3. Kąt między prostą a płaszczyzną. Kąt dwuścienny - Proste i płaszczyzny w przestrzeni

R1H2ZD1KRAEZ5

3. Kąt między prostą a płaszczyzną. Kąt dwuścienny.

W pierwszej części materiału skupimy się na prostych, które przebijają płaszczyznę. Nazwa tutaj jest adekwatna do zjawiska i podpowiada, o jakim wzajemnym położeniu prostej i płaszczyzny mowa. Omówimy też pojęcia bezpośrednio z tym zagadnieniem związane. Dobrą ilustracją prostej przebijającej płaszczyznę jest szpilka wbita w tablicę korkową lub śledź od namiotu wbity w ziemię. Poniżej znajduje się zdjęcie drutu ozdobnego (nieidealna ilustracja idealnej prostej) wbitego w styropian.

R1DVZ8UN7U7Q1

Na ilustracji przedstawiono drut wbity w styropian. — Źródło: Gromar, licencja: CC BY 3.0.

Twoje cele

Wyznaczysz rzut prostokątny prostej na płaszczyznę.
Wyznaczysz kąt między prostą a płaszczyzną w przestrzeni.
Określisz definicję kąta dwuściennego.
Rozpoznasz kąty dwuścienne w bryłach geometrycznych.

Kąt między prostą a płaszczyzną

Przypomnijmy, że prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej mogą być położone na jeden z trzech sposobów:

1) prosta może leżeć na płaszczyźnie – każdy punkt prostej jest jednocześnie punktem płaszczyzny:

R1C1KFXRUG6A4

Na ilustracji przedstawiono prostą, która leży na płaszczyźnie. Zaznaczono punkty A i B, które leżą na prostej oraz jednocześnie na płaszczyźnie.

2) prosta, która nie jest zawarta w płaszczyźnie i jest równoległa do płaszczyzny – prosta i płaszczyzna nie mają punktów wspólnych:

RCUUPN3SG474F

Na ilustracji przedstawiono płaszczyznę, nad którą znajduje się prosta. Na prostej zaznaczono punkty A i B. Prosta jest równoległa do płaszczyzny.

3) prosta może przebijać płaszczyznę – prosta i płaszczyzna mają dokładnie jeden punkt wspólny:

RLTC7837ZV9BC

Na ilustracji przedstawiono płaszczyznę oraz prostą. Na prostej zaznaczono punkty A i B. Prosta przebija płaszczyznę w punkcie A.

Prosta może przebijać płaszczyznę pod różnymi kątami. Zaczniemy jednak od zdefiniowania rzutu prostokątnego.

rzut prostokątny punktu

Definicja: rzut prostokątny punktu

Rzutem prostokątnym punktu $P$ na płaszczyznę $α$ nazywamy punkt $S$ , w którym prosta $k$ przechodząca przez punkt $P$ i prostopadła do płaszczyzny $α$ przecina tę płaszczyznę.

RGUCE3CCS9BMD

Ilustracja przedstawia płaszczyznę alfa przez którą przechodzi prosta k. Na prostej są zaznaczone trzy punkty, punkt: P i S. Punkt S leży na płaszczyźnie alfa.

rzut prostokątny figury

Definicja: rzut prostokątny figury

Rzutem prostokątnym figury $F$ na płaszczyznę nazywamy figurę wyznaczoną przez rzuty prostokątne wszystkich punktów należących do tej figury.

Możemy teraz zdefiniować kąt między prostą a płaszczyzną.

Kąt między prostą a płaszczyzną

Definicja: Kąt między prostą a płaszczyzną

Jeżeli prosta $k$ jest równoległa do płaszczyzny $π$ (czyli nie ma z nią punktów wspólnych lub jest w niej zawarta w całości), to przyjmujemy, że kąt między $k$ a $π$ ma miarę $0 °$ .

Jeżeli prosta $k$ jest prostopadła do płaszczyzny $π$ prosta prostopadła do płaszczyznyprosta $k$ jest prostopadła do płaszczyzny $π$ , to przyjmujemy, że kąt między $k$ a $π$ ma miarę $90 °$ .

Jeżeli prosta $k$ nie jest ani równoległa, ani prostopadła do płaszczyzny $π$ , to kąt między $k$ a $π$ definiujemy jako kąt między $π$ a rzutem prostokątnym prostej $k$ na płaszczyznę $π$ .

R19ZLH44ECRPT

Na ilustracji przedstawiono prostą przecinającą płaszczyznę pi w punkcie A, pod kątem ostrym. Na prostej zaznaczono punkty B, C i D. Linią przerywaną narysowano linię zawierającą się w płaszczyźnie, przechodzącą przez punkt A, na którą zrzutowano punkty B, C i D i zaznaczono odpowiednio punkty B prim, C prim, D prim.

Przeanalizuj aplet poniżej pokazujący, jak wyznaczyć kąt pomiędzy prostą $m$ a płaszczyzną $π$ . Nawiguj strzałkami od kroku $1$ do $5$ . Opis każdego kroku znajdziesz poniżej apletu.

RH0tEc3RH4XRZ

Wyznaczamy punkt wspólny prostej i płaszczyzny (w aplecie punkt $A$ ).
Z dowolnego wybranego punktu na prostej $m$ (w aplecie punkt $B$ ) prowadzimy prostą $k$ prostopadłą do płaszczyzny $π$ .
Wyznaczamy punkt wspólny prostej $k$ i płaszczyzny $π$ - punkt $B^{'}$ .
Prowadzimy prostą przez punkty $A$ i $B^{'}$ , która leży na płaszczyźnie $π$ (w aplecie to prosta $m^{'}$ ). Jest ona rzutem prostokątnym prostej $m$ na płaszczyznę $π$ .
Kąt pomiędzy prostymi $m$ i $m^{'}$ jest kątem pomiędzy prostą $m$ a płaszczyzną $π$ .

Kąt dwuścienny

Podczas wykonywania prostej czynności otwierania drzwi, nie zastanawiamy się jaki kąt utworzy skrzydło drzwi i ich ościeżnica.

RFVHEV6XNV4J2

Pojawiają się dwie ilustracje, pierwsza przedstawia drzwi otwarte na oścież, druga natomiast ilustruje drzwi całkowicie zamknięte.

Okazuje się, że tego rodzaju kąt można zdefiniować jako kąt dwuścienny. W materiale wprowadzimy definicję kąta dwuściennego oraz wskażemy występowanie tych kątów w bryłach geometrycznych. Opierając się na wiedzy teoretycznej oraz omówionych przykładach, rozwiążemy ćwiczenia interaktywne.

Wprowadźmy definicję kąta dwuściennego.

Kąt dwuścienny

Definicja: Kąt dwuścienny

Dane są dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi, które dzielą przestrzeń na dwie części.

Kątem dwuściennym nazywamy sumę dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednego z dwóch obszarów, które te półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni.

R18JFRCFGNG9E

Ilustracja przedstawia kąt dwuścienny. Składa się on z dwóch półpłaszczyzn podpisanych jako ściany, połączonych jedną krawędzią. Wnętrzem kąta jest obszar, który półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni.

Wspólną krawędź półpłaszczyzn nazywamy krawędzią kąta dwuściennego, a półpłaszczyzny – ścianami kąta dwuściennego.

Wyróżnia się szczególne rodzaje kąta dwuściennego:

kąt dwuścienny zerowy – kąt, którego ściany pokrywają się, a wnętrze jest puste,

kąt dwuścienny półpełny – kąt, którego ściany uzupełniają się do jednej płaszczyzny,

kąt dwuścienny pełny – kąt, którego ściany pokrywają się, a wnętrze wypełnia całą przestrzeń.

Przykład 1

Na poniższym rysunku ostrosłupaostrosłupostrosłupa czworokątnego zaznaczono pewien kąt dwuścienny. Opiszemy etapy wyznaczania tego kąta.

R14VKAZRTHLPE

Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny z zaznaczoną przekątną podstawy. Z obu końców przekątnej podstawy upuszczono dwie wysokości ścian bocznych ostrosłupa, które spotykają się w jednym punkcie należącym do bocznej krawędzi ostrosłupa. Kąt dwuścienny alfa znajduje się pomiędzy dwoma wysokościami.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy krawędź wspólną sąsiednich ścian bocznych – jest to krawędź boczna ostrosłupa.

Na wybranych ścianach bocznych wykreślamy odcinki, które są prostopadłe do wyróżnionej krawędzi bocznej.

Narysowane odcinki są wysokościami trójkątów będących ścianami bocznymi ostrosłupa.

Kąt pomiędzy narysowanymi odcinkami jest kątem dwuściennym.

Podobnie, jak w przypadku kątów płaskich, w kątach dwuściennych wyróżnia się kąty wypukłe i wklęsłe. Oba rodzaje tych kątów przedstawiono na poniższych rysunkach.

RCX38R4U5SZTP

Pojawiają się dwie ilustracje, pierwsza prezentująca kąt dwuścienny wklęsły, składa się z dwóch ścian przypominających otwartą książkę. Kąt zakreślony jest na zewnątrz książki, przy twardej okładce. Drugi ilustruje kąt dwusieczny wypukły. Podobnie przypomina on otwartą książkę, tym razem kąt zawarty jest wewnątrz książki, po stronie kartek.

Polecenie 1

Uruchom aplet, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu, a następnie wykonaj kolejne polecenie.

R19G1HOUFZ8DA

Polecenie 2

RMLKRDET66JPE

Prezentacja multimedialna

Polecenie 3

Przeanalizuj informacje zawarte w prezentacji multimedialnej. Na ich podstawie rozwiąż test z polecenia 2.

ROOZGVQ3HZOH5

Slajd 1. Mówimy, że prosta przebija płaszczyznę, gdy ma z nią dokładnie jeden punkt wspólny. Na ilustracji przedstawiono prostą k, która przebija płaszczyznę pi w punkcie A. Slajd 2. Rozważmy ostrosłup, w którego podstawie znajduje się trójkąt A B C. Na ilustracji przedstawiono ostrosłup o podstawie ABC i wierzchołku E. Podstawa ostrosłupa zawiera się w płaszczyźnie pi. Slajd 3. Wówczas każda z prostych, zawierających krawędź boczną tego ostrosłupa, jest prostą przebijającą płaszczyznę A B C. Slajd 4. Rozważmy teraz prostopadłościan o podstawie A B C D. Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej A B C D i górnej I J K L. Podstawa A B C D prostopadłościanu zawiera się w płaszczyźnie pi. Slajd 5. W tym przypadku proste zawierające krawędzie boczne, również przebijają płaszczyznę A B C D. Ponadto proste zawierające krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzny A B C D. Slajd 6. Ogólnie mówiąc, prosta k jest prostopadła do płaszczyzny pi, jeśli jest prostopadła do każdej prostej leżącej w tej płaszczyźnie, przechodzącej przez punkt w którym k przebija płaszczyznę pi. Na ilustracji przedstawiono płaszczyznę oznaczoną pi, która zawiera dwie proste przecinające się w punkcie A. Narysowano prostą k, prostopadłą do obu prostych w punkcie A i przebijającą płaszczyznę pi w punkcie A. Slajd 7. Rozważmy płaszczyznę k i punkt w przestrzeni X. Slajd 8. Rzutem prostokątnym punktu X na płaszczyznę pi, nazywamy taki punkt X prim, należący do płaszczyzny pi, dla którego prosta X X prim jest prostopadła do płaszczyzny pi. Na ilustracji przedstawiono prostą, na której zaznaczono punkty X oraz X prim, która przebija płaszczyznę pi, prostopadle w punkcie X prim. Slajd 9. Jeśl punkt X należy do płaszczyzny pi to jego rzut prostokątny X prim na płaszczyznę pi, pokrywa się z nim samym. Na ilustracji przedstawiono prostą k, przebijającą płaszczyznę k, prostopadle w punkcie X. Zapisano równanie X, równa się, X prim. Slajd 10. Łatwo zauważyć, że rzutem prostokątnym na płaszczyznę pi prostej prostopadłej do pi, jest punkt, w którym ta prosta przebija płaszczyznę pi. Na ilustracji przedstawiono prostą k, która przebija prostopadle płaszczyznę k. Na prostej k, nad płaszczyzną pi, zaznaczono punkty A, B, C, D, E oraz pod płaszczyzną zaznaczono punkty F, G i H. Prosta przebija płaszczyznę w punkcie A prim. Zapisano równanie. A, równa się, A prim, równa się, C prim, równa się, D prim, równa się, E prim, równa się, F prim, równa się, G prim, równa się, H prim. Slajd 11. Można udowodnić, że rzutem prostokątnym na płaszczyznę pi, prostej która nie jest prostopadła do pi, jest prosta. Na ilustracji przedstawiono prostą przecinającą płaszczyznę pi w punkcie A, pod kątem ostrym. Na prostej zaznaczono punkty B, C i D. Linią przerywaną narysowano linię zawierającą się w płaszczyźnie, przechodzącą przez punkt A, na którą zrzutowano punkty B, C i D i zaznaczono odpowiednio punkty B prim, C prim, D prim. Slajd 11. Kątem między płaszczyzną pi a prostą, która nie jest do tej płaszczyzny prostopadła nazywamy kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na pi. Na ilustracji przedstawiono płaszczyznę pi. Zaznaczono dwie proste, jedna z nich zawiera się w płaszczyźnie pi, natomiast druga przebija płaszczyznę. Proste przecinają się w punkcie A. Łukiem zaznaczono kąt między nimi.

Polecenie 4

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

R1TNA1QX13M8U

R5DXFJQXZ2Z34

R11KDSB54478K

R1AAUMBCSV3KK

R1TNA1QX13M8U
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
R5DXFJQXZ2Z34
Kąt między prostą k przebijającą płaszczyznę PI w punkcie A, a tą płaszczyzną jest równy kątowi między k a jej rzutem prostokątnym na PI. Możliwe odpowiedzi: 1. zawsze, 2. nigdy, 3. czasami
R11KDSB54478K
Rzut prostokątny odcinka na płaszczyznę może być: Możliwe odpowiedzi: 1. punktem, 2. odcinkiem, 3. prostą
R1AAUMBCSV3KK
Rzut prostokątny trójkąta na płaszczyznę może być: Możliwe odpowiedzi: 1. punktem, 2. trójkątem, 3. odcinkiem

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

R1A9F279GM8VR1

Ćwiczenie 1

R1L2N8TV8OKFQ1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono sześcian $A B C D E F G H$ oraz zaznaczono kąt dwuścienny $α$ .

R1BR1T4144JBC

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H. W połowie krawędzi bocznych A D i B C poprowadzono odcinek K L , równoległy do odcinka A B. Punkt K połączono z wierzchołkiem H, natomiast punkt L z wierzchołkiem G tworząc tym samym nową płaszczyznę wewnątrz sześcianu. Na ilustracji zaznaczony został także kąt alfa przy punkcie L, opisujący nachylenie płaszczyzny do podstawy A B C D.

R1JUEKK8VJ37Q

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiono graniastosłup trójkątny $A B C D E F$ .

R1556JL18VSLK

Ilustracja przedstawia graniastosłup trójkątny A B C D E F. W podstawie dolnej znajduje się trójkąt A B C, natomiast w podstawie górnej znajduje się trójkąt D E F.

R14TRFPGCBMR8

R39V53B93ANFR1

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

RS5CTCX3GJKGP

R1MUJ757LQ54S

fhfh

R7GO9QTXH7DAE2

Ćwiczenie 7

RPNTLH4L6GB3U3

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Odcinek $A B$ ma długość $6$ i jest nachylony do płaszczyzny $π$ pod kątem $60 °$ . Oblicz, jaką długość ma rzut odcinka $A B$ na płaszczyznę $π$ .

Wykonajmy rysunek:

R1UsTqBJ80fbn

Ilustracja przedstawia płaszczyznę oraz odcinek A B o długość 6. Odcinek znajduje się nad płaszczyzną i jest do niej nachylony pod kątem 60 stopni, czyli jest przestawiony po skosie, tak że punkt A jest niżej niż punkt B.

Poprowadzimy prostą $A B$ i zaznaczymy kąt jej nachylenia do płaszczyzny. Ponadto zrzutujemy punkty $A$ i $B$ oraz prostą $A B$ na płaszczyznę $π$ . Niech $D$ będzie takim punktem na prostej $B B'$ , dla którego prosta $A D$ jest równoległa do płaszczyzny $π$ .

R2claPJCXx4vw

Na ilustracji przedstawiono prostą przecinającą płaszczyznę pi w punkcie C, pod kątem alfa. Na prostej zaznaczono punkty A i B, których odległość od siebie wynosi sześć . Punkt B znajduje się powyżej punktu A. Przez punkt A przechodzi prosta prostopadła do płaszczyzny i przebija ją w punkcie A prim, poprowadzono również prostą prostopadłą do płaszczyzny przechodzącą przez punkt B i przebijającą płaszczyznę w punkcie B prim. Na tej prostej zaznaczono punkt D tak, aby odcinek A D był do niej prostopadły i podpisano go AD=A'B' Narysowano prostą zawierającą się w płaszczyźnie, przechodzącą przez punkt C, A prim, B prim. Odcinek między A prim a B prim podpisano A'B'=AD.∠BAD ma miarę alfa.

Ponieważ trójkąt $A B D$ jest połową trójkąta równobocznego, więc $|A D| = 3$ . Ponieważ $|A' B'| = |A D|$ , więc rzut odcinka $A B$ na płaszczyznę $π$ ma długość $3$ .

Słownik

prosta przebijająca płaszczyznę

prosta, która ma z daną płaszczyzną dokładnie jeden punkt wspólny

prosta prostopadła do płaszczyzny

prosta $k$ przebijająca płaszczyznę $π$ w punkcie $A$ jest prostopadła do płaszczyzny $π$ , gdy jest prostopadła do każdej prostej zawartej w $π$ przechodzącej przez $A$

rzut prostokątny

rzutem prostokątnym na płaszczyznę $π$ nazywamy takie przekształcenie przestrzeni trójwymiarowej, które dowolnemu punktowi $X$ przyporządkowuje taki punkt $X'$ należący do $π$ , że prosta $X X'$ jest prostopadła do $π$

kąt między prostą, a płaszczyzną

1) jeżeli prosta $k$ jest równoległa do płaszczyzny $π$ , to kąt między nimi jest równy $0 °$ ;

2) jeżeli prosta $k$ jest prostopadła do płaszczyzny $π$ , to kąt między nimi jest równy $90 °$ ;

3) jeżeli prosta $k$ jest przebija płaszczyznę $π$ , ale nie jest do niej prostopadła, to kąt między nimi jest równy kątowi między $π$ a rzutem prostokątnym $k$ na $π$

prostopadłościan

równoległościan, w którym dowolne dwie ściany mające wspólną krawędź są prostopadłe

ostrosłup

wielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne trójkątami o wspólnym wierzchołku

2. Prostopadłość prostych i płaszczyzn w przestrzeni

4. Wiedza z plusem: Płaszczyzna a sfera i inne powierzchnie zakrzywione