5. Liczenie liczb

RALosok9L5JDY

RujvO29WAFID21

Ilustracja przedstawia portret mężczyzny namalowany kredą. Mężczyzna ma krótkie ciemne włosy, niebieskie szeroko otwarte oczy oraz czerwone usta o wyrazistych kształtach. Ubrany jest w elegancki garnitur. — portret Juliana Tuwima, Stanisław Ignacy Witkiewicz, 1929
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

J. Tuwim, Rachunek (fragment), z tomiku Wiersze zebrane, (1935)

Liczą mnie jacyś przez noc całą,
Piszą i piszą, a wciąż mało...
Skacze pokraczny szyfr.
Już jestem słaby i zmęczony,
Piszą biliony, kwadryliony,
Roi się szereg nieskończony
Cyfr...

Wokół wszyscy liczą i liczą – czas, pieniądze, średnią ocen, dni do wakacji...

My też będziemy liczyć – tym razem nic innego, tylko liczby. Liczenie liczb może wydać Ci się nieco dziwne, więc potraktuj proponowane tu zadania jako powtórzenie wiadomości z kombinatoryki i wprawka przed zadaniami z rachunku prawdopodobieństwa.

Twoje cele

Określisz liczbę liczb spełniających dane warunki.
Wykorzystasz aparat kombinatoryczny do wyznaczania liczby zdarzeń elementarnych w doświadczeniach „z liczbami”.
Stworzysz model matematyczny problemu z kontekstem realistycznym.

Chcąc określić liczbę wszystkich wyników doświadczenia losowego „na tworzenie liczb spełniających określone warunki” lub chcąc określić liczbę zdarzeń sprzyjających danemu zdarzeniu w doświadczeniu związanym z liczbami, najczęściej korzystamy ze wzorów kombinatorycznych, które przypominamy poniżej, a także reguł dodawania i mnożenia.

Wzory kombinatoryczne
Opis wzoru	Wzór
Liczba permutacji zbioru $n$ –elementowego.	$P_{n} = n!$
Liczba $k$ –elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru $n$ –elementowego.	$V_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$
Liczba $k$ –elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru $n$ –elementowego.	$W_{n}^{k} = n^{k}$

Przykład 1

Obliczymy, ile jest:

liczb dwucyfrowych o różnych cyfrach, w których nie występuje cyfra $0$ .
Rozwiązanie: Zliczanie rozkładamy na dwa etapy:
$(1)$ zapisanie cyfry dziesiątek ( $9$ możliwości),
$(2)$ zapisanie cyfry jedności, różnej od cyfry dziesiątek ( $8$ możliwości).
Zatem szukanych liczb dwucyfrowych o różnych cyfrach, w których nie występuje cyfra $0$ , jest
$9 \cdot 8 = 72$ . Wybory i wszystkie utworzone w ich wyniku liczby można przedstawić w tabeli.

$c_{1} / c_{2}$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$		$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$
$2$	$21$		$23$	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$	$29$
$3$	$31$	$32$		$34$	$35$	$36$	$37$	$38$	$39$
$4$	$41$	$42$	$43$		$45$	$46$	$47$	$48$	$49$
$5$	$51$	$52$	$53$	$54$		$56$	$57$	$58$	$59$
$6$	$61$	$62$	$63$	$64$	$65$		$67$	$68$	$69$
$7$	$71$	$72$	$73$	$74$	$75$	$76$		$78$	$79$
$8$	$81$	$82$	$83$	$84$	$85$	$86$	$87$		$89$
$9$	$91$	$92$	$93$	$94$	$95$	$96$	$97$	$98$

liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, w których nie występuje ani cyfra $0$ , ani cyfra $5$ .
Rozwiązanie: Zliczanie rozkładamy na trzy etapy:
$(1)$ zapisanie cyfry setek ( $8$ możliwości),
$(2)$ zapisanie cyfry dziesiątek, różnej od cyfry setek ( $7$ możliwości),
$(3)$ zapisanie cyfry jedności, różnej od cyfry setek i od cyfry dziesiątek ( $6$ możliwości).
Zatem szukanych liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, w których nie występuje ani cyfra $0$ , ani cyfra $5$ , jest
$8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$
liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach, w zapisie których nie występuje żadna z cyfr: $0$ , $2$ , $4$ .
Rozwiązanie: Zliczanie rozkładamy na cztery etapy:
$(1)$ zapisanie cyfry tysięcy ( $7$ możliwości),
$(2)$ zapisanie cyfry setek, różnej od cyfry tysięcy ( $6$ możliwości),
$(3)$ zapisanie cyfry dziesiątek, różnej od cyfry tysięcy i od cyfry setek ( $5$ możliwości),
$(4)$ zapisanie cyfry jedności, różnej od każdej z trzech cyfr zapisanych wcześniej ( $4$ możliwości),
Zatem szukanych liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach, w zapisie których nie występuje żadna z cyfr: $0$ , $2$ , $4$ , jest
$7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$
liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, w zapisie których występują wyłącznie cyfry $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ .

Zliczanie rozkładamy na pięć etapów:

$(1)$ zapisanie cyfry dziesiątek tysięcy ( $7$ możliwości),

$(2)$ zapisanie cyfry tysięcy, różnej od cyfry dziesiątek tysięcy ( $6$ możliwości),

$(3)$ zapisanie cyfry setek, różnej od cyfr: tysięcy oraz dziesiątek tysięcy ( $5$ możliwości),

$(4)$ zapisanie cyfry dziesiątek, różnej od każdej z trzech cyfr zapisanych wcześniej ( $4$ możliwości),

$(5)$ zapisanie cyfry jedności, różnej od każdej z czterech cyfr zapisanych wcześniej ( $3$ możliwości).

Zatem szukanych liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, w zapisie których występują wyłącznie cyfry $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , jest:

$7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520$

Przykład 2

Obliczymy, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie nie występuje $0$ , jest dokładnie jedna cyfra $4$ i dokładnie jedna cyfra nieparzysta.

Rozwiązanie.

Podzielmy zbiór $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ jak poniżej, zgodnie z warunkami podanymi w zadaniu.

cyfry do wyboru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$	cyfra $4$ $\{4\}$	cyfry nieparzyste $\{1, 3, 5, 7, 9\}$	pozostałe cyfry $\{2, 6, 8\}$
$9$ elementów	$1$ element	$5$ elementów	$3$ elementy

Najpierw wybierzemy dwa miejsca, na których ustawimy odpowiednio: cyfrę $4$ oraz cyfrę nieparzystą.

Takich możliwości jest więc $4 \cdot 3$ , bo wybieramy te dwa miejsca bez powtórzeń (Pierwszą liczbę możemy wstawić na cztery sposoby, a drugą na trzy).

W każdym z tych $12$ przypadków pozostaje nam wstawić konkretne cyfry w trzy miejsca (cyfra $4$ swoje miejsce już zajęła):

w miejsce przeznaczone dla cyfry nieparzystej możemy wstawić cyfrę ze zbioru ${1, 3, 5, 7, 9}$ – jest $5$ takich możliwości,
w dwa pozostałe miejsca; w każde z nich musimy wstawić cyfrę parzystą ze zbioru $\{2, 6, 8\}$ – jest $3 \cdot 3 = 9$ takich możliwości.

Zatem w sumie mamy $3 \cdot 4 = 12$ rozłącznych przypadków wyboru miejsc dla cyfr wyróżnionych w treści zadania , a w każdym z nich mamy $5 \cdot 3 \cdot 3$ możliwości wstawienia odpowiednich cyfr.

Korzystając z reguły mnożenia, ostatecznie otrzymujemy

$(3 \cdot 4) \cdot (5 \cdot 3 \cdot 3) = 12 \cdot 45 = 540$

liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie nie występuje $0$ , jest dokładnie jedna cyfra $4$ i dokładnie jedna cyfra nieparzysta.

Uwaga. Powyższe zliczanie możemy też rozłożyć na trzy etapy:

$(1)$ wybór miejsca dla cyfry $4$ i zapisanie tej cyfry ( $4$ możliwości),

$(2)$ wybór miejsca dla cyfry nieparzystej i zapisanie tej cyfry ( $3 \cdot 5$ możliwości),

$(3)$ zapisanie cyfr na pozostałych dwóch miejscach ( $3 \cdot 3$ możliwości).

Ponieważ wyborów tych dokonujemy niezależnie, to korzystając z reguły mnożenia, obliczamy, że szukanych liczb jest

$4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 3 = 540$

Przykład 3

Obliczymy ile jest liczb pięciocyfrowych w których cyfry:

nie mogą się powtarzać,
mogą się powtarzać.

Rozwiązanie:

Liczbą pięciocyfrową można traktować jako pięciowyrazowy ciąg utworzony ze zbioru dziesięciu cyfr.
Wszystkich takich liczb jest więc:
$V_{10}^{5} = \frac{10!}{(10 - 5)!} = \frac{10!}{5!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30240$
Wśród rozważanych ciągów są też takie, które mają na początku $0$ .
$V_{9}^{4} = \frac{9!}{(9 - 4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$
Zatem wszystkich liczb pięciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach jest
$30240 - 3024 = 27216$ .
Chcąc utworzyć liczbę pięciocyfrową, w której cyfry mogą się powtarzać, mamy $9$ sposobów wyboru cyfry dziesiątek tysięcy (cyfrą dziesiątek tysięcy nie może być zero). Na każdym z pozostałych miejsc może stać jedna z dziesięciu cyfr.
Korzystamy z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia i wyznaczmy liczbę liczb:
$9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 90000$

Odpowiedź:
Liczb pięciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach jest $27216$ , a o powtarzających się cyfrach jest $90000$ .

Przykład 4

Ustalimy, ile dodatnich dzielników całkowitych ma każda z liczb: $72$ , $360$ oraz $1410$ .

Rozwiązanie:

Skorzystamy z zapisu każdej z tych liczb w postaci rozkładu na czynniki pierwsze.

Ponieważ $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ , więc każdy dodatni czynnik całkowity liczby $72$ jest liczbą postaci $2^{n} \cdot 3^{m}$ , przy czym $n$ jest liczbą ze zbioru $\{0, 1, 2, 3\}$ , natomiast $m$ jest liczbą ze zbioru $\{0, 1, 2\}$ . Zauważmy, że wybór dzielnika liczby $72$ polega na wykonaniu dwóch czynności: wyborze wykładnika dla czynnika $2$ – co można zrobić na $4$ sposoby, a następnie na wyborze wykładnika dla czynnika $3$ – co można zrobić na $3$ sposoby.

Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że $72$ ma $4 \cdot 3 = 12$ dzielników, które przedstawia poniższa tabela.

$\times$	$3^{0}$	$3^{1}$	$3^{2}$
$2^{0}$	$2^{0} \cdot 3^{0} = 1$	$2^{0} \cdot 3^{1} = 3$	$2^{0} \cdot 3^{2} = 9$
$2^{1}$	$2^{1} \cdot 3^{0} = 2$	$2^{1} \cdot 3^{1} = 6$	$2^{1} \cdot 3^{2} = 18$
$2^{2}$	$2^{2} \cdot 3^{0} = 4$	$2^{2} \cdot 3^{1} = 12$	$2^{2} \cdot 3^{2} = 36$
$2^{3}$	$2^{3} \cdot 3^{0} = 8$	$2^{3} \cdot 3^{1} = 24$	$2^{3} \cdot 3^{2} = 72$

Ponieważ $360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ , więc każdy dodatni czynnik całkowity liczby $360$ jest liczbą postaci $2^{n} \cdot 3^{m} \cdot 5^{k}$ , przy czym $n$ jest liczbą ze zbioru $\{0, 1, 2, 3\}$ , $m$ jest liczbą ze zbioru $\{0, 1, 2\}$ , natomiast $k$ jest liczbą ze zbioru $\{0, 1\}$ . Zauważmy, że wybór dzielnika liczby $360$ polega na wykonaniu trzech czynności, z których pierwsza może skończyć się na jeden z $4$ sposobów, druga – na jeden z $3$ sposobów, a trzecia – na jeden z $2$ sposobów.

Jeżeli najpierw rozpatrzymy wszystkie przypadki związane z wykonaniem dwóch pierwszych czynności (jest ich $12$ ), a następnie wykonamy trzecią czynność, to dostaniemy $24$ możliwości.

Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że $360$ ma $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ dodatnie dzielniki całkowite, które przedstawia poniższa tabela.

$\times$	$2^{0} \cdot 3^{0}$	$2^{1} \cdot 3^{0}$	$2^{2} \cdot 3^{0}$	$2^{3} \cdot 3^{0}$	$2^{0} \cdot 3^{1}$	$2^{1} \cdot 3^{1}$	$2^{2} \cdot 3^{1}$	$2^{3} \cdot 3^{1}$	$2^{0} \cdot 3^{2}$	$2^{1} \cdot 3^{2}$	$2^{2} \cdot 3^{2}$	$2^{3} \cdot 3^{2}$
$5^{0}$	$1$	$2$	$4$	$8$	$3$	$6$	$12$	$24$	$9$	$18$	$36$	$72$
$5^{1}$	$5$	$10$	$20$	$40$	$15$	$30$	$60$	$120$	$45$	$90$	$180$	$360$

Ponieważ $1410 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 47$ , więc każdy dodatni czynnik całkowity liczby $1410$ jest liczbą postaci $2^{n} \cdot 3^{m} \cdot 5^{k} \cdot 4 7^{l}$ , przy czym każda z liczb $n$ , $m$ , $k$ , $l$ wybierana jest ze zbioru $\{0, 1\}$ .

Zauważmy, że wybór dzielnika liczby $1410$ polega na wykonaniu czterech czynności, z których każda może skończyć się na jeden z $2$ sposobów.

Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że $1410$ ma $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ dzielników.

Przykład 5

Obliczymy sumę wszystkich liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ (cyfry mogą się powtarzać).

Rozwiązanie:

Wszystkich liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ jest dokładnie tyle, ile dwuelementowych ciągów $(c_{1}, c_{2})$ , gdzie $c_{1}$ oraz $c_{2}$ to liczby wybrane ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ , z powtórzeniami. Jest ich zatem $5 \cdot 5 = 25$ .

Sumę tych wszystkich liczb obliczymy dwoma sposobami.

sposób $I$

Wypisujemy wszystkie liczby w tabeli, przy czym elementy $c_{1}$ , $c_{2}$ pary $(c_{1}, c_{2})$ to dla konkretnej liczby odpowiednio cyfra dziesiątek oraz cyfra jedności.

$(c_{1}, c_{2})$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$1$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$
$2$	$21$	$22$	$23$	$24$	$25$
$3$	$31$	$32$	$33$	$34$	$35$
$4$	$41$	$42$	$43$	$44$	$45$
$5$	$51$	$52$	$53$	$54$	$55$

Sumujemy liczby dwucyfrowe w kolejnych wierszach. Zauważamy przy tym, że:

wszystkie liczby występujące w tym samym wierszu mają tę samą cyfrę dziesiątek,
cyfry jedności tych liczb są różnymi liczbami ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ .

$(c_{1}, c_{2})$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$1$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	Suma: $5 \cdot 10 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5)$
$2$	$21$	$22$	$23$	$24$	$25$	Suma: $5 \cdot 20 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5)$
$3$	$31$	$32$	$33$	$34$	$35$	Suma: $5 \cdot 30 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5)$
$4$	$41$	$42$	$43$	$44$	$45$	Suma: $5 \cdot 40 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5)$
$5$	$51$	$52$	$53$	$54$	$55$	Suma: $5 \cdot 50 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5)$
					razem	$5 \cdot 10 + 5 \cdot 20 + 5 \cdot 30 + 5 \cdot 40 + 5 \cdot 50 + 5 \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5)$

Na koniec dodajemy wszystkie otrzymane sumy i otrzymujemy

$5 \cdot (10 + 20 + 30 + 40 + 50) + 5 \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5)$

Oznacza to, że suma wszystkich liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ jest równa

$5 \cdot 10 \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 5 \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 5 \cdot (10 + 1) \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 5 \cdot 11 \cdot 15 = 825$

sposób $II$

Oznaczmy przez $S$ sumę wszystkich liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ .

Podobnie jak poprzednio wypisujemy wszystkie liczby w tabeli, przy czym do każdej z nich dopisujemy teraz drugą liczbę dwucyfrową, w następujący sposób: do liczby opisanej przez parę $(c_{1}, c_{2})$ dopisujemy liczbę opisaną przez parę $(6 - c_{1}, 6 - c_{2})$ .

$(c_{1}, c_{2}), (6 - c_{1}, 6 - c_{c})$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$1$	$11, 55$	$12, 54$	$13, 53$	$14, 52$	$15, 51$
$2$	$21, 45$	$22, 44$	$23, 43$	$24, 42$	$25, 41$
$3$	$31, 35$	$32, 34$	$33, 33$	$34, 32$	$35, 31$
$4$	$41, 25$	$42, 24$	$43, 23$	$44, 22$	$45, 21$
$5$	$51, 15$	$52, 14$	$53, 13$	$54, 12$	$55, 11$

Zauważmy, że:

istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie: liczby wyznaczonej przez parę $(c_{1}, c_{2})$ do liczby wyznaczonej przez parę $(6 - c_{1}, 6 - c_{2})$ , a ponadto suma takich dwóch liczb jest w każdym przypadku równa $66$ ,
każda z liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ jest przyporządkowana do dokładnie jednej pary $(6 - c_{1}, 6 - c_{2})$ , gdzie $c_{1}$ oraz $c_{2}$ to liczby wybrane ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ .

Oznacza to, że dodając wszystkie liczby dwucyfrowe wpisane w ten sposób do tabeli:

dodamy sumy par liczb wpisanych w $25$ komórkach tabeli, czyli $25$ razy liczbę $66$ ,
dokładnie dwa razy obliczymy każdy składnik sumy $S$ .

Stąd

$2 S = 25 \cdot 66$

a więc

$S = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 66 = 25 \cdot 33 = 825$

Animacje

Zapoznaj się z filmem, który pokazuje jak można wykorzystać permutacje do zliczania ilości liczb spełniających określone warunki.

R16e634rqyVFf

Polecenie 1

Wykorzystując informacje zawarte w filmie oblicz, ile wyrazów (mających sens lub nie) można utworzyć ze wszystkich liter słowa:

$L I T E R A$
$L I T E R A T$
$A P A R A T U R A$

Wszystkie możliwe ustawienia liter $\{L, I, T, E, R, A\}$ można zapisać w postaci sześcioelementowych ciągów. Pierwszy element (literę) można wybrać na 6 sposobów, drugi na $5$ sposobów, itd. Korzystając z reguły mnożenia, możemy utworzyć: $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6! = 720$ wyrazów.
W wyrazie $L I T E R A T$ występują dwie litery $T$ . Litery $T$ możemy zamienić miejscami na $2!$ sposoby, a utworzony wyraz nie ulegnie zmianie. Z liter wyrazu $L I T E R A T$ można więc utworzyć $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ wyrazów.
W wyrazie $A P A R A T U R A$ są $4$ litery $A$ i $2$ litery $R$ . Korzystamy ze wzoru na liczbę permutacji z powtórzeniami. $\frac{9!}{4! \cdot 2!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{2} = 7560$

Odpowiedź:

Ze wszystkich liter słowa $L I T E R A$ można utworzyć $720$ wyrazów, z liter słowa $L I T E R A T$ można utworzyć $360$ wyrazów, a z liter słowa $A P A R A T U R A$ aż $7560$ wyrazów.

Zapoznaj się z filmem, który pokazuje zastosowania wariacji z powtórzeniami do wyznaczania liczby liczb spełniających określone warunki.

RxT7yIYJt98SV

Polecenie 2

Oblicz, ile istnieje parzystych liczb pięciocyfrowych, które są podzielne przez $5$ :

jeżeli cyfry w tej liczbie nie mogą się powtarzać,
jeżeli cyfry w tej liczbie mogą się powtarzać,
jeżeli cyfry w tej liczbie nie mogą się powtarzać oraz liczba ta jest mniejsza niż $5000$ .

Liczby parzyste i podzielne przez $5$ to takie, które są podzielne przez $10$ , więc na ostatnim miejscu takiej liczby stoi cyfra $0$ .

Zauważ, że takich liczb jest tyle ile czteroelementowych wariacji bez powtórzeń zbioru dziewięcioelementowego.
Zauważ, że na pierwszym miejscu takiej liczby nie może stać cyfra $0$ , a pozostałe miejsca mogą zostać zajęte na tyle sposobów ile jest trójwyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru dziesięcioelementowego.
Zauważ, że na pierwszym miejscu takiej liczby mogą stać tylko cyfry ze zbioru $\{1, 2, 3, 4\}$ , a pozostałe miejsca mogą zostać zajęte na tyle sposobów ile jest trójwyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru ośmioelementowego.

$V_{9}^{4} = \frac{9!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$
Takich liczb jest $3024$ .
$9 \cdot W_{10}^{3} = 9 \cdot 10^{3} = 9000$
Takich liczb jest $9000$ .
$4 \cdot V_{8}^{3} = 4 \cdot \frac{8!}{5!} = 4 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 1344$
Takich liczb jest $1344$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1DQMj7v7z6Df1

Ćwiczenie 1

RMteW6egnBaby1

Ćwiczenie 2

REptruSFomKzj2

Ćwiczenie 3

R1b6NtkHr2rUN2

Ćwiczenie 4

RfYVZFGsf1x082

Ćwiczenie 5

R1AZ2yRbG6G0N1

Ćwiczenie 6