1. Średnia arytmetyczna

RiTX9ktgYr7rO

Czy wiesz, że w czasie II wojny światowej alianci spisywali numery seryjne zdobytych czołgów niemieckich? Dzięki analizie statystycznej tych numerów, mogli statystycznie oszacować wielkość miesięcznej produkcji czołgów i innych elementów sprzętu wojskowego. Po wojnie stwierdzono, że wyniki, które w ten sposób uzyskano były znacznie dokładniejsze niż dane dostarczone przez wysoko wyszkolonych wywiadowców i obserwacje lotnicze.

Ta anegdota zapewne utwierdziła Cię w przekonaniu, jak ważną dziedziną wiedzy jest statystyka i z przyjemnością zapoznasz się z materiałem, który dotyczy średniej arytmetycznej – jednego z najważniejszych pojęć statystycznych.

Twoje cele

Obliczysz średnią arytmetyczną zestawu danych uporządkowanych oraz danych nieuporządkowanych.
Wyodrębnisz własności badanego zestawu danych, na podstawie obliczonej średniej.

Parametry statystyczne

Dane statystyczne przedstawione w postaci uporządkowanego szeregu statystycznego, tablic bądź wykresów, można poddać analizie, której zadaniem jest wykrycie prawidłowości i związków zachodzących w badanej zbiorowości, co w konsekwencji może posłużyć do ustalenia przyczyn kształtowania się danego zjawiska.

Do analizy danych wykorzystywane są parametry statystyczne (zwane też miarami statystycznymi lub charakterystykami liczbowymi).

Do podstawowych parametrów opisujących strukturę zbiorowości statystycznych należą miary tendencji centralnej (np. średnia arytmetycznaśrednia arytmetycznaśrednia arytmetyczna, średnia ważona, dominanta) i miary rozproszenia (np. wariancja, odchylenie standardowe).

Miary tendencji centralnej (zwane miarami średnimi, przeciętnymi) charakteryzują przeciętny poziom badanego zjawiska. Przyjmują takie wartości, wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości badanej cechy statystycznej. Są to miary mianowane, wyznaczane dla cech mierzalnych.

Miary rozproszenia (miary rozrzutu, odchylenia, dyspersji) informują jakie są różnice między poszczególnymi wartościami jednostek statystycznych, a ich wartością średnią. Pokazują stopień zróżnicowania między sobą jednostek statystycznych pod względem badanej cechy.

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna (zwana też krótko średnią) jest jedną z miar tendencji centralnej, umożliwiającą formułowanie obiektywnych wniosków dotyczących zebranych danych liczbowych.

Średnia arytmetyczna

Definicja: Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną liczb $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ nazywamy liczbę $\bar{x}$ określoną wzorem

\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}

Średnia arytmetyczna może przyjmować wartości, nie występujące w badanym zbiorze danych. Jest wielkością mianowaną, czyli jest wyrażona w takich samych jednostkach jak badana cecha.

Przykład 1

Pewien zakład pracy zatrudnia $4$ pracowników. W maju pracownicy przepracowali odpowiednio: $160$ godzin, $220$ godzin, $140$ godzin, $180$ godzin. Obliczymy średnią godzin przepracowanych w maju przez jednego pracownika.

Rozwiązanie:

Zbiorowość statystyczną tworzą pracownicy zakładu pracy. Jest $4$ pracowników, zatem liczba jednostek statystycznych to $n = 4$ .

Badana cecha to liczba przepracowanych godzin. Wartości tej cechy:

$x_{1} = 160$ godzin, $x_{2} = 220$ godzin, $x_{3} = 140$ godzin, $x_{4} = 180$ godzin.

Wykonujemy obliczenia, podstawiając wyznaczone liczby do wzoru na średnią arytmetyczną.

$\bar{x} = \frac{160 + 220 + 140 + 180}{4} = \frac{700}{4}$

$\bar{x} = 175$ godzin

Odpowiedź:

Średnio w maju pracownik przepracował $175$ godzin. Dwóch pracowników przepracowało mniej godzin, a dwóch więcej od średniej.

Obliczając średnią arytmetyczną, należy uwzględnić wszystkie wartości danego zbioru. Oznacza to, że zmiana któregokolwiek z elementów zbioru danych prowadzi do zmiany wartości średniej.

Należy przy tym pamiętać, że średnia arytmetycznaśrednia arytmetycznaśrednia arytmetyczna nie może przyjmować wartości niższej niż najmniejsza wartość badanej cechy oraz wyższej niż największa wartość badanej cechy.

Przykład 2

Średnie miesięczne wynagrodzenie w firmie zatrudniającej $9$ pracowników wynosiło $3600 zł$ . Zatrudniono nowego pracownika i teraz średnie miesięczne wynagrodzenie wzrosło o $5 %$ . Obliczymy ile zarabia nowo zatrudniony pracownik.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
$x_{1} zł$ – zarobki pierwszego pracownika,
$x_{2} zł$ – zarobki drugiego pracownika,
...
$x_{9} zł$ – zarobki dziewiątego pracownika,
$x_{10} zł$ – zarobki dziesiątego, nowo przyjętego pracownika.

Wtedy:

$\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{9}}{9} = 3600$

Stąd:

$x_{1} + x_{2} + . . . + x_{9} = 32400$

Po zatrudnieniu nowego pracownika średnia arytmetyczna zarobków wzrosła i wynosi teraz:

$105 % \cdot 3600 = 3780 zł$

Podstawiając uzyskane dane do wzoru na średnią arytmetyczną, wyznaczymy wynagrodzenie nowo zatrudnionego pracownika.

$\frac{x_{1} + x_{2} + \dots x_{9} + x_{10}}{10} = 3780 | \cdot 10$

$x_{1} + x_{2} + . . . + x_{9} + x_{10} = 37800$

$32400 + x_{10} = 37800$

$x_{10} = 5400 zł$

Odpowiedź:

Nowo zatrudniony pracownik zarabia $5400 zł$ .

W niektórych przypadkach średnią możemy obliczyć korzystając z tego, że jeżeli każdą z liczb $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ zwiększymy (lub zmniejszymy) o liczbę $k$ , to średnia zwiększy się (lub zmniejszy) również o liczbę $k$ .

Przykład 3

Obliczymy średnią arytmetyczną liczb: $16$ , $15$ , $18$ , $24$ , $26$ , $19$ , $22$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wszystkie liczby z rozważanego zestawu są „bliskie” liczbie $20$ .

Zapisujemy więc każdą z tych liczb w postaci sumy (różnicy), której jednym ze składników jest liczba $20$ .

$16 = 20 - 4$

$15 = 20 - 5$

$18 = 20 - 2$

$24 = 20 + 4$

$26 = 20 + 6$

$19 = 20 - 1$

$22 = 20 + 2$

Obliczamy średnią arytmetyczną tak zapisanych liczb.

$\bar{x} = \frac{(20 - 4) + (20 - 5) + (20 - 2) + (20 + 4) + (20 + 6) + (20 - 1) + (20 + 2)}{7}$

$\bar{x} = \frac{7 \cdot 20 + (- 4 - 5 - 2 + 4 + 6 - 1 + 2)}{7}$

$\bar{x} = 20 + \frac{- 12 + 12}{2} = 20 + 0 = 20$

Odpowiedź:

Średnia arytmetycznaśrednia arytmetycznaŚrednia arytmetyczna zestawu podanych liczb jest równa $20$ .

Niech $A$ i $B$ będą zbiorami dwóch różnych danych liczbowych. Średnia $\bar{x_{A}}$ niech będzie średnią arytmetyczną liczb ze zbioru $A$ , średnia $\bar{x_{B}}$ niech będzie średnią arytmetyczną liczb ze zbioru $B$ .

Niech $C$ będzie zbiorem utworzonym ze wszystkich liczb zbioru $A$ i zbioru $B$ oraz $\bar{x}$ niech będzie średnią liczb ze zbioru $C$ . Wtedy średnia arytmetyczna liczb $\bar{x_{A}}$ i $\bar{x_{B}}$ nie musi być równa liczbie $\bar{x}$ .

Przykład 4

W grupie znajomych są $3$ kobiety i $5$ mężczyzn. Każda z kobiet ma $18$ lat. Natomiast każdy z mężczyzn ma $20$ lat.

Średnia wieku kobiet wynosi więc $18$ lat, a mężczyzn $20$ lat. Czy z tego wynika, że średnia wieku całej grupy jest równa $\frac{18 + 20}{2} = 19$ lat?

Obliczmy:

$\frac{18 + 18 + 18 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20}{3 + 5} = \frac{154}{8} = 19, 25$

Otrzymaliśmy inny wynik, gdyż liczba kobiet nie była równa liczbie mężczyzn!

Dotychczas określaliśmy średnią arytmetyczną zestawu danych przedstawionego w postaci szeregu indywidualnego, teraz pokażemy, jak można wyznaczyć średnią liczb zapisanych w postaci szeregu rozdzielczego punktowego.

Przykład 5

Piotrek obliczył, że na $15$ początkowych stronach książki, którą czyta, znajduje się następująca liczba wierszy: $30$ , $26$ , $26$ , $32$ , $26$ , $26$ , $30$ , $30$ , $24$ , $32$ , $26$ , $26$ , $24$ , $30$ , $32$ .

Obliczymy średnią liczbę wierszy na jednej stronie tej książki.

Rozwiązanie:

I sposób:

Obliczamy średnią, korzystając z danych indywidualnych.

$\bar{x} = \frac{30 + 26 + 26 + 32 + 26 + 26 + 30 + 30 + 24 + 32 + 26 + 26 + 24 + 30 + 32}{15}$

$\bar{x} = \frac{420}{15} = 28$

II sposób:

Zapisujemy dane w postaci szeregu rozdzielczego.

Argumenty i Wartości
Liczba wierszy na stronie	$24$	$26$	$30$	$32$
Liczba stron	$2$	$6$	$4$	$3$

Zauważmy, że sumę wierszy możemy teraz obliczyć jako sumę iloczynów liczb wierszy na stronie i liczb stron.

$24 \cdot 2 + 26 \cdot 6 + 30 \cdot 4 + 32 \cdot 3 = 420$

Obliczamy średnią.

$\bar{x} = \frac{420}{15} = 28$

Odpowiedź:

Średnia liczba wierszy na $15$ początkowych stronach książki wynosi $28$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Zastanów się, w jaki sposób można obliczyć średnią arytmetyczną zestawu danych przedstawionych w postaci graficznej.

Opracuj algorytm postępowania. Porównaj swoje propozycje z zawartymi w galerii zdjęć interaktywnych.

RhLF8sgbxEy7U

R1WOwvBU6YcQ6

R1HdCPZPzEvtj

R16JyrNuaTVUY

RI27UOKZ1cXhr

Ilustracja interaktywna Przykład 1 Grupę uczniów zapytano: Ile dzisiaj odbyłaś/odbyłeś rozmów telefonicznych? Wyniki przedstawiono na wykresie. Wykres słupkowy ma poziomą oś opisaną jako ilość rozmów od zera do ośmiu co dwie. Oś pionowa opisana jest jako liczba osób od zera do dwunastu co dwie. Dla każdej ilości rozmów przyporządkowane są dwa słupki: niebieski oznacza dziewczęta, różowy chłopców. Rozmów w ogóle nie odbyły 4 dziewczęta i pięciu chłopców. Dwie rozmowy odbyły dwie dziewczyny i jedenastu chłopców. 4 rozmowy odbyło sześć dziewcząt i dziewięciu chłopców. 6 rozmów odbyły trzy dziewczęta i czterech chłopców. 8 rozmów przeprowadziły cztery dziewczęta i jeden chłopiec. Obliczymy, ile dzisiaj średnio rozmów telefonicznych odbyła osoba z badanej grupy.

Ilustracja interaktywna Przykład 1 Krok 1 Obliczymy, ile średnio rozmów telefonicznych odbyła dziewczyna. Wyznaczamy liczbę dziewcząt. $n_{d} = 4 + 3 + 6 + 3 + 4 = 20$ , Wyznaczamy łączną liczbę rozmów telefonicznych odbytych przez dziewczęta. $4 \cdot 0 + 3 \cdot 2 + 6 \cdot 4 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 80$ , Wyznaczamy średnią. $\bar{x_{d}} = \frac{80}{20} = 4$ Dziewczyna odbyła dzisiaj średnio 4 rozmowy telefoniczne.

Ilustracja interaktywna Przykład 1 Krok 2 Obliczymy, ile średnio rozmów telefonicznych odbył chłopiec. Wyznaczamy liczbę chłopców. $n_{c h} = 5 + 11 + 9 + 4 + 1 = 30$ , Wyznaczamy łączną liczbę rozmów telefonicznych odbytych przez chłopców. $5 \cdot 0 + 11 \cdot 2 + 9 \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 1 \cdot 8 = 90$ , Wyznaczamy średnią. $\bar{x_{c h}} = \frac{90}{30} = 3$

Ilustracja interaktywna Przykład 1 Krok 3 Obliczymy średnią liczby rozmów telefonicznych dla osoby z badanej grupy. Wyznaczamy liczbę wszystkich osób. $n_{d} + n_{c h} = 20 + 30 = 50$ , Wyznaczamy liczbę wszystkich odbytych rozmów telefonicznych. $80 + 90 = 170$ , Wyznaczamy średnią. $\bar{x} = \frac{170}{50} = 3, 4$ , Otrzymana liczba nie jest liczbą całkowitą, więc w odpowiedzi możemy podać jej wartość przybliżoną. Odpowiedź: Osoba z badanej grupy przeprowadziła dzisiaj średnio 3 rozmowy telefoniczne.

Ilustracja interaktywna Przykład 2 W pewnym sklepie spożywczym zbadano, ile bułek na śniadanie kupuje jedna osoba. Wyniki przedstawiono na wykresie kołowym. Obliczymy, ile średnio bułek kupuje jedna osoba, jeżeli w badaniach brało udział 100 osób. Na rysunku po lewej stronie umieszczono wykres kołowy, po prawej obliczenia w kolejnych krokach. Z wykresu odczytujemy, że: $10$ osób kupiło po jednej bułce, $40$ osób kupiło po dwie bułki, $20$ osób kupiło po trzy bułki, $30$ osób kupiło po cztery bułki., Określamy liczbę wszystkich kupionych bułek. <math, Wyznaczamy średnią. $\bar{x} = \frac{270}{100} = 2, 7$ , Otrzymany wynik zaokrąglamy do całości. $\bar{x} \approx 3$ . Odpowiedź: Możemy powiedzieć, że w tym sklepie jedna osoba kupuje na śniadanie średnio 3 bułki.

Polecenie 1

Zważono zawodników wagi ciężkiej, biorących udział w turnieju. Okazało się, że dwóch zawodników waży po $120 k g$ , dwóch po $95 kg$ , czterech po $110 kg$ , jeden $102 kg$ . Przedstaw te dane na wykresie i oblicz średnią wagę zawodnika.

$\bar{x} = \frac{2 \cdot 120 + 2 \cdot 95 + 4 \cdot 110 + 1 \cdot 102}{2 + 2 + 4 + 1}$

$\bar{x} = \frac{972}{9} = 108$

$\bar{x} = 108 kg$

Średnia waga zawodnika to $108 kg$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1GqiI2knGuBy1

Ćwiczenie 1

Ro2wyBrKW1IJ11

Ćwiczenie 2

R1YCRI6WpwQkW2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

W kilku miejscowościach prowadzono pomiary temperatury powietrza. Okazało się, że w każdej z tych miejscowości średnia temperatur jest równa $2 ° C$ .
Uzupełnij tabele tych pomiarów, wpisując odpowiednie liczby.

R8FHyOgzZPLUy

RvgFmEtX2rUZm

R17Idp02C4cQI

R1PYK7fIU29i4

Ćwiczenie 5

W tabeli przedstawiono liczbę punktów zdobytych przez uczniów z testu z fizyki.

Argumenty i Wartości
Liczba punktów	$0$	$2$	$3$	$4$	$5$
Liczba uczniów	$2$	$5$	$4$	$7$	$2$

R3DKRgCW7THgY

R1S7iNuR0xfIT2

Ćwiczenie 6

Przeciągnij w odpowiednie pola zestawy danych. Zestawy danych, w których znajduje się liczba, będąca ich średnią. Możliwe odpowiedzi: 1. pięć, średnik, siedem, średnik, dwadzieścia, średnik, zero, średnik, osiem, 2. nawias, minus, zero przecinek pięć, zamknięcie nawiasu, średnik, dwa, średnik, nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, średnik, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, siedem, 3. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, średnik, dwa, średnik, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia siedem koniec pierwiastka, średnik, nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwanaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 4. trzynaście, średnik, nawias, minus, zero przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, średnik, sześć, średnik, nawias, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. minus, początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, średnik, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, średnik, nawias, minus, zero przecinek jeden dwa pięć, zamknięcie nawiasu, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka Zestawy danych, w których nie ma liczby, będącej ich średnią. Możliwe odpowiedzi: 1. pięć, średnik, siedem, średnik, dwadzieścia, średnik, zero, średnik, osiem, 2. nawias, minus, zero przecinek pięć, zamknięcie nawiasu, średnik, dwa, średnik, nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, średnik, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, siedem, 3. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, średnik, dwa, średnik, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia siedem koniec pierwiastka, średnik, nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwanaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 4. trzynaście, średnik, nawias, minus, zero przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, średnik, sześć, średnik, nawias, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. minus, początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, średnik, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, średnik, nawias, minus, zero przecinek jeden dwa pięć, zamknięcie nawiasu, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka

Ćwiczenie 7

Na wykresie przedstawiono procentowy podział dwudziestu zawodników w zależności od liczby meczów rozegranych w tym sezonie.

RP4NDe4PpojJh

Na ilustracji znajduje się wykres kołowy przedstawiający następujące dane dotyczące liczby meczów rozegranych w tym sezonie: 10 meczów - 30%, 8 meczów - 20%, 6 meczów - 10% oraz 2 mecze - 40%.

RfMPDpybKCmXj

Ćwiczenie 8

Wiadomo, że średnia arytmetyczna $k$ liczb jest równa $x$ , natomiast średnia arytmetyczna innych $n$ liczb jest równa $y$ . Wykaż, że średnia arytmetyczna sumy tych liczb (czyli łącznie $k + n$ liczb) jest równa $\frac{k x + n y}{k + n}$ .

Niech $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}$ będą liczbami, których średnia jest równa $x$ .

Niech $b_{1}, b_{2}, . . ., b_{n}$ będą liczbami, których średnia jest równa $y$ .

Wtedy

$\frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{k}}{k} = x$ i $\frac{b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n}}{n} = y$

Stąd

$a_{1} + a_{2} + . . . + a_{k} = k x$ i $b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n} = n y$

Średnia arytmetyczna sumy tych liczb (czyli łącznie $k + n$ liczb) jest równa

$\frac{(a_{1} + a_{2} + . . . + a_{k}) + (b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n})}{k + n} = \frac{k x + n y}{k + n}$ ,

co należało wykazać.

Słownik

średnia arytmetyczna

średnia arytmetyczna liczb $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ to liczba $\bar{x}$ określona wzorem

\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}

2. Średnia ważona

Statystyka