4. Wiedza z plusem: Płaszczyzna a sfera i inne powierzchnie zakrzywione
Gdy rozejrzymy się wokół siebie, zauważymy dużo więcej powierzchni zakrzywionych niż idealnie płaskich. Popatrzmy na poniższe zdjęcia:
I właśnie takie powierzchnie weźmiemy pod uwagę podczas naszej pracy badawczej, zwracając jednak główną uwagę na własności figur na powierzchni kuli (sferze) w porównaniu z własnościami figur na płaszczyźnie.
Określisz różnice pomiędzy płaszczyzną a sferą jako powierzchniami geometrycznymi.
Jak widać, powierzchnie mogą być różnie zakrzywione. Matematycznie te różne rodzaje zakrzywienia powierzchni można przedstawić następująco:
Powyżej widzimy trzy zakrzywione powierzchnie, ale nawet bez specjalistycznej wiedzy widzimy, że każda z nich jest zakrzywiona inaczej. Powiedzielibyśmy potocznie, że powierzchnia pierwsza od lewej jest „wklęsła”, ostatnia jest „wypukła”, a środkowa jest „...płaska”.
Powierzchnia pierwsza z lewej, ta, którą potocznie nazwaliśmy „wklęsłą” to powierzchnia siodłowa. Możemy ją też zaobserwować na przełęczy górskiej. Podczas wędrówki górskiej często zdarza się, że najpierw schodzimy, a potem podchodzimy, przełęcz jest więc punktem najniższym. Powierzchnia siodłowa nazywana jest paraboloidą hiperboliczną.
Środkowa powierzchnia to powierzchnia boczna walca i tylko ją spośród trzech zaprezentowanych można rozwinąć i w rezultacie otrzymać płaszczyznę.
Powierzchnia z prawej strony to dobrze nam znana powierzchnia kuli, czyli sfera.
Tym, co chcemy teraz zrobić, uczeni zajmowali się już od dawna. Euklides w swoim dziele „Elementy” opisał prawa geometrii na płaszczyźnie, ale uczeni zawsze obserwowali świat, widzieli powierzchnie, które nie są płaskie i zastanawiali się, jakie własności mają figury na takich właśnie powierzchniach, tym bardziej, że obserwacje nieboskłonu prowadzone już przez starożytnych astronomów wskazywały, że prawa geometrii na płaszczyźnie nie mają tutaj zastosowania.
Powierzchnia stołu, ściany i wielu innych przedmiotów jest płaska, jak np. na poniższym zdjęciu:
Co to dla nas oznacza matematycznie?
Rozwiązanie
O płaszczyźnie wiemy dużo z lekcji matematyki. Tutaj przypomnimy tylko niektóre z naszych wiadomości:
Na powierzchni płaskiejpowierzchni płaskiej można narysować czworokąt, który ma cztery kąty proste. Można narysować proste równoległe. Można narysować proste prostopadłe. Suma kątów wewnętrznych każdego czworokąta jest równa . Suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta jest równa . I wiele innych faktów matematycznych ….
A co się dzieje, jeżeli takie „proste” elementy odbiją się w powierzchni kuli, która nie jest płaszczyzną, a powierzchnią zakrzywionąpowierzchnią zakrzywioną w dobrze nam znany sposób? Popatrzmy na poniższe zdjęcie:
Rozwiązanie
Łatwo widzimy, że elementy w rzeczywistym świecie „proste” uległy zakrzywieniu i to już pozwala nam przypuszczać, że skoro obrazami odcinków są łuki, to być może inne zależności geometryczne, które są prawdziwe na płaszczyźnie, na sferzesferze też będą miały inną postać. To będzie przedmiotem naszej pracy badawczej.
Poniższe zdjęcie przedstawia Cleveland Clinic Lou Ruvo Center for Brain Health autorstwa Franka Gehry'ego:
Powierzchnia tego budynku jest zakrzywiona w inny sposób niż powierzchnia kuli; niektóre jej fragmenty przypominają powierzchnię siodłową. Z jakimi problemami geometrycznymi mogli tutaj spotkać się projektant i wykonawca?
Rozwiązanie
Na pewno wystąpiła tutaj kwestia równoległości i prostopadłości na powierzchni. Poza tym widać czworokąty; jak je konstruować na tak zakrzywionej powierzchni?
Powierzchnię siodłową widać też w polskiej współczesnej architekturze użytkowej. Poniższe zdjęcie przedstawia dach na wejściem do dworca Warszawa Ochota jako przykład paraboloidy hiperbolicznej:
Mówiąc o powierzchniach przedmiotów czy budynków, mamy na myśli powierzchnie zewnętrzne.
Pamiętajmy, że cały czas mamy do czynienia z powierzchniami dwuwymiarowymipowierzchniami dwuwymiarowymi: poruszając się po powierzchni kuli, czyli sferze nie wchodzimy „w głąb” kuli, czyli „pod” sferęsferę, poruszając się po powierzchni budynku z przykładu 3. nie wchodzimy pod tę powierzchnię. Wszystkie figury geometryczne narysowane na omawianych przez nas powierzchniach będą miały dwa wymiary, nie będą przestrzenne.
Animacja multimedialna
Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w filmie edukacyjnym, a następnie wykonaj polecenie zamieszczone pod nim.
Popatrz na poniższe mapy myśli.
- Nazwa kategorii: [bold]płaszczyzna[/]
- Nazwa kategorii: jest nieograniczona
- Nazwa kategorii: istnieją na niej figury nieograniczone
- Nazwa kategorii: prosta
- Nazwa kategorii: półprosta Koniec elementów należących do kategorii istnieją na niej figury nieograniczone
- Nazwa kategorii: wielokąty
- Nazwa kategorii: boki są odcinkami Koniec elementów należących do kategorii wielokąty
- Nazwa kategorii: okręgi
- Nazwa kategorii: odległości Koniec elementów należących do kategorii [bold]płaszczyzna[/]
- Elementy należące do kategorii [bold]płaszczyzna[/]
- Elementy należące do kategorii jest nieograniczona
- Elementy należące do kategorii istnieją na niej figury nieograniczone
- Elementy należące do kategorii wielokąty
- Nazwa kategorii: [bold]sfera[/]
- Nazwa kategorii: jest ograniczona
- Nazwa kategorii: wielokąty
- Nazwa kategorii: okręgi
- Nazwa kategorii: odległości Koniec elementów należących do kategorii [bold]sfera[/]
- Elementy należące do kategorii [bold]sfera[/]
Zawierają one już pewne sugestie dotyczące pojęć, które warto rozważyć. Rozbuduj te mapy. Możesz dodawać tyle gałęzi, ile istotnych według Ciebie elementów płaszczyzny i sfery dostrzegasz.
Stwórz listę wypunktowanych haseł dotyczących zagadnienia sfery.
Zestaw ćwiczeń interaktywnych
Przypomnij sobie wiadomości z geometrii o trójkątach na płaszczyźnie, a potem weź do ręki globus lub inny kulisty przedmiot, postaraj się zbudować na jego powierzchni różne trójkąty i odpowiedz na pytania.
Jaka to powierzchnia (w kategoriach omawianych w tym materiale)?
Spróbuj narysować trójkąt na powierzchni takiego chipsa. Co obserwujesz?
Przypomnij czym jest sfera.
Przypomnij czym jest powierzchnia siodłowa.
Poniżej widzisz fragment budowli nazwanej „Tańczący dom”, która znajduje się w stolicy Czech Pradze, a której projektantami są Frank Gehry i Vlado Milunic:
Jaki rodzaj powierzchni wykorzystali projektanci tego budynku? Jakimi figurami geometrycznymi została zamodelowana powierzchnia? Czym charakteryzują się te figury?
Poniżej widzisz siatkę wielokątów, której użył programista, aby wymodelować postać z gry komputerowej.
Jakie rodzaje powierzchni występują w tej postaci? Jakie wielokąty zostały użyte do wymodelowania postaci? Czym one się charakteryzują?
Geometria, która opisuje własności figur na powierzchni siodłowej nazywana jest geometrią siodła, ale bardziej znana jest pod nazwą „geometria hiperboliczna”. Poniżej widzisz typową powierzchnię siodłową i narysowany na niej trójkąt:
Czym charakteryzuje się ten trójkąt?
Słownik
jedno z podstawowych pojęć geometrii; w geometrii elementarnej powierzchnię opisuje się jako pewne zbiory punktów lub prostych o określonych własnościach
jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii; można ją obrazować jako kartę papieru, powierzchnię stołu, czy płaskie pole, wyobrażając sobie je rozciągające się „w nieskończoność”
powierzchnia dwuwymiarowa, która nie jest płaska
powierzchnia kuli; opisuje się ją jako zbiór punktów przestrzeni równoodległych od danego punktu (środka sfery)