2. Przestrzeń zdarzeń elementarnych

RueKm4CPKzKja

R16fGjTsiY5Q0

Ilustracja przedstawia młodego pianistę siedzącego przed fortepianem. Mężczyzna lewą ręką uderza w klawisz, prawą zapisuje nuty i spogląda w nasza stronę. — Źródło: Minamdobrev, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 4.0.

Wyobraź sobie, że jesteś kompozytorem i chcesz skomponować oryginalną melodię, która stanie się światowym przebojem. Czy w ogóle jest to możliwe? Być może wszystkie „lepsze” melodie już zostały stworzone!

A może opłacałoby się napisać program komputerowy, który odrzuci znane już melodie i spośród pozostałych wybierze te najciekawsze?

Ponieważ nie masz pomysłu, koncentrujesz się tylko nad refrenem, który ma składać się z $10$ nut i próbujesz ułożyć je na różne sposoby.

Jak myślisz – ile co najmniej masz możliwości, jeśli uwzględnisz najpotrzebniejsze elementy – np. tonację, rytm?

Ktoś bardzo mądry obliczył (korzystając z narzędzi kombinatorycznych), że możesz w ten sposób stworzyć ponad $82 \cdot 10^{18}$ prostych melodii. To całkiem sporo.

Dlaczego warto o tym wiedzieć? Bo w tym materiale będziemy między innymi wypisywać elementy danej przestrzeni zdarzeń elementarnych. Więc gdyby przyszło Ci do głowy jako przykład podać przestrzeń, której elementami są wszystkie możliwe melodie składające się z $10$ nut, to wypisanie ich mogłoby zająć Ci całe lata...

Twoje cele

Określisz przestrzeń zdarzeń elementarnych.
Obliczysz moc zbioru zdarzeń elementarnych.

Doświadczeniem losowym nazywamy taki eksperyment, który można powtarzać wielokrotnie w jednakowych (lub bardzo zbliżonych warunkach) i którego wyniku nie można jednoznacznie przewidzieć.

Każdy wynik doświadczenia losowego to zdarzenie elementarne. Jeśli w doświadczeniu losowym podamy wszystkie możliwe zdarzenia, to mówimy, że określiliśmy przestrzeń zdarzeń elementarnych. Przestrzeń zdarzeń elementarnychprzestrzeń zdarzeń elementarnychPrzestrzeń zdarzeń elementarnych może być zbiorem skończonym bądź nieskończonym.

W aksjomatycznym ujęciu rachunku prawdopodobieństwa zdarzenie elementarne i przestrzeń zdarzeń elementarnych to pojęcia pierwotne. Aby jednak przybliżyć to ostatnie pojęcie, często przyjmuje się opisową definicję przestrzeni zdarzeń elementarnych.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Definicja: Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przestrzenią zdarzeń elementarnych lub zbiorem zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia losowego.

Zbiór zdarzeń elementarnych oznaczamy $Ω$ .

W zastosowaniach praktycznych najczęściej interesuje nas nie pojedyncze zdarzenie elementarne rozpatrywanego doświadczenia losowego, ale zbiory tych zdarzeń, czyli podzbiory zbioru $Ω$ . Każdy taki podzbiór (gdy przestrzeń $Ω$ jest skończona), nazywamy zdarzeniem losowym (związanym z rozpatrywanym doświadczeniem losowym).

W dalszych rozważaniach będziemy zakładać, że zbiór $Ω$ jest zbiorem skończonym, a liczbę jego elementów oznaczymy $|Ω|$ .

Przykład 1

Rzucamy jednocześnie dwoma monetami. Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary wyników: reszka lub orzeł na pierwszej monecie, reszka lub orzeł na drugiej monecie. Wypiszmy wszystkie zdarzenia elementarne.

$Ω = \{(R, R), (R, O), (O, R), (O, O)\}$

Są cztery zdarzenia elementarne, zatem

$|Ω| = 4$ .

Przykład 2

Rzucamy jednocześnie czworościenną kostką do gry, na ściankach której zapisane są liczby: $1$ , $1$ , $3$ , $5$ oraz monetą.

Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary: $1$ , $3$ lub $5$ na kostce do gry, reszka lub orzeł na monecie.

$Ω = \{(1, R), (3, R), (5, R), (1, O), (3, O), (5, O)\}$

Jest sześć zdarzeń elementarnych.

$|Ω| = 6$ .

Przykład 3

Trzy osoby rzucają pierwszy raz w życiu piłką do kosza.

Rzut celny oznaczmy jako $1$ , niecelny jako $0$ . Za zdarzenie elementarne przyjmujemy uporządkowane trójki wyników rzutów danych osób.

Przy czym np. zapis $(1, 1, 0)$ oznacza, że dwie pierwsze osoby trafiły piłką do kosza, a trzecia nie trafiła.

$Ω = \{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)\}$

Zbiór zdarzeń elementarnych składa się z ośmiu elementów.

$|Ω| = 8$

W przypadku, gdy liczba zdarzeń elementarnych jest duża, nie wypisujemy ich bezpośrednio, ale staramy się znaleźć ich liczbę. Możemy wtedy posłużyć się modelem graficznym lub wzorami kombinatorycznymi.

Przykład 4

Rzucamy dwa razy kostką do gry.

Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary wyników rzutów: w pierwszym rzucie wypadła $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ lub $6$ , w drugim rzucie wypadła $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ lub $6$ .

Zbiór $Ω$ określimy najpierw za pomocą tabelki.

W wierszach zapisujemy wyniki pierwszego rzutu, w kolumnach – drugiego rzutu.

Wyniki po dwóch rzutach kostką
	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$1$	$1, 1$	$2, 1$	$3, 1$	$4, 1$	$5, 1$	$6, 1$
$2$	$1, 2$	$2, 2$	$3, 2$	$4, 2$	$5, 2$	$6, 2$
$3$	$1, 3$	$2, 3$	$3, 3$	$4, 3$	$5, 3$	$6, 3$
$4$	$1, 4$	$2, 4$	$3, 4$	$4, 4$	$5, 4$	$6, 4$
$5$	$1, 5$	$2, 5$	$3, 5$	$4, 5$	$5, 5$	$6, 5$
$6$	$1, 6$	$2, 6$	$3, 6$	$4, 6$	$5, 6$	$6, 6$

Na podstawie tabelki określamy liczbę zdarzeń elementarnych: $|Ω| = 36$ .

Do określenia liczby zdarzeń elementarnych możemy wykorzystać też informację, że pierwszy element pary wyników wybieramy spośród liczb: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , więc można go wybrać na $6$ sposobów.

Drugi element pary można wybrać również na $6$ sposobów.

Zatem liczba wszystkich możliwych par, które możemy uzyskać jest równa $6 \cdot 6$ .

$|Ω| = W_{6}^{2} = 6^{2} = 36$

Przestrzeń zdarzeń elementarnychprzestrzeń zdarzeń elementarnychPrzestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z $36$ elementów.

Czasem do określenia liczby elementów przestrzeni zdarzeń elementarnych używamy określenia: moc zbioru.

Czyli w tym przypadku moc zbioru zdarzeń elementarnych jest równa $36$ .

Przykład 5

W pudełku leży $6$ karteczek, na których zapisane są koleje cyfry: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ .

Wyjmujemy kolejno z pudełka (bez zwracania) trzy karteczki i układamy je w kolejności losowania, tworząc liczby trzycyfrowe. Za zdarzenia elementarne przyjmujemy utworzone w ten sposób liczby. Obliczymy, ile jest zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.

Dokonujemy wyboru kolejno – najpierw pierwszej cyfry, następnie drugiej i wreszcie trzeciej. Tworzymy więc $3$ – wyrazowe ciągi z elementów zbioru $6$ – elementowego.

Pierwszą cyfrę wybieramy spośród sześciu, drugą spośród pięciu, trzecią spośród czterech.

$|Ω| = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$

Odpowiedź:

Zbiór zdarzeń elementarnych składa się ze $120$ elementów.

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z animacją, pokazującą wykorzystanie wariacji bez powtórzeń do wyznaczania liczb spełniających dane warunki. Określ w każdym przypadku doświadczenie losowe, przestrzeń zdarzeń elementarnych i jej moc.

Rlbg2XFPhzhc9

Polecenie 1

Doświadczenie losowe polega na układaniu z cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ liczb pięciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach. Zbiór zdarzeń elementarnych składa się ze wszystkich tak utworzonych liczb. Określ z ilu elementów składa się ten zbiór.

Wszystkich liczb pięciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach, możemy ułożyć tyle, ile jest pięciowyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru sześcioelementowego.

$|Ω| = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720$

Odpowiedź:

Zbiór zdarzeń elementarnych składa się z $720$ elementów.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R18G7vIeLq0Kp1

Ćwiczenie 1

R1ZpHYbubzInC1

Ćwiczenie 2

R1P5PimsuVdc22

Ćwiczenie 3

RfCIBJ1t2QUCc2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Podaj zbiór zdarzeń elementarnych w trzykrotnym rzucie monetą.

$Ω = {(O, O, O), (O, R, R), (R, O, R), (R, R, O), (O, O, R), (R, O, O),$

$(O, R, O), (R, R, R)}$ .

Ćwiczenie 6

Doświadczenie polega na tworzeniu liczb pięciocyfrowych z cyfr $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , przestawiając je w dowolny sposób.

Oblicz, ile elementów ma zbiór zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.

$|Ω| = 5! - 4! = 120 - 24 = 96$

Przestrzeń zbioru zdarzeń elementarnych składa się z $96$ elementów.

Ćwiczenie 7

Na peronie do pociągu składającego się z dziesięciu wagonów wsiada sześciu pasażerów. Doświadczenie polega na wyborach wagonów przez pasażerów. Oblicz, ile jest zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.

Zbiór zdarzeń elementarnych tworzą sześciowyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru dziesięcioelementowego.

$|Ω| = 10^{6}$

W tym doświadczeniu jest $10^{6}$ zdarzeń elementarnych.

Słownik

przestrzeń zdarzeń elementarnych

przestrzenią zdarzeń elementarnych lub zbiorem zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia losowego

1. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

3. Zdarzenia losowe