• Na podstawie wykresu funkcji logarytmicznej określisz jej własności.

• Rozwiążesz nierówność logarytmiczną z wykorzystaniem wykresu.

• Zastosujesz definicję i własności funkcji logarytmicznej do rozwiązywania zadań.

• Zdefiniujesz funkcję logarytmiczną.

• Określisz podstawowe własności funkcji logarytmicznej.

• Wyznaczysz dziedzinę funkcji logarytmicznej.

• Zastosujesz wiedzę, wykonując zestaw przygotowanych ćwiczeń.

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci $f\left(x\right)={\log }_{a}x$, przy założeniu, że $a>0$, $a\ne 1$ oraz $x>0$.

Znajdziemy liczby ujemne w zbiorze: $\left\{{\log }_{0,2}2; {\log }_{0,10}0,2; {\log }_{0,4}12; {\log }_{0,3}0,6\right\}$.

Rozwiązanie:

Ponieważ $a\in \left(0,1\right)$, funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x>1$.

Liczbami ujemnymi są zatem: ${\log }_{0,2}2$ i ${\log }_{0,4}12$.

Do wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem $f\left(x\right)={\log }_a\left(x-3\right)$ należy punkt o współrzędnych $(5,2)$. Wyznaczymy wartość współczynnika $a$.

Współrzędne punktu podstawiamy do wzoru funkcji i otrzymujemy równanie:

${\log }_{a}2=2$.

Z definicji logarytmu mamy, że $a^2=2$.

Czyli $a=\sqrt{2}$ lub $a=-\sqrt{2}$.

Ponieważ dla funkcji logarytmicznej $a>0$, stąd $a=\sqrt{2}$.

Porównamy następujące pary liczb:

a) ${\log }_{0,4}9,467$ i ${\log }_{0,4}19,282$,

b) ${\log }_{0,5}8$ i ${\log }_{0,5}4$.

Rozwiązanie:

a) ${\log }_{0,4}9,467>{\log }_{0,4}19,282$, ponieważ $y={\log }_{0,4}x$ jest funkcją malejącą i $9,467<19,282$,

b) ${\log }_{0,5}8<{\log }_{0,5}4$, ponieważ $y={\log }_{0,5}x$ jest funkcją malejącą i $8>4$.

Rozwiążemy nierówność: ${\log }_{0,3}x<{\log }_{0,3}5$.

Rozwiązanie:

Ponieważ funkcja ${\log }_{0,3}x$ jest funkcją malejącą, to nierówność ${\log }_{0,3}x<{\log }_{0,3}5$ jest równoważna nierówności $x>5$.

Zatem zbiorem rozwiązań nierówności ${\log }_{0,3}x<{\log }_{0,3}5$,

jest przedział $\left(5,\infty \right)$.

Rozwiążemy graficznie nierówność: ${\log }_{\frac{1}{3}}x>-1$.

Rozwiązanie:

W układzie współrzędnych rysujemy wykres funkcji $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ oraz prostą o równaniu $y=-1$.

Wszystkie punkty krzywej logarytmicznej o równaniu $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$, które leżą nad prostą $y=-1$ mają tę własność, że ich pierwsza współrzędna spełnia nierówność: ${\log }_{\frac{1}{3}}x>-1$.

R189Z4S1H3O5C

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 9 i pionową osią y od minus 2 do pięć. W układzie zaznaczono wykres, który ma równanie f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, z nawias, x, zamknięcie nawiasu, pojawia się on w pierwsze ćwiartce i biegnie wzdłuż osi y, a następnie biegnie po łuku przez punkty nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, nawias dziewięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. W układzie zaznaczono poziomy odcinek, który rozpoczyna się i kończy niezamalowanymi kropkami, których współrzędne to nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu i nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu. W układzie linią przerywaną zaznaczono poziomą prostą o równaniu y, równa się, minus, jeden.

Odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności ${\log }_{\frac{1}{3}}x>-1$.

Rozwiązaniem nierówności ${\log }_{\frac{1}{3}}x>-1$ jest przedział $\left(0,3\right)$.

Rozwiążmy teraz tę nierówność rachunkowo:

${\log }_{\frac{1}{3}}x>-1$ gdzie $x\in \left(0,+\infty \right)$.

Zapisujemy $\left(-1\right)$ jako ${\log }_{\frac{1}{3}}3$, gdyż ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3$.

Otrzymujemy w ten sposób nierówność: ${\log }_{\frac{1}{3}}x>{\log }_{\frac{1}{3}}3$.

Ponieważ funkcja logarytmiczna jest malejąca w zbiorze ${\mathrm{ℝ}}_{+}$, gdyż $a\in \left(0,1\right)$, stąd też przechodzimy do równoważnej nierówności:

$x<3$,

której rozwiązaniem jest przedział $\left(-\infty ,3\right)$.

Ponieważ dziedziną funkcji $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ jest $x\in \left(0,+\infty \right)$, to rozwiązaniem nierówności jest:

$x\in \left(0,3\right)$.

Nierówność ${\log }_{\frac{1}{3}}x>-1$ zachodzi dla $x\in \left(0,3\right)$.

Jakie wartości funkcja $f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}x$ przyjmuje dla $x\in ⟨\frac{1}{2},4⟩$?

Rozwiązanie:

R19XRQGZ536RS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 9 i pionową osią y od minus 3 do pięć. W układzie zaznaczono wykres, który ma równanie f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, z nawias, x, zamknięcie nawiasu, pojawia się on w pierwsze ćwiartce i biegnie wzdłuż osi y, a następnie biegnie po łuku przez punkty nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, nawias osiem średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. W układzie zaznaczono pionowy odcinek, który rozpoczyna się i kończy zamalowanymi kropkami, których współrzędne to nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu. W układzie linią przerywaną zaznaczono również poziomy odcinek o początku w zamalowanym punkcie nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i końcu w punkcie nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono obszar znajdujący się pomiędzy dwoma pionowymi prostymi o równaniach x, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka oraz x, równa się, cztery.

Odczytujemy: $f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ i $f\left(4\right)=-2$. Dla $x\in ⟨\frac{1}{2},4⟩$ funkcja przyjmuje wartości $f\left(x\right)\in ⟨-2,1⟩$.

Potwierdzimy ten wynik drogą rachunkową:

$f\left(\frac{1}{2}\right)={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}=1$ i $f\left(4\right)={\log }_{\frac{1}{2}}4=-2$.

Ponieważ funkcja przyjmuje wszystkie wartości w zbiorze $\mathrm{ℝ}$ i jest monotoniczna w swojej dziedzinie, to $Z{W}_f=⟨-2,1⟩$.

Dla jakich wartości $x$, wartości funkcji $f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}x$ należą do przedziału $⟨-2,2⟩$?

Rozwiązanie:

RC5NEKL1NUR47

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 9 i pionową osią y od minus 3 do pięć. W układzie zaznaczono wykres, który ma równanie f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, z nawias, x, zamknięcie nawiasu, pojawia się on w pierwsze ćwiartce i biegnie wzdłuż osi y, a następnie biegnie po łuku przez punkty nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, nawias osiem średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. W układzie zaznaczono poziomy odcinek, który rozpoczyna się i kończy zamalowanymi kropkami, jego początek znajduje się w punkcie z rzutowanym z wykresu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, z nawias, x, zamknięcie nawiasu na oś x i kończy w punkcie nawias cztery średnik zero zamknięcie naawiasu. W układzie linią przerywaną zaznaczono również dwa pionowe odcinki pierwszy o początku w zamalowanym punkcie na wykresie f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, z nawias, x, zamknięcie nawiasu , a jego rzędna jest równa dwa. Drugi punkt jest punktem zrzutowanym na oś x. Drugi odcinek ma początek w puncie nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu i końcu w punkcie nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono obszar znajdujący się pomiędzy dwoma poziomymi prostymi o równaniach y, równa się, minus, dwa oraz y, równa się, dwa.

Odczytujemy z wykresu, że dla $x\in ⟨\frac{1}{4},4⟩$ funkcja przyjmuje wartości z przedziału $⟨-2,2⟩$.

Potwierdzimy ten wynik drogą rachunkową.

Jeżeli wartości funkcji $f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}x$ należą do przedziału $⟨-2,2⟩$, to oznacza to, że wartości funkcji spełniają nierówność:

$-2\le {\log }_{\frac{1}{2}}x\le 2$ i $x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}$.

Zapisujemy $-2={\log }_{\frac{1}{2}}4$ i $2={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$.

Stąd nierówność przyjmuje postać:

${\log }_{\frac{1}{2}}4\le {\log }_{\frac{1}{2}}x\le {\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$,

która jest równoważna układowi nierówności:

${\log }_{\frac{1}{2}}x\le {\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$ i ${\log }_{\frac{1}{2}}x\ge {\log }_{\frac{1}{2}}4$.

Dla $0<a<1$ funkcja jest malejąca w zbiorze ${\mathrm{ℝ}}_{+}$.

Otrzymujemy zatem:

$x\ge \frac{1}{4}$ i $x\le 4$, a stąd $x\in ⟨\frac{1}{4},4⟩$.

Wartości funkcji $f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}x$ należą do przedziału $⟨-2,2⟩$ dla $x\in ⟨\frac{1}{4},4⟩$.

Oszacujemy wartość liczby $\log 6,8$.

Zauważmy, że $1<6,8<10$, zatem ${10}^0<6,8<10$.

Zatem $\log {10}^0<\log 6,8<\log {10}^1$, stąd $0<\log 6,8<1$.

Oszacujemy wartość $\log 0,3456$.

Zauważmy, że $0,1<0,3456<1$, zatem ${10}^{-1}<\log 0,3456<{10}^0$.

Zatem $\log {10}^{-1}<\log 0,3456<\log {10}^0$, stąd $-1<\log 0,3456<0$.

wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę $a$, żeby otrzymać liczbę $b$; ${\log }_{a}b=c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^c=b$

zbiór wszystkich wartości tej funkcji

zbiór wszystkich wartości zmiennej niezależnej $x$, dla których funkcja $f\left(x\right)$ jest określona

funkcja postaci $f\left(x\right)={\log }_{a}x$, gdzie $a>0$, $a\ne 1$ oraz $x>0$

funkcja $g:f\left(X\right)\to \mathrm{ℝ}$ oznaczana jako $f^{-1}$, spełniająca warunek $f^{-1}\left(y\right)=x\iff f\left(x\right)=y$