3. Mediana

RL738j6tg5ypE

Mediana, podobnie jak średnia arytmetyczna, należy do tak zwanych miar tendencji centralnej, czyli określających „środek” zbioru danych. Czy zatem warto określać medianę, jeśli można obliczyć średnią arytmetyczną?

Okazuje się, że tak. Bowiem średnia arytmetyczna jest mało „odporna” na wartości „odstające” w szeregu danych. Na przykład średnia arytmetyczna zarobków $3$ pracowników, z których każdy zarabia $3000 zł$ i dyrektora, który zarabia $20000 zł$ jest równa aż $7250 zł$ , natomiast mediana $3000 zł$ . Widać więc, że w tym przypadku mediana znacznie bardziej oddaje stan faktyczny zarobków w firmie niż średnia arytmetyczna.

W jaki sposób oblicza się medianę i jakie ma własności, pokażemy w tym materiale. Zapoznaj się z nim, a na pewno umiejętności, które ukształtujesz, pomogą Ci w przyszłości unikać „pułapek” w interpretacji średniej arytmetycznej.

Twoje cele

Poznasz sposoby obliczania mediany zestawu danych.
Zinterpretujesz medianę danych zapisanych w postaci uporządkowanego szeregu statystycznego.
Wybierzesz najdogodniejszy sposób wyznaczenia mediany zestawu danych.
Określisz różnicę między średnią arytmetyczną a medianą tego samego zestawu danych.

Mediana, zwana inaczej wartością środkową, zajmuje środkową pozycję w uporządkowanym szeregu statystycznym.

Będziemy ją oznaczać literą $M$ .

Zatem, aby wyznaczyć medianę, należy najpierw uszeregować dane, zgodnie ze wzrostem ich wartości. Mediana dzieli ciąg tych danych na dwie równoliczne części w ten sposób, że elementy jednej z tych części są nie większe od mediany, a drugiej z tych części – nie mniejsze od mediany.

MedianamedianaMediana jest miarą mianowaną. Ma takie same miano jak badana cecha statystyczna.

Można ją wyznaczyć dla każdego szeregu statystycznego.

Sposób wyznaczania mediany zależy od typu szeregu statystycznego oraz liczby danych.

Mediana nieparzystej liczby danych

W przypadku uporządkowanego zestawu danych o nieparzystej liczebności, mediana jest środkowym elementem zestawu.

Na przykład mediana zestawu liczb: $1$ , $1$ , $3$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $8$ , $10$ jest równa $6$ .

Rw3ulXxNd1gNA

Ilustracja przedstawia ciąg liczb: jeden, jeden, trzy, pięć, sześć, siedem, osiem, osiem, dziesięć. Liczba sześć ma po obu swoich stronach po cztery cyfry i jest opisana jako mediana.

Przykład 1

Wyznaczymy medianę zestawu liczb: $1$ , $6$ , $2$ , $8$ , $5$ , $4$ , $3$ .

Porządkujemy zestaw danych: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $8$ .

Jest $7$ liczb. Środkowa to liczba $4$ (z prawej i lewej strony liczby $4$ znajdują się po $3$ elementy).

RL69C6iw7ru5e

Ilustracja przedstawia ciąg liczb: jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, osiem. Liczba cztery występująca w srodku ciągu opisana jest jako mediana, em równa się cztery..

Przykład 2

Grupę dziewcząt zapytano: Ile uprawiasz dyscyplin sportowych?

Otrzymano następujące dane: $0$ , $0$ , $0$ , $1$ , $1$ , $1$ , $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $3$ .

Określimy medianę tego zestawu danych.

Uzyskany szereg statystyczny jest już uporządkowany. Liczba elementów jest nieparzysta, zatem medianą będzie wartość środkowa, równa $1$ .

R1Yr4jhYCOEFf

Ilustracja przedstawia ciąg cyfr: zero, zero, zero, jeden, jeden, jeden, jeden, jeden, dwa, dwa, trzy. Jedynka występująca w środku ciągu, która ma obu stronach po pięć cyfr, jest opisana jako em równa się jeden.

Interpretacja wyniku: połowa dziewcząt nie uprawia żadnej dyscypliny sportowej lub uprawia jedną, a druga połowa uprawia co najmniej jedną dyscyplinę sportową.

Ważne!

Mediana nieparzystej liczby danych

Niech liczby $x_{1} \leq x_{2} \leq . . . \leq x_{n}$ będą uporządkowanym niemalejąco zbiorem wszystkich danych. Jeśli $n$ jest liczbą nieparzystą, to medianą liczb $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ jest liczba $x_{k}$ , gdzie $k = \frac{n + 1}{2}$ .

Zatem:

M = x_{\frac{n + 1}{2}} .

Przykład 3

Wyznaczymy medianę danych, korzystając z uporządkowanego szeregu statystycznego.

$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$	$x_{5}$	$x_{6}$	$x_{7}$
$1$	$2$	$3$	$10$	$20$	$40$	$50$

Liczba elementów szeregu: $n = 7$ .

Medianą jest liczba $x_{k}$ , gdzie $k = \frac{7 + 1}{2} = 4$ .

Stąd $M = x_{4} = 10$ .

Medianą zestawu danych jest liczba $10$ .

Mediana parzystej liczby danych

W przypadku, gdy liczba danych jest parzysta, to „w środku” szeregu uporządkowanego znajdują się dwie liczby. Medianą jest wtedy średnia arytmetyczna tych liczb.

RvQ6ScpVIqqLs

Ilustracja przedstawia ciąg cyfr: cztery, sześć, osiem, osiem, dziewięć, jedenaście, trzynaście, piętnaście. Liczby osiem i dziewięć znajdujące się w środku ciągu to mediana i jest opisana jako ułamek: osiem dodać dziewięć przez dwa równa się osiem i pół.

Przykład 4

Wyznaczymy medianę zestawu danych: $1$ , $4$ , $4$ , $6$ , $1$ , $1$ , $5$ , $2$ .

Porządkujemy dane: $1$ , $1$ , $1$ , $2$ , $4$ , $4$ , $5$ , $6$ .

Liczba danych jest parzysta. Gdybyśmy zaznaczyli prostą, dzielącą zbiór danych na dwie równe części, to mediana byłaby średnią arytmetyczną dwóch liczb, sąsiadujących z prawej i lewej strony z linią podziału. Czyli dwóch liczb „środkowych”.

RCCLqNkjpDB4V

Ilustarcja przedstawia ciąg liczb: jeden, jeden, jeden, dwa, cztery, cztery, pięć, sześć. Liczby dwa i cztery ułożone w środku ciągu to mediana i jest opisana jako em równa się dwa dodać cztery przez dwa równa się trzy.

Medianą danego zbioru danych jest liczba $3$ .

Przykład 5

Określimy medianę wieku grupy $6$ osób, od których uzyskano następujące dane: $10 lat$ , $14 lat$ , $20 lat$ , $18 lat$ , $16 lat$ , $25 lat$ .

Tworzymy szereg uporządkowany: $10$ , $14$ , $16$ , $18$ , $20$ , $25$ .

Liczba danych jest parzysta. Obliczamy średnią arytmetyczną dwóch liczb „środkowych”.

\frac{16 + 18}{2} = 17

M = 17 lat

Mediana wieku badanej grupy osób jest równa 17 lat.

Interpretacja mediany: $50 %$ badanych osób ma wiek mniejszy bądź równy $17 lat$ , $50 %$ badanych osób ma wiek większy bądź równy $17 lat$ .

Ważne!

Mediana parzystej liczby danych

Niech liczby $x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}$ będą uporządkowanym niemalejąco zbiorem wszystkich danych. Jeśli $n$ jest liczbą parzystą, to medianą liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ jest liczba $M = \frac{x_{k} + x_{k + 1}}{2}$ , gdzie $k = \frac{n}{2}$ .

Przykład 6

Wyznaczymy medianę danych, korzystając z uporządkowanego szeregu statystycznego.

$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$	$x_{5}$	$x_{6}$	$x_{7}$	$x_{8}$
$- 1$	$- 2$	$0$	$4$	$10$	$12$	$50$	$57$

Liczba elementów szeregu: $n = 8$ .

Medianą jest liczba $\frac{x_{k} + x_{k + 1}}{2}$ , gdzie $k = \frac{8}{2} = 4$ .

Stąd:

M = \frac{x_{4} + x_{5}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7

Medianą zestawu danych jest liczba $7$ .

Galeria zdjęć inetaktywnych

Zaproponuj sposób wyznaczenia mediany, gdy dane zgrupowane są w szereg rozdzielczy punktowy lub w szereg rozdzielczy o przedziałach klasowych.

Porównaj swój sposób z podanym w galerii zdjęć interaktywnych.

R1pcQ8ZWdpJZz

RA1g1rlXp3RD8

R1SSSWJrAllPV

R1BbFDp3QKDYE

R1MAI0ERgrykQ

Rit4JEAwYYLI7

Pokażemy, w jaki sposób znaleźć medianę danych zgrupowanych w szereg rozdzielczy punktowy. Przykład 1. W grupie uczniów przeprowadzono sondaż na temat liczby przeczytanych książek w ciągu ostatniego miesiąca. Wyniki przedstawiono w tabeli. Tabela składa się z dwóch wierszy i sześciu kolumn, przy czym pierwsza kolumna jest kolumną nagłówkową. W wierszu pierwszym mamy podane liczby książek $x_{i}$ , a w wierszu drugim liczbę wyborów $n_{i}$ . Liczby książek $x_{i}$ to kolejno od lewej: 0, 1, 2, 3, 4. Liczby wyborów $n_{i}$ to kolejno od lewej 2, 5, 6, 4, 2. Wyznaczymy medianę tego zestawu danych. Liczba wyborów: $2 + 5 + 6 + 4 + 2 = 19$ (tylu uczniów brało udział w sondażu). Gdyby więc dane przedstawione były w postaci szeregu szczegółowego (czyli wypisane kolejno, według wzrastających wartości), to mediana odpowiadałaby $10$ wyborowi. Szukamy kolumny odpowiadającej dziesiątemu wyborowi. Tabela poszerzona o trzeci wiersz dotyczący kolejnych numerów wyborów. Tabela składa się z trzech wierszy i sześciu kolumn, przy czym pierwsza kolumna jest kolumną nagłówkową. W wierszu pierwszym mamy podane liczby książek $x_{i}$ , w wierszu drugim liczbę wyborów $n_{i}$ , wiersz trzeci dotyczy kolejnych numerów wyborów. . Liczby książek $x_{i}$ to kolejno od lewej: 0, 1, 2, 3, 4. Liczby wyborów $n_{i}$ to kolejno od lewej 2, 5, 6, 4, 2. Wiersz trzeci dotyczy kolejnych numerów wyborów. Analizując dane kolumnami tak, jak są ona sparowane, mamy następujące grupy danych: Kolumna pierwsza. Dla liczby książek 0 mamy liczbę wyborów 2, a kolejne numery wyborów to: $n_{1}, n_{2}$ . Kolumna druga. Dla liczby książek 1 mamy liczbę wyborów 5, a kolejne numery wyborów to: $n_{3}, n_{4}, n_{5}, n_{6}, n_{7}$ . Kolumna trzecia. Kolumna ta wyróżniona jest kolorowym tłem, ponieważ odpowiada dziesiątemu wyborowi. Dla liczby książek 2 mamy liczbę wyborów 6, a kolejne numery wyborów to: $n_{8}, n_{9}, n_{10}, n_{11}, n_{12}, n_{13}$ . Kolumna czwarta. Dla liczby książek 3 mamy liczbę wyborów 4, a kolejne numery wyborów to: $n_{14}, n_{15}, n_{16}, n_{17}$ . Kolumna piąta. Dla liczby książek 4 mamy liczbę wyborów 2, a kolejne numery wyborów to: $n_{18}, n_{19}$ . Dziesiątemu wyborowi odpowiada liczba $2$ . Mediana liczby przeczytanych książek jest równa $2$ . Przykład 2. W przypadku danych przestawionych w postaci szeregu rozdzielczego o przedziałach klasowych będziemy tylko określać przedział, w którym znajduje się mediana. Znajdziemy medianę liczby punktów uzyskanych przez uczniów ze sprawdzianu z matematyki. Dane przedstawione są w tabeli składającej się z pięciu wierszy i dwóch kolumn. Wiersz pierwszy jest wierszem nagłówkowym i określa dla pierwszej kolumny liczbę punktów $x_{i}$ , a dla drugiej kolumny liczbę uczniów $n_{i}$ . Dane w tabeli są następujące: wiersz drugi: liczbę punktów od zera do pięciu zdobył jeden uczeń, wiersz trzeci: liczbę punktów od sześciu do dziesięciu zdobyło czworo uczniów, wiersz czwarty: liczbę punktów od jedenastu do piętnaścioro zdobyło dwanaścioro uczniów, wiersz piąty: liczbę punktów od szesnastu do dwudziestu zdobyło ośmioro uczniów. Razem mamy dwudziestu pięciu uczniów. Znajdujemy najpierw pozycje mediany zgodnie z poniższym wzorem:

\frac{n + 1}{2}

gdzie: $n$ to liczebność badanej zbiorowości, czyli w tym przypadku liczba uczniów. Ponieważ $n = 25$ , więc $\frac{n + 1}{2} = \frac{25 + 1}{2} = 13$ . Dodajemy kolejno wartości z kolumny „Liczba uczniów”, tworząc w ten sposób kolumnę „Liczebności skumulowane $n_{s k}$ ”. Dane przedstawione są w poszerzonej o jedną kolumnę tabeli składającej się z pięciu wierszy i trzech kolumn. Wiersz pierwszy jest wierszem nagłówkowym i określa dla pierwszej kolumny liczbę punktów $x_{i}$ , dla drugiej kolumny liczbę uczniów $n_{i}$ , a
dla trzeciej kolumny liczebność skumulowaną $n_{s k}$ . Dane w tabeli są następujące: wiersz drugi: liczbę punktów od zera do pięciu zdobył jeden uczeń, liczebność skumulowana to $0 + 1 = 1$ , wiersz wiersz trzeci: liczbę punktów od sześciu do dziesięciu zdobyło czworo uczniów, liczebność skumulowana to $1 + 4 = 5$ , liczbę wiersz czwarty: punktów od jedenastu do piętnaścioro zdobyło dwanaścioro uczniów, liczebność skumulowana to $5 + 12 = 17$ , wiersz wyróżniono tłem: wiersz piąty: liczbę punktów od szesnastu do dwudziestu zdobyło ośmioro uczniów, liczebność skumulowana to $17 + 8 = 25$ . Razem mamy dwudziestu pięciu uczniów. Znajdujemy wiersz, w kolumnie $n_{s k}$ , w którym znajduje się pozycja mediany $(13)$ i odczytujemy odpowiadającą liczbę punktów. Mediana zawiera się w przedziale $11 - 15$ punktów.

Polecenie 1

Znajdź medianę poniższego zestawu danych.

Wartość	$1$	$2$	$4$	$10$
Liczebność	$1$	$1$	$6$	$15$

$n = 1 + 1 + 6 + 15 = 23$

$\frac{n + 1}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$M = 10$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RQbzzq9ZOhqqd1

Ćwiczenie 1

R131hK3Uet1Kz1

Ćwiczenie 2

R3bkDrNywbwQi2

Ćwiczenie 3

RyqkwARbT0RCz2

Ćwiczenie 4

RXBv0yZjQBvnD2

Ćwiczenie 5

R1ai4g7iCtSQl2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

W tabeli podano procentowy podział uczniów ze względu na liczbę posiadanych zwierząt domowych.

Liczba zwierząt	Liczba uczniów
$0$	$10 %$
$1$	$50 %$
$2$	$30 %$
$4$	$10 %$

RZvBuIvVUXVZx

Ćwiczenie 8

Na wykresie przedstawiono dane dotyczące wieku zawodników uczestniczących w biegach przełajowych.

Znajdź medianę wieku tych zawodników.

RDvhBjT439Oqj

Ilustracja przedstawia wykres słupkowy. Pozioma oś dotyczy wieku zawodnika i jest na niej zaznaczona następująca skala: 0, 14, 15, 16, 17, 18, przy czym między zerem a liczbą 14 jest taka sama odległość, jak między 14 a 15 i tak dalej. Pionowa oś dotyczy liczby zawodników i ma standardową skalę od zera do siedmiu. Mamy tu pięć słupków, dla każdego wieku jeden. Czternastolatek jest jeden, piętnastolatków jest troje, szesnastolatków jest dwoje, siedemnastolatków jest sześcioro, a osiemnastolatków jest czworo.

n = 1 + 3 + 2 + 6 + 4 = 16

\frac{n}{2} = \frac{16}{2} = 8

\frac{17 + 17}{2} = 17

Mediana jest równa $17 lat$ .

Słownik

mediana

mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ , to:

liczba $x_{\frac{n + 1}{2}}$ , gdy $n$ jest liczbą nieparzystą
liczba $\frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2}$ , gdy $n$ jest liczbą parzystą

2. Średnia ważona

4. Dominanta