3. Przekształcenia funkcji logarytmicznych - Funkcja logarytmiczna

RCMHXEP2NQLX3

3. Przekształcenia wykresów funkcji logarytmicznych

W tym materiale omówimy wiadomości dotyczące wykresu i własności funkcji logarytmicznej po przesunięciu w prawo lub w lewo wzdłuż osi odciętych. Dowiemy się, w którym miejscu po przesunięciu znajdzie się asymptota wykresu funkcji oraz jaki ma to wpływ na wartość miejsca zerowego funkcji. Będziemy rozwiązywać ćwiczenia interaktywne, bazując na części teoretycznej materiału i podanych przykładach.

Twoje cele

Określisz własności wykresu funkcji logarytmicznej po przesunięciu wzdłuż osi wykładu współrzędnych.
Naszkicujesz wykres funkcji logarytmicznej po przesunięciu w prawo lub w lewo wzdłuż osi odciętych oraz po przesunięciu w górę lub w dół wzdłuż osi rzędnych.
Sprawdzisz, czy dany punkt należy do wykresu funkcji logarytmicznej.
Wykorzystasz poznaną wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Przekształcanie wykresu funkcji jest ściśle powiązane nie tylko ze zmianą położenia wykresu tej funkcji, ale także zmianą jej własności.

Przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej wzdłuż osi odciętych

przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej wzdłuż osi

X

Definicja: przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej wzdłuż osi

X

Wykres funkcji określonej wzorem $g (x) = \log_{a} (x - p)$ otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji $f (x) = \log_{a} x$ o $p$ jednostek w prawo gdy $p > 0$ lub o $p$ jednostek w lewo gdy $p < 0$ .

Naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji określonych wzorami $f (x) = \log_{\frac{1}{4}} x$ oraz $g (x) = \log_{\frac{1}{4}} (x - 2)$ . W tym celu w tabelach przedstawimy wartości tych funkcji dla kilku argumentów.

$x$	$\frac{1}{4}$	$1$	$4$	$16$
$f (x)$	$1$	$0$	$- 1$	$- 2$

$x$	$\frac{9}{4}$	$3$	$6$	$18$
$g (x)$	$1$	$0$	$- 1$	$- 2$

Wykresy tych funkcji przedstawiają się następująco:

R4LBCPS6RV16J

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do osiemnastu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono dwa wykresy funkcji f oraz g. Wykres funkcji f jest krzywą, która w zerze rośnie do plus nieskończoności, dalej przechodzi przez punkt nawias, jeden przecinek zero, zamknięcie nawiasu i dalej wolno maleje. Wykres funkcji g jest podobną krzywą, jest jednak przesunięta o dwie jednostki w prawo i przecina oś poziomą w punkcie nawias, trzy przecinek zero, zamknięcie nawiasu.

Analizując położenie wykresów oraz wzory tych funkcji możemy zauważyć, że:

wykres funkcji $g$ możemy otrzymać przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $2$ jednostki w prawo,
dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $x \in (0, \infty)$ , a dziedziną funkcji $g$ jest zbiór $x \in (3, \infty)$ ,
miejscem zerowym funkcji $f$ jest $1$ , a miejscem zerowym funkcji $g$ jest $3$ ,
asymptotą wykresu funkcji $f$ jest prosta $x = 0$ , a asymptotą wykresu funkcji $g$ jest prosta $x = 2$ .
funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów większych od $1$ , a funkcja $g$ przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów większych od $3$ ,
funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie tylko dla argumentów $x \in (0, 1)$ , a funkcja $g$ przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów $x \in (2, 3)$ .

Miejsce zerowe funkcji

f (x) = \log_{a} (x - p)

Twierdzenie: Miejsce zerowe funkcji

f (x) = \log_{a} (x - p)

Miejscem zerowym funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{a} (x - p)$ jest liczba $x = p + 1$ .

Dowód:

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb spełniających nierówność
$x - p > 0$ , więc $x > p$ .

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ .

W celu wyznaczenia miejsca zerowego rozwiązujemy równanie:

$0 = \log_{a} (x - p)$

Zatem $x - p = a^{0}$ , czyli $x = p + 1$ .

Funkcja przed i po przekształceniu jej wykresu w przesunięciu wzdłuż osi odciętych ma ten sam zbiór wartości oraz nie zmienia się jej monotoniczność.

asymptota wykresu funkcji określonej wzorem

f (x) = \log_{a} (x - p)

Własność: asymptota wykresu funkcji określonej wzorem

f (x) = \log_{a} (x - p)

Asymptotą wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{a} (x - p)$ jest prosta o równaniu $x = p$ .

Mając dany wzór funkcji logarytmicznejfunkcja logarytmicznafunkcji logarytmicznej oraz przesunięcie wzdłuż osi $X$ przesunięcie wzdłuż osi $X$ układu współrzędnych, możemy wyznaczyć wzór tej funkcji po przekształceniu jej wykresu.

Przykład 1

Wyznaczymy wzory funkcji po przesunięciu ich wykresów wzdłuż osi $X$ :

funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{\sqrt{2}} x$ po przesunięciu jej wykresu o $3$ jednostki w lewo wyraża się wzorem $f (x) = \log_{\sqrt{2}} (x + 3)$ ,
funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ po przesunięciu jej wykresu o $4$ jednostki w prawo wyraża się wzorem $g (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x - 4)$ .

Przesunięcie poziome wzdłuż osi odciętych wykresu funkcji logarytmicznej powoduje zmianę położenia asymptoty jej wykresu, co ma wpływ na zmianę różnych własności tej funkcji.

Przykład 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{3} (x + 2)$ .

ROBSTLLO3VAVU

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji logarytmicznej f przesuniętej o dwie jednostki w lewo. Wykres ten przecina oś poziomą w punkcie o współrzędnych nawias, minus, jeden przecinek zero, zamknięcie nawiasu.

Odczytamy z wykresu:

a) dziedzinę tej funkcji,

b) równanie asymptoty wykresu tej funkcji,

c) miejsce zerowe tej funkcji,

Rozwiązania:

a) Dziedziną tej funkcji jest zbiór $x \in (- 2, \infty)$ .

b) Asymptotą wykresu funkcji jest prosta o równaniu $x = - 2$ .

c) Z wykresu możemy odczytać, że miejscem zerowym tej funkcji jest liczba $(- 1)$ .

Bez rysowania wykresu funkcji logarytmicznej, tylko na podstawie podanego wzoru tej funkcji, możemy określić różne jej własności.

Przykład 3

Określmy funkcję $f$ wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x - 1)$ . Wyznaczymy:

a) równanie asymptoty wykresu tej funkcji,

b) argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne,

c) wartość funkcji dla argumentu $9$ .

Rozwiązania:

a) Asymptotą wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu $x = 1$ , ponieważ wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x - 1)$ otrzymujemy przez przesunięcie wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ o $1$ jednostkę w prawo.

b) Wyznaczymy najpierw miejsce zerowe tej funkcji. W tym celu rozwiążemy równanie:

$0 = \log_{\frac{1}{2}} (x - 1)$ , zatem ${(\frac{1}{2})}^{0} = x - 1$ , czyli $x = 2$ .

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $x \in (1, \infty)$ .

Każda funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{a} x$ , gdy $a \in (0, 1)$ jest malejąca, zatem funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne dla argumentów większych od $2$ .

c) $f (9) = \log_{\frac{1}{2}} (9 - 1) = \log_{\frac{1}{2}} 8 = - 3$

Przykład 4

Do wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (x + p)$ należy punkt o współrzędnych $(8, - 2)$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji, miejsce zerowe oraz argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

W celu wyznaczenia wartości parametru rozwiązujemy równanie:

$- 2 = \log_{\frac{1}{3}} (8 + p)$ , zatem $p = 1$ .

Wzór funkcji zapiszemy zatem w postaci:

$f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1)$ .

Dla wyznaczenia miejsca zerowego rozwiązujemy równanie:

$0 = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1)$ .

Zatem miejscem zerowym tej funkcji jest liczba $0$ .

Funkcja jest malejąca, a jej dziedziną jest zbiór $x \in (- 1, \infty)$ , miejscem zerowym $0$ , zatem funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału $(- 1, 0)$ .

Przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej wzdłuż osi rzędnych

przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej wzdłuż osi

Y

Definicja: przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej wzdłuż osi

Y

Wykres funkcji określonej wzorem $g (x) = \log_{a} x + q$ otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji $f (x) = \log_{a} x$ o $q$ jednostek w górę gdy lub o $q$ jednostek w dół gdy $q < 0$ .

Naszkicujmy wykresy funkcji zadanych wzorami $f (x) = \log_{3} x$ oraz $g (x) = \log_{3} x - 1$ .

W tym celu w tabeli przedstawmy wartości tych funkcji dla kilku argumentów.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$
$f (x)$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$
$g (x)$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$

Wykresy naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych.

R148LVRF7873X

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus dwóch do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Wykres funkcji f jest łukowatą krzywą z lewej strony wypłaszczoną do ujemnej półosi O Y. Wykres ten przebiega przez punkt wyróżniony nawias 1 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Wykres biegnie za tym punktem w pierwszej ćwiartce. Dla wartości dodatnich funkcja łagodnie rośnie. Wykres funkcji g również jest łukowatą krzywą wypłaszczającą się do ujemnej półosi O Y. Wykres ten przebiega przez wyróżniony punkt nawias 3 średnik 0 zamkniecie nawiasu i biegnie dalej w pierwszej ćwiartce. Dla dodatnich wartość funkcja łagodnie rośnie. W interpretacji graficznej wykres funkcji f znajduje się nieco powyżej wykresu funkcji g, zatem funkcja f rośnie nieco szybciej od g.

Zauważmy, że wykres funkcji $g$ moglibyśmy otrzymać po przesunięciu wykresu funkcji $f$ o $1$ jednostkę w dół wzdłuż osi $Y$ układu współrzędnych.

Korzystając z wykresów, porównamy własności funkcji $f$ i $g$ :

funkcje $f$ i $g$ mają te same dziedziny oraz takie same zbiory wartości,
funkcje $f$ i $g$ są rosnące i różnowartościowe,
asymptotą wykresów funkcji jest prosta $x = 0$ ,
miejscem zerowym funkcji $f$ jest $1$ , a miejscem zerowym funkcji $g$ jest $3$ ,
$f (x) < 0$ dla $x \in (0, 1)$ , $g (x) < 0$ dla $x \in (0, 3)$ ,
$f (x) > 0$ dla $x \in (1, \infty)$ , $g (x) > 0$ dla $x \in (3, \infty)$ .

Przy przekształceniu $f (x) + q$ wykresu funkcji logarytmicznejprzekształcenie wykresu funkcji $f (x) + q$ przekształceniu $f (x) + q$ wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem $f (x) = \log_{a} x$ zmienia się miejsce zerowe funkcji oraz zbiory argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne.

Jeżeli mamy dane współrzędne punktu, który należy do wykresu funkcji logarytmicznejfunkcja logarytmicznafunkcji logarytmicznej, to możemy znaleźć wzór, za pomocą którego ta funkcja jest określona.

Przykład 5

Wiadomo, że punkt o współrzędnych $(9, - 1)$ należy do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} x + q$ .

Wyznaczymy wzór tej funkcji oraz wartość funkcji dla argumentu $\frac{1}{27}$ .

W celu wyznaczenia wartości $q$ rozwiążemy równanie:

$- 1 = \log_{\frac{1}{3}} 9 + q$ .

Z równania otrzymujemy, że $q = 1$ , zatem wzór funkcji jest postaci $f (x) = \log_{3} x + 1$ .

Obliczamy $f (\frac{1}{27}) = \log_{3} \frac{1}{27} + 1 = - 3 + 1 = - 2$ .

Przykład 6

Dana jest funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{\sqrt{5}} x$ . Niech $g (x) = f (x) + 3$ . Obliczymy wartości funkcji $g$ dla argumentów: $\frac{1}{25}$ , $5$ , $25$ , $5 \sqrt{5}$ .

Zauważmy, że funkcja $g$ wyraża się wzorem $g (x) = \log_{\sqrt{5}} x + 3$ , zatem:

$g (\frac{1}{25}) = \log_{\sqrt{5}} \frac{1}{25} + 3 = - 4 + 3 = - 1$

$g (5) = \log_{\sqrt{5}} 5 + 3 = 2 + 3 = 5$

$g (25) = \log_{\sqrt{5}} 25 + 3 = 4 + 3 = 7$

$g (5 \sqrt{5}) = \log_{\sqrt{5}} 5 \sqrt{5} + 3 = 3 + 3 = 6$ .

Przykład 7

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{a} x + q$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji.

R1FDJNMEN7CE5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący łukowatą krzywą wypłaszczającą się do ujemnej półosi O Y. Wykres przebiega czwartą i pierwszą ćwiartkę, funkcja jest rosnąca. Na wykresie wyróżniono dwa punkty: nawias 2 średnik 3 zamknięcie nawiasu oraz nawias 4 średnik 4 zamknięcie nawiasu

Z rysunku możemy odczytać, że należą do niego punkty o współrzędnych: $(2, 3)$ i $(4, 4)$ .

Po podstawieniu współrzędnych tych punktów do wzoru funkcji, mamy równania:

$4 = \log_{a} 4 + q$ oraz oraz $3 = \log_{a} 2 + q$ .

Równania przekształcamy do postaci $a^{4 - q} = 4$ oraz $a^{3 - q} = 2$ .

Po podzieleniu tych równań stronami mamy, że $a = 2$ , zatem $2^{4 - q} = 4$ , czyli $q = 2$ .

Wzór funkcji zapisujemy w postaci $f (x) = \log_{2} x + 2$ .

Mając dany wykres funkcji logarytmicznej po przesunięciu wzdłuż osi rzędnych, możemy odczytać różne własności tej funkcji.

Przykład 8

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} x - 2$ .

RXUC2TLN4KROM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący łukowatą krzywą wypłaszczającą się do dodatniej półosi O Y. Wykres przebiega pierwszą ćwiartkę, w której jest niema pionowy oraz czwartą ćwiartkę, w której jest niemal poziomy..

Wyznaczymy:

a) miejsce zerowe tej funkcji,

b) argument dla którego funkcja przyjmuje wartość $- 2$ ,

c) wartość funkcji dla argumentu $25$ .

Rozwiązania:

a) w celu wyznaczenia miejsca zerowego rozwiążemy równanie:

$0 = \log_{\frac{1}{5}} x - 2$ , zatem $x = \frac{1}{25}$

b) z wykresu tej funkcji możemy odczytać, że funkcja $f$ przyjmuje wartość $- 2$ dla argumentu $1$ ,

c) obliczamy $f (25) = \log_{\frac{1}{5}} 25 - 2 = - 2 - 2 = - 4$ .

Ciekawostka

Jeżeli mamy naszkicować wykres funkcji będącej logarytmem iloczynu lub ilorazu, to możemy posłużyć się przesunięciem.

Przykład 9

Jak przekształcić wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log x$ , aby otrzymać wykres funkcji określonej wzorem $g (x) = \log (\frac{x}{100})$ ?

Zauważmy, że wzór funkcji $g$ możemy zapisać w postaci:

$g (x) = \log (\frac{x}{100}) = \log x - \log 100 = \log x - 2$

Zatem, żeby otrzymać wykres funkcji $g$ należy wykres funkcji $f$ przesunąć o $2$ jednostki w dół.

Aplet

Polecenie 1

Uruchom aplet dotyczący przekształcania wykresu funkcji logarytmicznej poprzez przesunięcia wzdłuż osi odciętych układu współrzędnych. Zwróć uwagę, które własności funkcji logarytmicznej ulegają zmianie. Za każdym razem określ miejsce zerowe tej funkcji oraz podaj równanie asymptoty wykresu tej funkcji.

Rozwiąż poniższy test składający się z czterech pytań jednokrotnego wyboru i dwóch ostatnich pytań wielokrotnego wyboru.

RLQ2H24V87R1M

R1J165VD4O77A

R1788CG7QRB1O

R1QC5OLE42A7J

R1K9T6UKF955C

RJVEJ278AD8AG

R1DH6XAV2KX8M

Polecenie 2

Do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{a} (x + 2)$ należy punkt o współrzędnych $(\frac{1}{4}, - 2)$ :

a) wyznacz wzór tej funkcji,

b) dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne?

Rozwiązania:

a) W celu obliczenia $a$ rozwiązujemy równanie:

$a^{- 2} = \frac{9}{4}$ .

Z równania wynika, że $a = \frac{2}{3}$ lub $a = - \frac{2}{3}$ .

Ponieważ dla funkcji logarytmicznej $a > 0$ , zatem wzór funkcji ma postać $f (x) = \log_{\frac{2}{3}} (x + 2)$ .

b) Ponieważ $a = \frac{2}{3}$ , zatem funkcja jest malejąca. Dziedziną tej funkcji jest zbiór $x \in (- 2, \infty)$ . Z wykresu tej funkcji wiadomo, że wartości ujemne są przyjmowane dla argumentów większych od $1$ .

Otrzymujemy nierówność $x + 2 > 1$ , zatem po uwzględnieniu dziedziny, funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (- 1, \infty)$ .

Polecenie 3

Uruchom aplet, a następnie zaobserwuj, jak zmienia się położenie wykresu oraz własności funkcji logarytmicznej przy przesunięciu tego wykresu w górę lub w dół wzdłuż osi $Y$ układu współrzędnych.

R1L941OGBH39O

Połącz w pary wzory funkcji z punktami należącymi do ich wykresów. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x, plus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, cztery, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, pięć, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, pięć, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, cztery, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, trzy, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, cztery, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, pięć, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, pięć, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, cztery, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, trzy, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie trzy z x, plus, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, cztery, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, pięć, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, pięć, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, cztery, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, trzy, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie pięć z x, plus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, cztery, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, pięć, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, pięć, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, cztery, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, trzy, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie pięć z x, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, cztery, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, pięć, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, pięć, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, cztery, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, trzy, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie trzy z x, minus, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, cztery, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, pięć, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, pięć, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, cztery, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, trzy, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu

R19TJM6KHJQQX

Polecenie 4

Wiadomo, że do wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem $f (x) = \log_{2} x + q$ należy punkt o współrzędnych $(\frac{1}{8}, - 2)$ .

a) Wyznacz wzór tej funkcji.

b) Naszkicuj wykres tej funkcji.

c) Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe od $3$ .

a) Chcąc wyznaczyć wzór funkcji, musimy rozwiązać równanie:

$- 2 = \log_{2} \frac{1}{8} + q$

Z równania otrzymujemy, że $q = 1$ , zatem wzór funkcji zapisujemy w postaci $f (x) = \log_{2} x + 1$ .

b) Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RPAKR6ECADUZ3

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano poziomą prostą zadaną równaniem y równa się 3 oraz wykres funkcji f będący łukowatą krzywą biegnącą niemal pionowo w czwartej ćwiartce wypłaszczając się do ujemnej półosi O Y. W pierwszej ćwiartce wykres funkcji f biegnie w prawo do plus nieskończoności, ponieważ funkcja f jest rosnąca. Wykres tej funkcji przebiega przez trzy wyróżnione punkty o następujących współrzędnych: nawias 3 średnik 2 zamkniecie nawiasu, nawias 4 średnik 3 zamkniecie nawiasu oraz nawias 8 średnik 4 zamkniecie nawiasu. Punkt przecięcia poziomej prostej i krzywej f to nawias 4 średnik 3 zamkniecie nawiasu,

c) Z wykresu funkcji odczytujemy, że funkcja przyjmuje wartości większe od $3$ dla argumentów większych od $4$ .

Zestaw ćwiczeń inetraktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RBQURL63FOBP8

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{4}} x + 2$ .

RSGVKHNX5VGQN

W oparciu o wzór funkcji, oblicz współrzędne wybranych punktów i uzupełnij luki. Funkcja określona jest wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{4}} x + 2$ .

RUMFLCSL1MMZM

Ćwiczenie 3

R1JVCSAXXN7Z4

Ćwiczenie 4

R1LXKMQ4BER36

Ćwiczenie 5

R1SEMVKMVZ5NO

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x - 3)$ .

R1R59M43XP1Q1

Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

Funkcja zadana jest wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x - 3)$ . Na podstawie wzoru funkcji, wybierz wszystkie zdania prawdziwe.

RXZ9UL945E6PE

Ćwiczenie 7

RHBF9DCJ3DQQS

Ćwiczenie 8

R1SRHAJRQELKD

Połącz w pary wzór funkcji oraz zbiór, dla którego funkcja określona tym wzorem przyjmuje wartości ujemne: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, z nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, z nawias, minus, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, z nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, z x Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 9

R1765ACNO4XRK

Połącz wzór funkcji g z odpowiadającym mu przesunięciem wykresu funkcji f. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o jeden jednostkę w dół, 2. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o dwa jednostki w dół, 3. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o dwa jednostkę w górę, 4. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o jeden jednostkę w górę g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x, plus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o jeden jednostkę w dół, 2. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o dwa jednostki w dół, 3. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o dwa jednostkę w górę, 4. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o jeden jednostkę w górę g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x, plus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o jeden jednostkę w dół, 2. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o dwa jednostki w dół, 3. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o dwa jednostkę w górę, 4. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o jeden jednostkę w górę g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o jeden jednostkę w dół, 2. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o dwa jednostki w dół, 3. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o dwa jednostkę w górę, 4. przesunięcie wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie cztery z x o jeden jednostkę w górę

Ćwiczenie 10

R1L646FAEMJJM

Ćwiczenie 11

R1227QT54BBK6

Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{3} x + 2$ . Wskaż zdanie prawdziwe.

R13H83HFUANL8

Funckja określona jest wzorem $f (x) = \log_{3} x + 2$ .

R3F31NLQV93SK

Ćwiczenie 13

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{3} (x - 2)$ .

RMOP81O1KCQ1P

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do dziesięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji logarytmicznej f o podstawie trzy przesuniętej o dwie jednostki w prawo. Wykres ten przecina oś poziomą w punkcie o współrzędnych nawias, trzy przecinek zero, zamknięcie nawiasu.

RO3KMHBPPV24S

Ćwiczenie 14

Dana jest funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ . Określmy funkcję $g$ wzorem $g (x) = f (x + 1)$ :

a) podaj wzór funkcji $g$ ,

b) podaj miejsce zerowe oraz równanie asymptoty wykresu tej funkcji,

c) naszkicuj wykres tej funkcji.

a) Funkcję zapisujemy za pomocą wzoru $g (x) = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1)$ .

b) Równanie asymptoty: $x = - 1$ , miejsce zerowe: $x = 0$ .

c) Wykres funkcji $g$ przedstawia się następująco:

RAJM1Q8JE23JN

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji logarytmicznej g o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka przesuniętej o jedną jednostkę w lewo. Wykres ten przecina oś poziomą w punkcie o współrzędnych nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu.

Ćwiczenie 15

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{\frac{\sqrt{3}}{3}} x + 2$ .

R12J9S53V2RFL

Funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{\frac{\sqrt{3}}{3}} x + 2$ .

R1XGEPVE9HB1L

Ćwiczenie 16

Dla funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{4} x - 1$ wyznacz:

a) miejsce zerowe,

b) argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od $- 1$ .

a) chcąc obliczyć miejsce zerowe, rozwiązujemy równanie $0 = \log_{4} x - 1$ .

Zatem $x = 4$ .

b) $f (x) < - 1$ dla $x \in (0, 1)$ .

Słownik

funkcja logarytmiczna

funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{a} x$ , gdzie $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ oraz $x > 0$

przekształcenie wykresu funkcji f(x - p)

przesunięcie wykresu funkcji $f (x)$ o $p$ jednostek w prawo ( $p > 0$ ) lub o $p$ jednostek w lewo ( $p < 0$ )

przekształcenie wykresu funkcji

f (x) + q