2. Zadania prowadzące do równań wymiernych - Równania wymierne

ROZV1yH7wmwnG

2. Zadania tekstowe prowadzące do równań wymiernych

Analizując zależności występujące między różnymi wielkościami, spotykamy się również z takimi, w których występują wyrażenia wymierne, np. wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta.

Jeżeli wprowadzimy następujące oznaczenia:

$v$ – prędkość wyrażona np. w $\frac{k m}{h}, \frac{m}{s}, \frac{k m}{s}, \frac{m}{h}$ ,

$s$ – droga, wyrażona np. w $m m, c m, m, k m$ ,

$t$ – czas, wyrażony np. w $s, m i n, h$ ,

to korzystając z poniższych trójkątów otrzymujemy zależności między tymi wielkościami.

RmWZj411keNY3

Na ilustracji narysowano trójkąty pomocniczne. Są to trójkąty równoboczne, które podzielono na trzy części. Poziomą, zieloną linią połączono środki ramion, wychodzących z jednego wierzchołka. Ze środka zielonej linii poprowadzono niebieską pionową linię do podstawy trójkąta. Nad zieloną linią znajduje się wielkość s. Po lewej stronie linii niebieskiej, znajduje się wielkość v. Po prawej stronie linii niebieskiej, znajduje się wielkość t. Pozioma zielona linia wewnątrz trójkąta odpowiada dzieleniu, a pionowa niebieska linia mnożeniu. Na trójkącie pierwszym, podkreślono wielkość v. Poniżej zapisano wzór v=st. Na trójkącie drugim podkreślono wielkość s. Poniżej zapisano wzór s=v×t. Na trójkącie trzecim, podkreślono wielkość t. Poniżej zapisano wzór t=sv.

Wymienione zależności pomiędzy drogą, prędkością i czasem wykorzystamy w rozwiązywaniu zadań tekstowych, które sprowadzają się do rozwiązywania równania wymiernegorównanie wymiernerównania wymiernego.

Twoje cele

Opiszesz równaniami wymiernymi zagadnienia związane z wykonywaniem pracy.
Zinterpretujesz wynik otrzymanego równania.
Zapiszesz i rozwiążesz równania wymierne do zadań tekstowych dotyczących drogi, prędkości i czasu.
Przedstawisz rozwiązanie zadania geometrycznego za pomocą równania wymiernego.

Przykład 1

Samochód jadący z pewną prędkością pokonał odległość $300 km$ . Samochód jadący z prędkością o $15 \frac{km}{h}$ mniejszą pokonał w tym samym czasie $240 km$ . Obliczymy średnie prędkości, z jakimi poruszały się samochody.

Rozwiązanie

Niech $v$ $[\frac{k m}{h}]$ będzie prędkością pierwszego samochodu.

Ponieważ czas przejazdu w obu przypadkach jest taki sam, zatem w celu wyznaczenia wartości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{300}{v} = \frac{240}{v - 15}$ , gdzie $v \in (15, \infty)$

$300 \cdot (v - 15) = 240 v$

$300 v - 4500 = 240 v$

$60 v = 4500$

$v = 75 \frac{km}{h}$

$75 \frac{k m}{h} - 15 \frac{k m}{h} = 60 \frac{k m}{h}$

Zatem prędkości samochodów wynosiły odpowiednio $75 \frac{km}{h}$ oraz $60 \frac{km}{h}$ .

Przykład 2

Motorówka, płynąc z prądem rzeki przepływa drogę długości $20 km$ w ciągu $40 \min$ . Obliczymy prędkość prądu rzeki, jeżeli motorówka płynie z prędkością własną $36 \frac{km}{h}$ .

Rozwiązanie

Niech $v [\frac{k m}{h}]$ będzie prędkością prądu rzeki.

$20 \min = \frac{20}{60} h = \frac{1}{3} h$

Zatem do obliczenia prędkości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{3} = \frac{20}{v + 36}$

$v + 36 = 3 \cdot 20$ , czyli $v = 24$

Wobec tego prędkość prądu rzeki wynosi $24 \frac{km}{h}$ .

Poprzez analogię do prędkości możemy rozwiązywać inne zadania dotyczące wykonania pewnej czynności w czasie, czyli wydajności pracy. Przez wydajność pracy będziemy rozumieli wartość produkcji wytworzonej w określonym czasie (najczęściej w jednostce czasu, np. w ciągu jednego dnia, w ciągu jednej godziny).

W rozpatrywanych poniżej przykładach i zadaniach musimy założyć, że wydajność wykonywanej pracy przez opisanych w zadaniu robotników, firmy, automaty itp. nie zmienia się wraz z upływem czasu.

Przykład 3

Magda wykonuje pewną pracę w ciągu $9$ godzin, a Ania w ciągu $6$ godzin. Obliczymy, ile czasu zajęłoby im wykonanie tej pracy, gdyby pracowały razem.

Rozwiązanie:

Niech $w$ będzie pracą do wykonania, a $t$ czasem wyrażonym w godzinach, potrzebnym na wykonanie tej pracy, gdyby Magda i Ania pracowały razem.

Zatem w ciągu $1 godziny:$

Magda wykona $\frac{w}{9}$ całej pracy,
Ania wykona $\frac{w}{6}$ ,
Magda i Ania wykonają $\frac{w}{t}$ całej pracy.

Zatem do wyznaczenia wartości $t$ $[h]$ , gdzie $t > 0$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{w}{9} + \frac{w}{6} = \frac{w}{t}$

Po podzieleniu obu stron równania przez $w$ (liczbę dodatnią) rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{1}{t}$

$\frac{5}{18} = \frac{1}{t} \Rightarrow t = \frac{18}{5} h$

$t = \frac{18}{5} h = 3 \frac{3}{5} h = 3 h 36 \min$

Gdyby Magda i Ania pracowały razem, to wykonanie pracy zajęłoby im $3 h 36 \min$ .

Przykład 4

Pierwsza sekretarka „przybija” pieczątki na określonej partii dokumentów w ciągu $30$ minut, drugiej sekretarce wykonanie tej samej pracy zajmuje godzinę. Ile czasu zajmie wykonanie tej pracy, jeśli obie panie będą wykonywały ją wspólnie?

Rozwiązanie:

$x$ – oznacza czas potrzebny na wykonanie pracy wspólnie przez dwie sekretarki, wyrazimy go w godzinach;

$x \in ℝ_{+}$ ;

$W$ – cała praca do wykonania, wartość ta jest dodatnia.

W treści zadania pojawiają się różne jednostki czasu, w rozwiązaniu musimy zadbać o taką samą jednostkę!

$\frac{W}{\frac{1}{2}}$ to część pracy wykonana przez pierwszą sekretarkę w ciągu godziny;

$\frac{W}{1}$ to część pracy wykonana przez drugą sekretarkę w ciągu godziny;

$\frac{W}{x}$ to praca wykonana wspólnie przez dwie sekretarki w ciągu godziny.

Układamy równanie, bierzemy pod uwagę część pracy wykonaną przez każdą z sekretarek:

$\frac{W}{\frac{1}{2}} + \frac{W}{1} = \frac{W}{x}$

$2 W + W = \frac{W}{x}$

$3 W = \frac{W}{x}$ ,

następnie dzielimy obustronnie przez $W$ , otrzymujemy:

$3 = \frac{1}{x}$

$x = \frac{1}{3} [h]$

Odpowiedź: Dwie sekretarki pracując razem „przybiją pieczątki” w $20$ minut.

Przykład 5

Kasia i jej młodszy brat Adam, pracując razem, są w stanie wyprasować stertę wypranych koszul w ciągu $2$ godzin. Kasia sama potrzebuje $2, 5$ godziny na wykonanie tej pracy. Ile czasu zajmie Adamowi to prasowanie, gdy będzie pracował sam?

Rozwiązanie:

$x$ – oznacza czas potrzebny na wykonanie pracy przez Adama, wyrazimy go w godzinach;

$x \in ℝ_{+}$ ;

$W$ – cała praca do wykonania, wartość ta jest dodatnia;

$\frac{W}{2, 5}$ to część pracy wykonana przez Kasię w ciągu godziny;

$\frac{W}{x}$ to część pracy wykonana przez Adama w ciągu godziny;

$\frac{W}{2}$ to część pracy wykonana wspólnie przez rodzeństwo w ciągu godziny.

Układamy równanie, bierzemy pod uwagę część pracy wykonaną przez rodzeństwo:

$\frac{W}{2, 5} + \frac{W}{x} = \frac{W}{2}$

następnie dzielimy obustronnie przez $W$ , otrzymujemy:

$\frac{1}{2, 5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2, 5} = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$

$x = 10$

Odpowiedź: Adam potrzebuje $10$ godzin na wyprasowanie sterty koszul.

Równania wymierne mają szerokie zastosowanie w rozwiązywaniu problemów matematycznych. Zaliczamy do nich zadania geometryczne, których rozwiązania sprowadzają się do ułożenia, a następnie rozwiązania odpowiedniego równania wymiernego.

Przykład 6

Wiadomo, że proste $k$ i $l$ są równoległe. Wyznaczymy $x$ .

R1E0KzSqZrBXI

Ilustracja przedstawia dwie półproste zaczynające się w jednym punkcie, pierwsza z nich jest pozioma natomiast druga jest poprowadzona pod kątem ostrym względem pierwszej. Przez obie półproste poprowadzono dwie równoległe proste, prosta k oraz prostą l dzielące obie półproste na dwa kawałki. W półprostej poziomej, pomiędzy początkiem a prostą k odcinek x dodać dwa, pomiędzy prostą k a prostą l odcinek x odjąć dwa. W półprostej poprowadzonej pod katem, pomiędzy początkiem a prostą k, odcinek x odjąć trzy oraz pomiędzy prostą k a prostą l odcinek x odjąć pięć.

Rozwiązanie:

Ponieważ proste $k$ i $l$ są równolegle, zatem korzystając z twierdzenia Talesa rozwiązujemy równanie:

$\frac{x + 2}{x - 2} = \frac{x - 3}{x - 5}$

Ponieważ rozpatrujemy długości odcinków, zatem do ustalenia dziedziny równania rozwiązujemy nierówności:

$x - 2 > 0$ , czyli $x > 2$

$x - 3 > 0$ , czyli $x > 3$

$x - 5 > 0$ , czyli $x > 5$

$x + 2 > 0$ , czyli $x > - 2$

Zatem $x \in (5, \infty)$ .

Równanie $\frac{x + 2}{x - 2} = \frac{x - 3}{x - 5}$ przekształcamy do postaci:

$(x - 5) \cdot (x + 2) = (x - 3) \cdot (x - 2)$

$- 3 x - 10 = - 5 x + 6$

$2 x = 16$

$x = 8$

Przykład 7

Obwód kwadratu jest równy $64 cm$ . Jeden bok tego kwadratu skrócono o $x cm$ , a drugi wydłużono o $x cm$ i otrzymano prostokąt, w którym stosunek długości boków jest równy $\frac{3}{5}$ . Obliczymy pole tego prostokąta.

Rozwiązanie:

Narysujmy kwadrat i prostokąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunkach.

R4D5qJRxqvhda

Ilustracja przedstawia dwa rysunki prostokątów. Pierwszy z nich jest kwadratem o boku a, natomiast figurą druga jest prostokąt o bokach a odjąć x oraz a dodać x.

Ponieważ obwód kwadratu jest równy $64 cm$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie: $4 \cdot a = 64$ .

$a = 16$

Jeżeli boki prostokąta pozostają w stosunku $3 : 5$ , to do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{16 - x}{16 + x} = \frac{3}{5}$

$5 \cdot (16 - x) = 3 \cdot (16 + x)$

$80 - 5 x = 48 + 3 x$

$- 8 x = - 32$

$x = 4$

Zauważmy, że $x > 0$ , $16 - x > 0$ oraz $16 + x > 0$ .

Wobec tego $x \in (0, 16)$ .

Po uwzględnieniu dziedziny równania otrzymujemy, że $x = 4$ .

Zatem boki prostokąta mają długości $12 cm$ i $20 cm$ .

Pole tego prostokąta jest równe $240 {cm}^{2}$ .

Przykład 8

W trójkącie równobocznym każdy bok skrócono o $2 cm$ i otrzymano nowy trójkąt równoboczny. Stosunek długości boku otrzymanego trójkąta do długości boku wyjściowego trójkąta jest równy $3 : 4$ . Obliczymy, o ile zmniejszyło się pole tego trójkąta.

Rozwiązanie:

Narysujmy dwa trójkąty równoboczne i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższych rysunkach.

RG3xdq0KAYB20

Ilustracja przedstawia rysunki dwóch trójkątów równobocznych. Pierwszy z nich o boku x, oraz drugi trójkąt o boku x odjąć dwa.

Z treści zadania wynika następujące równanie, za pomocą którego wyznaczymy wartość $x$ :

$\frac{x - 2}{x} = \frac{3}{4}$

$4 \cdot (x - 2) = 3 x$

$4 x - 8 = 3 x$

$x = 8$

Jeżeli $x = 8$ , to pole większego trójkąta równobocznego wynosi:

$P = \frac{8^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = 16 \sqrt{3} ({cm}^{2})$

$P = \frac{6^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} ({cm}^{2})$

Zatem pole trójkąta zmniejszyło się o $7 \sqrt{3} {cm}^{2}$ .

Przykład 9

W trapezie $A B C D$ przedstawionym na poniższym rysunku, dolna podstawa jest o $4$ dłuższa od górnej podstawy, a wysokość trójkąta $A B S$ jest o $6$ krótsza od górnej podstawy trapezu. Wysokość trapezu DSC jest równa 4,5. Obliczymy pole tego trapezu.

ReI9gGfWEBooe

Ilustracja przedstawia trapez A B C D. Na rysunku zaznaczono również obie przekątne figury, przekątną A C oraz B D przecinające się w punkcie S. Powstał trójkąt S C D, z wierzchołka S upuszczono wysokość trójkąta o długości cztery przecinek pięć.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy oznaczenia, zgodnie z danymi podanymi w treści zadania.

Rf1RG83RcSqNf

Zauważmy, że trójkąty $A B S$ i $C D S$ są podobne, zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{x + 4}{x} = \frac{x - 6}{4, 5}$

Zauważmy, że $x \in (6, \infty)$ .

Wobec tego

$4, 5 \cdot (x + 4) = x \cdot (x - 6)$

$4, 5 x + 18 = x^{2} - 6 x$

$x^{2} - 10, 5 x - 18 = 0$

$2 x^{2} - 21 x - 36 = 0$

$Δ = {(- 21)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 36) = 729$

$\sqrt{Δ} = 27$

$x_{1} = \frac{21 - 27}{4} = - \frac{3}{2} < 0$

$x_{2} = \frac{21 + 27}{4} = 12 > 6$

Niech $a$ , $b$ , $h$ będą odpowiednio długościami dłuższej i krótszej podstawy oraz wysokości trapezu.

Wówczas:

$a = 16$

$b = 12$

$h = 10, 5$

Zatem pole omawianego trapezu jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$

$P = \frac{1}{2} \cdot (16 + 12) \cdot 10, 5 = 147$

Przykład 10

Wyznaczymy współrzędne punktu $P$ leżącego na prostej o równaniu $y = 2 x$ , jeżeli punkt ten należy do odcinka o końcach $A = (8, 0)$ oraz $B = (0, 6)$ .

Rozwiązanie:

Niech $P = (x, y)$ .

Jeżeli punkt $P$ leży na prostej o równaniu $y = 2 x$ , to $P = (x, 2 x)$ .

Przedstawmy na rysunku sytuację opisaną w zadaniu.

R6Q2PVVmt2uXd

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus trzech do dziewięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do ośmiu. Na rysunku zaznaczono prostą A B gdzie punkt A ma współrzędne nawias osiem średnik zero koniec nawiasu, a punkt B nawias zero średnik sześć koniec nawiasu. Na odcinku zaznaczono punkt P o współrzędnych nawias x średnik dwa x koniec nawiasu. Współrzędne tego punktu zostały zrzutowane, na oś X w punkcie D o współrzędnych nawias x średnik zero koniec nawiasu. Powstał odciek P D o długości dwa x. Punkt P został także zrzutowany na pionową oś Y w punkcie C o współrzędnych nawias zero średnik dwa x koniec nawiasu i utworzył odcinek P C o długości x. Odcinek B C ma długość sześć minus dwa x natomiast odległość punktu B od początku układu współrzędnych wynosi sześc. Odcinek A D ma długość osiem odjąć x natomiast odległość punktu A od początku układu współrzędnych wynosi osiem.

Zauważmy, że trójkąty $D A P$ i $C P B$ są podobne oraz $x \in (0, 3)$ . Zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{6 - 2 x}{2 x} = \frac{x}{8 - x}$

$(6 - 2 x) \cdot (8 - x) = 2 x^{2}$

$48 - 6 x - 16 x + 2 x^{2} = 2 x^{2}$

$22 x = 48$

$x = \frac{48}{22} = \frac{24}{11}$

Wobec tego punkt $P$ ma współrzędne:

$P = (\frac{24}{11}, \frac{48}{11})$ .

Animacje multimedialne

Polecenie 1

Obejrzyj animację dotyczącą rozwiązywania zadań tekstowych prowadzących do równania wymiernego, związanych z drogą, prędkością i czasem.

R13fXCKkf1Ayl

Polecenie 2

Samochód jadący ze stałą prędkością pokonał odległość $225 km$ . Samochód jadący ze stałą prędkością o $20 \frac{km}{h}$ większą pokonał w tym samym czasie drogę długości $300 km$ .

a) Oblicz prędkości, z jakimi poruszały się oba samochody.

b) Oblicz czas, w jakim każdy z samochodów przebył podaną drogę.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$v [\frac{k m}{h}]$ – prędkość z jaką poruszał się samochód, który pokonał odległość $225 km$ , gdzie $v > 0$

$v \frac{k m}{h} + 20 \frac{km}{h}$ – prędkość z jaką poruszał się samochód, który pokonał odległość $300 km$

Niech $t [h]$ , gdzie $t > 0$ będzie czasem potrzebnym do pokonania podanych odległości.

Wobec tego:

$t = \frac{225}{v}$ oraz $t = \frac{300}{v + 20}$

a) Ponieważ czas przejazdu w obu przypadkach jest taki sam, zatem do obliczenia prędkości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{225}{v} = \frac{300}{v + 20}$

$225 \cdot (v + 20) = 300 v$

$225 v + 4500 = 300 v$

$75 v = 4500$

$v = 60 \frac{km}{h}$

$v \frac{k m}{h} + 20 \frac{km}{h} = 80 \frac{km}{h}$

Zatem prędkości jazdy samochodów wynosiły odpowiednio $60 \frac{km}{h}$ oraz $80 \frac{km}{h}$ .

b) Do wyznaczenia wartości $t$ użyjemy wzoru $t = \frac{225}{v}$ .

Zatem

$t = \frac{225}{60} h = 3, 75 h = 3 h 45 \min$

Zapoznaj się z poniższą animacją, która dotyczy problemów geometrycznych prowadzących do rozwiązania równania wymiernego. Następnie wykonaj dalsze polecenie.

RhFL1uLFQWggq

Polecenie 3

Wyznacz współrzędne punktu $P = (- a, a)$ leżącego na odcinku $A B$ , gdzie $A = (- 6, 0)$ oraz $B = (0, 5)$ .

Narysujmy odcinek $A B$ o podanych końcach w prostokątnym układzie współrzędnych.

R4dRpTm2mm5hh

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do dwóch oraz pionową oś Y od minus jednego do pięciu. Na układzie zaznaczono również punkt A o współrzędnych nawias minus sześć średnik zero koniec nawiasu oraz punkt B o współrzędnych nawias zero średnik pięć koniec nawiasu. Powstał odcinek A B oraz punkt P, znajdujący się na odcinku, o współrzędnych nawias minus a średnik a koniec nawiasu.

Poprowadźmy od punktu $P$ odcinek równoległy do osi $X$ oraz odcinek równoległy do osi $Y$ . Końce tego odcinka oznaczmy odpowiednio $E$ i $D$ . Otrzymujemy dwa trójkąty prostokątne z długościami boków tak, jak na poniższym rysunku.

R1ETMmwHuMgtr

Ponieważ trójkąty $A D P$ i $P E B$ są podobne, zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{5 - a}{a} = \frac{a}{6 - a}$

Zauważmy, że $a \in (0, 5)$ .

Wobec tego:

$(5 - a) \cdot (6 - a) = a^{2}$

$30 - 5 a - 6 a + a^{2} = a^{2}$

Zatem $a = \frac{30}{11}$ .

Czyli punkt $P$ ma współrzędne $P = (- \frac{30}{11}, \frac{30}{11})$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

R1NIxJOTfDPgY1

Ćwiczenie 1

RBNKxtIaEzZTO1

Ćwiczenie 2

R1IqMJ3gtBnAV2

Ćwiczenie 3

R1DomRHA6N0fc2

Ćwiczenie 4

RntAHIU0tvup71

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Dwa samochody wyruszyły jednocześnie z tego samego miasta. Po pewnym czasie pierwszy samochód znajdował się w odległości $320 km$ , a drugi w odległości $260 km$ . Średnia prędkość drugiego samochodu była o $15 \frac{km}{h}$ mniejsza od prędkości pierwszego. Oblicz średnie prędkości z jakimi poruszały się te samochody.

Zauważ, że czas przejazdu w obu przypadkach jest taki sam, zatem do ułożenia równania pozwalającego obliczyć prędkości należy użyć wzoru

t = \frac{s}{v}

Niech $v [\frac{k m}{h}]$ będzie prędkością pierwszego samochodu.

Ponieważ czas przejazdu w obu przypadkach jest taki sam, zatem do obliczenia prędkości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{320}{v} = \frac{260}{v - 15}$ , gdzie $v \in (15, \infty)$

$320 \cdot (v - 15) = 260 v$

$320 v - 4800 = 260 v$

$60 v = 4800$

$v = 80 \frac{km}{h}$

$80 \frac{k m}{h} - 15 \frac{k m}{h} = 65 \frac{k m}{h}$

Zatem prędkości samochodów wynosiły odpowiednio $80 \frac{km}{h}$ oraz $65 \frac{km}{h}$ .

Ćwiczenie 7

Proste $k$ i $l$ z rysunku są równoległe. Wówczas wartość $x$ wynosi:

R4r3CYreAo5bm

Ilustracja przedstawia dwie proste, pierwsza pozioma druga pod katem ostrym względem pierwszej przecinające się w jednym punkcie S. Na rysunku zaznaczono także dwie równoległe do siebie proste k oraz l, przecinające obie proste, dzieląc je na cztery odcinki. W pierwszym przypadku prostej poziomej odcinek pomiędzy punktem przecięcia prostej k a punktem S ma długość dwa, natomiast odcinek pomiędzy puntem S a puntem przecięcia prostej l ma długość x dodać pięć. W przypadku drugiej prostej odcinek pomiędzy punktem przecięcia prostej k a punktem s ma długość osiem odjąć x, natomiast odcinek pomiędzy punktem S a punktem przecięcia prostej l ma długość trzynaście minus x.

R18J7air9W9cc

Ćwiczenie 8

Wiadomo, że trójkąty przedstawione na rysunkach są podobne.

R1Dz8dkv3vNC7

Ilustracja przedstawia dwa trójkąty prostokątne. Pierwszy o przyprostokątnych równych x dodać dwa oraz sześć i kącie alfa przy przyprostokątnej o długości sześć. Drugi o przyprostokątnych szesnaście i x odjąć dwa oraz kącie alfa przy przyprostokątnej o długości x odjąć dwa.

RllCzJzWxjpRG

Ćwiczenie 9

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $6$ i $8$ wpisano kwadrat o boku $x$ tak, jak na poniższym rysunku.

RUa2olZXfCWKV

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C o długości przyprostokątnych A B równej osiem oraz A C równej sześć. Na odcinku B C utworzono punkt E i zrzutowano go na odcinek A C w punkcie D oraz na odcinek A B w punkcie F. Wewnątrz trójkąta powstał kwadrat A F E D o długości boków x.

RQ7SrMxPwu8KH

Ćwiczenie 10

Na rysunku przedstawiono trójkąt równoramienny $A B C$ . Długość odcinka $x$ możemy obliczyć z równania:

ROruw1fmeBU2o

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny A B C. Odcinek A B ma długość pięć natomiast ramię trójkąta ma długość x. Z punktu B poprowadzono odcinek B D o długości pięć, dzielący odcinek A C na dwie części, pierwsza z nich A D o długości x odjąć pięć oraz druga D Co długości pięć.

R21Rl8kNn6YlR

Ćwiczenie 11

W trapezie równoramiennym punkt przecięcia przekątnych podzielił wysokość w taki sposób, że jedna z części tego odcinka jest o $6$ dłuższa od drugiej. Ponadto krótsza podstawa tego trapezu jest równa jego wysokości, a podstawy różnią się o $24$ . Oblicz pole tego trapezu.

Zauważ, że trójkąty trójkąty $A B S$ i $S C D$ są podobne z cechy podobieństwa trójkątów $k k k$ .

R1WSTdJIcRmo3

Ilustracja przedstawia trapez A B C D w którym poprowadzono przekątne A C oraz B D przecinające się w punkcie S. A B jest dolną podstawa, a D C górną. Zaznaczono następujące kąty: kąt A S B oraz D S C są równe. Kąty B D C oraz D B A są równe. Kąty A C D oraz C A B są równe.

To oznacza, że stosunek wysokości tych trójkątów jest równy stosunkowi ich podstaw. Wykorzystaj to do ułożenia równania.

Narysujmy trapez równoramienny i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R1EQ4S7Z1fhJN

Zauważmy, że $x > 0$ oraz trójkąty $A B S$ i $S C D$ są podobne z cechy podobieństwa trójkątów $k k k$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{2 x + 6}{x} = \frac{2 x + 30}{x + 6}$

$(2 x + 6) \cdot (x + 6) = x \cdot (2 x + 30)$

$2 x^{2} + 12 x + 6 x + 36 = 2 x^{2} + 30 x$

$12 x = 36$

$x = 3$

Niech $a$ , $b$ , $h$ będą odpowiednio długościami dłuższej i krótszej podstawy oraz wysokości trapezu.

Wówczas:

$a = 36$

$b = 12$

$h = 12$

Zatem pole omawianego trapezu jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$

$P = \frac{1}{2} \cdot (36 + 12) \cdot 12 = 288$

Ćwiczenie 12

Skala podobieństwa dwóch trójkątów podobnych wynosi $4$ . Oblicz pole każdego z tych trójkątów wiedząc, że pola tych figur różnią się o $75$ .

Niech $P_{1}$ i $P_{2}$ będą polami omawianych trójkątów, przy czym $P_{1} > P_{2}$ .

Ponadto wiadomo, że $P_{1} = P_{2} + 75$ .

Jeżeli skala podobieństwa dwóch trójkątów podobnych wynosi $4$ , to stosunek ich pól jest równy $16$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $P_{2}$ rozwiązujemy równanie:

$16 = \frac{P_{2} + 75}{P_{2}}$

$16 P_{2} = P_{2} + 75$

$15 P_{2} = 75$

$P_{2} = 5$

Wobec tego

$P_{1} = 5 + 75 = 80$

Ćwiczenie 13

W trójkąt równoramienny o wierzchołkach $A = (- 10, 0)$ , $B = (10, 0)$ , $C = (0, 5)$ wpisano prostokąt $K L M N$ , którego dwa wierzchołki leżą na osi $X$ , a pozostałe dwa należą do ramion tego trójkąta tak, że $M = (x, x)$ oraz $x \in (0, 5)$ . Oblicz pole tego prostokąta.

Narysujmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RmkXc75Mai146

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dziesięciu do dziesięciu oraz pionową oś Y od minus jedynki do sześciu. Na rysunku zaznaczono także punkt A o współrzędnych nawias minus dziesięć średnik zero, punkt B o współrzędnych nawias dziesięć średnik zero oraz punkt C o współrzędnych nawias zero średnik pięć koniec nawiasu. Powstał trójkąt równoramienny A B C. Na odcinku B C zaznaczono także punkt M o współrzędnych nawias x średnik x koniec nawiasu oraz na odcinku A C punkt N o współrzędnych nawias minus x średnik x. Oba te punkty zostały zrzutowane na oś X w punktach L i K. Wewnątrz trójkąta powstał prostokąt K L M N.

Zauważmy, że trójkąty $A B C$ oraz $N M C$ są podobne.

Z przyjętych oznaczeń wynika, że:

$|M N| = 2 x$

$|A B| = 20$

$|O C| = 5$

$|S C| = 5 - x$ ,

gdzie $S C$ jest wysokością trójkąta $N M C$ . Zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{20}{5} = \frac{2 x}{5 - x}$

$20 \cdot (5 - x) = 5 \cdot 2 x$

$100 - 20 x = 10 x$

$x = \frac{10}{3}$

Wobec tego:

$|N M| = \frac{20}{3}$

$|L M| = \frac{10}{3}$

Zatem pole prostokąta $K L M N$ jest równe:

$P = \frac{10}{3} \cdot \frac{20}{3} = \frac{200}{9} = 22 \frac{2}{9}$

R2YAbJIPh2eNZ3

Ćwiczenie 14

Słownik

równanie wymierne

równanie, które można sprowadzić do postaci $\frac{V (x)}{W (x)} = 0$ , gdzie $V (x)$ , $W (x)$ , są wielomianami, przy czym $W (x)$ jest wielomianem co najmniej pierwszego stopnia oraz $W (x) \neq 0$

1. Równania wymierne w postaci proporcji

3*. Wiedza z plusem: Złoty podział

2. Zadania tekstowe prowadzące do równań wymiernych

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Animacje multimedialne

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik