2. Wariacje z powtórzeniami

Rs2AYzHXXndAe

Rozpatrzmy doświadczenie polegające na $k$ – krotnym powtórzeniu czynności, która za każdym razem może się skończyć na jeden z $n$ sposobów.

Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że liczba wszystkich wyników w doświadczeniu tego typu jest równa $\underset{k czynników}{\underset{⏟}{n \cdot n \cdot \dots \cdot n}} = n^{k}$ .

Modelem dla tego typu doświadczenia jest $k$ – wyrazowy ciąg o elementach wybieranych dowolnie (czyli z powtórzeniami – dowolny element zbioru może wystąpić wielokrotnie w ciągu) ze zbioru $n$ – elementowego.

Twoje cele

Określisz, czym są wariacje z powtórzeniami.
rozpoznasz wariacje z powtórzeniami w typowych doświadczeniach losowych.
Obliczysz liczbę możliwych wyników doświadczeń losowych, które opisywane są warunkiem 'co najmniej' albo 'co najwyżej'.

wariacja z powtórzeniami

Definicja: wariacja z powtórzeniami

Doświadczenie polegające na $k$ – krotnym powtórzeniu czynności, która za każdym razem może się skończyć na jeden z $n$ sposobów nazywa się $k$ – wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru $n$ – elementowego.

Zwyczajowo liczbę wszystkich $k$ -elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru $n$ -elementowego oznacza się symbolem $W_{n}^{k}$ .

liczba wszystkich wariacji z powtórzeniami

Twierdzenie: liczba wszystkich wariacji z powtórzeniami

Liczba wszystkich $k$ – elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru $n$ – elementowego jest równa $n^{k}$ , co zapisujemy

W_{n}^{k} = n^{k}

Rozpatrzmy siedmiokrotny rzut monetą.

R1NE8TZK9S8RZ1

Zdjęcie przedstawia otwartą dłoń, na której znajdują się dwie złote monety. — Źródło: Jordan Rowland, dostępny w internecie: www.unsplash.com.

Każdy wynik takiego doświadczenia możemy zapisać jako siedmioelementowy ciąg $(r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}, r_{5}, r_{6}, r_{7})$ , gdzie każdy z wyników uzyskanych w kolejnych rzutach $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ , $r_{4}$ , $r_{5}$ , $r_{6}$ , $r_{7}$ może przyjmować jedną z wartości: 'orzeł' lub 'reszka'.

Jeżeli te wartości oznaczymy jednoliterowym skrótem, odpowiednio $o$ oraz $r$ , to przykładowy wynik siedmiokrotnego rzutu monetą zapisany jako ciąg $(o, o, o, r, o, r, o)$ oznacza, że w czwartym oraz w szóstym rzucie wypadła reszka, a w każdym z pozostałych pięciu rzutów wypadł orzeł.

Ponieważ każdy wynik omawianego doświadczenia jest siedmioelementową wariacją z powtórzeniamiwariacja z powtórzeniamiwariacją z powtórzeniami ze zbioru dwuelementowego, więc wszystkich możliwych wyników siedmiokrotnego rzutu monetą jest $2^{7} = 128$ .

Rozpatrzmy trzykrotny rzut sześcienną kostką do gry.

RFMNZODJGUGDK1

Zdjęcie przedstawia dwie sześcienne kości do gry. — Źródło: Jonathan Petersson, dostępny w internecie: www.unsplash.com.

Każdy wynik takiego trzykrotnego rzutu możemy zapisać jako trzyelementowy ciąg $(r_{1}, r_{2}, r_{3})$ , gdzie każdy z wyników uzyskanych w kolejnych rzutach $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ może przyjmować jedną z sześciu wartości: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ . Przykładowy wynik trzykrotnego rzutu kostką zapisany jako ciąg $(6, 5, 1)$ oznacza, że w pierwszym rzucie wypadła liczba oczek równa $6$ , w drugim – liczba oczek równa $5$ , a w trzecim – liczba oczek równa $1$ .

Ponieważ każdy wynik trzykrotnego rzutu sześcienną kostką do gry jest trzyelementową wariacją z powtórzeniamiwariacja z powtórzeniamiwariacją z powtórzeniami ze zbioru sześcioelementowego, więc wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia jest $W_{6}^{3} = 6^{3} = 216$ .

Przykład 1

Ustalimy, na ile sposobów można rozmieścić siedem ponumerowanych od $1$ do $7$ kul w pięciu urnach, ponumerowanych od $1$ do $5$ .

Rozwiązanie:

Każdy wynik takiego rozmieszczenia możemy zapisać jako siedmioelementowy ciąg $(k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}, k_{5}, k_{6}, k_{7})$ , gdzie każdej z siedmiu kul $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ , $k_{4}$ , $k_{5}$ , $k_{6}$ , $k_{7}$ przypisujemy numer urny, do której została wrzucona.

Przykładowy wynik rozmieszczenia tych siedmiu kul zapisany jako ciąg $(3, 5, 1, 2, 3, 1, 5)$ oznacza, że kule o kolejnych numerach od $1$ do $7$ zostały rozmieszczone w urnach o numerach odpowiednio: $3$ , $5$ , $1$ , $2$ , $3$ , $1$ , $5$ .

Ponieważ każdy wynik rozmieszczenia siedmiu ponumerowanych kul w pięciu ponumerowanych urnach jest siedmioelementową wariacją z powtórzeniamiwariacja z powtórzeniamiwariacją z powtórzeniami ze zbioru pięcioelementowego, więc wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia jest $W_{5}^{7} = 5^{7} = 78125$ .

W poniższym przykładzie zbiór wszystkich możliwych wyników opisanego w nich doświadczenia losowego będziemy dzielić na rozłączne podzbiory, idąc za sugestiami podanymi w treści zadania.
Następnie będziemy uzasadniać, do których z podzbiorów spośród otrzymanych w efekcie tego podziału należą wszystkie wyniki określone w poleceniu.
Ostatecznie, stosując regułę dodawaniareguła dodawaniaregułę dodawania, zapiszemy zależność, która pozwoli obliczyć, ile jest wszystkich wyników spełniających warunki zadania.

Przykład 2

W ekstralidze piłki nożnej jest $18$ zespołów. W pierwszej kolejce tej ekstraligi każdy zespół ma rozegrać jeden mecz z inną drużyną ekstraligi, przy czym taki mecz odbędzie się na boisku jednej z rywalizujących drużyn. Wyniki wszystkich $9$ meczów I kolejki ekstraligi można obstawiać, wpisując na odpowiednim kuponie przy każdym meczu: „1” – jeśli stawiamy na zwycięstwo gospodarzy, „X” – jeśli stawiamy na remis, „2” – jeśli stawiamy na zwycięstwo gości.

Pewien zapalony kibic wypełnia taki kupon trzymając się jednej zasady: co najmniej jeden mecz zakończy się wygraną gospodarzy. Na ile sposobów może on wypełnić taki kupon?

Rozwiązanie:

Zauważmy, że do każdego z $9$ meczów możemy na kuponie wpisać jedną z trzech możliwości: „1”, „X” lub „2”, więc każdy sposób wypełnienia kuponu to dziewięcioelementowa wariacja z powtórzeniamiwariacja z powtórzeniamiwariacja z powtórzeniami zbioru trzyelementowego, czyli wszystkich możliwości jest $3^{9}$ .

Wszystkie te sposoby wypełnienia kuponu można podzielić na dwie rozłączne grupy:

kiedy przy żadnym meczu nie wpiszemy „1”, przewidując, że żaden mecz nie zakończy się wygraną gospodarzy,
kiedy przy choć jednym meczu wpiszemy „1”, przewidując, że co najmniej mecz zakończy się wygraną gospodarzy.

Ponieważ w przypadku pierwszym każdy sposób wypełnienia kuponu to dziewięcioelementowa wariacja z powtórzeniamiwariacja z powtórzeniamiwariacja z powtórzeniami zbioru dwuelementowego, więc wszystkich takich sposobów jest $2^{9}$ .

Oznaczmy liczbę wszystkich sposobów wypełnienia kuponu w przypadku drugim przez $x$ . Na podstawie reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania otrzymujemy równanie:

$x + 2^{9} = 3^{9}$ ,

skąd $x = 3^{9} - 2^{9} = 19683 - 512 = 19171$ .

Tyle jest właśnie sposobów, na które może wypełnić kupon ów zapalony kibic.

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z przedstawionymi poniżej animacjami. Przeanalizuj zaprezentowane w nich rozwiązanie zadania.

RJRG4BUU4XGN6

R81Q9DAVLFPFJ

Polecenie 1

Ustal, ile jest wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na:

siedmiokrotnym rzucie symetryczną monetą,
pięciokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,
zapisaniu liczby trzycyfrowej, utworzonej wyłącznie za pomocą cyfr ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ (cyfry mogą się powtarzać),
rozmieszczeniu 4 różnych notatników w 7 różnych teczkach.

Siedmiokrotny rzucie symetryczną monetą.
W pojedynczym rzucie symetryczną monetą możemy otrzymać jeden z dwóch wyników: „orzeł” lub „reszka”. Doświadczenie polega więc na siedmiokrotnym powtórzeniu czynności, która za każdym razem może skończyć się na jeden z $2$ sposobów. Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że liczba wszystkich wyników jest równa
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{7} = 128$
Pięciokrotny rzut symetryczną sześcienną kostką do gry.
W pojedynczym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry możemy otrzymać jeden z sześciu wyników: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ lub $6$ oczek. Doświadczenie polega więc na pięciokrotnym powtórzeniu czynności, która za każdym razem może skończyć się na jeden z $6$ sposobów. Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że liczba wszystkich wyników jest równa
$6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^{5} = 7776$
Zapisanie liczby trzycyfrowej, utworzonej wyłącznie za pomocą cyfr ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ (cyfry mogą się powtarzać).
Wybierając każdą cyfrę takiej liczby, możemy otrzymać jeden z ośmiu wyników. Oznacza to, że doświadczenie polega na trzykrotnym powtórzeniu czynności, która za każdym razem może skończyć się na jeden z $8$ sposobów. Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że liczba wszystkich wyników jest równa
$8 \cdot 8 \cdot 8 = 8^{3} = 512$
Rozmieszczenie $4$ różnych notatników w $7$ różnych teczkach.
Wyboru teczki dla każdego z czterech notatników możemy dokonać na $7$ sposobów. Doświadczenie polega więc na czterokrotnym powtórzeniu czynności, która za każdym razem może skończyć się na jeden z $7$ sposobów. Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że liczba wszystkich wyników jest równa
$7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^{4} = 2401$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

R1ZGK3LDUMAKM1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

R1BAZPUAQ4XJ4

Ćwiczenie 3

R19COMPG2G6NG

Ćwiczenie 4

R18RPQQZOQGLF

Ćwiczenie 5

R148H2U2DB53A

Ćwiczenie 6

RH5ZVVSEGSFTX

Ćwiczenie 7

R1RTULKKFMQO9

RE3UPJB73MX9C

Ćwiczenie 8

R14AKKC6E2FVH

Ćwiczenie 9

RO6OVV389VN98

Ćwiczenie 10

R1HZHJVDU41H1

Ćwiczenie 11

R1XLRTXEM811S

Ćwiczenie 12

RJT1H39PRF1OG

Ćwiczenie 13

RMH6C15GOXH58

R1AD6L64VRFUF

Ćwiczenie 14

RHJN2LUU3LANG

Ćwiczenie 15

R14AZAR18OUUP

Słownik

wariacja z powtórzeniami

$k$ – wyrazowy ciąg o elementach wybieranych dowolnie (czyli z powtórzeniami) ze zbioru $n$ – elementowego

ciąg

funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste

liczba wszystkich

k

– elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru

n

– elementowego

liczba wszystkich

k

– elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru

n

– elementowego

liczba wszystkich $k$ – elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru $n$ – elementowego jest równa $n^{k}$ .

reguła dodawania

jeżeli zbiory $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}$ jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ :
$|A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}| = |A_{1}| + |A_{2}| + \dots |A_{n}|$

liczba wszystkich

k

–elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru

n

–elementowego

liczba wszystkich

k

–elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru

n

–elementowego

liczba wszystkich $k$ –elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru $n$ –elementowego jest równa $n^{k}$ .

1. Reguła mnożenia i reguła dodawania

3. Wariacje bez powtórzeń