1. Reguła mnożenia i reguła dodawania - Kombinatoryka

R1JQQNLT832O2

1. Reguła dodawania i reguła mnożenia

Wiedząc, że w pewnej klasie jest $17$ chłopców i $14$ dziewczynek możemy od razu stwierdzić, że ta klasa liczy $31$ uczniów. Dla uzyskania tej informacji wystarczyło dodać liczby osób każdego z dwóch rozłącznych zbiorów: dziewczynek oraz chłopców z tej klasy.

Ten wstępny przykład pokazuje zastosowanie prezentowanej w tym temacie podstawowej zasady kombinatorycznej, nazywanej regułą dodawania.

W prostokątnym układzie współrzędnych $X O Y$ rozpatrujemy wszystkie punkty $(x_{i}, y_{j})$ , których obie współrzędne są całkowite oraz $2 \leq x_{i} \leq 11$ i $4 \leq y_{j} \leq 10$ .

Ponieważ:

$x_{i} \in \{2, 3, 4, \dots, 11\}$ , więc pierwszą współrzędną rozpatrywanego punktu możemy zapisać na 10 sposobów,
$y_{j} \in \{4, 5, 6, \dots, 10\}$ , więc drugą współrzędną rozpatrywanego punktu możemy zapisać na 7 sposobów.

Wszystkie tak otrzymane pary uporządkowane $(x_{i}, y_{j})$ możemy zapisać, jak w poniższej w tabeli.

R1UCQU74XOTM2

Tabela składa się z jedenastu wierszy oraz z ośmiu kolumn. Kolejne wiersze pierwszej kolumny opisane są od góry jako: x indeks dolny, i, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, x indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, x indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, przecinek, x indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, równa się, sześć, przecinek, x indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, przecinek, x indeks dolny, siedem, koniec indeksu dolnego, równa się, osiem, przecinek, x indeks dolny, osiem, koniec indeksu dolnego, równa się, dziewięć, przecinek, x indeks dolny, dziewięć, koniec indeksu dolnego, równa się, dziesięć, przecinek, x indeks dolny, dziesięć, koniec indeksu dolnego, równa się, jedenaście. Nagłówki kolumn od pierwszej to kolejno: y indeks dolny, j, koniec indeksu dolnego, przecinek, y indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, y indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, przecinek, y indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, sześć, przecinek, y indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, przecinek, y indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, równa się, osiem, przecinek, y indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego, równa się, dziewięć, przecinek, y indeks dolny, siedem, koniec indeksu dolnego, równa się, dziesięć. W komórkach tabeli wpisano pary cyfr, które składają się z x jako pierwszy element pary i z y, jako drugi element pary. Na przykład w komórkę leżącą w wierszu opisanym jako x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, w kolumnie opisanej jako y indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, sześć wpisano parę nawias, dwa, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu. I według tej zasady wpisano wszystkie pary w każdej z pozostałych komórek tabeli.

Wobec tego wszystkich punktów, które można otrzymać według podanych warunków jest $10 \cdot 7 = 70$ .

Wnioski zapisane w powyższym przykładzie ilustrują zastosowanie kolejnej podstawowej zasady kombinatorycznej, zwanej regułą mnożenia.

W tym temacie zapoznasz się zarówno z regułą dodawania jak i regułą mnożenia

Twoje cele

Zapoznasz się z regułą dodawania.
Nauczysz się, jak wykorzystać regułę dodawania do rozwiązywania zadań dotyczących liczby elementów sumy zbiorów.
Zapoznasz się z regułą mnożenia.
Nauczysz się, jak wykorzystać regułę mnożenia do rozwiązywania zadań polegających na zliczaniu liczby możliwości w kolejnych jego etapach, w ktorych zbiór wyników jest ustalony.

Reguła dodawania

Reguła dodawania - suma dwóch zbiorów rozłącznych

Reguła: Reguła dodawania - suma dwóch zbiorów rozłącznych

Załóżmy, że w wyniku podziału (rozbicia) pewnego zbioru otrzymaliśmy dwa podzbiory, $A$ i $B$ . Wtedy ten zbiór oznaczamy jako $A \cup B$ i mówimy, że jest on sumą dwóch zbiorów rozłącznych $A$ i $B$ .

Wtedy liczba elementów zbioru $A \cup B$ jest sumą liczb $|A|$ i $|B|$ , które opisują liczby elementów jego rozłącznych podzbiorów $A$ i $B$ , otrzymanych w wyniku tego podziału:

$|A \cup B| = |A| + |B|$ .

Przykład 1

Wykażemy, że w każdym ze zbiorów:

$A_{1}$ – trzycyfrowych liczb parzystych

oraz

$A_{2}$ – trzycyfrowych liczb nieparzystych

jest $450$ elementów.

Rozwiązanie:

Ponieważ zbiory $A_{1}$ oraz $A_{2}$ są rozłączne, a ich suma $A_{1} \cup A_{2}$ jest zbiorem wszystkich liczb trzycyfrowych:

$A_{1} \cup A_{2} = \{100, 101, 102, \dots, 998, 999\}$ ,

więc

$|A_{1} \cup A_{2}| = |A_{1}| + |A_{2}| = 999 - (100 - 1) = 900$ .

Ponadto (co wiemy z reguły równolicznościreguła równolicznościreguły równoliczności) $|A_{1}| = |A_{2}|$ , a to oznacza, że $|A_{1}| = |A_{2}| = \frac{1}{2} \cdot 900$ .

Uwaga. Powyżej stwierdziliśmy, że zbiory $A_{1}$ i $A_{2}$ są rozłączne. Używając symbolu iloczynu (części wspólnej) zbiorów oraz symbolu zbioru pustego zapisujemy ten fakt następująco: $A_{1} \cap A_{2} = \emptyset$

Reguła dodawania

Reguła: Reguła dodawania

Jeżeli zbiory $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}$ jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ :

$|A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}| = |A_{1}| + |A_{2}| + \dots + |A_{n}|$

Przykład 2

Obliczymy, ile jest liczb trzycyfrowych, które są podzielne przez $3$ lub są podzielne przez $5$ .

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

$A$ – zbiór liczb trzycyfrowych podzielnych przez $3$ ,

$B$ – zbiór liczb trzycyfrowych podzielnych przez $5$ .

Mamy obliczyć, ile jest liczb trzycyfrowych, które są podzielne przez $3$ lub przez $5$ , czyli liczbę $|A \cup B|$ elementów zbioru $A \cup B$ .

Korzystając z reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności zauważamy, że:

wszystkich liczb trzycyfrowych jest $900$ ,
wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez $3$ jest $|A| = \frac{1}{3} \cdot 900 = 300$ ,
wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez $5$ jest $|B| = \frac{1}{5} \cdot 900 = 180$ ,

Zbiory $A$ i $B$ nie są jednak rozłączne – wśród liczb trzycyfrowych są takie, które dzielą się zarówno przez $3$ , jak i przez $5$ . Ponieważ liczba całkowita dzieli się przez $3$ i przez $5$ wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez $15$ , więc należy jeszcze obliczyć, ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez $15$ , czyli elementów zbioru $A \cap B$ . Korzystając z reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności stwierdzamy, że $|A \cap B| = \frac{1}{15} \cdot 900 = 60$ .

Zbiór $A \cup B$ da się więc podzielić na trzy rozłączne podzbiory:

zbiór $A \cap B$ liczb trzycyfrowych podzielnych przez $3$ i podzielnych przez $5$ ,
zbiór $A ∖ B$ tych liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez $3$ i nie dzielą się przez $5$ ,
zbiór $B ∖ A$ tych liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez $5$ i nie dzielą się przez $3$ .

Zbiór $A$ liczb trzycyfrowych podzielnych przez $3$ możemy rozbić na dwa podzbiory: podzbiór $A \cap B$ liczb podzielnych przez $5$ i podzbiór $A ∖ B$ liczb niepodzielnych przez $5$ .

Wobec tego z reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania otrzymujemy równość $|A| = |A \cap B| + |A ∖ B|$ , skąd $|A ∖ B| = |A| - |A \cap B| = 300 - 60 = 240$

Zbiór $B$ liczb trzycyfrowych podzielnych przez $5$ możemy rozbić na dwa podzbiory: podzbiór $B \cap A$ liczb podzielnych przez $3$ i podzbiór $B ∖ A$ liczb niepodzielnych przez $3$ .

Na podstawie reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania wynika stąd, że $|B| = |B \cap A| + |B ∖ A|$ , a więc $|B ∖ A| = |B| - |B \cap A| = 180 - 60 = 120$ .

Korzystając z reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania stwierdzamy, że wszystkich liczb trzycyfrowych, które są podzielne przez $3$ lub przez $5$ jest $|A \cup B| = |A ∖ B| + |A \cap B| + |B ∖ A| = 240 + 60 + 120 = 420$ .

o liczbie elementów sumy dwóch zbiorów

Twierdzenie: o liczbie elementów sumy dwóch zbiorów

Dla dowolnych dwóch zbiorów $A$ oraz $B$ prawdziwa jest równość

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Przykład 3

W konkursie matematycznym uczestniczyło $247$ uczniów. Każdy z uczestników miał do rozwiązania pięć tych samych zadań.

Po zakończeniu zawodów okazało się, że:

$31$ uczestników nie rozwiązało żadnego z dwóch pierwszych zadań,
$198$ uczestników rozwiązało zadanie pierwsze,
$63$ uczestników rozwiązało zadanie drugie.

Ustalimy, ilu uczestników tego konkursu rozwiązało oba zadania: pierwsze i drugie.

Rozwiązanie:

Z treści zadania wynika, że liczba uczestników konkursu, którzy rozwiązali zadanie pierwsze lub zadanie drugie jest równa $247 - 31 = 216$ .

Przyjmiemy teraz następujące oznaczenia:

$A$ – zbiór uczestników konkursu, którzy rozwiązali zadanie pierwsze,

$B$ - zbiór uczestników konkursu, którzy rozwiązali zadania drugie.

Wiemy, że $|A \cup B| = 216$ , $|A| = 198$ oraz $|B| = 63$ .

Oznaczmy przez $x$ liczbę uczestników konkursu, którzy rozwiązali oba zadania.

Na podstawie reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania prawdziwe są następujące zależności

$|A ∖ B| = |A| - |A \cap B| = 198 - x$ , $|B ∖ A| = |B| - |A \cap B| = 63 - x$ .

Zatem jeszcze raz korzystając z reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania otrzymujemy równość

$|A \cup B| = |A ∖ B| + |A \cap B| + |B ∖ A| = 216$ ,

skąd

$216 = 198 - x + x + 63 - x$ ,

a więc

$x = 198 + 63 - 216 = 45$ .

Oznacza to, że $45$ uczestników tego konkursu rozwiązało oba zadania: pierwsze i drugie.

Uwaga.

Wiedząc, że $|A \cup B| = 216$ , $|A| = 198$ oraz $|B| = 63$ można było od razu skorzystać z powyższego twierdzeniatwierdzenia i zapisać, że z równości

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

dostajemy

$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 198 + 63 - 216 = 45$ .

o liczbie elementów sumy trzech zbiorów

Twierdzenie: o liczbie elementów sumy trzech zbiorów

Dla dowolnych trzech zbiorów $A$ , $B$ oraz $C$ prawdziwa jest równość

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |B \cap C| + |A \cap C|) + |A \cap C \cap B|$

Reguła mnożenia

Reguła: Reguła mnożenia

Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei $n$ czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z $k_{1}$ sposobów, druga – na jeden z $k_{2}$ sposobów, trzecia – na jeden z $k_{3}$ sposobów i tak dalej do $n$ -tej czynności, która może zakończyć się na jeden z $k_{n}$ sposobów, jest równa

k_{1} \cdot k_{2} \cdot \dots \cdot k_{n}

Dla dowodu zauważmy, że dwie pierwsze czynności możemy wykonać na $k_{1} \cdot k_{2}$ sposobów - wystarczy w tym celu rozumować podobnie, jak w przykładzie opisanym we wprowadzeniu.

Zatem postępując analogicznie, stwierdzamy w kolejnych krokach, że:

trzy pierwsze czynności możemy wykonać na $(k_{1} \cdot k_{2}) \cdot k_{3}$ sposobów,
cztery pierwsze czynności możemy wykonać na $(k_{1} \cdot k_{2} \cdot k_{3}) \cdot k_{4}$ sposobów,
...
wszystkie $n$ czynności możemy wykonać na $(k_{1} \cdot k_{2} \cdot \dots \cdot k_{n - 1}) \cdot k_{n} = k_{1} \cdot k_{2} \cdot \dots \cdot k_{n}$ sposobów.

Przykład 4

Obliczymy, ile jest wszystkich siedmioznakowych kodów, które są zapisane według następujących zasad:

pierwszym znakiem jest wybrana wielka litera alfabetu łacińskiego, czyli jeden z dwudziestu sześciu następujących znaków: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z,
drugim znakiem jest wybrana mała litera alfabetu łacińskiego,
na każdym z czterech kolejnych miejsc (trzecim, czwartym, piątym i szóstym) zapisujemy dowolnie wybraną cyfrę ze zbioru {0, 1, 2, …, 9},
na ostatnim miejscu zapisujemy znak specjalny wybrany z ośmioelementowego zbioru {!, @, #, $, %, +, –, _}.

Rozwiązanie:

Tworząc taki kod dokonujemy siedmiu kolejnych wyborów, przy czym:

znak na pierwszym miejscu możemy wybrać na 26 sposobów,
znak na drugim miejscu możemy wybrać na 26 sposobów,
znak na trzecim miejscu możemy wybrać na 10 sposobów,
znak na czwartym miejscu możemy wybrać na 10 sposobów,
znak na piątym miejscu możemy wybrać na 10 sposobów,
znak na szóstym miejscu możemy wybrać na 10 sposobów,
znak na siódmym miejscu możemy wybrać na 8 sposobów.

Korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy, ze wszystkich takich kodów jest

$26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 8 = 54080000$

Przykład 5

Obliczymy, ile jest wszystkich dziewięcioznakowych kodów, które da się zapisać według następujących zasad:

pierwsze trzy znaki to trzy różne wielkie litery alfabetu łacińskiego,
na każdym z czterech kolejnych miejsc (czwartym, piątym, szóstym i siódmym) zapisujemy dowolnie wybraną cyfrę ze zbioru {0, 1, 2, …, 9}, przy czym zapisane cyfry są parami różne,
na ostatnich dwóch miejscach (ósmym i dziewiątym) zapisujemy dwie różne małe litery alfabetu łacińskiego, które są samogłoskami, czyli są wybrane spośród znaków a, e, i, o, u, y.

Rozwiązanie:

Tworząc taki kod dokonujemy dziewięciu kolejnych wyborów. Opiszemy te wybory z podziałem na trzy etapy.

(1) Opisujemy najpierw możliwości wyboru trzech pierwszych znaków:

znak na pierwszym miejscu możemy wybrać na 26 sposobów,
niezależnie od wyboru dokonanego za pierwszym razem znak na drugim miejscu możemy wybrać na 25 sposobów (nie możemy powtórzyć litery zapisanej na pierwszym miejscu),
niezależnie od wyboru dokonanego za pierwszym i za drugim razem na trzecim miejscu znak możemy wybrać na 24 sposoby (nie możemy powtórzyć liter zapisanych na dwóch pierwszych miejscach).

Korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia obliczamy, że trzy początkowe znaki możemy zapisać na $26 \cdot 25 \cdot 24 = 15600$ sposobów.

(2) Wybór znaków na kolejnych czterech miejscach (czwartym, piątym, szóstym i siódmym) odbywa się następująco:

znak na czwartym miejscu możemy wybrać na 10 sposobów,
niezależnie od wyboru czwartego znaku kolejny, na piątym miejscu, możemy wybrać na 9 sposobów (nie możemy powtórzyć cyfry zapisanej na czwartym miejscu),
niezależnie od wyboru czwartego i piątego znaku kolejny, na szóstym miejscu, możemy wybrać na 8 sposobów (nie możemy powtórzyć cyfr zapisanych na czwartym i na piątym miejscu),
niezależnie od wyboru czwartego, piątego i szóstego znaku kolejny, na siódmym miejscu, możemy wybrać na 7 sposobów (nie możemy powtórzyć żadnej z cyfr zapisanych na trzech poprzednich miejscach).

Korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia obliczamy, że znaki na miejscach czwartym, piątym, szóstym i siódmym możemy zapisać na $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ sposobów.

(3) Na koniec opisujemy wybór znaków na ostatnich dwóch miejscach (ósmym i dziewiątym):

znak na ósmym miejscu możemy wybrać na 6 sposobów,
niezależnie od wyboru ósmego znaku kolejny, na dziewiątym miejscu, możemy wybrać na 5 sposobów (nie możemy powtórzyć litery zapisanej na poprzednim miejscu).

Korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia obliczamy, że dwa ostatnie znaki możemy zapisać na $6 \cdot 5 = 30$ sposobów.

Ponieważ liczba wyborów w każdym z opisanych powyżej etapów została ustalona, więc, po raz kolejny korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia, obliczamy, że wszystkich kodów zapisanych według określonych warunków jest $(26 \cdot 25 \cdot 24) \cdot (10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7) \cdot (6 \cdot 5) = 15600 \cdot 5040 \cdot 30 = 2358720000$ .

Uwaga. W powyższym przykładzie wykorzystaliśmy reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia w sytuacji, kiedy liczba możliwych sposobów wykonania kolejnej czynności była zależna od tego, jakim wynikiem zakończyły się czynności ją poprzedzające.

Zauważmy więc, że w przypadku, gdy nie jest ustalony zbiór wyników kolejnych czynności, ale umiemy określić liczbę wyników możliwych do uzyskania w kolejnych krokach reguła mnożenia pozostaje w mocy.

Przykład 6

Obliczymy, ile jest wszystkich pięcioznakowych kodów, które są zapisane za pomocą cyfr ze zbioru $\{0, 1, 2, \dots, 9\}$ , według następujących zasad:

dwie pierwsze cyfry są takie same,
trzecia cyfra jest o 2 mniejsza od czwartej,
piąta cyfra jest parzysta.

Rozwiązanie:

Zapiszmy wybory kolejnych cyfr jako ciąg $(c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5})$ , gdzie $c_{i}$ oznacza cyfrę zapisaną w kodzie na miejscu $i = 1, 2, 3, 4, 5$ .

Zauważmy, że:

$c_{1}$ możemy wybrać na 10 sposobów: $c_{1} \in (0, 1, \dots, 9)$ ,
niezależnie od wyboru $c_{1}$ cyfrę $c_{2}$ możemy wybrać na 1 sposób (ma ona być taka sama, jak zapisana na pierwszym miejscu),
ponieważ $c_{3} = c_{4} - 2$ , więc $c_{3} \in (0, 1, \dots, 7)$ , zatem tę cyfrę możemy wybrać na 8 sposobów,
niezależnie od wyboru $c_{3}$ cyfrę $c_{4}$ możemy wybrać na 1 sposób (jest tylko jednak cyfra $c_{4}$ większa o 2 od ustalonej już cyfry $c_{3}$ ),
$c_{5}$ możemy wybrać na 5 sposobów: $c_{5} \in (0, 2, 4, 6, 8)$ .

Korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia obliczamy, że liczba wszystkich kodów jest równa $10 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 1 \cdot 5 = 400$ .

Przykład 7

Rozpatrzmy wszystkie sześcioznakowe kody, zapisywane za pomocą parami różnych cyfr ze zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ .

Obliczymy, ile jest wśród nich takich kodów, w których występuje cyfra 7.

Rozwiązanie:

Zapiszmy wybory kolejnych cyfr jako ciąg $(c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5}, c_{6})$ gdzie $c_{i}$ oznacza cyfrę zapisaną w kodzie na miejscu $i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ .

Zauważmy, że ponieważ cyfry w rozpatrywanym kodzie są parami różne, więc cyfrę 7 możemy wstawić na jednym z sześciu miejsc: $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5}, c_{6}$ , co możemy zrobić na $6$ sposobów.

Niezależnie od wyboru miejsca dla cyfry 7 pozostałe $5$ cyfr kodu zapisujemy, wybierając miejsca dla kolejnych cyfr, np. od lewej do prawej.

Wtedy:

cyfrę na pierwszym wolnym miejscu możemy wybrać na $9$ sposobów (nie możemy powtórzyć zapisanej już cyfry $7$ ),
cyfrę na drugim wolnym miejscu możemy wybrać na $8$ sposobów (nie możemy powtórzyć żadnej z dwóch już zapisanych cyfr),
cyfrę na trzecim wolnym miejscu możemy wybrać na $7$ sposobów (nie możemy powtórzyć żadnej z trzech już zapisanych cyfr),
cyfrę na czwartym wolnym miejscu możemy wybrać na $6$ sposobów (nie możemy powtórzyć żadnej z czterech już zapisanych cyfr),
cyfrę na piątym wolnym miejscu możemy wybrać na $5$ sposobów (nie możemy powtórzyć żadnej z pięciu już zapisanych cyfr).

Korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia obliczamy, że liczba wszystkich kodów określonych w treści zadania jest równa $6 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 90720$ .

Uwaga. Powyższe zadanie można rozwiązać korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia oraz z reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania.

Oznaczmy w tym celu:

$A$ - zbiór wszystkich kodów o parami różnych cyfrach ze zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ , w których występuje cyfra 7,

$B$ - zbiór wszystkich kodów o parami różnych cyfrach ze zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ , w których nie występuje cyfra 7.

Zauważmy, że:

zbiory $A$ i $B$ są rozłączne,
zbiór $A \cup B$ to zbiór wszystkich kodów sześciocyfrowych o parami różnych cyfrach ze zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ .

Zatem na podstawie reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania stwierdzamy, że

$|A \cup B| = |A| + |B|$ ,

skąd $|A| = |A \cup B| - |B|$ .

Natomiast na podstawie reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia obliczamy, że:

$|A \cup B| = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 151200$ ,

$|B| = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 60480$ .

Wobec tego

$|A| = 151200 - 60480 = 90720$ .

Oznacza to, że jest $90720$ kodów spełniających warunki zadania.

Przykład 8

Obliczymy, ile jest sześciocyfrowych liczb naturalnychliczba naturalnaliczb naturalnych, których zapis dziesiętny spełnia jednocześnie dwa następujące warunki:

na pierwszym i na drugim miejscu występują cyfry parzyste,
na piątym i na szóstym miejscu występują cyfry podzielne przez $3$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że liczbę sześciocyfrową

$n = a \cdot 10^{5} + b \cdot 10^{4} + c \cdot 10^{3} + d \cdot 10^{2} + e \cdot 10^{1} + f \cdot 10^{0}$

można utożsamić z sześcioelementowym ciągiemciągciągiem $(a, b, c, d, e, f)$ , gdzie współczynniki $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ to kolejne cyfry zapisu dziesiętnego liczby $n$ .

Liczba sześciocyfrowa, która spełnia warunki zadania, ma następujące ograniczenia dla swoich cyfr:

cyfra $a$ jest różna od zera i parzysta, a więc $a \in \{2, 4, 6, 8\}$ ,
cyfra $b$ jest parzysta, zatem $b \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$ ,
cyfry $e$ i $f$ są podzielne przez $3$ , skąd $e$ , $f \in \{0, 3, 6, 9\}$ ,
cyfry $c$ oraz $d$ mogą przyjmować dowolną z dziesięciu dostępnych wartości $c$ , $d \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ .

Korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia, stwierdzamy, że dla takich $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ liczba sześciocyfrowych ciągów $(a, b, c, d, e, f)$ jest równa $4 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 4 \cdot 4 = 32 000$ .

Wobec tego sześciocyfrowych liczb naturalnychliczba naturalnaliczb naturalnych spełniających warunki zadania jest również $32 000$ .

Przykład 9

Obliczymy, ile jest pięciocyfrowych liczb naturalnychliczba naturalnaliczb naturalnych podzielnych przez $25$ , w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są mniejsze od $7$ .

Rozwiązanie:

Rozumując podobnie jak w poprzednim przykładzie stwierdzamy, że każdej liczbie pięciocyfrowej

$n = a \cdot 10^{4} + b \cdot 10^{3} + c \cdot 10^{2} + d \cdot 10^{1} + e \cdot 10^{0}$

można wzajemnie jednoznacznie przypisać pięcioelementowy ciągciągciąg $(a, b, c, d, e, f)$ jej kolejnych cyfr.

Ponadto liczba naturalna jest podzielna przez $25$ , kiedy jej dwie ostatnie cyfry w zapisie dziesiętnym tworzą liczbę podzielną przez $25$ .

Zatem taka liczba pięciocyfrowa spełnia warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy:

$a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ,

$b$ , $c \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

oraz gdy ciągciągciąg $(d, e)$ dwóch ostatnich cyfr jest jednym z następujących trzech:

$(0, 0)$ , $(2, 5)$ , $(5, 0)$ .

Na podstawie reguły mnożeniaReguła mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy, że odpowiadających jej ciągówciągciągów pięciocyfrowych jest $6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3 = 882$ . Oznacza to, że są $882$ liczby spełniające warunki zadania.

Przykład 10

W pojemniku znajduje się siedem kul, ponumerowanych od $1$ do $7$ . Z tego pojemnika losujemy cztery razy jedną kulę, za każdym razem zwracając ją z powrotem do pojemnika. Ile jest wszystkich takich wyników tego doświadczenia, że dokładnie raz wylosujemy kulę z numerem parzystym?

Rozwiązanie:

Wynik doświadczenia zanotujemy jako czteroelementowy ciągciągciąg $(a, b, c, d)$ , gdzie:

$a$ to wynik pierwszego losowania,
$b$ to wynik drugiego losowania,
$c$ to wynik trzeciego losowania,
$d$ to wynik czwartego losowania,

Zauważmy, że możliwe są cztery rozłączne przypadki:

$a$ jest liczbą parzystą; wtedy $a \in \{2, 4, 6\}$ , $b$ , $c$ , $d \in \{1, 3, 5, 7\}$ ,
$b$ jest liczbą parzystą; wtedy $b \in \{2, 4, 6\}$ , $a$ , $c$ , $d \in \{1, 3, 5, 7\}$ ,
$c$ jest liczbą parzystą; wtedy $c \in \{2, 4, 6\}$ , $a$ , $b$ , $d \in \{1, 3, 5, 7\}$ ,
$d$ jest liczbą parzystą; wtedy $d \in \{2, 4, 6\}$ , $a$ , $b$ , $c \in \{1, 3, 5, 7\}$ .

Korzystając z reguły mnożeniaReguła mnożeniareguły mnożenia, obliczamy liczbę wyników spełniających warunki zadania w każdym z powyższych przypadków:

$3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 192$ ,
$4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 = 192$ ,
$4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 4 = 192$ ,
$4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 = 192$ .

Korzystając z reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania, obliczamy liczbę wszystkich wyników, które spełniają warunki zadania

$192 + 192 + 192 + 192 = 768$ .

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z poniższą animacją. Przeanalizuj omówione w niej rozwiązanie zadania, w którym zastosowano regułę dodawania.

R1QE9URJEB7PK

Polecenie 1

Korzystając z omówionego przykładu, rozwiąż samodzielnie następujące zadanie.

W pewnym liceum dla uczniów klas trzecich prowadzone są zajęcia trzech kół zainteresowań:

koła matematycznego,
koła biologicznego,
koła historycznego.

Na liście uczniów, którzy biorą udział w zajęciach choć jednego z tych trzech kół jest ogółem $75$ osób, przy czym:

w zajęciach koła matematycznego bierze udział $55$ osób,
w zajęciach koła biologicznego bierze udział $50$ osób,
w zajęciach koła historycznego bierze udział $39$ osób.

Wykaż, że w tym liceum łączna liczba uczniów klas trzecich, którzy biorą udział w zajęciach tylko jednego koła zainteresowań, jest o $6$ większa od liczby uczniów, którzy biorą udział w zajęciach wszystkich trzech kół zainteresowań.

Wyróżnimy wśród uczniów tej szkoły:

$A$ – zbiór uczniów, którzy biorą udział w zajęciach koła matematycznego,
$B$ – zbiór uczniów, którzy biorą udział w zajęciach koła biologicznego,
$C$ – zbiór uczniów, którzy biorą udział w zajęciach koła historycznego.

Z warunków zadania:

$|A| = 55$ ,
$|B| = 50$ ,
$|C| = 39$ ,
$|A \cup B \cup C| = 75$ .

Oznaczmy:

$|A \cap B \cap C| = s$ – liczba uczniów, którzy biorą udział w zajęciach wszystkich trzech kół,

$|A ∖ (B \cup C)| = a$ – liczba uczniów, którzy biorą udział wyłącznie w zajęciach koła matematycznego,

$|B ∖ (A \cup C)| = b$ – liczba uczniów, którzy biorą udział wyłącznie w zajęciach koła biologicznego,

$|C ∖ (A \cup B)| = c$ – liczba uczniów, którzy biorą udział wyłącznie w zajęciach koła historycznego,

$|(A \cap B) ∖ C| = x$ – liczba uczniów, którzy biorą udział w zajęciach koła matematycznego i w zajęciach koła biologicznego, ale nie uczęszczają na zajęcia koła historycznego,

$|(A \cap C) ∖ B| = y$ – liczba uczniów, którzy biorą udział w zajęciach koła matematycznego i w zajęciach koła historycznego, ale nie uczęszczają na zajęcia koła biologicznego,

$|(B \cap C) ∖ A| = z$ – liczba uczniów, którzy biorą udział w zajęciach koła biologicznego i w zajęciach koła historycznego, ale nie uczęszczają na zajęcia koła matematycznego.

Korzystając z reguły dodawania otrzymujemy stąd, że

$|A| = a + x + y + s$ ,

$|B| = b + z + x + s$ ,

$|C| = c + z + y + s$ ,

$|A \cup B \cup C| = a + b + c + x + y + z + s$ .

Mamy więc cztery równania:

$a + x + y + s = 55$ ,

$b + z + x + s = 50$ ,

$c + z + y + s = 39$ ,

$a + b + c + x + y + z + s = 75$ .

Odejmując stronami od sumy trzech pierwszych równań podwojone czwarte równanie otrzymujemy:

$(a + b + c) + 2 (x + y + z) + 3 s - 2 (x + y + z + a + b + c + s) =$
$= 55 + 50 + 39 - 2 \cdot 75$ .

Zatem

$s - (a + b + c) = - 6$ ,

skąd

$(a + b + c) = s + 6$ .

Oznacza to, że łączna liczba uczniów klas trzecich, którzy biorą udział w zajęciach tylko jednego koła zainteresowań, jest o $6$ większa od liczby uczniów, którzy biorą udział w zajęciach wszystkich trzech kół zainteresowań.

Zapoznaj się z przedstawioną poniżej animacją. Przeanalizuj zaprezentowane w niej rozwiązanie zadania, w którym pokazane jest, jak zastosować regułę mnożenia

RV9JHQ1JX8QZN

Polecenie 2

Korzystając z omówionego przykładu rozwiąż samodzielnie następujące zadanie.

Rozpatrzmy wszystkie sześcioznakowe kody, zapisywane za pomocą cyfr ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ . Obliczymy, ile jest wśród nich takich kodów, które spełniają jednocześnie dwa następujące warunki:

ostatnia cyfra kodu jest liczbą parzystą,
wśród znaków kodu występuje co najmniej jedna cyfra $2$ .

Rozpatrzmy zbiór wszystkich sześciocyfrowych kodów zapisanych za pomocą cyfr ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ , w których ostatnia cyfra jest parzysta.

Ponieważ na każdym z pierwszych pięciu miejsc kodu możemy zapisać dowolną z dziewięciu dostępnych cyfr, a na ostatnim miejscu mamy do wyboru tylko cztery cyfry: $2$ , $4$ , $6$ lub $8$ , więc korzystając z reguły mnożenia stwierdzamy, że wszystkich takich sześciocyfrowych kodów jest $9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 4 = 236196$ .

Rozpatrywany zbiór sześciocyfrowych kodów podzielimy na dwa pozdzbiory:

$A$ - tych kodów, w których zapisie występuje co najmniej jedna cyfra $2$ ,

$B$ - tych kodów, w których zapisie nie występuje ani jedna cyfra $2$ .

Na podstawie reguły dodawania mamy wtedy równość $|A \cup B| = |A| + |B|$ , przy czym wiemy już, że $|A \cup B| = 236196$ .

Ponieważ w każdym kodzie ze zbioru $B$ na każdym z pierwszych pięciu miejsc możemy zapisać dowolną z ośmiu cyfr: $1$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , a na ostatnim miejscu takiego kodu możemy zapisać jedną z trzech cyfr: $4$ , $6$ , $8$ , więc korzystając z reguły mnożenia stwierdzamy, że wszystkich takich kodów sześciocyfrowych jest $8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 3 = 98304$ .

Ostatecznie obliczamy, że $|A| = |A \cup B| - |B| = 236196 - 98304 = 137892$ .

Oznacza to, że szukanych kodów jest $137892$ .

Wszystkich takich kodów jest $137892$ .

Zapoznaj się z przedstawioną poniżej animacją. Przeanalizuj zaprezentowane w niej rozwiązanie zadania, w którym pokazane jest, jak wyznaczyć ilość liczb podzielnych przez $8$ , których cyfry podlegają pewnym ograniczeniom.

RSN5UMS3SEO38

Polecenie 3

Korzystając z omówionego przykładu, rozwiąż samodzielnie następujące zadanie.

Rozpatrzmy wszystkie dziewięciocyfrowe liczby naturalne, które są podzielne przez osiem i w których zapisie dziesiętnym jest jedna cyfra $8$ , jedna cyfra $4$ , dwie cyfry $6$ , a pozostałe cyfry to jedynki. Obliczymy, ile jest wśród nich takich liczb, które wśród ostatnich trzech cyfr mają co najmniej jedną szóstkę.

Rozumując podobnie, jak w przykładzie omówionym powyżej zauważamy, że liczbę spełniającą warunki zadania otrzymamy wtedy i tylko wtedy, gdy jej trzy ostatnie cyfry utworzą liczbę trzycyfrową podzielną przez $8$ .

Po uwzględnieniu dodatkowego warunku (wśród tych trzech ostatnich cyfr ma wystapić co najmniej jedna szóstka) stwierdzamy, że jest siedem takich liczb trzycyfrowych:

$168$ ,
$416$ ,
$616$ ,
$648$ ,
$664$ ,
$816$ ,
$864$ .

Obliczamy, stosując regułę mnożenia, na ile sposobów w każdym z wymienionych przypadków możemy rozmieścić cyfry na na sześciu pozostałych do wypełnienia miejscach:

Ad a. należy rozmieścić czwórkę, szóstkę i cztery jedynki, co można zrobić na $6 \cdot 5 = 30$ sposobów,

Ad b. należy rozmieścić ósemkę, szóstkę i cztery jedynki, co można zrobić na $6 \cdot 5 = 30$ sposobów,

Ad c. należy rozmieścić czwórkę, ósemkę i cztery jedynki, co można zrobić na $6 \cdot 5 = 30$ sposobów,

Ad d. należy rozmieścić szóstkę i pięć jedynek, co można zrobić na $6$ sposobów,

Ad e. należy rozmieścić ósemkę i pięć jedynek, co można zrobić na $6$ sposobów,

Ad f. należy rozmieścić czwórkę, szóstkę i cztery jedynki, co można zrobić na $6 \cdot 5 = 30$ sposobów,

Ad g. należy rozmieścić szóstkę i pięć jedynek, co można zrobić na $6$ sposobów.

Wobec tego wszystkich liczb, które spełniają warunki zadania jest $4 \cdot 30 + 3 \cdot 6 = 138$ .

Zapoznaj się z przedstawioną poniżej animacją. Przeanalizuj zaprezentowane w niej rozwiązanie zadania, w którym pokazane jest, jak wyznaczyć liczbę wszystkich kwadratów, których boki zawierają się w liniach siatki prostokąta o wymiarach $7 \times 12$ .

R1ASBHAJB7X5M2

Polecenie 4

Korzystając z omówionego przykładu, rozwiąż samodzielnie następujące zadanie.

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty, których boki zawierają się w liniach siatki dzielącej na kwadraty jednostkowe prostokąt $A B C D$ , w którym $|A B| = 10$ , $|B C| = n$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną większą od $10$ .

Wykaż, że wśród tak otrzymanych prostokątów jest dokładnie $55 n - 165$ kwadratów.

Postępujemy podobnie, jak w rozwiązaniu omówionym w powyższej animacji.

Zauważamy, że:

kwadratów o boku 1 jest $10 \cdot n$ ,
kwadratów o boku 2 jest $9 \cdot (n - 1)$ ,
kwadratów o boku 3 jest $8 \cdot (n - 2)$ ,
kwadratów o boku 4 jest $7 \cdot (n - 3)$ ,
kwadratów o boku 5 jest $6 \cdot (n - 4)$ ,
kwadratów o boku 6 jest $5 \cdot (n - 5)$ ,
kwadratów o boku 7 jest $4 \cdot (n - 6)$ ,
kwadratów o boku 8 jest $3 \cdot (n - 7)$ ,
kwadratów o boku 9 jest $2 \cdot (n - 8)$ ,
kwadratów o boku 10 jest $1 \cdot (n - 9)$ .

Kwadratów o dłuższym boku nie da się otrzymać z podziału prostokąta $A B C D$ .

Obliczamy więc, korzystając z reguły dodawania, łączną liczbę kwadratów spełniających warunki zadania.

$10 n + 9 (n - 1) + 8 (n - 2) + 7 (n - 3) + 6 (n - 4) + 5 (n - 5) +$

$4 (n - 6) + 3 (n - 7) + 2 (n - 8) + (n - 9) =$

$= (10 + 9 + \dots + 1) n - 2 \cdot (9 + 16 + 21 + 24) - 25 = 55 n - 165$

W ten sposób dowód został zakończony.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Ćwiczenie 1

R1STNANLTK2VZ

Ćwiczenie 2

RNLSV3AA9RXML

R142BUAFUE7MK2

Ćwiczenie 3

RQGQU7SDQRKPP2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

R1N5VM5BJ8CTP

Ćwiczenie 6

R1VTHPLX4ZSFT

Ćwiczenie 7

RUM3KZQLSBLTD

R1BLJLOMB375C3

Ćwiczenie 8

R49GRCRZ318DQ3

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

ROP8HSK1UCANH

Ćwiczenie 11

Rozpatrujemy wszystkie pięcioliterowe kody, które są zapisane za pomocą liter ze zbioru $\{a, b, c, d, e, f, g, h, i\}$ , według następujących trzech zasad:

litery są parami różne,
pierwszą literą jest samogłoska,
ostatnią literą jest spółgłoska.

Wykaż, że wszystkich takich kodów jest $3780$ .

Zauważmy, że:

samogłoskę na pierwszym miejscu możemy zapisać na $3$ sposoby,
spółgłoskę na ostatnim miejscu możemy zapisać na $6$ sposobów,
miejsca drugie, trzecie i czwarte wypełniamy różnymi literami wybranymi z pozostałych siedmiu, co można zrobić na $7 \cdot 6 \cdot 5$ sposobów. Stosujemy regułę mnożenia i otrzymujemy

$3 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 3780$ .

To spostrzeżenie kończy dowód.

Ćwiczenie 12

R1BNUJT7FTCCU

Ćwiczenie 13

R1DGQF75NE3V2

Ćwiczenie 14

R17TGP9UA2PKV

Ćwiczenie 15

R1SE2LNS4Z3HF

Ćwiczenie 16

R8K65D8ONSHR2

Ćwiczenie 17

R1JFQZGVA9T36

Rozpatrzmy następujące zbiory:
A - wszystkich siedmioelementowych kodów, które są zapisane za pomocą cyfr ze zbioru nawias klamrowy, zero przecinek jeden, przecinek, dwa przecinek trzy, przecinek, cztery przecinek pięć, przecinek, sześć przecinek siedem, przecinek, osiem przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu klamrowego i które spełniają dwa warunki:
- suma cyfr zapisanych na dwóch pierwszych miejscach jest nieparzysta,
- iloczyn cyfr zapisanych na pięciu ostatnich miejscach jest nieparzysty,
B - wszystkich siedmioelementowych kodów, które są zapisane za pomocą cyfr ze zbioru nawias klamrowy, zero przecinek jeden, przecinek, dwa przecinek trzy, przecinek, cztery przecinek pięć, przecinek, sześć przecinek siedem, przecinek, osiem przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu klamrowego i które spełniają dwa warunki:
- suma cyfr zapisanych na dwóch pierwszych miejscach jest nieparzysta,
- iloczyn cyfr zapisanych na pięciu ostatnich miejscach jest parzysty.
C - wszystkich siedmioelementowych kodów, które są zapisane za pomocą cyfr ze zbioru nawias klamrowy, zero przecinek jeden, przecinek, dwa przecinek trzy, przecinek, cztery przecinek pięć, przecinek, sześć przecinek siedem, przecinek, osiem przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu klamrowego i które spełniają dwa warunki:
- suma cyfr zapisanych na trzech pierwszych miejscach jest parzysta,
- iloczyn cyfr zapisanych na czterech ostatnich miejscach jest nieparzysty,
D - wszystkich siedmioelementowych kodów, które są zapisane za pomocą cyfr ze zbioru nawias klamrowy, zero przecinek jeden, przecinek, dwa przecinek trzy, przecinek, cztery przecinek pięć, przecinek, sześć przecinek siedem, przecinek, osiem przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu klamrowego i które spełniają dwa warunki:
- suma cyfr zapisanych na czterech pierwszych miejscach jest parzysta,
- iloczyn cyfr zapisanych na trzech ostatnich miejscach jest nieparzysty.
Uporządkuj rosnąco podane niżej liczby. Elementy do uszeregowania: 1. miara zbioru B, 2. miara zbioru D, 3. miara zbioru A, 4. miara zbioru C

Ćwiczenie 18

R18FQ3UKER3SS

Ćwiczenie 19

R7FQVM5R88ARS

Ćwiczenie 20

R19RMSFD1HLKO

Ćwiczenie 21

R8QQKFVKQSOS3

Ćwiczenie 22

RV2MFZ9B8DADF

Ćwiczenie 23

R183RTSL7TGRT

Ćwiczenie 24

Rozpatrujemy zbiór wszystkich liczb naturalnych dziesięciocyfrowych, które można zapisać przy użyciu cyfr $1$ , $2$ , $3$ . Są w nim następujące podzbiory:

$A$ - liczb parzystych, których każde dwie sąsiednie cyfry różnią się o $1$ ,

$B$ - liczb parzystych, których każda z sześciu początkowych cyfr to trójka,

$C$ - tych liczb, których tylko cztery ostatnie cyfry są nieparzyste.

R5J4C2X8HNVFQ

Ćwiczenie 25

Rozpatrujemy zbiór wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, które można zapisać wyłącznie za pomocą cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ . Wyróżniamy następujące podzbiory:

$A$ - liczb parzystych, których suma pierwszej i ostatniej cyfry zapisu dziesiętnego jest równa $5$ .

$B$ - liczb nieparzystych, których suma drugiej i piątej cyfry zapisu dziesiętnego jest równa $2$ .

$C$ - liczb parzystych, których suma trzeciej i czwartej cyfry zapisu dziesiętnego jest równa $11$ .

$D$ - liczb nieparzystych, których suma dwóch ostatnich cyfr zapisu dziesiętnego jest równa $7$ .

R1F7LMOP2D768

Ćwiczenie 26

R1HKJRAOE144Z

Ćwiczenie 27

RQTTB36HHVJ88

Ćwiczenie 28

R1XKMUGC4T8J4

Ćwiczenie 29

R7GN3F9844D4R

Ćwiczenie 30

ROHDLPO8VR6TF

Ćwiczenie 31

R1TVSLJP18NCR

Ćwiczenie 32

R1BKTSA3JA9TS

Ćwiczenie 33

RAXF9QFVKU2OU

Ćwiczenie 34

RFJHEE5V3DX8K

Słownik

reguła dodawania

jeżeli zbiory $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}$ jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ :

$|A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}| = |A_{1}| + |A_{2}| + \dots + |A_{n}|$

reguła równoliczności

dwa zbiory $A$ i $B$ są równoliczne (mają tyle samo elementów) jeżeli ich elementy można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie, to znaczy: każdemu elementowi zbioru $A$ przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru $B$ oraz każdemu elementowi zbioru $B$ przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru $A$

twierdzenie o liczbie elementów sumy dwóch zbiorów

dla dowolnych dwóch zbiorów $A$ oraz $B$ prawdziwa jest równość $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

reguła mnożenia

liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei $n$ czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z $k_{1}$ sposobów, druga – na jeden z $k_{2}$ sposobów, trzecia – na jeden z $k_{3}$ sposobów i tak dalej do $n$ -tej czynności, która może zakończyć się na jeden z $k_{n}$ sposobów, jest równa

$k_{1} \cdot k_{2} \cdot \dots \cdot k_{n}$

ciąg

funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste

liczba naturalna

dodatnia liczba całkowita

2. Wariacje z powtórzeniami

Kombinatoryka

1. Reguła dodawania i reguła mnożenia

Reguła dodawania

Reguła mnożenia

Animacje multimedialne

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik