• Ustalisz współrzędne punktu wspólnego prostych.

• Rozwiążesz zadania dotyczące figur geometrycznych metodami analitycznymi wykorzystując między innymi wzór na długość odcinka do wyznaczania pola wielokąta, określisz współrzędne środka odcinka, znajdziesz równanie prostej.

Wyznaczymy punkt wspólny prostych o równaniach $y=\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}$ i $y=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$.

R18184ZETRKyV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od -6 do sześć oraz z pionową osią Y od -2 do pięć. W układzie współrzędnych narysowano dwie proste o równaniach: $y=\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}$ oraz $y=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$.

W tym celu rozwiążemy układ równań:

z którego wynika równanie

Można je rozwiązać następująco

Zatem rozwiązaniem układu jest para liczb

Punkt przecięcia danych prostych ma współrzędne $\left(-\frac{17}{6};-\frac{7}{18}\right)$. Zauważmy, że trudno byłoby je odczytać z rysunku.

Wyznaczymy współrzędne punku wspólnego prostych o równaniach $x=3$ oraz $4x-2y=-1$. Aby wyznaczyć współrzędne punktu wspólnego tych prostych, wystarczy rozwiązać układ równań

z którego wynika równanie

Przekształcając je, otrzymamy $y$

Zatem współrzędne punktu wspólnego danych prostych to $\left(3;6,5\right)$.

RVsZLrd4CNGQK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od -10 do dziesięć oraz z pionową osią Y od -3 do osiem. W układzie współrzędnych narysowano dwie proste: $x=3$ oraz $4x-2y=-1$. Zaznaczono punkt przecięcia tych prostych. Ma on współrzędne: $\left(3;6,5\right)$.

Punkt $A=\left(-6,1\right)$ jest wierzchołkiem trójkąta $ABC$, a punkt $D$ jest środkiem odcinka $AB$. Równania prostych $AB$, $CD$ oraz symetralnej boku $BC$ to odpowiednio

Wyznaczymy równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta $ABC$ opuszczoną z wierzchołka $C$. Zaczniemy od wyznaczenia współrzędnych punktu $D$, rozwiązując układ równań

z którego wynika równanie

Wykonując kolejne przekształcenia otrzymujemy:

więc

Pozostaje wyznaczyć niewiadomą $y$:

Zatem punkt $D$ ma współrzędne $\left(-4,2\right)$. Współrzędne punktu $B\left(x_B,y_B\right)$ możemy wyznaczyć, korzystając ze wzorów na współrzędne środka odcinka o danych końcach:

Zatem współrzędne punktu $B$ to $\left(-2,3\right)$. Ponieważ prosta $BC$ jest prostopadła do prostej o równaniu $y=x+11$, więc jej współczynnik kierunkowy jest równy $\left(-1\right)$. Wykorzystując współrzędne punktu $B$ możemy wyznaczyć równanie prostej $BC$:

Współrzędne punktu $C$, możemy wyznaczyć rozwiązując układ równań

Zatem punkt $C$ ma współrzędne $\left(-8,9\right)$. Współczynnik kierunkowy prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka $C$ to $\left(-2\right)$, więc jej równanie to

Dany jest trójkąt $ABC$ o wierzchołkach: $A=\left(-1,-2\right)$, $B=\left(2,1\right)$ oraz $C=\left(1,4\right)$. Punkt $S$ to punkt przecięcia jego środkowych. Jaka jest długość odcinka $AS$?

R1bhz1BmKswj4

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus dwa do czterech. Na płaszczyźnie narysowano trójkąt o wierzchołkach $A\left(-1;-2\right)$, $B\left(2;1\right)$, oraz $C\left(1;4\right)$. Zaznaczono środkową każdego boku, które przecinają się w punkcie S.

Środkiem odcinka $BC$ jest punkt: $D=\left(\frac{2+1}{2},\frac{4+1}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)$.

Stąd: $\left|AD\right|=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}+1\right)}^2+{\left(\frac{5}{2}+2\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{81}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{106}$.

Ponieważ środkowe w trójkącie przecinają się w stosunku $2:1$, więc: $\left|AS\right|=\frac{2}{3}·\frac{1}{2}\sqrt{106}=\frac{1}{3}\sqrt{106}$.

Odpowiedź: Długość odcinka $AS$ jest równa $\frac{1}{3}\sqrt{106}$.

Wykażemy, że punkty: $A=\left(3,4\right)$, $B=\left(2,\sqrt{21}\right)$ oraz $C=\left(-1,2\sqrt{6}\right)$ leżą na tym samym okręgu o środku w punkcie $O=\left(0,0\right)$.

R1KZZToEZRlU4

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie $O\left(0;0\right)$ i promieniu równym pięć. Na okręgu zaznaczono punkty A i B, leżące w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, oraz punkt C leżący w drugiej ćwiartce układu współrzędnych.

Zauważamy, że:
$\left|OA\right|=\sqrt{{\left(3-0\right)}^2+{\left(4-0\right)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$,
$\left|OB\right|=\sqrt{{\left(2-0\right)}^2+{\left(\sqrt{21}-0\right)}^2}=\sqrt{4+21}=\sqrt{25}=5$,
$\left|OC\right|=\sqrt{{\left(-1-0\right)}^2+{\left(2\sqrt{6}-0\right)}^2}=\sqrt{1+24}=\sqrt{25}=5$.

Odpowiedź: Wszystkie trzy punkty leżą w tej samej odległości od początku układu współrzędnych, zatem należą do tego samego okręgu o środku w punkcie $\left(0,0\right)$ i promieniu $5$.

Dane są punkty $A=\left(-\mathrm{1,} 1\right)$ i $B=\left(5,-1\right)$. Wyznacz równanie symetralnej odcinka $AB$.

Pokażemy dwa sposoby rozwiązania tego zadania.

• sposób $\text{I}$

Symetralna odcinka jest prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez jego środek.

Współrzędne $S$ środka odcinka o końcach w punktach $A=\left(-\mathrm{1,} 1\right)$ i $B=\left(5,-1\right)$ są równe

$x_S=\frac{-1+5}{2}=2$ i  $y_S=\frac{1-1}{2}=0$, czyli $S=\left(\mathrm{2,} 0\right)$.

Współczynnik kierunkowy prostej $AB$ jest równy

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej jest więc równy $a_1=3$. Zatem symetralną można opisać równaniem

Punkt $S=\left(\mathrm{2,} 0\right)$ leży na symetralnej. Po podstawieniu współrzędnych punktu $S$ do równania otrzymujemy $0=3·2+b$, czyli $b=-6$.

Równanie symetralnej ma postać $y=3x-6$.

• sposób $\text{II}$

Z własności symetralnej odcinka wynika, że każdy punkt $P$ leżący na symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka.

Rz3IgSGgs1wWV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus jeden do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowano odcinek o końcach w punktach A=(-1,1) i B=(5,-1) oraz prostą prostopadłą do tego odcinka. Na prostej zaznaczono punkt $P=\left(x,y\right)$.

Wynika z tego, że $\left|AP\right|=\left|BP\right|$.

Wykorzystując wzór na długość odcinka, otrzymujemy

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia

Stąd otrzymujemy równanie ogólne

Zapisując to równanie w postaci kierunkowej, mamy

Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach w punktach: $A=\left(-\mathrm{3,} 6\right)$, $B=\left(0, 2\right)$, $C=\left(4,4\right)$ jest prostokątny.

• sposób $\text{I}$

Trójkąt jest prostokątny, jeśli dwa jego boki są prostopadłe. Sprawdzimy, czy wśród trzech prostych zawierających boki trójkąta jest para prostych prostopadłych.

Obliczymy współczynniki kierunkowe każdej z trzech prostych.

1. Współczynnik kierunkowy prostej $AB$: $a_{AB}=\frac{6-2}{-3}=-\frac{4}{3}$.

2. Współczynnik kierunkowy prostej $BC$: $a_{BC}=\frac{4-2}{4}=\frac{1}{2}$.

3. Współczynnik kierunkowy prostej $AC$: $a_{AC}=\frac{6-4}{-3-4}=-\frac{2}{7}$.

Jeśli proste są prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $\left(-1\right)$.

Sprawdźmy:

$a_{AB}·a_{BC}=-\frac{4}{3}·\frac{1}{2}\ne -1$, zatem boki $AB$ i $BC$ nie leżą na prostych prostopadłych. Podobnie $a_{BC}·a_{AC}=-\frac{2}{7}·\frac{1}{2}\ne -1$, zatem boki $BC$ i $AC$ nie leżą na prostych prostopadłych.

Zauważmy, że boki $AB$ i $AC$ również nie są prostopadłe (ich współczynniki kierunkowe są ujemne, więc ich iloczyn nie może być równy $-1$).

Wynika z tego, że żadne dwa boki trójkąta nie są prostopadłe, więc ten trójkąt nie jest prostokątny.

Uwaga.

Jeśli wcześniej zaznaczymy punkty w układzie współrzędnych, to zauważymy, że tylko boki $AB$ i $AC$ mogą być prostopadłe. Wystarczy w tym przypadku pokazać, że $a_{AB}·a_{AC}\ne -1$.

R1RB2lqrzZt0J1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu i pionową osią Y od minus jednego do siedmiu. W układzie zaznaczono trójkąt A B C o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A =(-3, 6), B =(0, 2), C =(4, 4). Kąt A B C oznaczono niebieskim łukiem.

• sposób $\text{II}$

Krok $1$

Obliczamy długości boków trójkąta.

Krok $2$

Sprawdzamy, czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku. Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek wynikający z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

Wynika z tego, że trójkąt nie jest prostokątny.

Punkty: $A=\left(-\mathrm{3,} 7\right)$, $B=\left(0,-2\right)$, $C=\left(6, 0\right)$, $D=\left(3, 9\right)$ są wierzchołkami czworokąta. Uzasadnij, że czworokąt $ABCD$ jest prostokątem.

• sposób $\text{I}$

Obliczymy współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki czworokąta.

Krok $1$

Sprawdzimy, czy czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem (ma dwie pary boków równoległych).

Ponieważ $a_{AB}=a_{CD}=-3$ i $a_{BC}=a_{DA}=\frac{1}{3}$, więc czworokąt $ABCD$ ma dwie pary boków równoległych.

Krok $2$

Sprawdzamy, czy kąty wewnętrzne równoległoboku są proste.

Ponieważ $a_{AB}·a_{BC}=-3·\frac{1}{3}=-1$, to proste zawierające boki $AB$ i $BC$ są prostopadłe. Wynika z tego , że jeden z kątów wewnętrznych równoległoboku jest prosty. Z własności kątów w równoległoboku (suma kątów, których wspólnym ramieniem jest bok równoległoboku jest równa $180°$) wynika, że pozostałe kąty są również proste.

RvuWQqE5M5GOn1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jedenastu do trzynastu i pionową osią Y od minus dwóch do dziesięciu. W układzie zaznaczono czworokąt A B C D o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A = (- 3, 7), B = (0, - 2), C = (6, 0), D = (3, 9). Kąt A B C oznaczono jako kąt prosty.

Uzasadniliśmy, że czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem, którego kąty wewnętrzne są proste, a więc ten czworokąt jest prostokątem.

• sposób $\text{II}$

Krok $1$

Sprawdzamy, czy przekątne czworokąta są równe.

Długość przekątnej $AC$: $\left|AC\right|=\sqrt{{\left(-3-6\right)}^2+{\left(7\right)}^2}=\sqrt{130}$.

Długość przekątnej $BD$: $\left|BD\right|=\sqrt{{\left(3\right)}^2+{\left(9+2\right)}^2}=\sqrt{130}$.

Wynika z tego, że przekątne czworokąta $ABCD$ są równe.

• Krok $2$

Sprawdzamy, czy środek przekątnej $AC$ jest jednocześnie środkiem przekątnej $BD$.

Środek przekątnej $AC$:$S_1=\left(\frac{-3+6}{2}, \frac{7}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}, \frac{7}{2}\right)$.

Środek przekątnej $BD$: $S_2=\left(\frac{3}{2}, \frac{-2+9}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}, \frac{7}{2}\right)$.

Wynika z tego, że $S_1=S_2$. Jest to zatem punkt wspólny obu przekątnych i jednocześnie jest środkiem każdej z nich.

R14fY2S5X7Lm11

Rysunek prostokąta A B C D w układzie współrzędnych o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A = (- 3, 7), B = (0, - 2), C = (6, 0), D = (3, 9). Poprowadzono przekątne prostokąta. W punkcie przecięcia obu przekątnych, który jest środkiem każdej z nich zapisano S z indeksem dolnym jeden równa się S z indeksem dolnym dwa.

Zatem czworokąt $ABCD$ ma równe przekątne, które przecinają się w punkcie dzielącym każdą z nich na połowę. Z tego wynika, że czworokąt $ABCD$ jest prostokątem.

Punkt $A$ leży na prostej $k$ o równaniu $y=2x-1$, a punkt $B$ na prostej $m$ o równaniu $y=-x+3$. Wyznacz współrzędne punktów $A$ i $B$ tak, aby punkt $P=\left(\mathrm{0,} 0\right)$ był środkiem odcinka $AB$.

R1BmMH0GSt3i41

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu i pionową osią Y od minus jednego do pięciu. W układzie zaznaczono prostą m daną wzorem y = - x + 3 oraz prostą k daną wzorem y = 2x - 1. W układzie zaznaczono również punkt P o współrzędnych (0, 0).

Współrzędne punktu $A$ możemy zapisać, wykorzystując fakt, że $A$ leży na prostej $y=2x-1$:

$A=\left(x_A, 2x_A-1\right)$. Podobnie zapisujemy współrzędne punktu $B$ leżącego na prostej $y=-x+3$:

$B=\left(x_B, -x_B+3\right)$.

Punkt $P=\left(\mathrm{0,} 0\right)$ jest środkiem odcinka $AB$, zatem wykorzystując wzory na współrzędne środka odcinka, otrzymujemy:

$\frac{x_A+x_B}{2}=0$ i  $\frac{\left(2x_A-1\right)+(-x_B+3)}{2}=0$.

Po uporządkowaniu otrzymujemy układ równań

Rozwiązaniem układu jest $x_A=-\frac{2}{3}$ i $x_B=\frac{2}{3}$.

Z tego wynika, że

Obliczymy wysokość poprowadzoną z punktu $B$ w trójkącie $ABC$, w którym: $A=\left(-1,-1\right)$, $B=\left(3,4\right)$ oraz $C=\left(-1,2\right)$. Następnie obliczymy pole trójkąta $ABC$.

RrReQ58jx3dzh

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano trójkąt o wierzchołkach $A\left(-1;1\right)$, $B\left(3;4\right)$, oraz $C\left(-1;2\right)$.

Punkty $A$ i $C$ mają równe pierwsze współrzędne, więc leżą na tej samej prostej pionowej o równaniu $x=-1$. Prosta pozioma (czyli prostopadła do odcinka $AC$) przechodząca przez wierzchołek $B$ ma równanie $y=4$. Proste $x=-1$ oraz $y=4$ przecinają się w punkcie $D=\left(-1,4\right)$.

RTCaLhnxaIM79

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano trójkąt o wierzchołkach $A\left(-1;1\right)$, $B\left(3;4\right)$, oraz $C\left(-1;2\right)$. Linią przerywaną zaznaczono prostą $y=4$, na której leży punkt B, oraz prostą $x=-1$, na której leży punkt A. Proste przecinają się pod kątem prostym.

Odcinek $BD$ to wysokość w trójkącie $ABC$ opuszczona z wierzchołka $B$ na bok $AC$. Ze wzoru na odległość punktów mamy:

$\left|AC\right|=\left|-1-2\right|=3$ oraz $\left|BD\right|=\left|3-\left(-1\right)\right|=4$.

Stąd pole trójkąta $ABC$ jest równe:

$P_{ABC}=\frac{1}{2}·3·4=6$.

Odpowiedź: Wysokość trójkąta poprowadzona z punktu $B$ jest równa 4,  a pole trójkąta  $ABC$ jest równe $6$.

Obliczymy pole trójkąta $ABC$ o wierzchołkach: $A=\left(-2,-1\right)$, $B=\left(5,1\right)$, $C=\left(3,4\right)$.

Dorysujemy punkty $K$, $L$ oraz $M$, tak by powstał prostokąt $AKLM$ tak,  jak na rysunku poniżej.

Oczywiście: $K=\left(5,-1\right)$, $L=\left(5,4\right)$ i $M=\left(-2,4\right)$.

Pole trójkąta $ABC$ otrzymamy, odejmując pola trzech trójkątów: $AKB$, $BLC$ i $CMA$ od pola prostokąta $AKLM$:
$P_{ABC}=7·5-\frac{1}{2}·\left(2·7+3·2+5·5\right)=35-\frac{45}{2}=\frac{25}{2}$.

RCyRmEimsPXb8

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus dwóch do sześciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano trójkąt o wierzchołkach A w punkcie $\left(-2;-1\right)$, $B\left(5;1\right)$, oraz $C\left(3;4\right)$. Na płaszczyźnie dorysowano punkty $K\left(5;-1\right)$, $L\left(5;4\right)$, oraz $M\left(-2;4\right)$, które po połączeniu utworzyły prostokąt $AKLM$. Wierzchołki trójkąta $ABC$, leżą na bokach trójkąta. Zacieniowano trójkąty $AMC$, $LBC$, oraz $ABK$.

Odpowiedź: Pole trójkąta $ABC$ jest równe $\frac{25}{2}$.

Oblicz pole trapezu prostokątnego, którego wierzchołkami są punkty:

$A=\left(-2,-1\right)$, $B=\left(6, 3\right)$, $C=\left(-1, 7\right)$, $D=\left(-5, 5\right)$.

Aby obliczyć pole trapezu, potrzebne są długości obu podstaw trapezu i jego wysokość.

REkwp5XCBVkJH1

Rysunek trapezu prostokątnego A B C D w układzie współrzędnych, gdzie A = (- 2, - 1), B = (6, 3), C = (- 1, 7), D = (- 5, 5). Boki AB równa się b, CD równa się a, AD równa się h. Kąt A D C oznaczono jako kąt prosty.

Długości podstaw trapezu:

Wysokość trapezu:

Pole trapezu:

Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach w punktach: $A=\left(-2, 6\right)$, $B=\left(6,-3\right)$, $C=\left(5, 3\right)$.

Pole trójkąta rozwartokątnego $ABC$ można obliczyć jako sumę pól dwóch trójkątów $ACF$ i $CFB$.

R1PrrfpEGcsNw1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziesięciu do czternastu i pionową osią Y od minus czterech do siedmiu. W układzie zaznaczono kolorem niebieskim trójkąt P jeden o wierzchołkach w punktach A = (- 2, 6), B = (6, - 3) i C = (5, 3). Przerywaną niebieską linią poprowadzono odcinek o końcach w punktach C = (5, 3) i F = (5, - 1). Odcinek ten jest równoległy do osi Y. W układzie zaznaczono kwadrat o wierzchołkach A = (- 2, 6), G = (5, 6), F = (5, - 1) i E = (- 2,1). Kwadrat ten zawiera lewą część trójkąta A B C, która powstała po przedzieleniu trójkąta przerywanym odcinkiem. Obszar wewnątrz kwadratu zaznaczono na zielono, z wyłączeniem lewej części trójkąta. W układzie zaznaczono również prostokąt o wierzchołkach C = (5, 3), L = (7, 3), B = (6, -3) i K = (5, - 3). Prostokąt ten zawiera prawą część trójkąta A B C, która powstała po przedzieleniu trójkąta przerywanym odcinkiem. Obszar wewnątrz prostokąta zaznaczono na pomarańczowo, z wyłączeniem prawej części trójkąta.

Pole trójkąta $ABC$:

w geometrii euklidesowej są to proste, które nie mają punktów wspólnych; wg Euklidesa są to proste, które przecięte trzecią prostą tworzą z nią kąty wewnętrzne po jednej jej stronie o miarach, których suma jest równa $180°$

punkt wspólny dwóch różnych prostych

to dwie osie liczbowe (oznaczone zwykle $X$ i $Y$), przecinające się pod kątem prostym w punkcie, który na obu osiach reprezentuje zero

Odległość dwóch punktów $A=\left(x_1,y_1\right)$ oraz $B=\left(x_2,y_2\right)$ jest dana wzorem: $\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$