1. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

RzDPOmPOXKJyb

W manuskryptach średniowiecznych można znaleźć zapisany problem, zwany zadaniem o podziale stawki. Wyobraźmy sobie, że dwaj gracze $A$ i $B$ umówili się, że kwotę np. $1000 zł$ zdobędzie ten, kto pierwszy wygra trzy partie (przy czym remisy uznaje się jako partie nierozstrzygnięte).

Grę musiano przerwać, gdy $A$ wygrał dwie partie, a $B$ jedną. Jak zatem należy podzielić ustaloną kwotę?

RmcffL96zqNnU

Obraz przedstawia dwóch chłopców oraz dorosłego mężczyznę. Wszyscy ubrani są zgodnie z modą wieku szesnastego, mają na sobie kapelusze z piórami. Chłopcy grają przy stole w karty. Młodzieniec na pierwszym planie patrzy na swojego przeciwnika. Lewą dłoń trzyma na stole, a w niej trzyma kilka złożonych kart. W prawej dłoni trzyma dwie karty, które chowa za plecami przed przeciwnikiem. Drugi młodzieniec siedzi po przeciwnej stronie stołu, jest na drugim planie. Przygląda się karcie, którą trzyma w obu dłoniach. Za nim, na trzecim planie stoi mężczyzna, który spogląda chłopcu przez ramię, marszczy czoło i pokazuje pierwszemu chłopcu trzy palce prawej dłoni: kciuk, wskazujący i środkowy. — Grający w karty
Autor: Caravaggio
Rok wykonania: 1597
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Jakie masz propozycje?

Jeden z włoskich piętnastowiecznych matematyków L. Pacioli zaproponował, aby podzielić ustaloną kwotę proporcjonalnie do liczby rozegranych partii.
Natomiast w $1654$ r. francuscy matematycy B. Pascal i P. Fermat podali inne rozwiązanie. Ustaloną kwotę należy podzielić proporcjonalnie do prawdopodobieństwa wygranej w grze, tak jak gdyby jej nie przerwano. Pascal podał również wzór ogólny na podział ustalonej stawki. Jaki – pozostawiamy Twojej dociekliwości.
Teraz rozpoczniesz dopiero zgłębianie tajemnic rachunku prawdopodobieństwa. Poznasz kilka podstawowych pojęć i zależności.

Twoje cele

Podasz przykłady doświadczeń losowych.
Określisz zbiór zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego.
Rozpoznasz zdarzenia pewne oraz zdarzenia niemożliwe.
Określisz zdarzenia sprzyjające danemu zdarzeniu.

Doświadczenie losowe

Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zjawiskami przypadkowymi, czyli takimi, których wyniku nie da się przewidzieć. Do zdarzeń nieprzewidywalnych należy na przykład rzut monetą, czy wyciągnięcie karty z talii.

O dwóch doświadczeniach przebiegających w identycznych warunkach, mających te same zbiory kontrolowanych przyczyn, mówimy, że są identyczne. Doświadczenie, które można przeprowadzić dowolnie wiele razy, nazywamy doświadczeniem powtarzalnym.

Przykład 1

Masa przedmiotu jest stała. Doświadczenie polegające na pomiarze masy danego przedmiotu jest doświadczeniem powtarzalnym.
Pomiar czasu palenia się danej świecy jest zdarzeniem niepowtarzalnym, bo świeca ulegnie spaleniu po pierwszym doświadczeniu.

Zjawiska polegające na przeprowadzaniu dużej liczby tych samych doświadczeń, nazywamy zjawiskami masowymi.

W rachunku prawdopodobieństwa jednym z podstawowych pojęć jest doświadczenie losowe.

Doświadczenie losowe, to doświadczenie, które może być powtarzane dowolnie wiele razy w identycznych (lub zbliżonych) warunkach i którego wyniku nie daje się jednoznacznie przewidzieć.

Wynik doświadczenia losowego będziemy nazywać zdarzeniem losowym (krótko: zdarzeniem).

Przykład 2

Przykłady zdarzeń losowych:

wyciągnięcie asa z talii $52$ kart,
uzyskanie liczby oczek większej od $4$ w rzucie kością do gry,
wypadnięcie dwóch orłów w rzucie dwoma monetami.

Zbiór zdarzeń elementarnych

Pojedyncze (najprostsze) wyniki danego doświadczenia nazywać będziemy zdarzeniami elementarnymi.

Zdarzenie elementarne oznaczać będziemy zwykle literą omega: $ω$ .

Na przykład w rzucie kostką zdarzenia elementarne to wszystkie możliwe liczby oczek, które mogą wypaść w jednym rzucie.

Ważne!

W rachunku prawdopodobieństwa zdarzenie elementarne jest pojęciem pierwotnym, czyli niedefiniowalnym.

Zdarzenia elementarne danego doświadczenia losowego mają następujące własności:

dane zdarzenie może zajść lub nie,
zajście jednego zdarzenia wyklucza zajście innego zdarzenia,
jedno ze zdarzeń na pewno zajdzie.

Zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia losowego nazywamy zbiorem zdarzeń elementarnych (przestrzenią zdarzeń elementarnych).

Zbiór zdarzeń elementarnych będziemy oznaczać: $Ω$ . Do naszych celów przyjmiemy, że zbiór ten jest zbiorem skończonym.

Liczbę elementów tego zbioru (moc zbioru), będziemy oznaczać jako $|Ω|$ .

Przykład 3

Doświadczenie polega na rzucie symetryczną kostką do gry.

Zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia:

$Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

gdzie:
$1$ – wypadnięcie jednego oczka,
$2$ – wypadnięcie dwóch oczek,
$3$ – wypadnięcie $3$ oczek, itd.

Zatem: $|Ω| = 6$ .

Przykład 4

Z pudła, w którym znajduje się jedna kula biała, jedna kula zielona i jedna kula niebieska, losujemy jedną kulę.

Zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia:

$Ω = \{b, z, n\}$

gdzie:
$b$ – wylosowanie kuli białej,
$z$ – wylosowanie kuli zielonej,
$n$ – wylosowanie kuli niebieskiej.

Zatem: $|Ω| = 3$ .

Przykład 5

Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą.

Zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia:

$Ω = \{(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)\}$

gdzie:
$(O, O)$ – wyrzucenie orła za pierwszym i drugim razem,
$(O, R)$ – wyrzucenie za pierwszym razem orła, za drugim reszki,
$(R, O)$ – wyrzucenie za pierwszym razem reszki, za drugim orła,
$(R, R)$ – wyrzucenie reszki za pierwszym i drugim razem.

Zauważmy, że zbiór zdarzeń elementarnych ma postać par uporządkowanych.

Zatem $|Ω| = 4$ .

Zdarzenie losowe

Definicja: Zdarzenie losowe

Każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem losowym (zdarzeniem).

Zdarzenia losowe oznaczać będziemy wielkimi literami alfabetu: $A,\ B,\ C,\dots$

Niech $A$ oznacza zdarzenie: w rzucie symetryczną kostką do gry wypadła liczba oczek większa od $4$ .

Powiemy, że zachodzi zdarzenie $A$ , gdy wypadło $5$ lub $6$ oczek.

A = \{5, 6\}

Ponieważ $A \subset Ω$ , gdzie $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , zatem $A$ jest podzbiorem zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych $Ω$ .

Elementy zbioru $A$ nazywamy wynikami sprzyjającymi zdarzeniu $A$ .

Przykład 6

W tym samym doświadczeniu losowym różne zdarzenia losowezdarzenie losowezdarzenia losowe mogą zawierać różne zbiory wyników. Na przykład w rzucie symetryczną kostką do gry.

$A = \{5\}$ – wypadła liczba oczek podzielna przez $5$ ,

$B = \{1, 3, 5\}$ – wypadła nieparzysta liczba oczek,

$C = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ – wypadła liczba oczek mniejsza od $6$ .

Zdarzenie pewne

Definicja: Zdarzenie pewne

Zdarzeniem pewnym $A$ , gdzie $A \subset Ω$ , nazywamy zdarzenie losowe, któremu sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne, tworzące zbiór $Ω$ .

Zauważmy, że jeśli zdarzenie losowezdarzenie losowezdarzenie losowe $A$ jest zdarzeniem pewnym, to $A = Ω$ .

Zdarzenie niemożliwe

Definicja: Zdarzenie niemożliwe

Zdarzeniem niemożliwym $A$ , gdzie $A \subset Ω$ , nazywamy zdarzenie losowe, któremu nie sprzyjają żadne zdarzenia elementarne, tworzące zbiór $Ω$ .

Zauważmy, że jeśli zdarzenie losowe $A$ jest zdarzeniem niemożliwym, to $A = \emptyset$ .

Przykład 7

W rzucie symetryczną kostką do gry:

zdarzenie pewne: wyrzucenie liczby oczek mniejszej od $7$ ,
zdarzenie niemożliwe: wyrzucenie liczby oczek większej od $7$ .

Przykład 8

Ze zbioru $\{1, 3, 7\}$ losujemy dwie cyfry i tworzymy z nich liczbę dwucyfrową.

Zdarzenie pewne: utworzona liczba jest nieparzysta.
Zdarzenie niemożliwe: utworzona liczba jest podzielna przez $5$ .

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z filmem edukacyjnym, który pokazuje historię i współczesne znaczenie rachunku prawdopodobieństwa.

R1SmrW8SCEW9I

Polecenie 1

W danej przestrzeni zdarzeń elementarnych istnieje tylko jedno zdarzenie pewne. Można je jednak opisać na różne sposoby. Rozważmy doświadczenie losowe: z pudła zawierającego kule ponumerowane $2$ , $4$ , $6$ , $8$ losujemy jedną kulę. Określ przestrzeń zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia oraz zdarzenie pewne i opisz je na co najmniej dwa sposoby.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych: $Ω = \{2, 4, 6, 8\}$ .

Zdarzenie pewne: $A = \{2, 4, 6, 8\}$ .

Na przykład:

$A$ – wylosowanie kuli oznaczonej dodatnią liczbą naturalną parzystą, mniejszą od $10$ ,

$A$ – wylosowanie kuli oznaczonej liczbą naturalną podzielną przez dwa, nie mniejszą od $2$ i nie większą od $8$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1Npc08wpxkTC1

Ćwiczenie 1

RfHeHWtbNiAEx1

Ćwiczenie 2

RkxIzIO6thR3921

Ćwiczenie 3

Połącz w pary – opis doświadczenia i zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia. Wyciągamy kulę z pudła zawierającego trzy ponumerowane kolejno kule białe i dwa ponumerowane kolejno kule zielone. Możliwe odpowiedzi: 1. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, przecinek, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, b indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, nawias, b indeks dolny, jeden, przecinek, koniec indeksu dolnego, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zet, przecinek, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zet, przecinek, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego Z pudła zawierającego karteczki z zapisanymi liczbami jeden, cztery, sześć losujemy najpierw jedną, a następnie drugą karteczkę. Tworząc w ten sposób liczby dwucyfrowe. Możliwe odpowiedzi: 1. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, przecinek, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, b indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, nawias, b indeks dolny, jeden, przecinek, koniec indeksu dolnego, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zet, przecinek, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zet, przecinek, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego Z pudła zawierającego karteczki z zapisanymi liczbami jeden, cztery, sześć losujemy najpierw jedną wrzucamy ją z powrotem do pudła, a następnie losujemy drugą karteczkę. Tworząc w ten sposób liczby dwucyfrowe. Możliwe odpowiedzi: 1. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, przecinek, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, b indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, nawias, b indeks dolny, jeden, przecinek, koniec indeksu dolnego, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zet, przecinek, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zet, przecinek, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego Wyciągamy kolejno dwie kule (bez zwracania) z pudła zawierającego ponumerowane kolejno dwie kule białe i jedną zieloną. Możliwe odpowiedzi: 1. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, przecinek, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, b indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. OMEGA, równa się, nawias klamrowy, nawias, b indeks dolny, jeden, przecinek, koniec indeksu dolnego, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, zet, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zet, przecinek, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zet, przecinek, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego

R3dzU5CkIw9Bs2

Ćwiczenie 4

Rj0dDKXeFK8PS2

Ćwiczenie 5

R8l64BgUHeivF21

Ćwiczenie 6

Ścianki czworościanu foremnego ponumerowane są odpowiednio: jeden, dwa, trzy, pięć. Rzucamy dwukrotnie czworościanem i odczytujemy za każdym razem liczbę zapisaną na ściance, na którą upadł czworościan.
Połącz w pary opis zdarzenia i sprzyjające mu zdarzenia elementarne. Suma uzyskanych liczb jest sześcianem liczby naturalnej. Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, trzy, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, pięć, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego Iloczyn uzyskanych liczb jest liczba pierwszą. Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, trzy, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, pięć, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego Wartość bezwzględna różnicy uzyskanych liczb jest równa jeden. Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, trzy, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, pięć, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego Iloczyn uzyskanych liczb jest większy od dwadzieścia. Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, trzy, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, pięć, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. A, równa się, nawias klamrowy, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego

Ćwiczenie 7

Trzej strzelcy strzelają do jednego celu. Strzał celu oznaczamy liczbą $1$ , a niecelny liczbą $0$ .

Zdarzeniem elementarnym jest trójwyrazowy ciąg strzałów oddanych przez strzelców. Zapisz zbiór zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $T$ – cel został co najmniej raz trafiony.

$T = \{(1,1, 1), (1,0, 1), (1,1, 0), (1, 0,0), (0,0, 1), (0,1, 0), (0, 1, 1)\}$

Ćwiczenie 8

Zbiór zdarzeń elementarnych dla pewnego doświadczenia opisany jest następująco:

$Ω = \{(m, n) : m \in \{1, 5\}, n \in \{M, K, L\}\}$

Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne należące do tego zbioru.

$Ω = \{(1, M), (1, K), (1, L), (5, M), (5, K), (5, L)\}$

Słownik

zdarzenie losowe

każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych

2. Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Rachunek prawdopodobieństwa