4. Permutacje

R15NAFDEF7A5D

Przeanalizujemy przykład przytoczony przez Juliana Tuwima w jego zbiorku „Cicer cum caule, czyli groch z kapustą” (treść podajemy za wydaniem: Czytelnik, Warszawa 1958–59)

„Za czasów studenckich jadałem „smaczne domowe obiady na maśle” u jakiejś zdeklasowanej bałtyckiej baronessy, bardzo ważnej, sztywnej i pedantycznej damy. Obiady były doprawdy smaczne, więc nasza ekipa – czternaście osób – przez dłuższy czas zasiadała przy podłużnym stole w niezmienionym składzie. I każdy miał swoje wyznaczone miejsce, którego nie wolno było zmieniać.

Jako najmłodszemu, przypadło mi miejsce na szarym końcu, a że służąca, postać również nadęta i pedantyczna, obnosiła półmiski zawsze w tej samej kolejności, zaczynając od jakiegoś b. carskiego huzara, a kończąc na mnie, dostawały mi się zazwyczaj żałosne resztki potraw.

Gdy kiedyś zaproponowałem łagodnie, aby stołownicy przesuwali się co dzień o jedno krzesło naprzód, projekt mój spotkał się z takim zabójczym spojrzeniem baronessy, że co prędzej zamilkłem. Ale nie dałem za wygraną. Nazajutrz wystąpiłem z nowym, znacznie radykalniejszym projektem rozmieszczenia ludzi przy stole.

Co dzień, powiedziałem, będziemy siadać w innym porządku, aż się wyczerpią wszystkie możliwe kombinacje tych przesiadań.

Ale madame była nieugięta – a pewien starszy pan uśmiechał się tylko i kręcił głową.

Po godzinie okazało się, że pomysł mój był absurdalny, po prostu obłąkany.

Po obiedzie starszy pan zaprosił mnie na kawę do pobliskiej cukierni.

– Więc pan chciałby przesadzać czternaście osób, co dzień w innej kolejności, aż do wyczerpania wszystkich możliwych kombinacji, czy tak?

– Tak jest, proszę pana.

– I co pan sądzi, jak to długo będzie trwało, aż pan te wszystkie możliwe kombinacje wyczerpie?

– No, nie wiem... może nawet parę tygodni... ale musi być sprawiedliwość.

– Owszem, musi być - odrzekł fundator kawy i zaczął coś obliczać ołówkiem na marmurze stolika.

Po paru minutach powiedział:

– Ale będzie to, panie drogi, trwało - niech pan słucha: dwieście trzydzieści osiem milionów osiemset czterdzieści cztery tysiące sześćset trzydzieści trzy lata.

Osłupiałem, myśląc, że mam do czynienia z wariatem.

- Jak to? 14 osób musi się przesiadać blisko 239 milionów lat, aby wyczerpać wszystkie możliwe sąsiedztwa? Pan sobie chyba ze mnie kpi!

Czarnym ołówkiem na białym marmurze dowiódł mi ów pan (nauczyciel matematyki w gimnazjum), że ma rację.”

Na podstawie treści zadania domyślamy się, że ów starszy pan, fundator kawy, przedstawił następujące rachunki:

Wszystkich rozmieszczeń grupy $14$ stołowników na $14$ dostępnych im $14$ różnych miejscach jest $14!$ , czyli $87178291200$ .

Wiemy, że jest ich dokładnie tyle, ponieważ każde takie rozmieszczenie jest $14$ –elementową wariacją bez powtórzeń czternastoelementowego zbioru.

Twoje cele

Dowiesz się czy są permutacja.
Nauczysz się rozpoznawać permutacje w typowych doświadczeniach.
Znajomość twierdzenia o liczbie permutacji pozwoli Ci obliczać, ile jest wyników wymienionych wyżej doświadczeń.
Dowiesz się również, jak obliczać liczbę wszystkich permutacji, których elementy spełniają ustalone warunki.

Rozpatrywać będziemy doświadczenia, które polegają na ustawieniu w pewnej kolejności wszystkich wyrazów zbioru $n$ –elementowego. Każdy otrzymany w ten sposób ciąg będziemy nazywać permutacją tego zbioru $n$ –elementowego.

Zauważmy, że na podstawie reguły mnożenia natychmiast stwierdzimy, że liczba wszystkich permutacji zbioru $n$ –elementowego jest równa $n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot 1 = n!$ .

Zauważmy też, że permutacja zbioru $n$ –elementowego jest $n$ –elementową wariacją bez powtórzeń tego zbioru.

Permutacja

Definicja: Permutacja

Permutacją $P_{n}$ (bez powtórzeń) zbioru złożonego z $n$ różnych elementów nazywamy każdy $n$ wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów danego zbioru.

Liczba permutacji zbioru $n$ – elementowego wyraża się wzorem

$P_{n} = n!$

Przykład 1

Wypisz wszystkie permutacje zbioru $\{A, B, C\}$ .

Rozwiązanie:

R1bRDtJ1yUXFA

W tym przypadku ważna jest kolejność. Postępując zgodnie ze schematem zaprezentowanym na powyższym rysunku, na pierwszym miejscu stawiamy $A$ , $B$ lub $C$ . Jeśli na pierwszym miejscu jest $A$ , to na dalszych mogą być $B$ , $C$ lub $C$ , $B$ . Analogicznie jest w przypadkach, gdy na pierwszym miejscu jest $B$ oraz $C$ .

Takie rozumowanie pozwala na wypisanie wszystkich możliwości, bez pominięcia żadnego z rozwiązań:

(A,BC), (A,C,B)

(B,A,C), (B,C,A)

(C,A,B), (CBA).

Korzystając ze wzoru na liczbę permutacji łatwo obliczyć, że permutacji zbioru trójelementowego jest $3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6$ . Oznacza to, że wypisaliśmy wszystkie możliwości.

Przykład 2

Na ile sposobów można ustawić w kolejce trójkę dziewcząt i dwójkę chłopców? A co w sytuacji, gdy dziewczęta mają stać przed chłopcami?

Rozwiązanie:

W pierwszej sytuacji nie jest istotna płeć. Mamy $3 + 2 = 5$ elementów ustawić w kolejce.

Tak więc $(3 + 2)! = 5! = 120$ , bo te ustawienia to po prostu permutacje.

W drugiej sytuacji dziewczęta muszą stać przed chłopcami. Popatrzmy więc na ten przykład jak na dwie kolejki – kolejkę dziewcząt i kolejkę chłopców.

Najpierw zastanówmy się, na ile sposobów możemy ustawić kolejkę dziewcząt?

Na $3! = 6$ sposobów, bo są $3$ dziewczynki.

Podobnie chłopców można ustawić na $2! = 2$ sposoby.

Zatem na podstawie reguły mnożenia dostajemy: $3! \cdot 2! = 6 \cdot 2 = 12$ ustawień.

Można je łatwo wypisać, oznaczmy dziewczynki literami: $A$ , $B$ i $C$ , a chłopców $F$ i $G$ , wówczas:

$A B C - F G$ , $A B C - G F$ ,
$A C B - F G$ , $A C B - G F$
$B A C - F G_{,}$ , $B A C - G F$
$B C A - F G$ , $B C A - G F$ ,
$C A B - F G$ , $C A B - G F$ ,
$C B A - F G$ , $C B A - G F$ .

Mamy więc $12$ ustawień, gdy dziewczynki stoją przed chłopcami.

Przykład 3

Tworzymy liczby ośmiocyfrowe o różnych cyfrach, wśród których nie ma cyfr $0$ oraz $9$ . Obliczymy, ile jest wszystkich takich liczb, w których zapisie dziesiętnym cyfry $3$ oraz $4$ zapisane są obok siebie.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że każda liczba ośmiocyfrowa utworzona za pomocą różnych cyfr ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ może być wzajemnie jednoznacznie utożsamiona z ośmioelementowym ciągiem kolejnych cyfr zapisu dziesiętnego tej liczby. Naszym zadaniem jest więc wyznaczenie wszystkich permutacjipermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutacji zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ , w których elementy $3$ i $4$ sąsiadują ze sobą. Rozwiązanie tego problemu przedstawimy na dwa sposoby.

$I$ sposób:
Jeśli w takiej $8$ –elementowej permutacjipermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutacji ustalimy parę sąsiednich miejsc dla cyfr $3$ i $4$ , to te dwie liczby możemy na ustalonych miejscach rozmieścić na $2!$ sposobów, a inne $6$ elementów rozmieścimy na pozostałych $6$ miejscach na $6!$ sposobów. Ponieważ możliwe pary sąsiednich miejsc to: $1$ i $2$ lub $2$ i $3$ , lub $3$ i $4$ , lub $4$ i $5$ , lub $5$ i $6$ , lub $6$ i $7$ , lub $7$ i $8$ , więc jest ich do wyboru $7$ . Zatem, korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia, otrzymujemy ostatecznie, że wszystkich liczb spełniających warunki zadania jest
$2! \cdot 6! \cdot 7 = 10080$ .

$II$ sposób:
Rozpatrujemy wszystkie permutacjepermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutacje zbioru $7$ –elementowego $\{\{3, 4\}, 1, 2, 5, 6, 7, 8\}$ , których jest $7!$ . Jeżeli w każdej z nich uwzględnimy możliwe permutacjepermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutacje elementu $\{3, 4\}$ , których jest $2!$ , to w efekcie otrzymamy permutacjępermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutację zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ , w której elementy $3$ i $4$ sąsiadują ze sobą.
Na podstawie reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia, otrzymujemy więc, że wszystkich liczb spełniających warunki zadania jest
$2! \cdot 7! = 10080$ .

Przykład 4

Rozpatrujemy wszystkie sześciocyfrowe liczby naturalne o różnych cyfrach. Obliczymy, ile jest wśród nich takich liczb, których suma wszystkich cyfr jest większa od $35$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że największa możliwa suma cyfr liczby sześciocyfrowej o różnych cyfrach jest równa $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39$ .

Ponadto:

sumę cyfr równą $38$ dostaniemy tylko wtedy, gdy cyframi będą $9$ , $8$ , $7$ , $6$ , $5$ oraz $3$ ,
sumę cyfr równą $37$ dostaniemy jedynie w dwóch przypadkach: gdy cyframi będą $9$ , $8$ , $7$ , $6$ , $5$ oraz $2$ , a także, gdy cyframi będą $9$ , $8$ , $7$ , $6$ , $4$ oraz $3$ ,
sumę cyfr równą $36$ dostaniemy tylko w trzech przypadkach: gdy cyframi będą $9$ , $8$ , $7$ , $6$ , $5$ oraz $1$ lub gdy cyframi będą $9$ , $8$ , $7$ , $6$ , $4$ oraz $2$ , a także, gdy cyframi będą $9$ , $8$ , $7$ , $5$ , $4$ oraz $3$ .

Ponieważ liczbę sześciocyfrową o różnych cyfrach można zapisać za pomocą sześciu różnych cyfr na $6!$ sposobów, a wszystkich przypadków, w których taka liczba spełnia warunki zadania jest $7$ , więc wszystkich sześciocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, których suma wszystkich cyfr jest większa od $35$ jest

$7 \cdot 6! = 7 \cdot 720 = 5040$ .

Przykład 5

Obliczymy, ile jest wszystkich permutacjipermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutacji zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ , w których pierwszym wyrazem nie jest $1$ , a drugim jest $2$ .

Rozwiązanie:

Niech $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}, a_{9})$ będzie permutacjąpermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutacją zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ .

Jeżeli taka permutacjapermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutacja spełnia warunki zadania, to $a_{1} \neq 1$ i $a_{2} = 2$ .

Ponieważ $a_{2}$ jest ustalone (mówimy też, że $2$ jest punktem stałym tej permutacjipermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutacji), więc wystarczy obliczyć, ile jest permutacjipermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutacji $(a_{1}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}, a_{9})$ zbioru $\{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ , w których $a_{1} \neq 1$ .

Rozwiązanie przedstawimy na trzy sposoby.

$I$ sposób:
Skorzystamy z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia. Ponieważ $a_{1}$ można wybrać na $7$ sposobów (tyle jest możliwości wyboru liczby różnej od $1$ spośród $8$ dostępnych) oraz przy każdym z dokonanych w ten sposób wyborów $a_{1}$ pozostałe $7$ elementów rozmieszczamy na $7$ pozostałych miejscach, więc wszystkich możliwości jest $7 \cdot 7!$

$II$ sposób:
Skorzystamy z reguły dodawania. Wszystkich permutacjipermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutacji $(a_{1}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}, a_{9})$ zbioru $\{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ jest $8!$
Wśród nich wyróżnimy dwie rozłączne grupy:
- w pierwszej znajdą się te permutacjepermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutacje, w których $a_{1} \neq 1$
- w drugiej pozostałe, czyli te, w których $a_{1} = 1$ .
Ponieważ tych ostatnich jest $7!$ (po ustaleniu pierwszego wyrazu permutacjipermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutacji pozostaje rozmieścić $7$ wyrazów na $7$ miejscach), więc wszystkich permutacjipermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutacji w pierwszej grupie jest $8! - 7! = 7! \cdot (8 - 1) = 7! \cdot 7$ .

$III$ sposób:
Skorzystamy z reguły równoliczności. Wszystkich permutacjipermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutacji $(a_{1}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}, a_{9})$ zbioru $\{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ jest $8!$
Ze względu na wartość $a_{1}$ można je podzielić na $8$ równolicznych grup, przy czym w $7$ przypadkach, tzn. wtedy, gdy $a_{1} \neq 1$ spełnione są warunki zadania. A więc wszystkich takich permutacjipermutacja zbioru $n$ –elementowegopermutacji jest $\frac{7}{8} \cdot 8! = 7 \cdot 7!$

Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z przedstawioną poniżej galerią zdjęć interaktywnych. Przeanalizuj zaprezentowane w niej rozwiązania zadań dotyczących zapisu dziesiętnego liczb naturalnych. Jest w nich pokazane, jak wykorzystać wzór na liczbę permutacji.

R1UD8JAGMJXQD

R31TNCTOONMP4

R1F2FCRRXXB3M

Ilustracja trzecia. Przykład 2 rozpatrujemy wszystkie 7 cyfrowe liczby naturalne o różnych cyfrach wybranych ze zbioru nawias klamrowy, jeden przecinek dwa, przecinek, trzy przecinek cztery, przecinek, pięć przecinek sześć, przecinek, siedem, zamknięcie nawiasu klamrowego. obliczymy ile jest wśród nich takich liczb że między cyframi jeden oraz 2 zapisane są 3 inne cyfry. Zauważmy, że każda permutacja nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, siedem, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu zbioru nawias klamrowy, jeden przecinek dwa, przecinek, trzy przecinek cztery, przecinek, pięć przecinek sześć, przecinek, siedem, zamknięcie nawiasu klamrowego odpowiada wzajemnie jednoznacznie liczbie siedmiocyfrowej, w której kolejnymi cyframi (patrząc od lewej) są x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, siedem, koniec indeksu dolnego.
Taką liczbę zwyczajowo zapisuje się za pomocą symbolu wartość średnia x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, siedem, koniec indeksu dolnego. Rozwiązanie. Rozwiązanie zadania sprowadza się do wyznaczenia liczby wszystkich permutacji nawias klamrowy, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, siedem, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu klamrowego. zbioru nawias klamrowy, jeden przecinek dwa, przecinek, trzy przecinek cztery, przecinek, pięć przecinek sześć, przecinek, siedem, zamknięcie nawiasu klamrowego. w których między elementami jeden oraz 2 zapisane są 3 inne elementy

RA6XV9OJLCLQL

Polecenie 2

Wykorzystując informacje z galerii, oblicz, ile jest wszystkich takich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach zapisanych za pomocą cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , w których zapisie:

cyfra $1$ zapisana jest na pierwszym miejscu od lewej.

Pokaż odpowiedź

Zapisujemy cyfrę $1$ na pierwszym miejscu od lewej. Pozostaje nam rozmieścić pozostałe $4$ cyfry na $4$ miejscach, co można zrobić na $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ sposoby. Oznacza to, że są $24$ takie liczby.

między cyframi $1$ oraz $2$ zapisane są trzy inne cyfry.

Pokaż odpowiedź

Z treści zadania wynika, że cyfry $1$ oraz $2$ muszą zająć dwa skrajne miejsca, a pozostałe trzy cyfry trzeba wpisać na trzech miejscach między nimi. Wobec tego cyfry $1$ i $2$ zapiszemy na dwa sposoby, a w każdym z tych przypadków cyfry $3$ , $4$ , $5$ zapiszemy na $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ sposobów. Zatem wszystkich takich liczb jest $2 \cdot 6 = 12$ .

cyfry $1$ oraz $2$ nie są zapisane obok siebie.

Pokaż odpowiedź

sposób $I$

Zliczanie rozkładamy na trzy etapy:

wybór miejsca dla cyfry $1$ i zapisanie tej cyfry,
wybór miejsca dla cyfry $2$ i zapisanie tej cyfry,
zapisanie pozostałych trzech cyfr.

Mamy dwa istotnie różne przypadki:

jeżeli cyfrę $1$ zapiszemy na jednym z dwóch skrajnych miejsc, to cyfrę $2$ będziemy mogli zapisać na jednym z trzech miejsc, a wtedy pozostałe trzy cyfry rozmieszczamy na trzech dostępnych miejscach na $3!$ sposobów. W tym przypadku mamy więc $2 \cdot 3 \cdot 3! = 36$ sposobów zapisu takich liczb.
jeżeli cyfrę $1$ zapiszemy na miejscu drugim, trzecim lub czwartym, to cyfrę $2$ będziemy mogli zapisać na jednym z dwóch miejsc, a wtedy pozostałe trzy cyfry rozmieszczamy na trzech dostępnych miejscach na $3!$ sposobów. W tym przypadku mamy więc $3 \cdot 2 \cdot 3! = 36$ sposobów zapisu takich liczb.

Wobec tego wszystkich takich liczb jest $36 + 36 = 72$ .

sposób $II$
Zauważamy, że wszystkich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach zapisanych za pomocą cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ jest $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ . W zapisie każdej z tych liczb cyfry $1$ , $2$ są zapisane obok siebie albo nie są zapisane obok siebie. Dla ustalenia, ile jest liczb w drugim przypadku, wystarczy więc obliczyć, ile jest takich liczb, w których cyfry $1$ , $2$ są zapisane obok siebie.
Zliczanie rozkładamy na dwa etapy:
– wybór dwóch miejsc dla cyfr $1$ , $2$ oraz zapisanie tych cyfr,
– zapisanie pozostałych trzech cyfr.
Mamy cztery możliwości wyboru sąsiednich miejsc dla cyfr $1$ , $2$ : pierwsze i drugie lub drugie i trzecie, lub trzecie i czwarte, lub czwarte i piąte. W każdym z tych czterech przypadków cyfry $1$ , $2$ możemy zapisać na wybranych miejscach na dwa sposoby. W drugim etapie zapisujemy pozostałe trzy cyfry na trzech dostępnych miejscach, co można zrobić na $3!$ sposobów. Oznacza to, że wszystkich takich liczb pięciocyfrowych, w których cyfry $1$ , $2$ są zapisane obok siebie, jest $4 \cdot 2 \cdot 3! = 48$ . Stąd wszystkich takich liczb pięciocyfrowych, w których cyfry $1$ , $2$ nie są zapisane obok siebie, jest $120 - 48 = 72$ .
Uwaga. Zliczanie wszystkich możliwych liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach zapisanych za pomocą cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ w których cyfry $1$ , $2$ są zapisane obok siebie, można przeprowadzić w następujący sposób:
Dwie sąsiadujące cyfry $1$ , $2$ zapisujemy jako jeden nowy obiekt, który oznaczamy jako np. $x$ . Następnie obliczamy liczbę możliwych rozmieszczeń $4$ elementów: bloku $x$ oraz cyfr $3$ , $4$ , $5$ , – takich rozmieszczeń jest $4! = 24$ . W każdym z nich trzeba jeszcze zamienić $x$ na zapisane obok siebie cyfry $1$ , $2$ , co można zrobić na $2$ sposoby. Ostatecznie stwierdzamy, że wszystkich możliwych liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach zapisanych za pomocą cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , w których cyfry $1$ , $2$ są zapisane obok siebie, jest $2 \cdot 24 = 48$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

RTJ2Op1ddioDd1

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 3

Na ile sposobów można ustawić w pary taneczne grupę pięciu dziewcząt i pięciu chłopców?
Na ile sposobów można ustawić w kolejce trójkę dziewcząt i trójkę chłopców tak, aby dziewczęta i chłopcy stali na przemian?

$P_{5} = 5! = 120$
$2 \cdot P_{3} \cdot P_{3} = 2 \cdot 3! \cdot 3! = 72$

R1ZDZu3mQrRtI2

Ćwiczenie 2

R9JUJDZSO1O231

Ćwiczenie 3

W powieści Kosmos Witolda Gombrowicza Ludwik zwraca się do Leona w następujący sposób
Jak ojciec tak myśli i myśli, to niech ojciec wyobrazi sobie dziesięciu żołnierzy, idących gęsiego jeden za drugim, jak ojciec myśli… ile czasu trzeba by na zużycie wszystkich kombinacji uszeregowania tych żołnierzy, przestawiając na przykład trzeciego na miejsce pierwszego i tak dalej… gdybyśmy przyjęli, że co dzień dokonujemy jednej zmiany?
Przyjmując, że średnio na rok przypada trzysta sześćdziesiąt pięć przecinek dwa cztery dwa dwa doby oblicz, z dokładnością do pełnego roku, ile lat zajęłoby wyczerpanie wszystkich możliwości uszeregowania

10

żołnierzy w sposób zasugerowany przez Ludwika. Wynik swoich obliczeń wpisz w puste pole. Tu uzupełnij

RJ2UM1ZKOP8L81

Ćwiczenie 4

R1JVQLKC4APVM2

Ćwiczenie 5

RJDXSXQXPUD9P2

Ćwiczenie 6

R65BE9H5QRZXU3

Ćwiczenie 7

R1B5DM6B63Z923

Ćwiczenie 8

RT7KFTUHUU1N23

Ćwiczenie 9

Słownik

permutacja zbioru

n

–elementowego

permutacja zbioru

n

–elementowego

Każdy ciąg utworzony ze wszystkich elementów zbioru $n$ –elementowego.

ciąg

funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste

reguła mnożenia

liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei $n$ czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z $k_{1}$ sposobów, druga – na jeden z $k_{2}$ sposobów, trzecia – na jeden z $k_{3}$ sposobów i tak dalej do $n$ –tej czynności, która może zakończyć się na jeden z $k_{n}$ sposobów, jest równa

$k_{1} \cdot k_{2} \cdot \dots \cdot k_{n}$

3. Wariacje bez powtórzeń

5. Liczenie liczb

4. Permutacje

Galeria zdjęć interaktywnych

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik