1. Równania wymierne w postaci proporcji - Równania wymierne

RCJIdGQ3wmWOI

1. Równanie wymierne w postaci proporcji

Słownik języka polskiego $P W N$ mówi, że reguła trzech to reguła pozwalająca obliczyć jedną z niewiadomych proporcji $a : b = c : d$ , gdy pozostałe są dane.

Jeżeli dane są trzy wyrazy proporcji czwarty wyraz można obliczyć ze wzoru:

a = \frac{b \cdot c}{d}

b = \frac{a \cdot d}{c}

c = \frac{a \cdot d}{b}

d = \frac{b \cdot c}{a}

Reguła trzech używana była w Europie już od $XV$ w. Stosowano ją podczas transakcji kupieckich.

Twoje cele

Rozwiążesz równanie wymierne zapisane w postaci proporcji.
Wyznaczysz dziedzinę równania wymiernego zapisanego w postaci proporcji.

Równanie wymierne

Definicja: Równanie wymierne

Jeżeli $W (x)$ i $P (x)$ to wielomiany, $P (x)$ nie jest wielomianem zerowym $(P (x) ≢ 0)$ to równanie

\frac{W (x)}{P (x)} = 0

nazywamy równaniem wymiernym z jedną niewiadomą $x$ .

Rozwiązać równanie to znaleźć takie pierwiastki wielomianu $W (x)$ , które nie są miejscami zerowymi wielomianu $P (x)$ .

Przed przystąpieniem do rozwiązania równania wymiernego należy określić jego dziedzinę.

Dziedziną równia wymiernego jest zbiór liczb rzeczywistych pomniejszony o zbiór pierwiastków wielomianu $P (x)$ .

Pokażemy przykłady rozwiązań równań wymiernychrównanie wymiernerównań wymiernych zapisanych w postaci proporcji, wykorzystujących m.in. regułę trzechreguła trzechregułę trzech i inne własności proporcji.

ProporcjaproporcjaProporcja jest to równość dwóch stosunków

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

$b \neq 0, d \neq 0$

gdzie:
$a$ , $d$ – wyrazy skrajne,
$b$ , $c$ – wyrazy środkowe.

Własność proporcji

Własność: Własność proporcji

Iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.

a \cdot d = b \cdot c

Przykład 1

Rozwiążemy równanie $\frac{x}{2} = 0$ .

Jest to równanie wymierne $\frac{W (x)}{P (x)} = 0$ , gdzie $P (x) = 2$ .

Dziedzina równania: $ℝ$ .

$\frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Rozwiązanie równania to $x = 0$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie $\frac{x + 1}{x - 3} = \frac{1}{2}$ .

Określimy dziedzinę równania.

$x - 3 \neq 0$

$x \neq 3$

$D = ℝ ∖ \{3\}$

Równanie jest zapisane w postaci proporcji. Korzystając z własności proporcji otrzymujemy:

$2 \cdot (x + 1) = x - 3$

$2 x + 2 = x - 3$

$x = - 5 \in D$

Rozwiązaniem równania jest liczba $(- 5)$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $\frac{1}{x} = \frac{x}{2}$ .

Dziedzina równania: $ℝ ∖ \{0\}$ .

Z własności proporcji otrzymujemy:

$x^{2} = 2$

$x^{2} - 2 = 0$

$(x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2}) = 0$

$x = \sqrt{2}$ lub $x = - \sqrt{2}$

Rozwiązanie równania to $x = - \sqrt{2}$ , $x = \sqrt{2}$ .

Przykład 4

Rozwiążemy równanie $\frac{x + 1}{x^{2} - 1} = \frac{x}{1}$ .

$x^{2} - 1 \neq 0$

$x \neq - 1$ i $x \neq 1$

$D = ℝ ∖ \{- 1, 1\}$

Korzystając z własności proporcji wiemy, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.

$x + 1 = x (x^{2} - 1)$

$(x + 1) - x (x - 1) (x + 1) = 0$

$(x + 1) [1 - x (x - 1)] = 0$

$(x + 1) (1 - x^{2} + x) = 0$

$x + 1 = 0$ lub $- x^{2} + x + 1 = 0$

$x = - 1 \notin D$ , $∆ = 1 + 4 = 5 \Rightarrow \sqrt{∆} = \sqrt{5}$

$x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \in D$

$x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \in D$

Rozwiązaniem równania są liczby $\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ , $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Przykład 5

Rozwiążemy równanie $\frac{- 4}{5 x} = 1$ .

Dziedzina równania: $ℝ ∖ \{0\}$ .

Zauważmy, że $\frac{- 4}{5 x} = 1 = \frac{1}{1}$

Skorzystamy z własności proporcji:

$5 x = - 4$

$x = - \frac{4}{5}$

Rozwiązanie równania: $x = - \frac{4}{5}$ .

Przykład 6

Rozwiążemy równanie $\frac{x^{2} - 121}{x - 11} = x + 11$ .

$D = ℝ ∖ {11}$

Korzystając z własności proporcji mamy:

$x^{2} - 121 = (x - 11) (x + 11)$

$x^{2} - 121 = x^{2} - 121$

$0 = 0$

Otrzymaliśmy równanie tożsamościowe.

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z animacją i przeanalizuj sposoby rozwiązywania równania wymiernego zapisanego w postaci proporcji.

R1M4CTaJQFgl8

Polecenie 1

R1SlD69K2Djku

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1WXTGS3FPZ8k1

Ćwiczenie 1

RYn5HTA1R9lMF1

Ćwiczenie 2

RkWFq0WjrozzG1

Ćwiczenie 3

R4NR322mYPtHz2

Ćwiczenie 4

R1XwQO3GmTP3r1

Ćwiczenie 5

R16odvWlNRHQt2

Ćwiczenie 6

Połącz równanie wymierne z liczbą, która spełnia to równanie. początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, przecinek, x, nie równa się, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, trzynaście, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. x, równa się, minus, cztery początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. x, równa się, cztery początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. x, równa się, minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, pięć, koniec ułamka początek ułamka, x, minus, trzy, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, przecinek, x, nie równa się, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, trzynaście, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. x, równa się, minus, cztery początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. x, równa się, cztery początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. x, równa się, minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, pięć, koniec ułamka początek ułamka, x, plus, trzy, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, przecinek, x, nie równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, trzynaście, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. x, równa się, minus, cztery początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. x, równa się, cztery początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. x, równa się, minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, pięć, koniec ułamka początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, przecinek, x, nie równa się, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, trzynaście, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. x, równa się, minus, cztery początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. x, równa się, cztery początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. x, równa się, minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, pięć, koniec ułamka

RHg4aeS4oLmtO2

Ćwiczenie 7

RToP3Ds7jstij1

Ćwiczenie 8

R9cayvC0ytBUA1

Ćwiczenie 9

Słownik

równanie wymierne

równanie $\frac{W (x)}{P (x)} = 0$ z jedną niewiadomą $x$ , gdzie $W (x)$ i $P (x)$ są wielomianami, $P (x)$ nie jest wielomianem zerowym $(P (x) ≢ 0)$

reguła trzech

jeżeli dane są trzy wyrazy proporcji czwarty wyraz można obliczyć ze wzoru:

a = \frac{b \cdot c}{d}

b = \frac{a \cdot d}{c}

c = \frac{a \cdot d}{b}

d = \frac{b \cdot c}{a}

proporcja

równość dwóch stosunków

2. Zadania prowadzące do równań wymiernych

Równania wymierne

1. Równanie wymierne w postaci proporcji

Animacje multimedialne

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik