1. Przypomnienie wiadomości o logarytmach

R1DNZS4RSTDZB

Odkrycie logarytmów z wielką radością przywitali astronomowie i żeglarze. Tablice logarytmiczne wzbudziły prawdziwy zachwyt siedemnastowiecznych nawigatorów i księgowych, którzy posługiwali się coraz większymi liczbami.

Najpierw kalkulatory, a obecnie komputery usunęły w cień logarytmy, jako instrument obliczeniowy. Jednak matematycy nadal uważają je za istotny element edukacji.

RVLBQSQ6JPQ92

Zdjęcie przedstawia statek płynący na pełnym morzu. — Źródło: dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

W tym materiale rozszerzymy wiadomości na temat logarytmów, a w szczególności ich związku z potęgowaniem.

Twoje cele

Obliczysz wartości dokładne logarytmów, korzystając z definicji.
Wykorzystasz podstawowe własności logarytmów w przekształcaniu wyrażeń arytmetycznych.
Zapiszesz potęgę za pomocą logarytmu.
Zapiszesz logarytm za pomocą potęgi.

Na początek przypomnijmy definicję logarytmu.

Logarytm

Definicja: Logarytm

Logarytmem liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ) nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$ .

\log_{a} b = x \Leftrightarrow a^{x} = b

Każda liczba dodatnia ma dokładnie jeden logarytm przy danej podstawie dodatniej i różnej od $1$ . Liczby ujemne i zero, nie mają logarytmów, gdyż $a^{x}$ dla żadnej wartości $x$ nie jest ani liczbą ujemną, ani zerem.

Przykład 1

Obliczymy wartości kilku logarytmów o tej samej podstawie, korzystając bezpośrednio z definicji logarytmu.

$\log_{2} 32 = 5$ , gdyż $2^{5} = 32$

$\log_{2} 1 = 0$ , gdyż $2^{0} = 1$

$\log_{2} \frac{1}{8} = - 3$ , gdyż $2^{- 3} = \frac{1}{8}$

Wniosek:

LogarytmlogarytmLogarytm liczby dodatniej może być liczbą dodatnią, ujemną lub zerem.

Przykład 2

Przyjrzyjmy się wartościom logarytmów kolejnych naturalnych potęg liczby $a$ przy podstawie $a$ ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ).

$\log_{a} a^{1} = \log_{a} a = 1$ , bo $a^{1} = a$

$\log_{a} a^{2} = 2$ , bo $a^{2} = a^{2}$

$\log_{a} a^{3} = 3$ , bo $a^{3} = a^{3}$

$\log_{a} a^{4} = 4$ , bo $a^{4} = a^{4}$

$\log_{a} a^{5} = 5$ , bo $a^{5} = a^{5}$

Na podstawie powyższych przykładów, możemy zauważyć, że logarytm przy podstawie $a$ potęgi naturalnej liczby $a$ jest równy wykładnikowi tej potęgi.

Własność tę można uogólnić na potęgę o dowolnym wykładniku.

Wniosek:

Jeśli $a > 0$ i $a \neq 1$ , $y \in ℝ$ to:

\log_{a} a = 1

\log_{a} a^{y} = y

Przykład 3

Korzystając z powyższego wniosku obliczymy wartości logarytmów.

$\log_{5} 625 = \log_{5} 5^{4} = 4$

$\log_{49} 7 = \log_{49} \sqrt{49} = \frac{1}{2}$

$\log_{9} \frac{1}{9} = \log_{9} 9^{- 1} = - 1$

$\log_{\sqrt{2}} \sqrt{2} = 1$

Bezpośrednio z definicji logarytmulogarytmlogarytmu wynika jeszcze jedna ważna własność, pokazująca kolejny związek logarytmowania z potęgowaniem.

$a^{\log_{a} b} = b$ , gdy $a > 0$ , $a \neq 1$ i $b > 0$

Zależność ta jest bardzo pomocna w zapisywaniu w prostszej postaci wyrażeń zawierających logarytmy.

Przykład 4

Zapiszemy każdą z liczb bez użycia logarytmu.

$2^{\log_{2} 7} = 7$

$3^{\log_{3} 19} = 19$

$- 5^{\log_{5} 6} = - 6$

${(0, 25)}^{\log_{0, 25} 5} = 5$

Przypomnimy teraz podstawowe wzory logarytmiczne, z których będziemy korzystać.

Założenia
$a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$ , $b \neq 1$ , $x > 0$ , $y > 0$ , $p \in ℝ$

Nazwa wzoru	Wzór
logarytm iloczynu	$\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y$
logarytm ilorazu	$\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} x - \log_{a} y$
logarytm potęgi	$\log_{a} x^{p} = p \log_{a} x$
logarytm pierwiastka	$\log_{a} \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_{a} x$ , gdy $n > 1$ i $n \in ℕ$

Przykład 5

Wykażemy, że

$\log_{9} 3 + \log_{9} 243 = 3$ .
$\log_{125} \frac{1}{5} + \log_{125} 625 = 1$ .
$\log_{12} 9 + \log_{12} 16 = 2$ .
$\log 2 + \log 25 + \log 0, 002 = - 1$ .

Rozwiązanie:

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie iloczynu.

$\log_{9} 3 + \log_{9} 243 = \log_{9} (3 \cdot 243) = \log_{9} 729 = \log_{9} 9^{3} = 3$ .
$\log_{125} \frac{1}{5} + \log_{125} 625 = \log_{125} (\frac{1}{5} \cdot 625) = \log_{125} 125 = 1$ .
$\log_{12} 9 + \log_{12} 16 = \log_{12} (9 \cdot 16) = \log_{12} 144 = \log_{12} 12^{2} = 2$ .
Ponieważ $\log 2 + \log 25 = \log (2 \cdot 25) = \log 50$ , więc $\log 2 + \log 25 + \log 0, 002 = \log 50 + \log \frac{1}{500} = \log (50 \cdot \frac{1}{500}) = \log \frac{1}{10} =$
$= \log 10^{- 1} = - 1$ .

Przykład 6

Wykażemy, że

$\log_{16} 2 - \log_{16} 32 = - 1$ .
$\log_{49} 343 - \log_{49} \frac{1}{7} = 2$ .
$\log_{4} 192 - \log_{4} 3 = 3$ .
$\log 1750 - \log \frac{7}{40} = 4$ .

Rozwiązanie:

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie ilorazu.

$\log_{16} 2 - \log_{16} 32 = \log_{16} \frac{2}{32} = \log_{16} \frac{1}{16} = \log_{16} 16^{- 1} = - 1$ .
$\log_{49} 343 - \log_{49} \frac{1}{7} = \log_{49} \frac{343}{\frac{1}{7}} = \log_{49} (343 \cdot 7) = \log_{49} 2401 = \log_{49} 49^{2} = 2$ .
$\log_{4} 192 - \log_{4} 3 = \log_{4} \frac{192}{3} = \log_{4} 64 = \log_{4} 4^{3} = 3$ .
$\log 1750 - \log \frac{7}{40} = \log \frac{1750}{\frac{7}{40}} = \log (1750 \cdot \frac{40}{7}) = \log 10000 = \log 10^{4} = 4$ .

Przykład 7

Wykażemy, że

$\log_{5} 16 = 4 \log_{5} 2$ .
$\log 81 = 4 \log 3$ .
$\log_{3} \frac{1}{7} = - \log_{3} 7$ .
$\log_{6} 0, 04 = - 2 \log_{6} 5$ .

Rozwiązanie:

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie potęgi.

$\log_{5} 16 = \log_{5} 2^{4} = 4 \log_{5} 2$ .
$\log 81 = \log 3^{4} = 4 \log 3$ .
$\log_{3} \frac{1}{7} = \log_{3} 7^{- 1} = - 1 \cdot \log_{3} 7 = - \log_{3} 7$ .
$\log_{6} 0, 04 = \log_{6} \frac{4}{100} = \log_{6} \frac{1}{25} = \log_{6} 5^{- 2} = - 2 \log_{6} 5$ .

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z animacją. Znajdziesz w niej wzory ułatwiające obliczenia logarytmiczne.

RCCOA6ZXMT913

Zestaw ćwiczeń inetraktywnych

R1K5PZXQQ5EAK11

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0, licencja: CC BY 3.0.

RFCOVPJDNCE691

Ćwiczenie 2

R17S5C3G4HEN711

Ćwiczenie 3

Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę aby wyświetlić listę rozwijalną i wybierz właściwą odpowiedź. logarytm o podstawie dwa z dwa, plus, logarytm o podstawie dwa z cztery, równa się1. trzynaście, 2. dwadzieścia sześć, 3. dwa, 4. minus, trzynaście początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. piętnaście, 7. jeden, 8. siedemnaście, 9. trzylogarytm o podstawie dwa z szesnaście, minus, logarytm o podstawie dwa z cztery, równa się1. trzynaście, 2. dwadzieścia sześć, 3. dwa, 4. minus, trzynaście początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. piętnaście, 7. jeden, 8. siedemnaście, 9. trzylogarytm o podstawie trzy z pięć, plus, logarytm o podstawie trzy z sześć, minus, logarytm o podstawie trzy z dziesięć, równa się1. trzynaście, 2. dwadzieścia sześć, 3. dwa, 4. minus, trzynaście początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. piętnaście, 7. jeden, 8. siedemnaście, 9. trzylogarytm o podstawie cztery z pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, dwa logarytm o podstawie cztery z dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, równa się1. trzynaście, 2. dwadzieścia sześć, 3. dwa, 4. minus, trzynaście początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. piętnaście, 7. jeden, 8. siedemnaście, 9. trzylogarytm z indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, pierwiastek kwadratowy z trzy, minus, trzy logarytm o podstawie trzy z osiemdziesiąt jeden, minus, logarytm o podstawie trzy z trzy pierwiastek kwadratowy z trzy, równa się1. trzynaście, 2. dwadzieścia sześć, 3. dwa, 4. minus, trzynaście początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. piętnaście, 7. jeden, 8. siedemnaście, 9. trzytrzy indeks górny, logarytm o podstawie trzy z dwadzieścia sześć, koniec indeksu górnego, równa się1. trzynaście, 2. dwadzieścia sześć, 3. dwa, 4. minus, trzynaście początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. piętnaście, 7. jeden, 8. siedemnaście, 9. trzytrzy indeks górny, logarytm o podstawie trzy z dwadzieścia sześć, minus, logarytm o podstawie trzy z dwa, koniec indeksu górnego, równa się1. trzynaście, 2. dwadzieścia sześć, 3. dwa, 4. minus, trzynaście początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. piętnaście, 7. jeden, 8. siedemnaście, 9. trzy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R1FRMG7S2F5G9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\log 2 + \log 5 = \log (2 \cdot 5) = \log 10 = 1$ ,
$\log_{21} 9 + \log_{21} 49 = \log_{21} (9 \cdot 49) = \log_{21} 441 = 2$ ,
$\log_{15} 45 + \log_{15} 75 = \log_{15} (45 \cdot 75) = \log_{15} 3375 = 3$ ,
$\log_{6} 3 + \log_{6} 4 + \log_{6} 18 = \log_{6} (3 \cdot 4) + \log_{6} 18 =$
$= \log_{6} (3 \cdot 4 \cdot 18) = \log_{6} 216 = 3$ .

Ćwiczenie 5

RHGSX9EKQ2BJQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\log_{2} 40 - \log_{2} 5 = \log_{2} \frac{40}{5} = \log_{2} 8 = 3$ ,
$\log_{3} 90 - \log_{3} 10 = \log_{3} \frac{90}{10} = \log_{3} 9 = 2$ ,
$\log_{5} 60 - \log_{5} 12 = \log_{5} \frac{60}{12} = \log_{5} 5 = 1$ ,
$\log_{7} 21 - (\log_{7} 24 - \log_{7} 8) = \log_{7} 21 - \log_{7} \frac{24}{8} = \log_{7} 21 - \log_{7} 3 =$
$= \log_{7} \frac{21}{3} = \log_{7} 7 = 1$ .

R19UZ29DUPAVX2

Ćwiczenie 6

RNKP4ZU8EK3QM2

Ćwiczenie 7

R15KA7O8QOQH121

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R18RKX94HGL6Z21

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKBPT5G4SLTEN2

Ćwiczenie 10

R184ZE6VVT6TD21

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R9O1GK3HFLM2T21

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RHPFLRDRL7HAQ21

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1QMAVEVSRDOL21

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RM7RA6J1OEEB221

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1UAPE7JAT62C21

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RK2XN69JJONCE2

Ćwiczenie 17

Ćwiczenie 18

RKEQQKZ8GEQPQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$10 \log_{4} 2 = \log_{4} 2^{10} = \log_{4} 4^{5} = 5$ ,
$9 \log_{27} 3 = \log_{27} 3^{9} = \log_{27} 27^{3} = 3$ ,
$12 \log_{25} \sqrt{5} = \log_{25} {(\sqrt{5})}^{12} = \log_{25} 5^{6} = \log_{25} 25^{3} = 3$ ,
$8 \log_{12} (2 \sqrt{3}) = \log_{12} {(2 \sqrt{3})}^{8} = \log_{12} {(\sqrt{12})}^{8} = \log_{12} 12^{4} = 4$ .

Ćwiczenie 19

Wiedząc, że $\log_{2} 5 = t$ , zapisz wyrażenie $W = \log_{2} 125 - \log_{2} \sqrt{5} \cdot \log_{2} \frac{1}{5}$ bez użycia logarytmów.

$W = \log_{2} 5^{3} - \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 5 \cdot \log_{2} 5^{- 1} = 3 t + 0, 5 t^{2}$ .

R9QM4O7NL8RLU2

Ćwiczenie 20

R1BETGAGOJBE621

Ćwiczenie 21

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1CSOVCDAF4UH2

Ćwiczenie 22

R1HPTXVZM1AXU2

Ćwiczenie 23

RCD598XLZG1312

Ćwiczenie 24

R1BBSA5N2R6KV2

Ćwiczenie 25

R1D89PPHMHP2Z2

Ćwiczenie 26

R3OZZ3MZU7X4C21

Ćwiczenie 27

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R122BLAP6FOFC3

Ćwiczenie 28

Ćwiczenie 29

Wykaż, że liczby $\log 9$ , $\log 21$ , $\log 49$ tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Sprawdź, czy $\frac{\log 9 + \log 49}{2} = \log 21$ .

Ponieważ $\frac{\log 9 + \log 49}{2} = \frac{\log (9 \cdot 49)}{2} = \frac{\log 441}{2} = \frac{\log 21^{2}}{2} = \frac{2 \cdot \log 21}{2} = \log 21$ , więc ciąg $(\log 9, \log 21, \log 49)$ jest arytmetyczny.

Słownik

logarytm

liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ) to wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$

2. Funkcja logarytmiczna i jej własności

Funkcja logarytmiczna