2. Objętości brył

R1QXLXMwZ1C2R

Czy wiesz, co to jest sympleks? Słowo sympleks oznacza prosty. Nazwę sympleks noszą pewne obiekty matematyczne. Rozważa się je w przestrzeniach o różnych wymiarach. Na prostej sympleksem jest odcinek, na płaszczyźnie trójkąt, a w przestrzeni czworościan.

Rzit3xve9jTl1

Na ilustracji przedstawiono pomarańczowy ostrosłup trójkątny. Ustawiony jest z takiej perspektywy, że widoczne są dwie ściany boczne.

RdlMnS0DAq4vg

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup trójkątny ułożony wierzchołkiem do dołu.

Wyobraźmy sobie wazon w kształcie ostrosłupa trójkątnego. Ile litrów wodny należy wlać do takiego wazonu, aby zapełnić go w całości? Na pytanie to uzyskamy odpowiedź, gdy znając wymiary wazonu obliczymy jego objętość.

Twoje cele

Obliczysz objętość graniastosłupa, ostrosłupa, walca i stożka.
Wykonasz obliczenia geometryczne z wykorzystaniem trygonometrii i znanych twierdzeń.

Przyjmijmy oznaczenia:

$P_{p}$ – pole podstawy,
$H$ – wysokość bryły.

Objętość graniastosłupa oraz każdego walca można policzyć ze wzoru

V = P_{p} \cdot H

Objętość ostrosłupa oraz stożka wyraża się wzorem:

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H

Ważne!

Pamiętaj, że objętość ostrosłupa (stożka) jest jedną trzecią objętości graniastosłupa (walca) o tym samym polu podstawy oraz wysokości.

Przykład 1

Dany jest ostrosłup o podstawie kwadratu, jak na rysunku.

RoIuanF6bq75i

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat B D E F. W podstawie zaznaczono przekątną BE. Wierzchołek górny podpisano literą G, krawędź boczna BG jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy oraz do przekątnej podstawy.

Krawędź $F B$ ma długość $6$ , krawędź $B G$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy i ma długość $8$ . Obliczymy objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Krawędź $B G$ jest wysokością tego ostrosłupa.

Obliczamy objętość ze wzoru $V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H$ .

Mamy zatem $V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 8 = 96$ .

Przykład 2

Obliczymy objętość ostrosłupa o wysokości $H = 6$ , jeżeli jego podstawą jest wielokąt jak na rysunku (przyjmujemy, że jedna kratka to jedna jednostka).

Rv9HP3I9zooQZ

Ilustracja przedstawia kartkę w kratkę, na której narysowano pięciokąt o wierzchołkach A B C D, przy czym krawędź AB jest pionowa i ma długość czterech kratek, krawędź AE jest pozioma, biegnie w prawą stronę i ma długość pięciu kratek. Krawędź BC jest równoległa do krawędzi AE i również ma długość pięciu kratek. Odcinek ED biegnie ukośnie, po przekątnej kratek przesuwając się od punktu e dwie kratki w dół i dwie kratki w prawo, natomiast krawędź CD biegnie ukośnie po przekątnych kratek przesuwając się o dwie kratki do góry i dwie kratki w prawo.

Rozwiązanie:

Pięciokąt na rysunku można podzielić na dwa trapezy prostokątne o podstawach $5$ i $7$ oraz wysokości $2$ .

A zatem $P_{p} = \frac{(5 + 7) \cdot 2}{2} \cdot 2 = 24$ .

Stąd objętość $V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 6 = 48$ .

Do obliczania objętości brył można wykorzystać zależności trygonometryczne i wszystkie poznane do tej pory wzory na pola powierzchni wielokątów i kół.

Przykład 3

Dany jest prostopadłościan, w którym jedna z krawędzi podstawy ma długość $6$ . Kąty między krawędziami podstawy a przekątnymi ścian bocznych mają miary odpowiednio $α = 30 °$ i $β = 60 °$ , tak jak na poniższym rysunku. Obliczymy objętość tego prostopadłościanu.

R12qB3FyrmtHM

Ilustracja przestawia prostopadłościan, którego krawędzie podstawy mają długości odpowiednio: 6 oraz c, a ściana boczna ma wysokość b. Tylne krawędzie prostopadłościanu narysowano linią przerywaną. Nachylenie przekątnej ściany do krawędzi o długości 6 oznaczono kątem beta, a nachylenie przekątnej ściany bocznej do krawędzi c oznaczono jako alfa.

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać zadanie, niezbędna jest umiejętność posługiwania się wzorami trygonometrycznymi oraz własnościami trójkątów. Obliczmy długość krawędzi $b$ . Wykorzystamy do tego wartość funkcji tangens:

$t g β = t g 60 ° = \sqrt{3}$

$t g β = \frac{b}{a}$

$\sqrt{3} = \frac{b}{6}$

$b = 6 \sqrt{3}$

Do obliczenia długość trzeciej krawędzi wykorzystamy funkcję tangens:

$tg α = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$tg α = \frac{b}{c}$

$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{6 \sqrt{3}}{c}$

$c \sqrt{3} = 18 \sqrt{3}$ , czyli $c = 18$

Wobec tego obliczamy objętość prostopadłościanu:

$V = 6 \cdot 6 \sqrt{3} \cdot 18 = 648 \sqrt{3}$

Zauważmy, że do wyznaczenia długości pozostałych krawędzi prostopadłościanu wystarczyła jedynie długość jednej z krawędzi i kąty między krawędziami podstawy i przekątnymi ścian bocznych. Nie zawsze znamy bowiem dokładne długości krawędzi, a zmierzenie odpowiednich kątów może być łatwiejszym zadaniem.

Przykład 4

Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny podstawy walca pod kątem $60 °$ . Obliczymy pole tego przekroju, jeżeli objętość walca wynosi $54 \sqrt{3} π$ .

Rozwiązanie

Narysujmy walec i jego przekrój osiowy wraz z odpowiednim kątem, jak na rysunku.

R17uR31QRUjjZ

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem osiowym. W prostokącie o wymiarach h na d, gdzie h jest wysokością walca, natomiast d jest średnicą jego podstawy, zaznaczono także przekątną przekroju będącą pod kątem 60 stopni do średnicy d.

Ponieważ kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca ma miarę $60 °$ , zatem $h = d \sqrt{3}$ .

Do wyznaczenia wartości $d$ wykorzystamy wzór na objętość walca $V = π r^{2} \cdot h$ .

Wobec tego

$V = π \cdot {(\frac{1}{2} d)}^{2} \cdot d \sqrt{3}$

$54 \sqrt{3} π = π \cdot \frac{1}{4} d^{3} \sqrt{3}$

$54 = \frac{1}{4} d^{3}$

$d^{3} = 216$ , czyli $d = 6$ .

Przekrój osiowy walca z rysunku jest prostokątem o bokach odpowiednio $d = 6$ oraz $d \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$ . Zatem pole tego prostokąta wynosi:

$P = 6 \cdot 6 \sqrt{3} = 36 \sqrt{3}$ .

Przykład 5

Przekątna podstawy prostopadłościanu jest o $2$ krótsza od krawędzi bocznej i o $4$ krótsza od przekątnej prostopadłościanu. Wyznaczymy objętość tego prostopadłościanu, jeżeli długości krawędzi podstawy prostopadłościanu różnią się o $3$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R9zQHp9y7TFGy

Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędziach podstawy a+3 i a oraz wysokości x+2. Przekątna graniastosłupa ma długość x+4, a przekątna podstawy ma długość x.

Ponieważ przekątna podstawy prostopadłościanu, krawędź boczna i przekątna prostopadłościanu tworzą trójkąt prostokatny, zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 = x^{2} + 8 x + 16$

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

$x_{1} = \frac{4 - 8}{2} = - 2$ oraz $x_{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6$ .

Zatem przekątna podstawy prostopadłościanu ma długość $6$ .

Do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

${(a + 3)}^{2} + a^{2} = 6^{2}$

$2 a^{2} + 6 a - 27 = 0$

$a_{1} = \frac{- 6 - 6 \sqrt{7}}{4} < 0$

$a_{2} = \frac{- 6 + 6 \sqrt{7}}{4} = \frac{- 3 + 3 \sqrt{7}}{2} > 0$

Krawędź prostopadłościanu mają długości:

$a = \frac{- 3 + 3 \sqrt{7}}{2}$

$a + 3 = \frac{- 3 + 3 \sqrt{7}}{2} + 3 = \frac{3 + 3 \sqrt{7}}{2}$

$x + 2 = 6 + 2 = 8$

Wobec tego objętość prostopadłościanu jest równa:

$V = \frac{3 + 3 \sqrt{7}}{2} \cdot \frac{- 3 + 3 \sqrt{7}}{2} \cdot 8 = 108$

Przykład 6

Obliczmy objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, którego wysokość jest równa $16 cm$ i tworzy:
a) z krawędzią boczną kąt $α$ taki, że $tg α = 0, 5$ ,
b) z wysokością ściany bocznej kąt $β$ taki, że $\cos β = 0, 8$ .

Rozwiązanie:

a) Wykonajmy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami, zaznaczamy kąt $α$ miedzy wysokością ostrosłupa a krawędzią boczną.

RUJv0sFoDEzDD

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS o wysokości o długości 16 centymetrów. Zaznaczono wysokość podstawy CD. Kąt między wysokością ostrosłupa, a krawędzią boczną to alfa

Przyjmujemy, że $|A B| = a$ oraz $|O S| = 16$ , wówczas: $|D C| = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie, zatem:

$|O C| = \frac{2}{3} |D C| = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

W trójkącie $C S O$ mamy: $tg α = \frac{|O C|}{|O S|}$ , więc $\frac{1}{2} = \frac{|O C|}{|O S|}$ , stąd $|O S| = 2 |O C|$ , to $16 = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$ .

$48 = 2 a \sqrt{3}$
$48 \sqrt{3} = 6 a$
$8 \sqrt{3} = a$

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{p} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{{(8 \sqrt{3})}^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = 48 \sqrt{3} [{cm}^{2}]$ .

Zatem objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 48 \sqrt{3} \cdot 16 = 256 \sqrt{3} [{cm}^{3}]$ .

b) Wykonajmy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami, zaznaczamy kąt $β$ między wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej.

R1ZXRxnfqMU80

Przyjmujemy, że $|A B| = a$ oraz $|O S| = 16$ , wówczas: $|D C| = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie, zatem:

$|D O| = \frac{1}{3} |D C| = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ .

W trójkącie $D O S$ mamy: $\cos β = \frac{|O S|}{|D S|}$ , więc $\frac{8}{10} = \frac{|O S|}{|D S|}$ , stąd $|D S| = \frac{10}{8} |O S| = \frac{10}{8} \cdot 16 = 20$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${|D O|}^{2} + {|O S|}^{2} = {|D S|}^{2}$

${(\frac{a \sqrt{3}}{6})}^{2} + 16^{2} = 20^{2}$

$\frac{3 a^{2}}{36} = 400 - 256$

$\frac{a^{2}}{12} = 144$

$a^{2} = 1728$ .

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{p} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{1728 \cdot \sqrt{3}}{4} = 432 \sqrt{3} [{cm}^{2}]$ .

Zatem objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 432 \sqrt{3} \cdot 16 = 2304 \sqrt{3} [{cm}^{3}]$ .

Przykład 7

Obliczymy objętość stożka, w którym cosinus kąta rozwarcia wynosi $\frac{3}{4}$ , a tworząca ma długość $4$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

RoARU8SCOXEw4

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości h, tworząca stożka o długości l, promieniem podstawy stożka o długości r oraz kącie rozwarcia o wartości alfa.

Z zadania wynika, że długość tworzącej $l = 4$ oraz $\cos α = \frac{3}{4}$ .

Do wyznaczenia długości promienia $r$ podstawy stożka wykorzystamy twierdzenie cosinusów.

Zatem:

${(2 r)}^{2} = 4^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{3}{4}$

$4 r^{2} = 16 + 16 - 24$

$4 r^{2} = 8$ , czyli $r^{2} = 2$

$r = \sqrt{2}$ .

Długość wysokości stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$r^{2} + h^{2} = l^{2}$

${(\sqrt{2})}^{2} + h^{2} = 4^{2}$

$h^{2} = 14$ , czyli $h = \sqrt{14}$ .

Objętość tego stożka jest równa:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(\sqrt{2})}^{2} \cdot \sqrt{14} = \frac{2 \sqrt{14}}{3} π$ .

Przykład 8

Przekątna prostopadłościanu ma długość $26$ i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $α$ taki, że $tg α = \frac{5}{12}$ . Obliczymy objętość tego prostopadłościanu, jeżeli krawędzie podstawy pozostają w stosunku $1 : 3$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RxlUb3D6p5TY9

Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędziach podstawy a i b oraz wysokości h. przekątna podstawy ma długość d, a przekątna graniastosłupa ma długość 26 jednostek. Kąt pomiędzy przekątnymi ma miarę alfa

Ponieważ $tg α = \frac{5}{12}$ , zatem

$\frac{h}{d} = \frac{5}{12}$

$h = \frac{5}{12} \cdot d$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy zależność:

$d^{2} + h^{2} = 26^{2}$

$d^{2} + {(\frac{5}{12} \cdot d)}^{2} = 26^{2}$

$d^{2} + \frac{25}{144} d^{2} = 676$

$\frac{169}{144} d^{2} = 676$

$d = 26 \cdot \frac{12}{13} = 24$

$h = \frac{5}{12} \cdot 24 = 10$

Ponieważ krawędzie podstawy pozostają w stosunku $1 : 3$ , zatem załóżmy, że $a = 3 b$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długości krawędzi podstawy prostopadłościanu:

$a^{2} + b^{2} = d^{2}$

${(3 b)}^{2} + b^{2} = 24^{2}$

$10 b^{2} = 576$

$b^{2} = \frac{576}{10}$

$b = \frac{24}{\sqrt{10}} = \frac{24 \sqrt{10}}{10} = \frac{12 \sqrt{10}}{5}$

$a = 3 \cdot \frac{12 \sqrt{10}}{5} = \frac{36 \sqrt{10}}{5}$

Wobec tego objętość prostopadłościanu jest równa:

$V = a \cdot b \cdot h$

$V = \frac{36 \sqrt{10}}{5} \cdot \frac{12 \sqrt{10}}{5} \cdot 10 = 1728$

Przykład 9

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnegoostrosłup prawidłowy czworokątnyostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest trójkątem równoramiennym, w którym kąt pomiędzy ramionami ma miarę $α$ . Oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc, że $\cos \frac{α}{2} = \frac{12}{15}$ , a krawędź podstawy ma długość $18 cm$ .

Rozwiązanie:

Przeanalizujmy rysunek i ścianę boczną trójkąta.

RmbOjD2j0SjBR

Ilustracja przedstawia trójkąt. Podstawa trójkąta ma długość 18, prawe ramię trójkąta ma długość 15x. W trójkącie zaznaczono jego wysokość, ma ona długość 12x i dzieli podstawę na dwie równe części. Pomiędzy wysokością a prawym ramieniem trójkąta zaznaczono kąt i podpisano go α2.

Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy, że $x = 1$ , czyli krawędź boczna ma długość $15 cm$ , a wysokość ściany bocznej $12 cm$ .

Policzmy teraz wysokość ostrosłupa.

R1e2NbsRzTSTg

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt składający się z wysokości ostrosłupa oznaczonej literą H, wysokości ściany bocznej o długości 12 oraz odcinka łączącego spodki obu wysokości o długości dziewięć.

$H = \sqrt{12^{2} - 9^{2}} = \sqrt{63} = 3 \sqrt{7}$

$V = \frac{1}{3} \cdot 18^{2} \cdot 3 \sqrt{7} = 324 \sqrt{7}$

Przykład 10

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest równa $4$ , a tangens kąta jaki przekątna ściany bocznej tworzy z sąsiednią ścianą boczną wynosi $\frac{\sqrt{15}}{5}$ . Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Rozważmy graniastosłup prawidłowy trójkątny przedstawiony na rysunku.

R8ubrB07bHNab

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F. Środek krawędzi podstawy B C oznaczono punktem P. W środku graniastosłupa powstał trójkąt prostokątny A P F. Kąt przy wierzchołku F ma miarę α.

Niech $a > 0$ oznacza długość krawędzi podstawy oraz $h > 0$ długość wysokości rozważanego graniastosłupa. Z treści zadania wynika, że $a = |A B| = |B C| = |A C| = 4$ . Odcinek $|A P| = \frac{a \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$ jest wysokością podstawy. Z warunków zadania otrzymujemy kolejno

$tg α = \frac{|A P|}{|P F|}$

$\frac{2 \sqrt{3}}{|P F|} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

$|P F| = 2 \sqrt{5}$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $F C P$ otrzymujemy

${|P F|}^{2} = h^{2} + \frac{1}{4} a^{2}$ , stąd mamy $h = 4$ .

Możemy obliczyć objętość

$V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h = \frac{16 \sqrt{3}}{4} \cdot 4 = 16 \sqrt{3}$ .

Przykład 11

Obliczymy długość dłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o objętości $72$ i krawędzi podstawy $2$ . Jaką miarę ma kąt nachylenia tej przekątnej do płaszczyzny podstawy?

Rozwiązanie:

Najpierw obliczymy długość wysokości graniastosłupa korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa.

Mamy $72 = 6 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{4} H$ . Czyli $12 = \sqrt{3} H$ , a stąd $H = 4 \sqrt{3}$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1CHgdP39h6U8

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Jedna z krawędzi bocznych graniastosłupa wraz z dłuższą przekątną dolnej podstawy stanowią przyprostokątne trójkąta prostokątnego. Krawędź boczna ma długość 43, przekątna podstawy ma długość cztery. Przeciwprostokątna jest podpisana literą p. Kąt pomiędzy przyprostokątną leżącą w płaszczyźnie podstawy a przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy: ${(4 \sqrt{3})}^{2} + 4^{2} = p^{2}$ , a stąd $p^{2} = 64$ i ostatecznie dłuższa przekątna graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątna graniastosłupa ma długość $p = 8$ .

Przyglądając się długościom boków trójkąta, z którego korzystaliśmy, widzimy, że jest to trójkąt prostokątny o kątach ostrych $30 °$ , $60 °$ . A zatem kąt nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy ma miarę $α = 60 °$ .

Przykład 12

Podstawą ostrosłupa $A B C D S$ jest prostokąt $A B C D$ , którego boki mają długość $|A B| = 32$ i $|B C| = 18$ . Ściany boczne $A B S$ i $C D S$ są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ . Ściany boczne $B C S$ i $A D S$ są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $β$ . Miary kątów $α$ i $β$ spełniają warunek $α + β = 90 °$ . Obliczymy objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

RYisMZ972lWEv

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt A B C D. Bok AB ma długość 32, a bok AD ma długość osiemnaście. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S. Z tego wierzchołka na podstawę opuszczono wysokość, której spodek podpisano literą O. Na krawędzi BC zaznaczono punkt F, który jest spodkiem wysokości trójkąta BCS opuszczoną z wierzchołka S na krawędź BC. Na krawędzi DC zaznaczono punkt E, który jest spodkiem wysokości trójkąta CDS opuszczoną z wierzchołka S na krawędź DC. W ostrosłupie liniami przerywanymi zaznaczono dwa trójkąty prostokątne. W trójkącie FOS, odcinek FS jest przeciwprostokątną, a kąt OFS podpisano literą beta. W trójkącie EOS odcinek ES jest przeciwprostokątną, a kąt OES podpisano literą alfa.

Trójkąty $S O E$ i $S O F$ są prostokątne.

$|O E| = 9$ , $|O F| = 16$ .

Korzystając z funkcji trygonometrycznych mamy więc:

$tg α = \frac{|S O|}{9}$ i $tg β = \frac{|S O|}{16}$ .

Z treści zadania wiemy, że $α + β = 90 °$ , więc $tg β = tg (90 ° - α) = \frac{1}{tg α}$ .

Zatem mamy, że

$tg α \cdot tg β = 1$

$\frac{|S O|}{9} \cdot \frac{|S O|}{16} = 1$

${|S O|}^{2} = 144$

$|S O| = 12$ .

Możemy więc obliczyć objętość naszego ostrosłupa.

$P_{p} = 32 \cdot 18 = 576$

$V = \frac{1}{3} \cdot 576 \cdot 12 = 2304$ .

Przykład 13

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o objętości równej $1$ , pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól podstaw. Wyznaczymy długość krawędzi podstawy i długość wysokości tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Niech $a > 0$ oznacza długość krawędzi podstawy oraz $h > 0$ długość wysokości rozważanego graniastosłupa. Z warunków zadania wynika, że

$3 a h = 2 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ oraz $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h = 1$ .

Przekształcając równoważnie pierwsze równanie, uzyskujemy kolejno

$3 a h = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

$3 h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$h = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ .

Następnie, podstawiając powyższą zależność do drugiego równania, otrzymujemy kolejno

$\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{6} = 1$

$\frac{a^{3}}{8} = 1$

$a = 2$ .

Możemy wyliczyć długość wysokości

$h = \frac{2 \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Zatem krawędź podstawy graniastosłupa ma długość $2$ , a wysokość $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Przykład 14

Obliczymy objętość bryły będącej sumą dwóch wypukłych stożków z rysunku:

RJsvzy7z3qeNU

Grafika prezentuje dwa wypukłe stożki posiadające tę samą podstawę. W górnym stożku tworząca stożka ma długość trzy pierwiastki z sześciu, natomiast jego kąt rozwarcia wynosi sześćdziesiąt stopni. Kątem rozwarcia drugiego, dolnego stożka jest kąt prosty.

Rozwiązanie

Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia, jak na poniższym rysunku:

RIIvYIkJDopkp

Zauważmy, że:

$r = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$ oraz $x = \frac{3 \sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

W stożku o tworzącej długości $a$ zachodzi zależność $y = r = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$ .

Zatem objętość $V$ omawianej bryły jest równa:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot x + \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot y = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot (x + y)$ .

Wobec tego:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(\frac{3 \sqrt{6}}{2})}^{2} \cdot (\frac{9 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{6}}{2}) = (\frac{81 \sqrt{2}}{4} + \frac{27 \sqrt{6}}{4}) π$ .

Przykład 15

Jak zwiększy się objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, gdy jego wysokość zwiększymy $3$ razy a krawędź podstawy $2$ razy?

Rozwiązanie:

Niech $H$ – wysokość ostrosłupa,

$a$ – długość krawędzi podstawy.

Objętość wynosi $V = \frac{1}{3} a^{2} \cdot H$ .

Jeśli wysokość zwiększymy $3$ razy, a krawędź podstawy $2$ razy, to otrzymamy:

$V^{'} = \frac{1}{3} (2 a)^{2} \cdot 3 H = \frac{1}{3} \cdot 4 a^{2} \cdot 3 H = \frac{1}{3} \cdot 12 a^{2} H = 12 V$ ,

co oznacza, że objętość zwiększyła się $12$ razy.

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w animacjach, a następnie wykonaj polecenia zamieszczone pod każdą z nich.

Animacja nr 1

R15K9VTE3exW0

Polecenie 1

Krawędź podstawy szklanego wazonu w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $10 cm$ . Do wazonu wlano $3$ szklanki wody o pojemności $250 ml$ , co stanowiło $0, 6$ całkowitej pojemności wazonu. Jaka jest wysokość wazonu? W obliczeniach przyjmij, że $\sqrt{3} = 1, 7$ . Wynik podaj w zaokrągleniu do pełnych centymetrów.

Niech $h > 0$ oznacza długość wysokości wazonu, $V$ jego objętość.

Łączna pojemność $3$ szklanek $3 \cdot 250 {cm}^{3} = 750 {cm}^{3}$ , co stanowi $\frac{3}{5}$ objętości wazonu.

Otrzymujemy

$\frac{3}{5} \cdot \frac{100 \sqrt{3}}{4} h = 750$

$h = \frac{50 \sqrt{3}}{3} \approx 28 cm$ .

Animacja nr 2

R18kdhMLLveqn

Polecenie 2

Podstawą ostrosłupa $A B C D S$ jest trapez prostokątny $A B C D$ , w którym podstawy mają długość $|A B| = 12$ i $|C D| = 8$ , a dłuższe ramię $B C$ ma długość $5$ . Oblicz objętość tej bryły wiedząc, że najdłuższa krawędź boczna ma długość $15$ , a krawędź $D S$ jest jednocześnie wysokością ostrosłupa.

Narysujmy rysunek pomocniczy:

RcdJTnhZ23Y9f

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie trapezu prostokątnego. Wierzchołki trapezu to A B C D , przy czym kąt DAB jest kątem prostym, a kąt ADC również jest kątem prostym. Dłuższa podstawa AB ma długość 12, krótsza podstawa ma długość 8, a ukośne ramię na długość pięć. Wierzchołek ostrosłupa podpisano literą S. Krawędź SD jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy. Krawędź BS ma długość piętnaście.

Do obliczenia objętości potrzebujemy pole podstawy. Narysujmy podstawę ostrosłupa:

R1QLkXbdHOd2Z

Ilustracja przedstawia trapez o wierzchołkach A B C D przy czym kąt D A B jest kątem prostym, a kąt A D C również jest kątem prostym. Dłuższa podstawa A B ma długość 12, krótsza podstawa ma długość 8, a ukośne ramię na długość pięć. W trapezie zaznaczono wysokość h, którą opuszczono z wierzchołka C na podstawę AB. Odcinek AB, znajdujący się pomiędzy wysokością a wierzchołkiem B ma długość cztery.

Wysokość trapezu $h$ ma długość $3$ (trójkąt egipski).

Zatem

$P_{p} = \frac{(12 + 8) \cdot 3}{2} = \frac{60}{2} = 30 [j^{2}]$ .

Obliczmy wysokość ostrosłupa. Trójkąt $S D B$ jest prostokątny, $|S B| = 15$ , $D B$ - przekątna trapezu.

Obliczmy $D B$ wykorzystując twierdzenie Pitagorasa:

${|D B|}^{2} = 3^{2} + 12^{2}$
${|D B|}^{2} = 153$
$|D B| = \sqrt{153}$ .

Zatem wysokość ostrosłupa wynosi:

${|S D|}^{2} = {|S B|}^{2} - {|D B|}^{2}$
${|S D|}^{2} = 15^{2} - {(\sqrt{153})}^{2}$
${|S D|}^{2} = 225 - 153 = 72$
$|S D| = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$ .

Obliczmy wysokość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 6 \sqrt{2} = 60 \sqrt{2} [j^{3}]$ .

Animacja nr 3

RYmPvBb0RvrJC

Polecenie 3

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości $2 \sqrt{3}$ i krawędzi bocznej długości $5$ .

Obliczmy pole podstawy:

$P_{p} = {(2 \sqrt{3})}^{2} = 12$

Do obliczenia objętości brakuje nam wysokości ostrosłupa. Oznaczmy ją na rysunku jako $H$ .

R15cIZ60jUsYI

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wierzchołki podstawy to A B C D. Długość krawędzi podstawy wynosi 23. W podstawie zaznaczono jej przekątne. Wierzchołek górny ostrosłupa oznaczono literą S. Z tego wierzchołka na podstawę opuszczono wysokość, spodek wysokości leży na przecięciu przekątnych podstawy i jest podpisany literą O. Kąt pomiędzy wysokością a jedną z przekątnych podstawy oznaczono jako kąt prosty. Krawędź boczna ostrosłupa ma długość pięć.

Trójkąt $S O C$ jest prostokątny. Odcinek $O C$ jest połową przekątnej kwadratu.

$|O C| = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}$

Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy:

$H^{2} = 5^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}$

$H = \sqrt{25 - 6} = \sqrt{19}$

Objętość ostrosłupa wynosi więc:

$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \sqrt{19} = 4 \sqrt{19}$

Animacja nr 4

RQCpbMi3REXGp

Polecenie 4

W zadaniu w animacji 3D pojawia się ostrosłup o podstawie prostokąta. Jego pole zostało obliczone za pomocą wzoru na pole równoległoboku. Zauważ, że trójkąt $A O D$ jest równoboczny. Jak inaczej można było obliczyć to pole?

Dany jest ostrosłup o podstawie prostokąta, którego przekątne o długości + przecinają się pod kątem 60 stopni. Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa nachylone są do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem 60 stopni. Jeśli wierzchołki podstawy oznaczymy jako A B C D, wierzchołek górny jako S, a spodek wysokości ostrosłupa leżący na przecięciu przekątnych podstawy oznaczymy literą O, to możemy zauważyć, że trójkąt AOD jest trójkątem równobocznym. Jak obliczyć pole powierzchni podstawy tego ostrosłupa wykorzystując ten fakt?

Bok trójkąta $A O D$ ma długość $3$ , a zatem jego pole wynosi $P = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ (ze wzoru na pole trójkąta równobocznego).

Każdy z trójkątów, na które został podzielony prostokąt ma takie samo pole.

Czyli pole całego prostokąta wynosi $9 \sqrt{3}$ .

Infografika

Zapoznaj się z infografiką, a następnie wykonaj polecenia zamieszczone pod nią.

R1BLk32cbHB0p

Polecenie 5

Rozważmy graniastosłup z prezentacji. Jaką miarę ma kąt między krótszą przekątną graniastosłupa a jego podstawą?

Około $66 °$

Polecenie 6

Objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi $96 \sqrt{3}$ , a kąt pomiędzy dłuższą przekątną graniastosłupa, a podstawą ma miarę $45 °$ . Oblicz długość krawędzi podstawy.

$2 \sqrt[3]{4}$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Ćwiczenie 1

RsNOhaU0OlFMA

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono prostopadłościan.

R7dLtwG73namU

Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędziach podstawy 3 i 4 oraz przekątnej prostopadłościanu o długości dwanaście.

R5I1nQQ0rrlZ1

Ćwiczenie 3

R1ZMIhNFdgCz3

R1RrjCjZZPAqT

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiono prostopadłościan. Wiadomo, że $tg α = \frac{2}{3}$ .

Rx4C7fBhT4ouU

Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędzi podstawy 14, wysokości h. Przekątna graniastosłupa ma długość 26 i tworzy z przekątną podstawy kąt alfa.

RZwt8Igfdoigr

Ćwiczenie 5

Wiadomo, że suma długości krawędzi prostopadłościanu z rysunku wynosi $192$ .

R1RBsKu8Czjph

Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędziach podstawy a i 2a oraz wysokości 3a.

RW5LnDAnrO3Pt

Ćwiczenie 6

R9rr4AUPMLdXz

RHYxxATl9CzNG

Ćwiczenie 7

Krawędzie podstawy prostopadłościanu oraz krawędź boczna, w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $\frac{3}{2}$ , a suma ich długości wynosi $14 \frac{1}{4}$ . Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RkQMpmbiIgVlA

Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędziach podstawy równych x i y oraz wysokości z.

Korzystając z tego, że liczby $x, y, z$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $\frac{3}{2}$ , mamy:

$y = \frac{3}{2} x$ oraz $z = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} x = \frac{9}{4} x$

Ponieważ suma wyrazów tego ciągu wynosi $14 \frac{1}{4}$ , zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$x + \frac{3}{2} x + \frac{9}{4} x = 14 \frac{1}{4}$

$4 x + 6 x + 9 x = 57$ , więc $x = 3$

Wobec tego:

$y = \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2}$

$z = \frac{9}{4} \cdot 3 = \frac{27}{4}$

Objętość tego prostopadłościanu jest równa:

$V = 3 \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{27}{4} = \frac{729}{8} = 91 \frac{1}{8}$

Ćwiczenie 8

Na rysunku poniżej przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny.

RxIlooePjiHUN1

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie równej a i wysokości równej pięć. Przekątna podstawy i przekątna graniastosłupa tworzą kat 30°

Rh41uhlsrfbBB1

Ćwiczenie 9

Na rysunku poniżej przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny.

R1cpMG976OJjM

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie równej a i wysokości równej dwa. krawędź podstawy i przekątna ściany bocznej tworzą kat α. tanα63

R66jYU8m7uAN5

Ćwiczenie 10

Na rysunku poniżej przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny.

RnnX0XDHmacID

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie równej a i wysokości h. Przekątna graniastosłupa spotyka się w jednym wierzchołku z przekątną ściany bocznej i tworzy z nią kąt α=30°. Przekątna ściany bocznej ma miarę cztery.

RYeTjcY798pw8

R9xaBjqt2cGTJ21

Ćwiczenie 11

RQkpy1PtniQSE2

Ćwiczenie 12

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz. W pewnym graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem trzydzieści stopni. Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi szesnaście cm indeks górny, 2, koniec indeksu górnego, zatem krawędź podstawy wynosi1. cztery cm, 2. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego, 3. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm., 4. szesnaście pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 5. trzydzieści dwa cm indeks górny, 2, koniec indeksu górnego, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 7. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego, a przekątna podstawy 1. cztery cm, 2. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego, 3. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm., 4. szesnaście pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 5. trzydzieści dwa cm indeks górny, 2, koniec indeksu górnego, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 7. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego. Wynika stąd, że wysokość tego graniastosłupa jest równa 1. cztery cm, 2. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego, 3. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm., 4. szesnaście pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 5. trzydzieści dwa cm indeks górny, 2, koniec indeksu górnego, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 7. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 1. cztery cm, 2. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego, 3. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm., 4. szesnaście pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 5. trzydzieści dwa cm indeks górny, 2, koniec indeksu górnego, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 7. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego.

Ćwiczenie 13

Przekątne graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przecinają się pod kątem $60 °$ . Do budowy szkieletu tego graniastosłupa zużyto drut długości $32 dm$ . Czy do akwarium o tych samych wymiarach zmieści się w $20$ litrów wody?

Przekątne $d$ graniastosłupa są jednocześnie przekątnymi prostokąta $A B C^{'} D^{″}$ . Niech $a$ oznacza krawędź podstawy rozważanego graniastosłupa oraz $b$ będzie jego wysokością, wówczas przekątna ściany bocznej jest równa $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Mamy $\sin 30 ° = \frac{a}{d} = \frac{1}{2}$ , stąd $d = 2 a$ , czyli $b = a \sqrt{2}$ . Zatem suma długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa (szkielet) jest równa $8 a + 4 \sqrt{2} a = 32$ , stąd $a = 4 (2 - \sqrt{2}) dm$ oraz $b = (8 \sqrt{2} - 8) dm$ . Objętość jest równa: $V = 64 \sqrt{2} {(2 - \sqrt{2})}^{3} \approx 18 {dm}^{3}$ .

Nie zmieści się w nim $20$ litrów wody.

Ćwiczenie 14

RG5ftXpdhBElj

RMaxjJyEumtTQ

Na opisach poniżej przedstawiono graniastosłupy prawidłowe trójkątne. Oblicz objętości tych graniastosłupów i dopasuj do rysunków. pięćdziesiąt cztery Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi a, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć oraz wysokością równą h, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy., 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi a oraz wysokością równą h. Zaznaczono przekątną ściany bocznej nachyloną do krawędzi podstawy pod kątem alfa, równa się, czterdzieści pięć stopni, P indeks dolny, A C F D, koniec indeksu dolnego, równa się, dwanaście, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi a oraz wysokością równą h. Zaznaczono przekątną ściany bocznej nachyloną do krawędzi podstawy pod kątem trzydzieści stopni oraz P indeks dolny, p, koniec indeksu dolnego, równa się, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z trzy. dziewięćdziesiąt sześć pierwiastek kwadratowy z sześć Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi a, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć oraz wysokością równą h, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy., 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi a oraz wysokością równą h. Zaznaczono przekątną ściany bocznej nachyloną do krawędzi podstawy pod kątem alfa, równa się, czterdzieści pięć stopni, P indeks dolny, A C F D, koniec indeksu dolnego, równa się, dwanaście, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi a oraz wysokością równą h. Zaznaczono przekątną ściany bocznej nachyloną do krawędzi podstawy pod kątem trzydzieści stopni oraz P indeks dolny, p, koniec indeksu dolnego, równa się, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z trzy. osiemnaście Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi a, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć oraz wysokością równą h, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy., 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi a oraz wysokością równą h. Zaznaczono przekątną ściany bocznej nachyloną do krawędzi podstawy pod kątem alfa, równa się, czterdzieści pięć stopni, P indeks dolny, A C F D, koniec indeksu dolnego, równa się, dwanaście, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi a oraz wysokością równą h. Zaznaczono przekątną ściany bocznej nachyloną do krawędzi podstawy pod kątem trzydzieści stopni oraz P indeks dolny, p, koniec indeksu dolnego, równa się, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z trzy.

R1Rb70pglYukt1

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

RxGTLozIr1Uu5

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz. 1. Pole powierzchni całkowitej, 2. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, h , 3. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, h, 4. wysokość, 5. trójkąta równoramiennego, 6. sumie, 7. iloczynowi, 8. podstawy, 9. przekątna ściany bocznej, 10. Pole powierzchni bocznej, 11. krawędzi bocznej, 12. trójkąta prostokątnego, 13. Objętość, 14. wysokości podstawy graniastosłupa, 15. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, cztery, koniec ułamka, h, 16. trójkąta równobocznego, 17. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, trzy, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, h, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 1. Pole powierzchni całkowitej, 2. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, h , 3. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, h, 4. wysokość, 5. trójkąta równoramiennego, 6. sumie, 7. iloczynowi, 8. podstawy, 9. przekątna ściany bocznej, 10. Pole powierzchni bocznej, 11. krawędzi bocznej, 12. trójkąta prostokątnego, 13. Objętość, 14. wysokości podstawy graniastosłupa, 15. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, cztery, koniec ułamka, h, 16. trójkąta równobocznego, 17. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, trzy, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, h, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej pola podstawy przez 1. Pole powierzchni całkowitej, 2. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, h , 3. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, h, 4. wysokość, 5. trójkąta równoramiennego, 6. sumie, 7. iloczynowi, 8. podstawy, 9. przekątna ściany bocznej, 10. Pole powierzchni bocznej, 11. krawędzi bocznej, 12. trójkąta prostokątnego, 13. Objętość, 14. wysokości podstawy graniastosłupa, 15. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, cztery, koniec ułamka, h, 16. trójkąta równobocznego, 17. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, trzy, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, h, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej graniastosłupa. Pole 1. Pole powierzchni całkowitej, 2. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, h , 3. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, h, 4. wysokość, 5. trójkąta równoramiennego, 6. sumie, 7. iloczynowi, 8. podstawy, 9. przekątna ściany bocznej, 10. Pole powierzchni bocznej, 11. krawędzi bocznej, 12. trójkąta prostokątnego, 13. Objętość, 14. wysokości podstawy graniastosłupa, 15. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, cztery, koniec ułamka, h, 16. trójkąta równobocznego, 17. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, trzy, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, h, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego obliczamy korzystając ze wzoru na pole 1. Pole powierzchni całkowitej, 2. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, h , 3. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, h, 4. wysokość, 5. trójkąta równoramiennego, 6. sumie, 7. iloczynowi, 8. podstawy, 9. przekątna ściany bocznej, 10. Pole powierzchni bocznej, 11. krawędzi bocznej, 12. trójkąta prostokątnego, 13. Objętość, 14. wysokości podstawy graniastosłupa, 15. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, cztery, koniec ułamka, h, 16. trójkąta równobocznego, 17. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, trzy, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, h, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej. Długość wysokości graniastosłupa prawidłowego trójkątnego równa się długości 1. Pole powierzchni całkowitej, 2. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, h , 3. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, h, 4. wysokość, 5. trójkąta równoramiennego, 6. sumie, 7. iloczynowi, 8. podstawy, 9. przekątna ściany bocznej, 10. Pole powierzchni bocznej, 11. krawędzi bocznej, 12. trójkąta prostokątnego, 13. Objętość, 14. wysokości podstawy graniastosłupa, 15. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, cztery, koniec ułamka, h, 16. trójkąta równobocznego, 17. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, trzy, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, h, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi a i wysokości h obliczamy ze wzoru 1. Pole powierzchni całkowitej, 2. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, h , 3. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, h, 4. wysokość, 5. trójkąta równoramiennego, 6. sumie, 7. iloczynowi, 8. podstawy, 9. przekątna ściany bocznej, 10. Pole powierzchni bocznej, 11. krawędzi bocznej, 12. trójkąta prostokątnego, 13. Objętość, 14. wysokości podstawy graniastosłupa, 15. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, cztery, koniec ułamka, h, 16. trójkąta równobocznego, 17. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, trzy, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, h, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej.

Ćwiczenie 17

Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $21$ . Wysokość stanowi $150 %$ długości krawędzi podstawy. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Niech $a > 0$ oznacza długość krawędzi podstawy rozważanego graniastosłupa, $h > 0$ jego wysokość. Objętość graniastosłupa $V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h$ .

Z treści zadania wiemy, że $h = \frac{3}{2} a$ oraz $6 a + 3 h = 21$ .

Otrzymujemy zatem $a = 2$ , $h = 3$ .

Objętość $V = 3 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 18

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona pod kątem $60 °$ do krawędzi podstawy. Do budowy szkieletu tego graniastosłupa zużyto drut długości $30 dm$ . Czy zmieści się w nim $15$ litrów wody?

Rozważmy graniastosłup prawidłowy trójkątny przedstawiony na rysunku.

R185LqiPG1t1Z

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi a oraz wysokością równą h. Zaznaczono przekątną ściany bocznej graniastosłupa tworzącą z krawędzią podstawy kąt o mierze α. α=60°

Niech $a > 0$ oznacza krawędź podstawy rozważanego graniastosłupa oraz $h > 0$ będzie jego wysokością, wówczas mamy

$tg 60 ° = \frac{h}{a} = \sqrt{3}$ ,

stąd $h = \sqrt{3} a$ .

Zatem suma długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa (szkielet) jest równa $6 a + 3 \sqrt{3} a = 30$ , czyli

$a = 10 (2 - \sqrt{3}) dm$ oraz $h = 10 \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}) dm$ .

Objętość jest równa

$V = 750 {(2 - \sqrt{3})}^{3} \approx 14, 43 {dm}^{3} < 15 {dm}^{3}$ .

Nie zmieści się w nim $15$ litrów wody.

Ćwiczenie 19

Do naczynia z sokiem w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości $4 \sqrt{3}$ , wrzucono trzy sześcienne kostki lodu o krawędzi $\sqrt{3}$ razy mniejszej niż krawędź podstawy naczynia. Objętość mieszaniny soku i lodu wynosiła wówczas $12$ . Ile wynosiła objętość soku przed wrzuceniem kostek lodu?

Niech $\sqrt{3} a > 0$ oznacza długość krawędzi podstawy naczynia, $a > 0$ krawędź kostki lodu.

Objętość mieszaniny soku i lodu wynosi

$V = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4 \sqrt{3} + 3 a^{3} = 12$ .

Rozwiązując kolejno równanie $3 a^{3} + 9 a^{2} - 12 = 0$ otrzymujemy

$3 a^{3} + 9 a^{2} - 12 = 0$

$(a - 1) (a^{2} + 4 a + 4) = 0$

$a = 1$ , $a = - 2 < 0$ ,

czyli $a = 1$ .

Zatem objętość samego soku $V - 3 = 9$ .

RGrMBviBKW15P1

Ćwiczenie 20

Ćwiczenie 21

RFb4k60uABxSE

R5GMsHKejjCQ6

R7vgcaBDxnGre2

Ćwiczenie 22

RvWMeliqAFjqd2

Ćwiczenie 23

RORHLuz39arx32

Ćwiczenie 24

RhPeiCljQ8Tww2

Ćwiczenie 25

RGVENf6Vcp2bw2

Ćwiczenie 26

Ćwiczenie 27

Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma miarę $90 °$ , a dłuższa przekątna podstawy długość $24 \sqrt{3}$ . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zróbmy rysunek pomocniczy:

RY3C5pzjaEeLq

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Wierzchołki dolnej podstawy są opisane: A, B, C, D, E oraz F. Wierzchołki górnej podstawy są opisane: M, N, O, P, oraz R. Wysokość graniastosłupa podpisano literą H. Dłuższa przekątna podstawy AD ma długość 243. Krótsza przekątna podstawy DF wraz z wierzchołkiem górnej podstawy Q tworzy równoramienny trójkąt prostokątny, przy czym przekątna DF jest prostopadła do krawędzi bocznej graniastosłupa. Kąt przy wierzchołku Q jest kątem prostym. Krótsza przekątna podstawy DF ma długość a3=p2. Ramiona trójkąta FQ oraz DQ mają długość p.

Skoro dłuższa przekątna ma długość $24 \sqrt{3}$ , to krawędź podstawy $a = 12 \sqrt{3}$ , a krótsza przekątna podstawy $a \sqrt{3} = 36$ . Z drugiej strony z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego, krótsza przekątna podstawy ma długość $p \sqrt{2}$ , a stąd $p \sqrt{2} = 36$ i ostatecznie $p = 18 \sqrt{2}$ .

Możemy teraz obliczyć wysokość graniastosłupa z twierdzenia Pitagorasa:

$H^{2} + {(12 \sqrt{3})}^{2} = {(18 \sqrt{2})}^{2}$ .

Czyli $H^{2} = 216$ , a stąd $H = 6 \sqrt{6}$ .

Teraz możemy już obliczyć objętość graniastosłupa: $V = 6 \cdot \frac{{(12 \sqrt{3})}^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 6 \sqrt{6} = 11664 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 28

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym dłuższa przekątna graniastosłupa jest dwukrotnie dłuższa od krótszej przekątnej podstawy. Objętość graniastosłupa wynosi $192 \sqrt{6}$ . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R1YnOkdpvCt1o

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Wysokość graniastosłupa podpisano literą H. Długość krawędzi podstawy jest równa a. Krótsza przekątna podstawy ma długość a3. Dłuższa przekątna podstawy ma długość 2a. Dłuższa przekątna podstawy wraz z krawędzią boczną graniastosłupa i jego dłuższą przekątną tworzą trójkąt prostokątny. Którego przeciwprostokątna jest podpisana literą p.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy $H^{2} + {(2 a)}^{2} = p^{2}$ . A stąd $p = \sqrt{H^{2} + 4 a^{2}}$ .

Z treści zadania mamy $p = 2 a \sqrt{3}$ , a stąd $\sqrt{H^{2} + 4 a^{2}} = 2 a \sqrt{3}$ . Podnosząc obie strony wyrażenia do potęgi drugiej otrzymujemy $H^{2} + 4 a^{2} = 12 a^{2}$ , a stąd $H^{2} = 8 a^{2}$ . Ostatecznie $H = 2 \sqrt{2} a$ .

Korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego mamy:

$192 \sqrt{6} = 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 2 \sqrt{2} a$

A stąd $192 = 3 a^{3}$ , co daje $a^{3} = 64$ . Czyli krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość $a = 4$ .

Ćwiczenie 29

R16XdsZClQw4K

R1CXLUCwR73Jh

RaurceTyloMse1

Ćwiczenie 30

R1bh7jQWoLOtU2

Ćwiczenie 31

R1DXtSIonFVTw2

Ćwiczenie 32

R19ErWpWXi07N2

Ćwiczenie 33

Ćwiczenie 34

Podstawą graniastosłupa jest pięciokąt jak na rysunku (jedna kratka to jedna jednostka).

Rpqo2hcj1NP2r

Ilustracja przedstawia pięciokąt ABCDE. Pięciokąt możemy podzielić na prostokąt o szerokości trzech kratek i wysokości czterech kratek oraz dwa takie same trójkąty prostokątne równoramienne o ramieniu długości dwóch kratek.

Przekątna $B J$ jest nachylona pod kątem $45 °$ do płaszczyzny podstawy.

R1LEhKkCzZg69

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H I J o podstawie pięciokąta ABCDE. Zaznaczono przekątną graniastosłupa BJ.

Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Obliczmy pole podstawy i długość przekątnej $B E$ podstawy.

R1bf9jvvZ5Tr9

Ilustracja przedstawia pięciokąt ABCDE. Podzielono go na prostokąt ABCE oraz trójkąt DCE. Zaznaczono przekątną prostokąta BE oraz wysokość trójkąta DK. Punkt K jest środkiem podstawy CE.

Pole pięciokąta policzymy jako sumę pól prostokąta $A B C E$ i trójkąta $C D E$ .

$P_{p} = 4 \cdot 3 + \frac{4 \cdot 2}{2} = 16$

Przekątna podstawy $B E$ jest przeciwprostokątną trójkąta $B C E$ o przyprostokątnych $3$ i $4$ , a zatem ze znanej trójki pitagorejskiej mamy:

$|B E| = 5$ .

Obliczymy teraz wysokość graniastosłupa korzystając z przekątnej graniastosłupa $B J$ .

R4GCC6w57Vjj5

Ilustracja przedstawia graniastosłup ABCDEFGHIJ o podstawie pięciokąta. Zaznaczono przekątną graniastosłupa, przekątną podstawy oraz krawędź ściany bocznej. Tworzą one trójkąt prostokątny BEJ o kącie przy wierzchołku B równym 45 stopni.

Trójkąt $J B E$ jest prostokątny i równoramienny, a zatem:

$|J E| = |B E| = 5$ .

Możemy teraz obliczyć objętość graniastosłupa:

$V = 16 \cdot 5 = 80$ .

Ćwiczenie 35

Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o podstawach długości $2$ i $6$ i wysokości $2$ . Przekątna graniastosłupa jest nachylona pod kątem $53 °$ do płaszczyzny podstawy. Oblicz objętość graniastosłupa.

Musimy najpierw obliczyć długość przekątnej podstawy.

RJkzXgyaiC3Px

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono przekątną AC oraz wysokość CI. Punkt I jest punktem na podstawie AD.

Przekątna podstawy jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego $A I C$ o przyprostokątnych $|A I| = 4$ i $|I C| = 2$ . Długość przekątnej $d$ obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:

$4^{2} + 2^{2} = d^{2}$ , czyli

$d = 2 \sqrt{5}$ .

Obliczymy teraz długość wysokości graniastosłupa.

R1U4QXL8Z9Nxg

Ilustracja przedstawia graniastosłup ABCDEFGH o podstawie trapezu. Na trapezie ABCD zaznaczono przekątną AC oraz wysokość CI. Punkt I jest punktem na podstawie AD. Przekątna AC tworzy z przekątną graniastosłupa CE kąt 53 stopni.

Korzystając z funkcji tangens dla kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy, mamy:

$tg 53 ° = \frac{|A E|}{|A C|}$ .

Korzystając z danych i tablic wartości funkcji trygonometrycznych, otrzymujemy:

$1, 3270 \approx \frac{| A E |}{2 \sqrt{5}}$ , czyli

$|A E| \approx 5, 93$ .

A zatem objętość tego graniastosłupa wynosi w przybliżeniu

$V = \frac{(2 + 6) \cdot 2}{2} \cdot 5, 93 = 47, 44$ .

Ćwiczenie 36

Dwie sąsiednie ściany ostrosłupa trójkątnego są prostopadłe. Ich wspólna krawędź ma długość $b$ , zaś wysokości tych ścian opuszczone na wspólną krawędź są równe $a$ oraz $c$ , jak na rysunku.

RxLU7CFax4NFN

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup ABCD. Z wierzchołka D opuszczono wysokość ściany bocznej, oznaczoną literą c. Wysokość ta jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Krawędź BC trójkąta w podstawie oznaczono literą b. Linią przerywaną zaznaczono wysokość podstawy poprowadzoną z wierzchołka A na bok B C i oznaczono ją literą a.

RDI3JjAz8iFsB

RCEG6dAJUyabL1

Ćwiczenie 37

R1XCy4cWikDv72

Ćwiczenie 38

R15hZ92KwuknC2

Ćwiczenie 39

R1Won02nPwqtv2

Ćwiczenie 40

R1971zYAxcX992

Ćwiczenie 41

Rejva0xoQztwb2

Ćwiczenie 42

R1PUHUrtyfpyw3

Ćwiczenie 43

Ćwiczenie 44

Podstawą ostrosłupa $A B C D$ jest trójkąt równoramienny o podstawie $|A B| = b$ i kącie $α$ pomiędzy ramionami. Krawędź $C D$ jest wysokością ostrosłupa, a kąt nachylenia ściany $A B D$ do podstawy ostrosłupa jest równy $β$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

REGq27qfVVgbq

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup ABCD. Krawędź boczna CD stanowi wysokość ostrosłupa i oznaczono ją literą H. Na krawędzi AB podstawy zaznaczono punkt E, który stanowi spodek wysokości podstawy opuszczonej z wierzchołka C. Linią przerywaną zaznaczono wysokość DE ściany bocznej i oznaczono literą h. ∢CED oznaczono beta, natomiast ∢BCA oznaczono alfa. ∢DCB jest kątem prostym.

W trójkącie prostokątnym $A C E$ mamy:

$\frac{|A E|}{|C E|} = tg \frac{α}{2}$ stąd $|C E| = \frac{\frac{b}{2}}{tg \frac{α}{2}} = \frac{b}{2 tg \frac{α}{2}}$ oraz

$\frac{|A E|}{|C A|} = \sin \frac{α}{2}$ stąd $|C A| = \frac{\frac{b}{2}}{\sin \frac{α}{2}} = \frac{b}{2 \sin \frac{α}{2}}$

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot |C E| = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{b}{2 tg \frac{α}{2}} = \frac{b^{2}}{4 tg \frac{α}{2}}$

Z trójkąta prostokątnego $D C E$ mamy:

$\frac{|D C|}{|C E|} = tg β$ stąd $|D C| = |C E| \cdot tg β = \frac{b}{2 tg \frac{α}{2}} \cdot tg β = \frac{b tg β}{2 tg \frac{α}{2}}$

Możemy obliczyć objętość:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{b^{2}}{4 tg \frac{α}{2}} \cdot \frac{b tg β}{2 tg \frac{α}{2}} = \frac{b^{3} tg β}{24 {tg}^{2} \frac{α}{2}}$

$V = \frac{b^{3} tg β}{24 {tg}^{2} \frac{α}{2}}$ .

R1UHkK2AoC0mA1

Ćwiczenie 45

RIl57MiIeJsOl1

Ćwiczenie 46

R14sj8YJtPnYa2

Ćwiczenie 47

R1CtwepTqfYC02

Ćwiczenie 48

RPESRbvOszLBj2

Ćwiczenie 49

Ćwiczenie 50

Trójkąt równoboczny $A B C$ jest podstawą ostrosłupa prawidłowego $A B C S$ , w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60 °$ , a krawędź boczna ma długość $7$ . Obliczając objętość tego ostrosłupa uzupełnij puste miejsca właściwymi zapisami, Przeciągnij odpowiednie pola.

RXth5jNL4paRf

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy A B C S. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Krawędź boczna ma długość 7, a krawędź podstawy ma długość a. Na podstawie zaznaczono wysokości, w miejscu ich przecięcia utworzono punkt O. Odległość od punktu O do krawędzi podstawy wynosi r. Wysokość ostrosłupa ma długość H.

R3Izsu9Lf8BEE

Odcinek DC, jako wysokość podstawy wyznaczamy ze wzoru 1. kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, D O, mianownik, D S, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. D S, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiemdziesiąt cztery, 6. D C, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. O S, równa się, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka , odcinek D O, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, razy, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się 1. kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, D O, mianownik, D S, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. D S, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiemdziesiąt cztery, 6. D C, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. O S, równa się, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka .
W trójkącie D O S mamy:
1. kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, D O, mianownik, D S, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. D S, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiemdziesiąt cztery, 6. D C, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. O S, równa się, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka , więc kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, razy, D S, koniec ułamka, stąd 1. kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, D O, mianownik, D S, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. D S, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiemdziesiąt cztery, 6. D C, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. O S, równa się, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka
sinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, O S, mianownik, D S, koniec ułamka, więc początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, O S, mianownik, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec ułamka, stąd 1. kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, D O, mianownik, D S, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. D S, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiemdziesiąt cztery, 6. D C, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. O S, równa się, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka i oznaczamy O S, równa się, H

Korzystając z twierdzenia pitagorasa dla trójkąta A D S mamy:
siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, D S indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, to 1. kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, D O, mianownik, D S, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. D S, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiemdziesiąt cztery, 6. D C, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. O S, równa się, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka
czterdzieści dziewięć, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, czterdzieści dziewięć, równa się, początek ułamka, siedem a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwanaście, koniec ułamka
1. kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, D O, mianownik, D S, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. D S, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiemdziesiąt cztery, 6. D C, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. O S, równa się, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka

RJHCrMIrB08mx2

Ćwiczenie 51

R148dmpe7pyiX1

Ćwiczenie 52

Ćwiczenie 53

RMtaa2ufAD5Sr

R1eo9DkIV83vP

Ćwiczenie 54

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $4 cm$ i objętość $\frac{128}{3} {cm}^{3}$ .

R15Ww07rok45t

RfMImuwIqeZxM

R1GLHm7yae8Ol

Rw00lL34y0TTR

R15Ww07rok45t

RfMImuwIqeZxM

R1GLHm7yae8Ol

Rw00lL34y0TTR

Ćwiczenie 55

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę $α$ . Oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc, że krawędź podstawy ma miarę $6$ , a $\cos α = \frac{41}{50}$ .

Wykonajmy rysunek.

RoKQ8PtaQlcxB

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. Długość krawędzi podstawy wynosi sześć. W podstawie zaznaczono jej przekątne. Z wierzchołka górnego ostrosłupa na podstawę opuszczono wysokość, spodek wysokości leży na przecięciu przekątnych podstawy, wysokość podpisano literą x. Kąt pomiędzy wysokością a jedną z przekątnych podstawy oznaczono jako kąt prosty. Krawędzie boczne ostrosłupa również podpisano literą x. Kąt pomiędzy krawędziami bocznymi ostrosłupa podpisano literą alfa.

Z twierdzenia cosinusów mamy:

$6^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 \cdot x \cdot x \cdot \frac{41}{50}$ ,

$36 = 2 x^{2} - 2 x^{2} \cdot \frac{41}{50}$ ,

$1800 = 100 x^{2} - 82 x^{2}$ ,

$1800 = 18 x^{2}$ .

Krawędzie boczne mają więc długość:

$10 = x$ .

RwxLrHQVa5pXD

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym zaznaczono trójkąt składający się z wysokości ostrosłupa H, krawędzi ściany bocznej o długości 10 oraz odcinka łączącego spodek wysokości ostrosłupa z dolnym wierzchołkiem krawędzi bocznej o długości 32.

Obliczmy wysokość ostrosłupa:

$H^{2} = 10^{2} - {(3 \sqrt{2})}^{2}$ ,

$H^{2} = 82$ ,

$H = \sqrt{82}$ .

Co daje nam:

$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot \sqrt{82} = 12 \sqrt{82} j^{3}$ .

Ćwiczenie 56

Rhtkpi9tl9dKY

RkCsZgmL5cD37

Ćwiczenie 57

Podstawą ostrosłupa, którego siatkę widzimy na rysunku, jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnej $2$ i przeciwprostokątnej $2 \sqrt{5}$ . Krawędź ostrosłupa zaznaczona na różowo jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

R4fMjg31PAKls

Ilustracja przedstawia siatkę ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt prostokątny, jedna z jego przyprostokątnych ma długość dwa, natomiast przeciwprostokątna ma długość 25. Do każdego boku podstawy przylega jeden trójkąt. W trójkątach przylegających do przyprostokątnych podstawy, boki tych trójkątów wychodzące z wierzchołka przy kącie prostokątnym zaznaczono kolorem różowym.

Ponieważ krawędź, której długość wynosi $6$ , jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, to $H = 6$ .

Obliczymy długość drugiej przyprostokątnej trójkąta, który jest podstawą tego ostrosłupa, z twierdzenia Pitagorasa:

$a^{2} + 2^{2} = {(2 \sqrt{5})}^{2}$ , czyli $a = 4$ .

Mamy zatem $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 2}{2} \cdot 6 = 8$ .

Ćwiczenie 58

Oblicz objętość stożka, jeżeli wiadomo, że jego kąt rozwarcia ma miarę $90 °$ , a pole trójkąta, którego dwa boki są tworzącymi stożka, a trzeci bok jest średnicą podstawy wynosi $P$ .

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RkHBtjkyqwpPN

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości h, tworząca stożka o długości l, promieniem podstawy stożka o długości r.

Zauważmy, że omawiany trójkąt jest prostokątny równoramienny.

Jeżeli pole tego trójkąta jest równe $P$ , to $P = \frac{1}{2} \cdot l^{2}$ .

Zatem $l = \sqrt{2 P}$ .

Zauważmy, że $r = \frac{l \sqrt{2}}{2}$ , czyli $r = \frac{\sqrt{2 P} \cdot \sqrt{2}}{2} = \sqrt{P}$ .

Długość wysokości tego stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} + r^{2} = l^{2}$

$h^{2} + {(\sqrt{P})}^{2} = {(\sqrt{2 P})}^{2}$ , więc $h = \sqrt{P}$ .

Objętość tego stożka jest równa:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(\sqrt{P})}^{2} \cdot \sqrt{P} = \frac{P \sqrt{P}}{3} π$ .

Ćwiczenie 59

R1JkPNoq6Tbmi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że przekątna przekroju osiowego razem z średnicą podstawy i wysokością walca tworzy trójkąt o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ .

Korzystając z własności trójkąt o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ otrzymujemy, że średnica walca ma długość $3 \sqrt{3} cm$ , stąd promień ma długość $\frac{3}{2} \sqrt{3} cm$ oraz wysokość walca jest równa $9 cm$ .

Zatem

$V = π \cdot {(\frac{3}{2} \sqrt{3})}^{2} \cdot 9 = \frac{243}{4} π ({cm}^{3})$ ,

$P_{c} = 2 π \cdot \frac{3}{2} \sqrt{3} \cdot (\frac{3}{2} \sqrt{3} + 9) = (\frac{27}{2} + 27 \sqrt{3}) π ({cm}^{2})$ .

Ćwiczenie 60

RXbPAIRGV9FvQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1SQOZZCvkeHQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 61

Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ , którego tangens jest równy $3$ . Oblicz objętość tego walca, jeżeli przekątna przekroju osiowego ma długość $20$ .

Narysujmy walec i przekrój osiowy oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

Rp3UtYm2QCTnM

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem osiowym. W prostokącie o wymiarach h na dwa r, gdzie h jest wysokością walca, natomiast r jest promieniem jego podstawy, zaznaczono także przekątną przekroju będącą pod kątem alfa do średnicy dolnej podstawy walca.

Ponieważ $tg α = 3$ , zatem $h = 3 \cdot 2 r = 6 r$ .

Wobec tego do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

${(2 r)}^{2} + {(6 r)}^{2} = 20^{2}$

$4 r^{2} + 36 r^{2} = 400$

$40 r^{2} = 400$ , czyli $r^{2} = 10$ .

Zatem $r = \sqrt{10}$ oraz $h = 6 \cdot \sqrt{10} = 6 \sqrt{10}$ .

Pole przekroju osiowego walca jest równe:

$P = 2 \sqrt{10} \cdot 6 \sqrt{10} = 12 \cdot 10 = 120$ .

Słownik

ostrosłup prawidłowy

ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny i spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie

spodek wysokości bryły

rzut prostokątny wierzchołka bryły na płaszczyznę podstawy

ostrosłup prawidłowy trójkątny

ostrosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny

czworościan foremny

ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie cztery ściany są trójkątami równobocznymi

Ostrosłup czworokątny prosty

w podstawie ma czworokąt, spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

ostrosłup, w którego podstawie jest kwadrat, a wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi

spodek wysokości ostrosłupa

rzut prostopadły wierzchołka ostrosłupa na płaszczyznę podstawy

środek ciężkości rombu

punkt przecięcia przekątnych rombu

prostopadłościan

równoległościan, którego dwie dowolne ściany mające wspólną krawędź są prostopadłe

objętość

miara przestrzeni, którą zajmuje bryła w przestrzeni trójwymiarowej

graniastosłup prawidłowy czworokątny

graniastosłup prosty, którego podstawą jest kwadrat

sześcian

prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe

twierdzenie Pitagorasa

w dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta

twierdzenie kosinusów

w dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi

graniastosłup prawidłowy trójkątny

graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny

twierdzenie cosinusów

graniastosłup prawidłowy sześciokątny

graniastosłup, którego podstawa jest sześciokątem foremnym, a ściany boczne są przystającymi prostokątami

przekątna graniastosłupa

odcinek, którego końce są wierzchołkami dwóch różnych podstaw graniastosłupa nie leżące na jednej ścianie bocznej

1. Pola powierzchni brył

3. Różne zadania dotyczące pól powierzchni i objętości brył