2. Średnia ważona

R1Sc4h675T5cV

Jednym z najważniejszych wskaźników finansowych informujących o przeciętnym koszcie względnym kapitału zaangażowanego w finansowanie inwestycji przez przedsiębiorstwo jest WACC, czyli średni ważony koszt kapitału (ang. weighted average cost of capital).

WACC jest używany przy ocenie rentowności inwestycji - czy koszt kapitału finansującego przewyższy stopę zwrotu i inwestycja nie będzie opłacalna. Czy wręcz przeciwnie, koszt kapitału finansującego będzie dużo niższy niż przewidywana stopa zwrotu i inwestycja przyniesie duży zysk.

Średni ważony koszt kapitału uwzględnia przy tym różne źródła finansowania inwestycji (np. emisję akcji, kredyt).

Jeśli więc w przyszłości masz zamiar założyć swoją firmę, warto już teraz poznać tajniki wyznaczania średniej ważonej, będącej podstawą obliczania WACC.

Twoje cele

Obliczysz średnią ważoną zestawu danych.
Wyodrębnisz własności badanego zestawu danych, na podstawie obliczonej średniej ważonej.

Przykład 1

Wystawiając ocenę końcoworoczną z biologii w pewnej szkole, bierze się pod uwagę trzy liczby:

$s$ – średnią arytmetyczną ocen uzyskanych w ciągu całego roku szkolnego,
$p$ – ocenę z obowiązkowej pracy projektowej,
$u$ – udział w konkursach, olimpiadach, turniejach.

Wynik końcowy $k$ ustala się według wzoru:

k = \frac{3}{4} s + \frac{1}{8} p + \frac{1}{8} u

Największe znaczenie (największą wagę) ma więc średnia ocen uzyskanych w ciągu całego roku szkolnego, oceny $p$ i $u$ mają mniejszą wagę.

Mówimy, że końcowa ocena $k$ jest średnią ważoną ocen $s$ , $p$ , $u$ z wagami odpowiednio $\frac{3}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{8}$ .

Średnia ważona jest więc średnią elementów, którym przypisywane są różne wagi. Zatem elementy o większej wadze, mają większy wpływ na średnią. Jeśli wszystkie elementy mają takie same wagi – średnia ważona jest równa średniej arytmetycznej.

Statystycy rozważają kilka rodzajów średniej ważonej – my będziemy zajmować się tylko średnią ważoną arytmetycznąśrednia ważona arytmetycznaśrednią ważoną arytmetyczną, zwaną krótko średnią ważoną.

Średnia ważona ma własności podobne do średniej arytmetycznej – jest mianowaną miarą tendencji centralnej (miary tendencji centralnej – zwane miarami średnimi, przeciętnymi – charakteryzują przeciętny poziom badanego zjawiska, przyjmują takie wartości, wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości badanej cechy statystycznej).

Średnia ważona arytmetyczna

Definicja: Średnia ważona arytmetyczna

Średnią ważoną arytmetyczną liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ z odpowiadającymi im odpowiednio wagami $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ nazywamy liczbę ${\bar{x}}_{w}$ określoną wzorem

{\bar{x}}_{w} = \frac{x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n}}{w_{1} + w_{2} + \dots + w_{n}}

gdzie:
$w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ – są liczbami dodatnimi.

Przykład 2

Obliczymy średnią ważoną liczb z podanymi wagami.

Liczby $x_{i}$	$3$	$6$	$18$
Wagi $w_{i}$	$2$	$3$	$1$

Rozwiązanie:

Skorzystamy ze wzoru na średnią ważoną.

{\bar{x}}_{w} = \frac{x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n}}{w_{1} + w_{2} + \dots + w_{n}}

W rozważanym przypadku:

$x_{1} = 3$ , $x_{2} = 6$ , $x_{3} = 18$

$w_{1} = 2$ , $w_{2} = 3$ , $w_{3} = 1$

Stąd:

{\bar{x}}_{w} = \frac{3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 18 \cdot 1}{2 + 3 + 1} = \frac{42}{6} = 7

Odpowiedź:

Średnia ważona podanego zestawu liczb jest równa $7$ .

Średnia ważona wykorzystywana jest w sytuacjach, gdy pewnym wielkościom (danym) trzeba nadać większe znaczenie.

Przykład 3

Aneta na egzaminie maturalnym zdawała trzy przedmioty w zakresie rozszerzonym: matematykę, fizykę i język angielski. Z matematyki uzyskała $42$ punkty, z fizyki $28$ punktów i z języka angielskiego $26$ punktów.

Aby Aneta została przyjęta na wybrane studia, średnia ważona liczby uzyskanych przez nią punktów powinna wynosić co najmniej $35$ .

Przy czym punktom zdobytym z matematyki przypisywano wagę $6$ , z fizyki wagę $4$ i z języka obcego wagę $1$ .

Ustalimy, czy Aneta dostanie się na wybrane przez siebie studia.

Rozwiązanie:

Przedstawimy wszystkie dane w tabeli.

Przedmiot	Liczba uzyskanych punktów $x_{i}$	Waga $w_{i}$	$x_{i} \cdot w_{i}$
Matematyka	$42$	$6$	$252$
Fizyka	$28$	$4$	$112$
Język angielski	$26$	$1$	$26$
Razem		$11$	$390$

Obliczamy średnią ważoną liczby uzyskanych punktów.

{\bar{x}}_{w} = \frac{390}{11} \approx 35, 5

35,5 > 35

Odpowiedź:

Średnia ważona uzyskanych przez Anetę punktów jest większa od wymaganej, zatem dostanie się ona na studia.

Uzyskane wyniki można zinterpretować następująco: pomimo, że Aneta otrzymała mniejszą liczbę punktów od wymaganej z fizyki i języka angielskiego, to wysoka waga liczby punktów uzyskanych z matematyki spowodowała, że w konsekwencji uzyskała wymaganą liczbę punktów.

Zauważmy też, że gdyby o przyjęciu na studia decydowała średnia arytmetyczna, to Aneta nie dostałaby się na studia, gdyż średnia ta jest równa $\frac{42 + 28 + 26}{3} = 32$ .

Przykład 4

Obliczymy średnią arytmetyczną zestawu danych: $2$ , $4$ , $6$ , $10$ , $2$ , $2$ , $4$ , $6$ , $10$ , $10$ , $2$ , $4$ .

Rozwiązanie:

I sposób:

Korzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną.

\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 10 + 2 + 2 + 4 + 6 + 10 + 10 + 2 + 4}{12} = \frac{62}{12} = 5 \frac{1}{6}

II sposób:

Zamiast średniej arytmetycznej obliczymy średnią ważoną, przyjmując, że wagami są liczebności danych.

Wartość $x_{i}$	Liczebność $n_{i} = w_{i}$	$x_{i} \cdot w_{i}$
$2$	$4$	$8$
$4$	$3$	$12$
$6$	$2$	$12$
$10$	$3$	$30$
Razem	$12$	$62$

Korzystamy ze wzoru na średnią ważoną.

{\bar{x}}_{w} = \frac{62}{12} = 5 \frac{1}{6}

W obu przypadkach otrzymaliśmy te same liczby.

Odpowiedź:

Średnia arytmetyczna zestawu danych jest równa $5 \frac{1}{6}$ .

Wniosek:

Średnia arytmetyczna zestawu danych statystycznych $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ jest równa średniej ważonej tego zestawu danych, gdy liczebności $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ odpowiadające danym, przyjmiemy za wagi poszczególnych wartości.

Pokażemy teraz, jak wyznaczyć średnią ważoną zestawu danych zapisanych w postaci szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymi.

Przykład 5

W dziesięcioosobowej grupie osób dokonano pomiaru wieku i otrzymano następujące wyniki: $20$ , $21$ , $23$ , $20$ , $20$ , $25$ , $22$ , $23$ , $23$ , $21$ .

Obliczymy średni wiek osób z badanej grupy, grupując dane w szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi o rozpiętości $2 lat$ .

Rozwiązanie:

Budujemy odpowiedni szereg rozdzielczy.

Aby obliczyć średnią, wyznaczymy środki przedziałów klasowych.

Wiek w latach $x_{i}$	Liczebność $n_{i}$	Środek przedziału klasowego ${\bar{x}}_{i}$	${\bar{x}}_{i} \cdot n_{i}$
$⟨20, 22)$	$5$	$21$	$105$
$⟨22, 24)$	$4$	$23$	$92$
$⟨24, 26⟩$	$1$	$25$	$25$
Razem	$10$		$222$

{\bar{x}}_{1} = \frac{20 + 22}{2} = 21

{\bar{x}}_{2} = \frac{22 + 24}{2} = 23

{\bar{x}}_{3} = \frac{24 + 26}{2} = 25

Obliczamy średnią, korzystając z wyznaczonych danych i ze wzoru:

\bar{x} = \frac{{\bar{x}}_{1} n_{1} + {\bar{x}}_{2} n_{2} + \dots + {\bar{x}}_{k} n_{k}}{n}

gdzie:
$k$ – liczba klas,
${\bar{x}}_{i}$ – środek $i$ – tego przedziału, gdzie $i = 1, 2, \dots, k$ ,
$n_{i}$ – liczebność dla danego przedziału, gdzie $n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = n$ ,
$n$ – liczebność zbiorowości $n$ statystycznej.

$\bar{x} = \frac{222}{10} = 22, 2$

$\bar{x} = 22, 2$ lata

Odpowiedź:

Średnia wieku w tej grupie osób wynosi $22, 2$ lata.

Ważne!

W szeregach rozdzielczych o przedziałach klasowych średnia arytmetyczna jest zwykle tylko wartością przybliżoną (średnia liczona z szeregu szczegółowego z przykładu $5$ jest równa $21, 8$ ).

Animacja multimedialna

Przeanalizuj materiał zawarty w animacji. Zastanów się, czy w każdym przypadku można obliczać średnią ważoną w sposób uproszony.

Zwróć uwagą na analogie i różnice między średnią ważoną, a średnią arytmetyczną.

R1EMOliNSfWFM

Polecenie 1

Oblicz, w taki sposób jak pokazano to w animacji, średnią ważoną zestawu liczb $4$ , $12$ , $16$ z wagami odpowiednio $(0,1)$ , $(0,2)$ i $(0,7)$ .

${\bar{x}}_{w} = 4 \cdot 0, 1 + 12 \cdot 0, 2 + 16 \cdot 0, 7 = 14$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RLSiWA44LgHTI1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Rodzina państwa Piotrowskich chce pojechać na zagraniczną wycieczkę. W tabelce wpisano dane na temat rozważanych przez Piotrowskich wycieczek. Uzupełnij tabelkę, przeciągając odpowiednie liczby w prawidłowe miejsca oraz nazwę miasta, do którego powinni pojechać Piotrowscy.

R1VIoM9OHOEmg

R1CMJZYSQta08

R1viBatKZmkvY2

Ćwiczenie 3

R13jaBHAhsxSP2

Ćwiczenie 4

R1bB4gAlDm0yW2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Zważono losowo wybrane tabliczki czekolady, produkowanej w pewnej fabryce. Otrzymane dane zamieszczono w tabeli.

Masa tabliczki czekolady (w $g$ )	Liczba tabliczek czekolady (w $szt$ .)
$120$	$5$
$100$	$10$
$98$	$35$

R1DncOcgaRCsV

Ćwiczenie 7

Agata wybrała się do babci, która mieszkała w odległości $120 km$ . Połowę drogi jechała autostradą z prędkością $120 \frac{km}{h}$ , a połowę szosą z prędkością $40 \frac{km}{h}$ . Uzupełnij obliczenia średniej prędkości, z jaką jechała Agata. Przeciągnij odpowiednie liczby.

R1L25JEZ0FUjc

RfmLP90nIFlGI

Ćwiczenie 8

Uczniowie pewnej klasy pisali klasówkę z języka polskiego. Dwóch uczniów otrzymało stopień dopuszczający, $40 %$ uczniów otrzymało stopień dobry, $\frac{1}{5}$ dostała stopień bardzo dobry, a pozostali otrzymali stopień dostateczny.

Oblicz, ilu uczniów otrzymało stopień dostateczny, jeżeli średnia ocen wynosiła
$3, 7$ .

Oznaczmy:
$x$ – liczba uczniów, którzy otrzymali $3$ ,
$n$ – liczbę wszystkich uczniów.

Określimy, ilu uczniów otrzymało $3$ .

2 + 0, 4 n + \frac{1}{5} n + x = n

x = n - 2 - 0, 6 n = 0, 4 n - 2

Na podstawie tego, że średnia jest równa $3, 7$ układamy i rozwiązujemy równanie.

\frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot (0, 4 n - 2) + 4 \cdot 0, 4 n + 5 \cdot 0, 2 n}{n} = 3, 7

n = 20

Stąd:

x = 0, 4 \cdot 20 - 2 = 6

$6$ uczniów otrzymało trójki.

Słownik

średnia ważona arytmetyczna

średnia ważona arytmetyczna liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ z odpowiadającymi im odpowiednio wagami $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ to liczba ${\bar{x}}_{w}$ określona wzorem:

{\bar{x}}_{w} = \frac{x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n}}{w_{1} + w_{2} + \dots + w_{n}}

gdzie:
$w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ – są liczbami dodatnimi

1. Średnia arytmetyczna

3. Mediana