4. Wykorzystanie wykresów funkcji logarytmicznych w naukach przyrodniczych

R116ZAFL2ZG65

Naukowcy, którzy badają dane zjawisko, starają się znaleźć wzór funkcji opisującej parametry tego zjawiska. Pozwala to przedstawić graficznie przebieg tego procesu w zależności od różnych czynników. Ważniejsze jest jednak to, że dzięki takim funkcjom naukowcy mogą przewidywać, w jaki sposób zjawisko będzie przebiegało.

Okazuje się, że przyroda w tym przypadku bardzo mocno upodobała sobie funkcje wykładnicze i logarytmiczne. Za pomocą funkcji wykładniczych można opisać zjawisko rozpadu izotopów promieniotwórczych, co ma zastosowanie między innymi w archeologii i medycynie. Za pomocą modelu wykładniczego można opisać stężenie leków we krwi pacjenta (maleje wykładniczo) lub populację bakterii w próbce (rośnie wykładniczo).

Funkcję logarytmiczną można zastosować do opisu reakcji ludzkich zmysłów. Zgodnie z odkrytym doświadczalnie prawem Webera-Fechnera nasza reakcja na bodźce zależy od logarytmu ich zmiany. Na przykład, jeżeli najpierw słyszymy dźwięk o natężenie $I_{1}$ , a następnie dźwięk o natężeniu $I_{2}$ , to nasze ucho rejestruje drugi dźwięk jako $\log \frac{I_{2}}{I_{1}}$ razy większy od pierwszego.

R16ZZ4LPJS5M71

Na ilustracji przedstawiono dziewczynę o długich włosach, która na szyi ma zawieszone białe słuchawki nauszne. — Źródło: Foundry, dostępny w internecie: https://pixabay.com/.

W tym materiale poznasz zjawiska opisane funkcjami wykładniczymi lub logarytmicznymi. Nauczysz się wyznaczać wzór funkcji opisującej dane zjawisko na podstawie wykresu.

Twoje cele

Znajdziesz wzory funkcji wykładniczych i logarytmicznych opisujących zjawiska przyrodnicze.
Opiszesz zjawiska opisane funkcjami wykładniczymi lub logarytmicznymi.

Na początek proponujemy Ci wykonanie doświadczenia lub symulacji.

R1G2RFVX387NB1

Zapoznaj się z przebiegiem doświadczenia. Przeanalizuj uzyskane informacje, a następnie zapoznaj się z poleceniami zamieszczonymi poniżej.

Opis doświadczenia:

Wyrzucamy monety z pojemnika na stół.
Dzielimy monety na dwie grupy: orłów i reszek.
Reszki odkładamy na bok – nie będą już brały udziału w doświadczeniu.
Policzymy orły i wpiszemy odpowiednią liczbę do tabeli.
Monety, na których wypadł orzeł, włożymy do pojemnika i ponownie rozsypmy je na stoliku.
Podzielimy monety na dwie grupy: orłów i reszek.
Reszki odkładamy na bok – nie będą już brały udziału w doświadczeniu. Policzymy orły i wpiszemy odpowiednią liczbę do tabeli.
Kończymy doświadczenie dopiero wtedy, gdy zostanie tylko jedna moneta.

Przeanalizujemy przykład. Postępując zgodnie z instrukcją otrzymujemy tabelę dla sześciu rzutów:

numer rzutu	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
liczba orłów	$27$	$15$	$9$	$5$	$2$	$1$

Dane zebrane w tabeli można przedstawić w postaci punktów w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, gdzie pierwsza współrzędna określa numer rzutu, a druga liczbę wyrzuconych orłów. Pozioma oś X jest od zera do sześciu, a pionowa oś Y jest od zera do dwudziestu siedmiu. Zaznaczono w nim punkty $(1; 27)$ , $(2; 15)$ , $(3; 9)$ , $(4; 5)$ , $(5; 2)$ oraz $(6; 1)$ . Zostały one połączone linią ciągłą od pierwszego do ostatniego punktu.

Polecenie 1

RVX7P5PR8R6ND

Zbadaj rozpad promieniotwórczy przy użyciu poniższej symulacji.

W próbce znajduje się $1000$ jąder promieniotwórczych (szarych kółeczek). W chwili uruchomienia symulacji jądra ulegają rozpadowi, czyli przemianie promieniotwórczej (kolor kółeczka zmienia się z szarego na niebieski). Symulację można zatrzymać i wznowić przyciskiem start/stop. Po wciśnięciu stop w układzie współrzędnych pojawia się niebieski punkt. Zaznacz kilkanaście takich punktów, a następnie wybierz wykres.

Zapoznaj się z poniższym opisem symulacji, w której przedstawiono rozpad promieniotwórczy. Na podstawie opisu, wykonaj polecenie drugie.

W próbce znajduje się $1000$ jąder promieniotwórczych (szarych kółeczek). W chwili uruchomienia symulacji jądra ulegają rozpadowi, czyli przemianie promieniotwórczej (kolor kółeczka zmienia się z szarego na niebieski). Symulację można zatrzymać i wznowić przyciskiem start/stop. Po wciśnięciu stop w układzie współrzędnych pojawia się niebieski punkt. Zaznaczono kilkanaście takich punktów, a następnie wybierano wykres.

R1KJ6LUQ5BXVC1

Polecenie 2

R1L6L633XC6ZQ

RVQJ932HQL2HR

Jakie są podobieństwa między doświadczeniem z monetami a symulacją rozpadu promieniotwórczego?

doświadczenie z monetami	symulacja rozpadu promieniotwórczego
w kolejnych rzutach liczba orłów zmniejsza się dwukrotnie	po upływie określonego czasu liczba jąder promieniotwórczych, które nie uległy przemianie, zmniejsza się dwukrotnie
nie można przewidzieć, w którym rzucie konkretna moneta wypadnie zwrócona orłem do góry	nie można przewidzieć czasu, po którym jądro ulegnie rozpadowi
punkty otrzymane w doświadczeniu nie leżą dokładnie na krzywej	punkty otrzymane w symulacji nie leżą dokładnie na krzywej

Zarówno w przypadku rozpadu promieniotwórczego, jak i rzutu monetami, mamy do czynienia z zanikiem wykładniczym. W obu sytuacjach pomiędzy punktami w układzie współrzędnych można poprowadzić fragment wykresu funkcji, tak aby wykres tej funkcji leżał jak najbliżej każdego punktu, choć niekoniecznie punkty leżą dokładnie na krzywej. Tak dopasowany wykres funkcji z dość dobrym przybliżeniem opisuje rzeczywiste zjawisko. Skoro dopasowaliśmy krzywą do wyników doświadczenia lub symulacji, to możemy znaleźć równanie, które opisuje daną krzywą.

W przypadku rzutu monetami wzór opisujący wyniki doświadczenia ma postać:

y = k \cdot {(\frac{1}{2})}^{x}

gdzie:

$y$ – liczba wyrzuconych orłów,

$k$ – liczba monet użytych w doświadczeniu,

$x$ – kolejny numer rzutu.

Przez analogię możemy znaleźć wzór, który opisuje rozpad promieniotwórczy. Wtedy numerem rzutu $x$ będzie informacja, ile razy upłynął czas $T$ od chwili uruchomienia symulacji. Na przykład, jeżeli od początku symulacji upłynął czas $2 T$ , to $x = \frac{2 T}{T} = 2$ . Jeżeli czas jest równy $3 T$ , to $x = \frac{3 T}{T} = 3$ . Stąd wzór opisujący rozpad promieniotwórczy ma postać:

N = N_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}

gdzie:
$N$ – liczba jąder promieniotwórczych w próbce, które nie uległy rozpadowi,

$N_{0}$ – początkowa liczba jąder promieniotwórczych w próbce,

$t$ – czas, który upłynął od początku obserwacji próbki,

$T$ – czas, w którym połowa jąder promieniotwórczych uległa rozpadowi, zwany czasem połowicznego rozpadu.

Czas połowicznego rozpadu jest wielkością, która charakteryzuje izotop promieniotwórczy. Może być niezwykle krótki lub bardzo długi.

izotop	czas połowicznego rozpadu
polon- $212$	$3 \cdot 10^{- 9} s$
azot- $13$	$10$ minut
sód- $24$	$15$ godzin
jod- $131$	$8$ dni
kobalt- $60$	$5, 3$ lat
cez- $137$	$30$ lat
węgiel- $14$	$5730$ lat
jod- $129$	$1, 57 \cdot 10^{7}$ lat

Przykładowe wartości czasów połowicznego rozpadu dla wybranych izotopów. Źródło: Wikipedia

W praktyce nie posługujemy się liczbą jąder promieniotwórczych w próbce, lepiej posługiwać się masą izotopu promieniotwórczego. Liczbę jąder izotopu promieniotwórczego zastępuje masa:

m = m_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}

gdzie:
$m$ – masa izotopu promieniotwórczego w próbce, który nie uległ rozpadowi
$m_{0}$ – początkowa masa izotopu promieniotwórczych w próbce
$t$ – czas, który upłynął od początku obserwacji próbki
$T$ – czas połowicznego rozpadu

Przykład 1

Scyntygrafia jest jedną z metod diagnostycznych wykorzystywanych w medycynie nuklearnej do badania tarczycy, mózgu oraz do poszukiwania zmian nowotworowych. Na początku badania wprowadza się do organizmu pacjenta substancję, która zawiera izotop promieniotwórczy. Emitowane przez pacjenta promieniowanie jest rejestrowane przez specjalne urządzenie (detektor). Jednym z izotopów stosowanych podczas tego badania jest technet- $99 m$ . Jego czas połowicznego rozpadu to $6$ godzin.

Do organizmu pacjenta wprowadzono substancję zawierającą $2 μg$ technetu- $99 m$ . Oblicz po jakim czasie, ilość technetu- $99 m$ w organizmie zmniejszy się do:

$0, 125 μg$
$0, 1 μg$

Pytanie 1
Oblicz, po jakim czasie ilość technetu- $99 m$ w organizmie zmniejszy się do
$0, 125 μg$ .

Odpowiedź na to pytanie możemy znaleźć dwoma sposobami.

Sposób 1

R1KRV4Z935LP6

W tle prezentacji znajdują się atomy pewnego pierwiastka chemicznego.

Slajd 1. Zapisano masę początkową izotopu $m_{0}$ równą 2 mikrogramy. Masę izotopu po upływie czasu t, $m_{0}$ równą dwanaście setnych oraz czas połowicznego rozpadu T, równego 6 godzin.

Slajd 2. Początkowa masa izotopu to 2 mikrogramy.

Slajd 3. Czas połowicznego rozpadu technetu $T_{c} - 99 m$ jest równy 6 godzin. Od dwóch mikrogramów narysowano poziomą strzałkę skierowaną w prawą stronę, a nad nią zapisano czas 6 godzin.

Slajd 4. Po prawej stronie strzałki zapisano 1 mikrogram. Oznacza to, że po sześciu godzinach masa izotopu jest równa połowie, czyli jednemu mikrogramowi.

Slajd 5. Od jednego mikrograma narysowano strzałkę skierowaną do masy jednej drugiej mikrograma. Nad strzałką ponownie zapisano czas sześciu godzin. Oznacza to, że po kolejnych sześciu godzinach, masa izotopu znów zmniejsza się o połowę.

Slajd 6. Od masy jednej drugiej mikrograma narysowano strzałkę skierowaną do masy jednej czwartej mikrograma. Nad strzałką również zapisano 6 godzin. Od masy jednej czwartej mikrograma narysowano strzałkę skierowaną do masy jednej ósmej mikrograma, czyli 125 tysięcznych, nad strzałką ponownie zapisano 6 godzin. W ten sposób dochodzimy do wniosku, że izotop będzie miał masę studwudziestupięciu mikrograma po upływie dwudziestu czterech godzin.

Sposób 2

Skorzystamy ze wzoru: $m = m_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$ .

Podstawiamy wartości z treści zadania:

$0, 125 = 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{6}}$

$\frac{0, 125}{2} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{6}}$

$\frac{1}{16} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{6}}$

${(\frac{1}{2})}^{4} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{6}}$

Z porównania wykładników otrzymujemy: $4 = \frac{t}{6}$ .

Stąd $t = 24$ godziny.

Pytanie 2
Odpowiedź w pytaniu $2$ nie jest tak oczywista, jak w pytaniu $1$ . Wiemy, że po upływie $18$ godzin (czyli trzech okresach połowicznego rozpadu) masa radioaktywnego izotopu jest równa $0, 25 μg$ , natomiast po upływie $24$ godzin (czyli czterech okresach połowicznego rozpadu) masa tego izotopu to $0, 125 μg$ . Czas, po którym masa izotopu jest równa $0, 2 μg$ , będziemy mogli obliczyć w przybliżeniu, stosując logarytmy.

Skorzystamy ze wzoru: $m = m_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$ .

Podstawiamy wartości z treści zadania:

$0, 2 = 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{6}}$

$\frac{0, 2}{2} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{6}}$

$0, 1 = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{6}}$

Skorzystamy z własności, że $\frac{1}{2} = 2^{- 1}$ .

$0, 1 = 2^{- \frac{t}{6}}$

Skoro obie strony równania są liczbami dodatnimi, to możemy zapisać:

$\log_{2} 0, 1 = \log_{2} 2^{- \frac{t}{6}}$

$\log_{2} 10^{- 1} = - \frac{t}{6}$

$- \log_{2} 10 = - \frac{t}{6}$

$t = 6 \log_{2} 10$

Do obliczenia czasu skorzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu, a wartości logarytmów dziesiętnychlogarytm dziesiętnylogarytmów dziesiętnych odczytamy z tablic.

$t = 6 \cdot \frac{\log 10}{\log 2} = 6 \cdot \frac{1}{\log 2} \approx 6 \cdot \frac{1}{0, 3010} \approx 19, 9 \approx 20$ godzin

Pojęcia analogiczne do czasu połowicznego rozpadu można spotkać również w innych gałęziach nauki. Na przykład w farmakologii funkcjonuje czas połowicznego rozkładu leku. Okazuje się, że stężenie większości leków po ich podaniu i wchłonięciu zmniejsza się wykładniczo. Czas, w którym stężenie leku we krwi zmniejsza się o połowę wartości początkowej, nazywa się właśnie czasem połowicznego rozkładu leku lub biologicznym czasem półtrwania. W takiej sytuacji zmianę stężenia leku we krwi można opisać wzorem:

$c = c_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$

gdzie:
$c$ – stężenie leku we krwi po upływie czasu $t$ od podania
$c_{0}$ – początkowe stężenie leku
$t$ – czas, który minął od chwili podania leku
$T$ – czas połowicznego rozkładu leku

substancja	biologiczny czas półtrwania
paracetamol	$2 - 4 h$
ibuprofen	$1, 8 - 4 h$
kwas acetylosalicylowy	$3 h$
morfina	$2 - 4 h$
penicylina	$0, 4 - 0, 9 h$
loratadyna	$8 h$

Źródło: Wikipedia

Wzór na zmianę stężenia leku we krwi można również zapisać w postaci:

$c = c_{0} \cdot e^{- k t}$

gdzie:
$k$ – stała szybkości rozkładu leku (jej wartość zależy od rodzaju leku i cech organizmu pacjenta).

Liczba $e$ , która pojawia się jako podstawa potęgi, jest nazywana liczbą Eulera lub liczbą Napiera. Podobnie do liczby $π$ , liczba $e$ jest niewymierna.

$e = 2, 718281828459045235360287 \dots$

Odkryto ją w $XVII$ wieku. Z czasem okazała się być jedną z podstawowych stałych przyrody – pojawia się w wielu prawach matematycznych, statystycznych, fizycznych i nie tylko.

Liczba $e$ często występuje jako podstawa potęgi, a więc w równaniach wykładniczych. W niektórych sytuacjach do rozwiązywania równań wykładniczych stosujemy logarytmy.

Na przykład: $3^{x} = 5$ .

Dobieramy wtedy logarytm o odpowiedniej podstawie:
$\log_{3} 3^{x} = \log_{3} 5$ i otrzymujemy $x = \log_{3} 5$ .

Podobnie, gdy chcemy rozwiązać równanie $e^{x} = 5$ , korzystamy z logarytmu, którego podstawą jest liczba $e$ . Zamiast jednak pisać „ $\log_{e}$ ” piszemy symbol „ $\ln$ ”, który czytamy: logarytm naturalny. Wtedy:

$e^{x} = 5$

$\ln e^{x} = \ln 5$

$x = \ln 5$

Wartość wyrażenia $\ln 5$ odczytujemy z tablic wartości logarytmów naturalnych.

Przykład 2

Uzasadnimy, że ze wzoru $c = c_{0} \cdot e^{- k t}$ wynika wzór $c = c_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$ (oba wzory opisują zmianę stężenia leku we krwi z upływem czasu).

R1QAE7SCF3K89

W tle przedstawiono blistry tabletek. Zapisano wzory c, równa się, c indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, × e indeks górny, minus, k t, koniec indeksu górnego oraz c, równa się, c indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, × nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, T, koniec ułamka, koniec indeksu górnego. Przeprowadzimy rozumowanie, z którego będzie wynikało, że oba wzory na zmianę stężenia leku we krwi są równoważne. W tym celu skorzystamy z definicji czasu połowicznego zaniku. Zapisujemy wzór c, równa się, c indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, × e indeks górny, minus, k t, koniec indeksu górnego. Zapisano. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, c, równa się, c indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, × e indeks górny, minus, k T, koniec indeksu górnego. Po upływie czasu połowicznego zaniku stężenie leku we krwi zmniejszy się dwukrotnie. Dzielimy obie strony równania przez początkowe stężenie leku, czyli c indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego. Otrzymujemy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, e indeks górny, minus, k T, koniec indeksu górnego. Korzystamy z własności logarytmu naturalnego, aby wyznaczyć ze wzoru stałą k. Otrzymujemy. logarytm naturalny z nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm naturalny z nawias, e indeks górny, minus, k T, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu. Przekształcamy wzór i otrzymujemy logarytm naturalny z nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, k T. Mnożymy obie strony równania przez minus jeden. Otrzymujemy minus, logarytm naturalny z nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, k T. Ponownie korzystamy z własności logarytmu. Liczbę minus jeden, która znajduje się przed logarytmem naturalnym, możemy zapisać jako wykładnik potęgi o podstawie jedna druga. Czyli zapisujemy minus, logarytm naturalny z nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, k T. Zauważmy że nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, dwa. Zatem logarytm naturalny z nawias, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa. Po podzieleniu obu stron równania przez T, otrzymujemy związek czasu połowicznego zaniku ze stałą szybkości rozkładu leku. k, równa się, początek ułamka, logarytm naturalny z nawias, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, T, koniec ułamka. Wyznaczony związek wstawiamy do równania na stężenie leku. Zapisujemy zatem c, równa się, c indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, × e indeks górny, minus, początek ułamka, logarytm naturalny z nawias, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, T, koniec ułamka, × t, koniec indeksu górnego. Przekształcamy wykładnik potęgi. Otrzymujemy. c indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, × e indeks górny, minus, początek ułamka, t, mianownik, T, koniec ułamka, logarytm naturalny z nawias, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego. Następnie wyrażenie przed logarytmem naturalnym możemy zapisać jako wykładnik potęgi o podstawie dwa. Zapisujemy więc c indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, × e indeks górny, logarytm naturalny z nawias, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, początek ułamka, t, mianownik, T, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, koniec indeksu górnego. Zauważmy, że liczba Eulera e jest podstawą potęgi oraz podstawą logarytmu naturalnego. Skorzystamy więc z własności logarytmy. Otrzymujemy c indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, × dwa indeks górny, minus, początek ułamka, t, mianownik, T, koniec ułamka, koniec indeksu górnego. Otrzymane wyrażenie możemy inaczej zapisać za pomocą potęgi o podstawie jedna druga. c indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, × nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, t, mianownik, T, koniec ułamka, koniec indeksu górnego.

W tle przedstawiono blistry tabletek. Zapisano wzory $c = c_{0} \cdot e^{- k t}$ oraz $c = c_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{T}}$ . Przeprowadzimy rozumowanie, z którego będzie wynikało, że oba wzory na zmianę stężenia leku we krwi są równoważne. W tym celu skorzystamy z definicji czasu połowicznego zaniku. Zapisujemy wzór $c = c_{0} \cdot e^{- k t}$ . Zapisano $\frac{1}{2} c = c_{0} \cdot e^{- k T}$ . Po upływie czasu połowicznego zaniku stężenie leku we krwi zmniejszy się dwukrotnie. Dzielimy obie strony równania przez początkowe stężenie leku, czyli $c_{0}$ . Otrzymujemy $\frac{1}{2} = e^{- k T}$ . Korzystamy z własności logarytmu naturalnego, aby wyznaczyć ze wzoru stałą k. Otrzymujemy. $\ln (\frac{1}{2}) = \ln (e^{- k T})$ . Przekształcamy wzór i otrzymujemy $\ln (\frac{1}{2}) = - k T$ . Mnożymy obie strony równania przez minus jeden. Otrzymujemy $- \ln (\frac{1}{2}) = k T$ . Ponownie korzystamy z własności logarytmu. Liczbę minus jeden, która znajduje się przed logarytmem naturalnym, możemy zapisać jako wykładnik potęgi o podstawie jedna druga. Czyli zapisujemy ${\ln (\frac{1}{2})}^{- 1} = k T$ . Zauważmy że ${(\frac{1}{2})}^{- 1} = 2$ . Zatem $\ln (2) = k T$ . Po podzieleniu obu stron równania przez wielkie T, otrzymujemy związek czasu połowicznego zaniku ze stałą szybkości rozkładu leku. $k = \frac{\ln (2)}{T}$ . Wyznaczony związek wstawiamy do równania na stężenie leku. Zapisujemy zatem $c = c_{0} \cdot e^{- \frac{\ln (2)}{T} \cdot t}$ . Przekształcamy wykładnik potęgi. Otrzymujemy $c_{0} \cdot e^{- \frac{t}{T} \ln (2)}$ . Następnie wyrażenie przed logarytmem naturalnym możemy zapisać jako wykładnik potęgi o podstawie dwa. Zapisujemy więc $c_{0} \cdot e^{\ln {(2)}^{- \frac{t}{T}}}$ . Zauważmy, że liczba Eulera e jest podstawą potęgi oraz podstawą logarytmu naturalnego. Skorzystamy więc z własności logarytmy. Otrzymujemy $c_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{T}}$ . Otrzymane wyrażenie możemy inaczej zapisać za pomocą potęgi o podstawie jedna druga $c_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$ .

Ciąg wszystkich przekształceń jest postaci: $c = c_{0} \cdot e^{- k t} = c_{0} \cdot e^{- \frac{\ln 2}{T} t} = c_{0} \cdot e^{- \frac{t}{T} \ln 2} = c_{0} \cdot e^{\ln 2^{- \frac{t}{T}}} = c_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{T}} = c_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$

Przykład 3

Po upływie $2, 5$ godziny stężenie leku we krwi pacjenta zmniejszyło się o $25 %$ . Oblicz okres połowicznego rozkładu tego leku.

Skorzystamy ze wzoru: $c = c_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$ .

Należy go tak przekształcić, aby otrzymać okres połowicznego zaniku leku $T$ .

$c = c_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}} | : c_{0}$

$\frac{c}{c_{o}} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$

$\frac{c}{c_{0}} = 2^{- \frac{t}{T}}$

Korzystamy z własności logarytmu, aby przekształcić równanie wykładnicze w równanie liniowe.

$\log_{2} \frac{c}{c_{0}} = \log_{2} 2^{- \frac{t}{T}}$

$\log_{2} \frac{c}{c_{0}} = - \frac{t}{T} \log_{2} 2$

$\log_{2} \frac{c}{c_{0}} = - \frac{t}{T}$

$\log_{2} \frac{c}{c_{0}} = - \frac{t}{T} | \cdot T$

$T \cdot \log_{2} \frac{c}{c_{0}} = - t | : \log_{2} \frac{c}{c_{0}}$

$T = \frac{- t}{\log_{2} \frac{c}{c_{0}}}$

Podstawiamy wartości z treści zadania.

$T = \frac{- 2, 5}{\log_{2} \frac{0, 75 c_{0}}{c_{0}}} = \frac{- 2, 5}{\log_{2} 0, 75}$

W tablicach logarytmów znajdziemy wartości logarytmów dziesiętnych lub naturalnych. Dlatego też, aby obliczyć wartość wyrażenia $\log_{2} 0, 75$ , skorzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu. LogarytmlogarytmLogarytm o podstawie $2$ zamienimy na iloraz logarytmów dziesiętnych.

$T = \frac{- 2, 5}{\log_{2} 0, 75} = \frac{\frac{- 2, 5}{\log 0, 75}}{\log 2} = \frac{- 2, 5 \log 2}{\log 0, 75} = \frac{- 2, 5 \log 2}{\log (7, 5 \cdot 0, 1)} = \frac{- 2, 5 \log 2}{\log 7, 5 + \log 0, 1} \approx \frac{- 2, 5 \cdot 0, 3010}{0, 8751 - 1} \approx 6, 025$

Czas połowicznego zaniku leku to około $6$ godzin.

Przykład 4

Pacjentowi podano lek, a następnie zmierzono jego stężenie we krwi o godzinie $9 : 00$ . Na wykresie przedstawiono, w jaki sposób zmienia się stężenie tego leku we krwi. Podczas leczenia stężenie leku nie powinno być niższe od $7 \frac{μg}{ml}$ , a jego czas połowicznego rozkładu jest równy $11$ godzin. Oblicz, z dokładnością do $10$ minut, o której godzinie pacjent powinien przyjąć kolejną dawkę leku.

RRLT1QZCEJTJL

Na ilustracji przedstawiono wykres przedstawiający zależność poziomu stężenia leku we krwi od czasu, który upłynął od pomiaru stężenia. Na poziomej osi przedstawiono czas od zera do dwudziestu z podziałką co jeden, w jednostce godzin. Na pionowej osi przedstawiono poziom stężenia leku, od zera do dziesięciu z podziałką co jeden, w jednostce mikrogramów na mililitr. Wykres stanowi krzywa, malejąca, która wypłaszcza się do osi poziomej. Gdy wartość godzin na osi poziomej jest równa zero, poziom stężenia leku wynosi 6 mikrogramów na mililitr. Po ośmiu godzinach poziom stężenia to około sześć mikrogramów na mililitr. Po jedenastu godzinach to około 5 mikrogramów na mililitr.

Do rozwiązania zadania skorzystamy ze wzoru: $c = c_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$ .

Z wykresu odczytujemy i przyjmujemy, że $10 \frac{μg}{ml}$ jest początkowym stężeniem leku we krwi pacjenta. Obliczymy czas $t$ , który upłynie do chwili, gdy stężenie leku spadnie do $7 \frac{μg}{ml}$ . W tym celu przekształcamy powyższy wzór i wyznaczamy ze wzoru czas $t$ .

$c = c_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}} | : c_{0}$

$\frac{c}{c_{0}} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$

$\frac{c}{c_{0}} = 2^{- \frac{t}{T}}$

Korzystamy z własności logarytmulogarytmlogarytmu, aby przekształcić równanie wykładnicze w równanie liniowe.

$\log_{2} \frac{c}{c_{0}} = \log_{2} 2^{- \frac{t}{T}}$

$\log_{2} \frac{c}{c_{0}} = - \frac{t}{T} \log_{2} 2$

$\log_{2} \frac{c}{c_{0}} = - \frac{t}{T}$

$\log_{2} \frac{c}{c_{0}} = - \frac{t}{T} | \cdot T$

$T \cdot \log_{2} \frac{c}{c_{0}} = - t$

$t = - T \cdot \log_{2} \frac{c}{c_{0}}$

Podstawiamy wartości z treści zadania.

$t = - 11 \cdot \log_{2} \frac{7}{10} = - 11 \cdot \log_{2} \frac{7}{10} = - 11 \cdot \frac{\log 0, 7}{\log 2} = - 11 \cdot \frac{\log 7 + \log 0, 1}{\log 2} \approx$ $\approx - 11 \cdot \frac{0, 8451 - 1}{0, 3010} \approx 5, 66$

Zatem $t \approx 5, 66$ godziny.

Obliczymy, ile minut stanowi $0, 66$ godziny.

$0, 66 \cdot 60$ minut = $39, 6$ minuty $\approx 40$ minut

Pacjent powinien otrzymać kolejną dawkę leku po upływie $5$ godzin $40$ minut od chwili pomiaru stężenia leku we krwi, czyli lekarstwo powinno zostać podane o godzinie $14 : 40$ .

Ciekawostka

Ważnym zagadnieniem związanym z lotami kosmicznymi jest ruch rakiety. W czasie lotu jej masa zmniejsza się, ponieważ paliwo zostaje spalone. Wpływa to na osiąganą przez rakietę szybkość. Związek ten opisuje wzór Ciołkowskiego:

$Δ v = v_{wzgl} \ln \frac{m_{0}}{m_{k}}$

gdzie:
$Δ v$ – wzrost szybkości rakiety
$v_{wzgl}$ – prędkość spalin względem rakiety
$m_{0}$ – masa początkowa rakiety
$m_{k}$ – masa końcowa rakiety

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z przykładami w animacji i wykonaj polecenie poniżej.

R15LOO65GT4Z3

Polecenie 3

Okres połowicznego rozpadu $T$ pewnej substancji wynosi $10 s$ . Wykres przedstawia odsetki pozostałej substancji w czasie jej rozpadu.

RNBNVR2P65KKO

Na ilustracji przedstawiono wykres przedstawiający zależność odsetek pozostałego materiału, od czasu rozpadu. Na poziomej osi przedstawiono odsetki pozostałego materiału od zera do jeden z podziałką co jedna dziesiąta. Na pionowej osi przedstawiono czas rozpadu, od zera do siedemdziesięciu z podziałką co dziesięć, w sekundach. Wykres stanowi krzywa, malejąca, która wypłaszcza się do osi poziomej. Można odczytać, że po dziesięciu sekundach pozostało pięć dziesiątych materiału. Natomiast po jednej sekundzie rozpadowi uległ cały materiał.

(1) Po jakim czasie pozostanie $70 %$ materiału?
(2) Ile procent materiału pozostanie po $15 s$ ?
(3) Po jakiem czasie pozostanie $1 %$ substancji?

Polecenie 3

RHN3TEAMRKCZE

Zestaw ćwiczeń inetraktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1J83TGTO77F71

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Doświadczenie polegało na jednoczesnym rzucie pięćdziesięcioma sześciennymi kostkami do gry. Wykonano je w trzech wersjach:

W wersji A po każdym rzucie usuwano kostki, na których wypadło jedno oczko.
W wersji B po każdym rzucie usuwano kostki, na których wypadła parzysta liczba oczek.
W wersji C po każdym rzucie usuwano kostki, na których wypadły trzy lub cztery oczka.

Przyporządkuj, której wersji doświadczenia ten wykres odpowiada.

R1ADJBLCXX977

RLUNJ2RLPSOPR

Ćwiczenie 3

Wykres przedstawia zależność liczby jąder promieniotwórczych w próbce od czasu. Uszereguj w kolejności pierwiastki, zaczynając od tego, którego okres połowicznego rozpadu jest najkrótszy, a kończąc na tym, którego czas połowicznego rozpadu jest najdłuższy.

RK1X37BURQPUX

Na ilustracji przedstawiono wykres zależności rozpadu liczby jąder w próbce w zależności od czasu. Na poziomej osi uwzględniono czas w latach, z podziałką co dwa, od dwóch do dwudziestu ośmiu pomnożone przez 10 do potęgi trzeciej w latach. Na pionowej osi uwzględniono liczbę jąder początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, N indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego oraz N indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego. Z wykresu odczytano. Czas połowicznego rozpadu początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, N indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego radu 226 wynosi około dwóch tysięcy lat. Czas połowicznego rozpadu węgla 14 wynosi około sześciu lat. Czas połowicznego rozpadu toru 229 wynosi około ośmiu tysięcy lat. Czas połowicznego rozpadu plutonu 239 to około dwadzieścia cztery tysiące lat.

R12ZNTTR1MZXN

R1ARHAOOPJVHT2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Wykres prezentuje zmianę stężenia leku we krwi pacjenta. Krzywa opisana jest równaniem $c = c_{0} \cdot e^{- k t}$ . Oceń prawdziwość zdań.

RHVG62RX4MQ6F

Na ilustracji znajduje się wykres przedstawiający zależność poziomu stężenia leku we krwi od czasu, który upłynął od pomiaru stężenia. Wykres stanowi krzywa, malejąca, która wypłaszcza się do osi poziomej. Na poziomej osi przedstawiono czas od zera do czternastu z podziałką co jeden, w jednostce godzin. Na pionowej osi przedstawiono poziom stężenia leku, od zera do ośmiu z podziałką co jeden, w jednostce mikrogramów na mililitr. Gdy wartość godzin na osi poziomej jest równa zero, poziom stężenia leku wynosi 8 mikrogramów na mililitr. Po pięciu godzinach poziom stężenia to około trzy mikrogramy na mililitr. Po siedmiu godzinach to około 2 mikrogramy na mililitr.

R1OXPFM276BVZ

RR9D2RQ3UHSCT2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Izotop ${}_{7}^{13}N$ jest jądrem $β^{+}$ - promieniotwórczym wykorzystywanym w medycynie nuklearnej w diagnostyce metodą pozytonowej tomografii emisyjnej. Czas połowicznego rozpadu tego izotopu jest równy $10$ minut. Oblicz, jaka część początkowej liczby jąder tego izotopu uległa rozpadowi w ciągu godziny.

Sposób 1
Skorzystamy ze wzoru: $N = N_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$ .
$T = 10$ minut $= \frac{1}{6}$ godziny

Stąd: $N = N_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{\frac{1}{6}}}$

$N = N_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{6}$

$N = \frac{1}{64} N_{0}$

Sposób 2
$N_{0}$ - początkowa liczba jąder promieniotwórczego izotopu ${}_{7}^{13}N$

Po upływie $10$ minut liczba jąder promieniotwórczego izotopu ${}_{7}^{13}N$ zmniejsza się o połowę (wynika z definicji czasu połowicznego rozpadu).

$N_{0} \overset{10 minut}{⟶} \frac{1}{2} N_{0} \overset{10 minut}{⟶} \frac{1}{4} N_{0} \overset{10 minut}{⟶} \frac{1}{8} N_{0} \overset{10 minut}{⟶} \frac{1}{16} N_{0} \overset{10 minut}{⟶} \frac{1}{32} N_{0} \overset{10 minut}{⟶} \frac{1}{64} N_{0}$

Po godzinie pozostała $\frac{1}{64}$ początkowej liczby jąder izotopu ${}_{7}^{13}N$ , co stanowi $1, 6 %$ początkowej liczby jąder. Rozpadowi uległo więc $\frac{63}{64}$ , czyli $98, 4 %$ początkowej liczby jąder izotopu ${}_{7}^{13}N$ .

Ćwiczenie 8

Prawo rozpadu promieniotwórczego można również zapisać za pomocą równania: $N = N_{0} e^{- λ t}$ , gdzie $λ$ jest stałą rozpadu promieniotwórczego, która charakteryzuje dany izotop. Znajdź związek stałej rozpadu z czasem połowicznego zaniku izotopu promieniotwórczego i uzasadnij, że z powyższego wzoru można otrzymać wzór opisujący prawo rozpadu promieniotwórczego w postaci $N = N_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$ .

Po czasie równym czasowi połowicznego rozpadu liczba jąder izotopu promieniotwórczego zmniejszyła się o połowę. Stąd otrzymujemy wzór:

$\frac{1}{2} N_{0} = N_{0} e^{- λ T}$

$\frac{1}{2} = e^{- λ T}$

$\ln \frac{1}{2} = - λ T$

$- \ln 2 = - λ T$

$λ = \frac{\ln 2}{T}$

Otrzymaną zależność wstawiamy do wzoru: $N = N_{0} e^{- λ t}$ .

$N = N_{0} e^{- \frac{\ln 2}{T} \cdot t} = N_{0}^{} e^{\ln 2^{- \frac{t}{T}}} = N_{0} {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$

Słownik

logarytm

logarytmem liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ dodatniej i różnej od jedności, nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$

logarytm dziesiętny

logarytm o podstawie $10$

3. Przekształcenia funkcji logarytmicznych

Funkcja logarytmiczna