogólnego, które obejmuje każdą prostą narysowaną w układzie współrzędnych. Ma ono postać

A x + B y + C = 0

gdzie $A, B, C \in ℝ$ , $(A, B) \neq (0, 0)$ .

Warunek $(A, B) \neq (0, 0)$ oznacza, że współczynniki $A$ i $B$ nie są równocześnie równe zeru. Czasami zapisuje się ten fakt inaczej:

A^{2} + B^{2} > 0

albo

A^{2} + B^{2} \neq 0 .

Zauważmy, że warunek ten jest niezbędny, aby równanie opisywało prostą. Gdyby bowiem $A$ i $B$ były jednocześnie równe zeru, równanie $A x + B y + C = 0$ opisywałoby:

zbiór pusty, gdy $C \neq 0$ albo
całą płaszczyznę, gdy $C = 0$ .

Zwróćmy jeszcze uwagę, że równanie $A x + B y + C = 0$ opisuje:

prostą równoległą do osi $X$ , gdy $A = 0$ i $B \neq 0$ , równanie tej prostej to

y = - \frac{C}{B} .

RncJPR6m0FAzw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest pozioma prosta opisana równaniem y=-CB.

prostą równoległą do osi $Y$ , gdy $A \neq 0$ i $B = 0$ , równanie tej prostej to

x = - \frac{C}{A} .

RxUiQBGvWAMwW

prostą przecinającą obie osie układu współrzędnych w punktach o współrzędnych

(- \frac{C}{A}, 0)

(0, - \frac{C}{B}),

gdy $A \neq 0$ i $B \neq 0$ .

R16lnedH2d7z0

Przykład 1

Aby narysować prostą o danym równaniu ogólnym

$3 x - 2 y + 6 = 0,$

wystarczy wyznaczyć współrzędne punktów przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych. Współrzędne punktu przecięcia prostej z osią $X$ są postaci $(x_{0}, 0)$ , zatem możemy do równania prostej podstawić

$x = x_{0}, y = 0$ .

Wówczas otrzymujemy kolejno:

$3 x_{0} - 2 \cdot 0 + 6 = 0$

$3 x_{0} = - 6$

$x_{0} = - 2$

Zatem punkt przecięcia z osią $X$ ma współrzędne $(- 2, 0)$ .

Współrzędne punktu przecięcia prostej z osią $Y$ są postaci $(0, y_{0})$ , zatem możemy do równania prostej podstawić

$x = 0, y = y_{0}$ .

Wówczas otrzymujemy kolejno:

$3 \cdot 0 - 2 y_{0} + 6 = 0$

$- 2 y_{0} = - 6$

$y_{0} = 3$ .

Zatem punkt przecięcia z osią $X$ ma współrzędne $(0, 3)$ .

Wystarczy zatem poprowadzić prostą przez punkty $(- 2, 0)$ i $(0, 3)$ , aby otrzymać wykres równaniawykres równaniawykres równania

$3 x - 2 y + 6 = 0$

R15UMLwrpBhpk

Przykład 2

Równania kierunkowe prostejrównanie kierunkowe prostejRównania kierunkowe prostej zapiszemy w postaci ogólnej.

Równanie kierunkowe prostej	Równanie ogólne prostej
$y = a x + b$	$a x - y + b = 0$
$y = - 3 x + \sqrt{2}$ dla $a = - 3$ , $b = \sqrt{2}$	$- 3 x - y + \sqrt{2} = 0$ dla $A = - 3$ , $B = - 1$ , $C = \sqrt{2}$
$y = π x$ dla $a = π$ , $b = 0$	$π x - y = 0$ dla $A = π$ , $B = - 1$ , $C = 0$
$y = - 2, 5$ $a = 0$ , $b = - 2, 5$	$y + 2, 5 = 0$ dla $A = 0$ , $B = 1$ , $C = 2, 5$
$y = 0$ dla $a = 0$ , $b = 0$	$y = 0$ dla $A = 0$ , $B = 1$ , $C = 0$

Aby równanie kierunkowe przekształcić do ogólnego, wystarczy przenieść wszystkie składniki na jedną stronę równania i uporządkować je tak, aby najpierw wystąpił składnik ze zmienną $x$ , później składnik ze zmienną $y$ , a na końcu wyraz wolny. Zwróćmy przy okazji uwagę, że jeśli prosta opisana jest równaniem kierunkowym, to jest ono tylko jedno. Natomiast każda prosta ma nieskończenie wiele równoważnych równań ogólnych.

Przykład 3

Przekształcimy równanie ogólne prostejrównanie ogólne prostejrównanie ogólne prostej na jej równanie kierunkowe.

$2 x - 3 y + 7 = 0$

Od obu stron równania odejmujemy $2 x$ i $7$ , otrzymując

$- 3 y = - 2 x - 7$

Obie strony równania dzielimy przez $(- 3)$ , otrzymując

$y = \frac{2}{3} x + \frac{7}{3}$

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym filmem samouczkiem. Wykonaj polecenie znajdujące się poniżej.

RveuVdcEo1KQm

Polecenie 2

RFMWkSMrtFrgj

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RmM225gbx4xWI11

RiVY7o7GhyuLb

R1ARcpnLeA6kr1

Ćwiczenie 2

R1YI6NvfHrkqQ2

Ćwiczenie 3

Połącz w pary punkty z prostymi przez nie przechodzącymi. minus, x, plus, trzy y, równa się, osiem Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 5. A, równa się, nawias, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu x, plus, y, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 5. A, równa się, nawias, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu minus, dwa x, plus, pięć y, równa się, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 5. A, równa się, nawias, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu y, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 5. A, równa się, nawias, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu x, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 5. A, równa się, nawias, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R12YkMMMhZ06r2

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RaxgHWcd25wwe2

Ćwiczenie 5

Do każdego równania kierunkowego dopasuj wszystkie równania ogólne, które opisują tę samą prostą. Przeciągnij i upuść. y, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. minus, cztery x, plus, sześć y, plus, dwanaście, równa się, zero, 2. minus, sześć x, plus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 3. trzy x, minus, dwa y, plus, sześć, równa się, zero, 4. sześć x, minus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 5. trzy x, minus, dwa y, minus, sześć, równa się, zero, 6. minus, dwa x, plus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 7. dwa x, minus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 8. minus, cztery x, plus, sześć y, minus, dwanaście, równa się, zero y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. minus, cztery x, plus, sześć y, plus, dwanaście, równa się, zero, 2. minus, sześć x, plus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 3. trzy x, minus, dwa y, plus, sześć, równa się, zero, 4. sześć x, minus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 5. trzy x, minus, dwa y, minus, sześć, równa się, zero, 6. minus, dwa x, plus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 7. dwa x, minus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 8. minus, cztery x, plus, sześć y, minus, dwanaście, równa się, zero y, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. minus, cztery x, plus, sześć y, plus, dwanaście, równa się, zero, 2. minus, sześć x, plus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 3. trzy x, minus, dwa y, plus, sześć, równa się, zero, 4. sześć x, minus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 5. trzy x, minus, dwa y, minus, sześć, równa się, zero, 6. minus, dwa x, plus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 7. dwa x, minus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 8. minus, cztery x, plus, sześć y, minus, dwanaście, równa się, zero y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. minus, cztery x, plus, sześć y, plus, dwanaście, równa się, zero, 2. minus, sześć x, plus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 3. trzy x, minus, dwa y, plus, sześć, równa się, zero, 4. sześć x, minus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 5. trzy x, minus, dwa y, minus, sześć, równa się, zero, 6. minus, dwa x, plus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 7. dwa x, minus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 8. minus, cztery x, plus, sześć y, minus, dwanaście, równa się, zero

Ćwiczenie 6

Wskaż wszystkie równania, których wykresem jest narysowana prosta.

R1C7Uz1Gi0nYj

RLfmHXC3aaQWL

RDaWNY85XgvRF

Rysunek pierwszy. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta przechodząca przez punkty: $(0; 0)$ oraz $(2; 3)$ .

R5Qs5I1bB43T8

Rysunek drugi. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta przechodząca przez punkty: $(0; 0)$ oraz $(- 3; 2)$ .

R1UzDP2RelA2c

Rysunek trzeci. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta przechodząca przez punkty: $(- 1; 0)$ oraz $(1; 1)$ .

R1NgqDKQ7eIBk

Ćwiczenie 7

Dla podanego równania wskaż jego wykres.

R1eqou5iWYuJq

R2j2986FhNJLN

RDSzq8PLZtMMK

R1L0RYJVkFa9c

RXRSFRe627UqA

Ćwiczenie 8

Naszkicuj w prostokątnym układzie współrzędnych proste będące wykresami równań oraz określ ich wzajemne położenie.

Sprawdź położenie podanych poniżej par prostych i zaznacz w każdym przypadku poprawną odpowiedź.

R15toERBp5PH4

Słownik

równanie ogólne prostej

równanie postaci $A x + B y + C =0$ , gdzie współczynniki $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe zeru; równaniem takiej postaci można opisać dowolną prostą narysowana w układzie współrzędnych

równanie kierunkowe prostej

równanie postaci $y = a x + b$ , gdzie $a, b \in ℝ$ ; równaniem takiej postaci można opisać dowolną prostą narysowaną w układzie współrzędnych, która nie jest równoległa do osi $Y$

wykres równania

zbiór wszystkich punktów, których współrzędne spełniają dane równanie

wektor normalny prostej

każdy wektor prostopadły do danej prostej

iloczyn skalarny wektorów

wektory: $\vec{u} = [u_{1}, u_{2}]$ i $\vec{v} = [v_{1}, v_{2}]$ , liczba oznaczana jako $\vec{u} \circ \vec{v}$ (gdzie znak $\circ$ oznacza mnożenie skalarne w odróżnieniu od zwykłego mnożenia), którą można wyznaczyć na dwa sposoby:

\vec{u} \circ \vec{v} = u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2}

albo inaczej

\vec{u} \circ \vec{v} = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos α,

gdzie $α$ to miara kąta pomiędzy wektorami $\vec{u}$ i $\vec{v}$ . Jeden z tych wzorów przyjmujemy jako definicję, zaś drugiego dowodzimy jako twierdzenie

3. Równanie kierunkowe prostej

5. Wykorzystanie wiadomości o prostych i odcinkach w zadaniach

4. Równanie ogólne prostej

Słownik