3. Różne zadania dotyczące pól powierzchni i objętości brył

RBnsVBLB1IXh3

Graniastosłupy, ostrosłupy, walce i stożki są jednymi z częściej wykorzystywanych brył w życiu codziennym. Ich regularne kształty, w szczególności prostopadłościanu i graniastosłupów prawidłowych, są łatwe do odtworzenia i bardzo funkcjonalne, co stanowi inspirację dla architektów, konstruktorów i wytwórców. Trudno sobie wyobrazić jakiekolwiek miasto lub mieszkanie, w którym nie znajdowałyby się te podstawowe bryły: ich kształty znajdziemy w bryłach budowli, mebli, pudełek i wielu innych przedmiotach codziennego użytku. Z własności brył, które poznajemy na lekcjach matematyki korzystamy w życiu codziennym w sposób intuicyjny. Poniżej pokażemy w jakich (między innymi) sytuacjach codziennych korzystamy z własności tych brył – czasem zupełnie nieświadomie.

Przedstawimy też zagadnienia matematyczne, ale mniej typowe, łączące wiedzę z różnych tematów.

Twoje cele

Rozpoznasz graniastosłupy, ostrosłupy, walce i stożki w przedmiotach codziennego użytku.
Wykorzystasz własności kątów, odcinków i wielokątów do obliczania objętości i pola powierzchni.
Obliczysz pole powierzchni i objętość brył.
Dobierzesz odpowiedni model matematyczny przy rozwiązywaniu zadań praktycznych.

Pamiętaj: Kiedy w zadaniu mamy policzyć kubaturę pomieszczenia to liczymy oczywiście jego objętość. Rozpatrując dachy domów też musimy zwrócić uwagę na nazewnictwo. Bo o ile w ostrosłupach mamy krawędzie boczne to w przypadku dachów mamy kalenice, krawędzie podstawy to z kolei – murłaty. Te nazwy są ważne, gdyż inaczej nie zrozumiemy, co jest do policzenia w poniższych zadaniach.

Przykład 1

Pokój Maćka wygląda jak na rysunku.

RtT463AB1uziE

Zdjęcie przedstawia fragment sypialni, w której znajdują się skosy, na których umieszczono okna. Pokój jest pomalowany na biało, podłoga jest drewniana. — Źródło: dostępny w internecie: www.unsplash.com, licencja: CC BY 3.0.

Latem jest tam bardzo gorąco, więc Maciek planuje kupić klimatyzator. Moc klimatyzatora wylicza się mnożąc objętość pomieszczenia wyrażoną w metrach sześciennych przez współczynnik $40 \frac{W}{m^{3}}$ , gdzie $W$ , to jednostka mocy. Policzymy moc klimatyzatora potrzebnego Maćkowi, wiedząc że długość pokoju to $5 m$ a wymiary przedstawionej na rysunku ściany są następujące.

R6QIBP8fASzaO

Ilustracja przedstawia figurę składającą się z połączonych ze sobą trapezu i prostokąta. Poziomy bok prostokąta ma długość 3 metry, a pionowy bok 1 metr. Do górnego poziomego boku prostokąta przylega trapez, którego krótsza podstawa ma długość1,2 metra, a jego wysokość ma długość 1,5 metra.

Rozwiązanie:

Zauważ, że na pokój Maćka możemy spojrzeć jak na graniastosłup prosty, którego podstawą jest ściana przedstawiona na rysunku wyżej a wysokość $H = 5 m$ . Aby obliczyć objętość pokoju musimy policzyć pole sześciokąta z rysunku. Zauważmy, że jest to trapez i prostokąt, więc

$P = 3 \cdot 1 + \frac{4, 2 \cdot 1, 5}{2} = 6, 15$

Zatem objętość pokoju Maćka to $30, 75 [m^{3}]$ .

Moc klimatyzatora, którego potrzebuje Maciek to

$30, 75 m^{3} \cdot 40 \frac{W}{m^{3}} = 1230 W = 1, 23 k W$

Przykład 2

Betonowy słupek parkingowy ma kształt graniastosłupa pochyłego, którego podstawą jest kwadrat. Dwie ze ścian, które nie są prostokątami, są prostopadłe do podstawy. Kąt nachylenia wysokości słupka do ściany bocznej będącej prostokątem wynosi $8 °$ . Wykorzystując dane na rysunku obliczymy jaka jest masa takiego słupka, jeżeli gęstość betonu, z którego został wykonany wynosi $2222 \frac{kg}{m^{3}}$ .

Rozwiązanie:

R11s1vb3pQOEy

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły o podstawie kwadratu. Bok kwadratu ma długość 300 milimetrów. Z górnego wierzchołka poprowadzono pionowy odcinek, kąt pomiędzy tym odcinkiem a krawędzią boczną graniastosłupa ma wartość 8 stopni. Odcinek pomiędzy wierzchołkiem dolnej podstawy graniastosłupa a pionowym odcinkiem ma długość 54 milimetry.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy:

$tg 8 ° = \frac{54}{H}$

Czyli $0, 1405 = \frac{54}{H}$ , a stąd ostatecznie $H \approx 384 [m m]$ .

Obliczymy objętość słupka i wyrazimy ją w $m^{3}$ .

Mamy

$V = 300^{2} \cdot 384 = 34560000 [{m m}^{3}] = 34560 [{c m}^{3}] = 0, 03456 [m^{3}]$

Korzystamy ze wzoru na gęstość: $ρ = \frac{m}{V}$ .

Czyli $2222 = \frac{m}{0, 03456}$ , a stąd ostatecznie masa słupka wynosi $m \approx 76, 79 [k g]$ .

Przykład 3

Metr kwadratowy dachówki kosztuje $25 zł$ . Obliczymy koszt pokrycia dachu w kształcie ostrosłupa o podstawie prostokąta (rysunek ostrosłupa poniżej). Przy obliczeniach przyjmiemy, że $10 %$ zakupionej dachówki nie zostanie wykorzystane.

R1BFgWVhJ3STS

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt. Jeden z boków prostokąta ma długość 12 metrów. Krawędź boczna ostrosłupa ma długość 8 metrów, kąt pomiędzy dwoma krawędziami bocznymi, które przylegają do krawędzi podstawy o nieznanej długości ma wartość 86 stopni.

Rozwiązanie:

W zadaniu należy obliczyć pole powierzchni bocznej ostrosłupa.

Zaczniemy od policzenia długości drugiej krawędzi podstawy. Oznaczymy ją jako $x$ . Zaznaczymy także wysokości ścian bocznych $h_{1}$ i $h_{2}$ .

RK8YCBRI6zwRu

Z twierdzenia cosinusów mamy:

$x^{2} = 8^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos 86 °$

$x^{2} \approx 119$

$x \approx 10, 9 m$

Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. Wyznaczymy długości ich wysokości. Nazwiemy je odpowiednio $h_{1}$ i $h_{2}$ .

$h_{1}^{2} = 8^{2} - 6^{2}$

$h_{1}^{2} = 28$

$h_{1} = 2 \sqrt{7} \approx 5, 3 m$

$P_{1} = 31, 8 m^{2}$

$h_{2}^{2} = 8^{2} - 5, 45^{2}$

$h_{2}^{2} \approx 34, 3$

$h_{2} \approx 5, 9 m$

$P_{2} = 32, 2 m^{2}$

$P_{b} = 2 \cdot 31, 8 + 2 \cdot 32, 2 = 128 m^{2}$

Dokładamy $10 %$ na tzw. odpad, więc potrzebujemy $1, 1 \cdot 128 = 140, 8 m^{2}$ blachodachówki.

$140, 8 m^{2} \cdot 25 \frac{zł}{m^{2}} = 3520 zł$ .

Przykład 4

Wigwam o wysokości $6 m$ , w kształcie ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, pokryto gontem bitumicznym.

RoIct5BztWSjV

Zdjęcie przedstawia wigwam, czyli namiot wykonany z drewnianych badyli i materiałowej narzuty. Obiekt ten ma kształt ostrosłupa i znajduje się na łące.

Obliczymy, ile go potrzeba, jeśli wiemy, że pokryto nim $5$ ścian, które są nachylone do podstawy pod kątem $60 °$ .

Rozwiązanie:

Wykonamy rysunek pomocniczy. Wprowadzimy dodatkowe oznaczenia. Niech $a$ – długość wysokości trójkąta równobocznego, na jakie został podzielony sześciokąt foremny, oraz $x$ – długość krawędzi podstawy.

R1B8SDk6qukQ3

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt foremny. Krawędź podstawy oznaczono literą x. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S, spodek wysokości poprowadzonej z tego wierzchołka oznaczono literą O. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt prostokątny składający się z wysokości ostrosłupa, odcinka AS zaznaczonego w ścianie ostrosłupa, gdzie punkt A leży na krawędzi podstawy oraz odcinka OA leżącego w płaszczyźnie podstawy. Kąt AOS jest kątem prostym. Kąt OAS ma wartość 60 stopni. Wysokość ostrosłupa ma długość sześć.

Z zależności w trójkącie prostokątnym o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ :

$6 = a \sqrt{3}$

$a = 2 \sqrt{3}$

Zatem $|O A| = 2 \sqrt{3}$ , $|S A| = 4 \sqrt{3}$ .

Obliczymy długość krawędzi podstawy. Odcinek $O A$ jest wysokością trójkąta równobocznego, więc $2 \sqrt{3} = \frac{x \sqrt{3}}{2}$ , $x = 4$ .

Pole ściany bocznej ma miarę:

$P = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{3} \approx 13, 856 m^{2}$ .

Gontem pokryto $5$ ścian, więc potrzebujemy go

$13, 856 \cdot 5 \approx 69, 3 m^{2}$ .

Przykład 5

Półkolista równoważnia jest wykonana z tworzywa o gęstości $74 \frac{kg}{m^{3}}$ i ma średnicę długości $6 dm$ . Wyznaczymy masę tej równoważni. Wynik przybliżymy do $0, 1 kg$ . Przyjmiemy: $π = 3, 14$ .

R1RVwTKWfawrc

Ilustracja przedstawia plac zabaw w parku gdzie do stworzenia paru obiektów użyto kształtu kuli. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Rozwiązanie:

Obliczamy objętość półkuli: $V = \frac{2}{3} π \cdot 3^{3} = 18 π \approx 56, 52 {dm}^{3} \approx 0, 057 m^{3}$ .

A zatem masa równoważni wynosi $m = 0, 057 \cdot 74 \approx 4, 2 kg$ .

Przykład 6

Architekt zaprojektował dach domu w kształcie ostrosłupa prostegoostrosłup prostyostrosłupa prostego o podstawie prostokąta o wymiarach $8 m \times 6 m$ . Z projektu wynika, że tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa wynosi $\frac{1}{5}$ . Aby dobrze wymierzyć rozmieszczenie kalenic, musimy poznać miarę kątów płaskich przy wierzchołku ostrosłupa. Wyznaczymy ich miarę.

Rozwiązanie:

Wykonamy rysunek pomocniczy. Wprowadzimy oznaczenie pomocnicze: niech $d$ – długość przekątnej prostokąta, $H$ – długość wysokości ostrosłupa, $x$ – długości krawędzi bocznych, $γ$ - miara kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

RI96pGl6iWsrj

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt o długości boków 8 oraz sześć. W podstawie zaznaczono jej przekątną i podpisano ją literą d. Kąt pomiędzy krawędzią boczną, a przekątną podstawy podpisano literą gamma. Długość krawędzi bocznej podpisano literą x. Spodek wysokości H leży na przekątnej podstawy.

$d^{2} = 8^{2} + 6^{2}$

$d = 10$

$tg γ = \frac{H}{\frac{1}{2} d}$

$\frac{1}{5} = \frac{H}{5}$

$H = 1$

$x$ - długości krawędzi bocznych

$x^{2} = 1^{2} + 5^{2}$

$x = \sqrt{26}$

Zobaczmy na rysunku, gdzie leżą kąty płaskie przy wierzchołku ostrosłupakąty płaskie przy wierzchołku ostrosłupa. Oznaczmy je jako $α$ i $β$ .

R1E69qLdgKTXc

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt o długości boków 8 oraz sześć. Kąt pomiędzy krawędziami bocznymi, ściany bocznej przylegającej do krawędzi podstawy o długości 6 podpisano literą alfa. Kąt pomiędzy krawędziami bocznymi, ściany bocznej przylegającej do krawędzi podstawy o długości 8 podpisano literą beta. Długość krawędzi bocznych podpisano literą x.

Z twierdzenia cosinusów mamy:

$6^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 x^{2} \cos α$

$36 = 26 + 26 - 52 \cos α$

$\cos α = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$

$α \approx 72 °$

$8^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 x^{2} \cos β$

$64 = 26 + 26 - 52 \cos β$

$\cos β = - \frac{12}{52} = - \frac{3}{13}$

$β \approx 103 °$

Zatem kąty płaskie mają odpowiednio miary $72 °$ i $103 °$ .

Przykład 7

R9x7hkVaqXstu

Grafika przedstawia budkę dla ptaków w kształcie ostrosłupa o podstawie trójkąta, w jednej ze ścian wycięty został okrągły otwór. Budka znajduje się na gałęzi.

Karmnik dla ptaków ma mieć kształt czworościanu foremnego o krawędzi długości $80 cm$ . Aby go precyzyjnie wykonać, trzeba znać miary kątów pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy i kąt nachylenia ścian bocznych do płaszczyzny podstawy. Obliczymy je.

Rozwiązanie:

Ściany boczne są trójkątami równobocznymi o boku długości $80 cm$ . Odcinki zaznaczone na rysunku jako $x$ są wysokościami tych trójkątów.

Zaczniemy od kąta pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi. Wykonamy rysunek pomocniczy. Wprowadzimy dodatkowe oznaczenie:

$x$ - wysokość ścian bocznych,

$α$ - kąt pomiędzy dwoma sąsiednimi ścianami.

RAZlhKK3YuyyN

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie trójkąta A B C, długość krawędzi AB wynosi 80 centymetrów. Wierzchołek górny ostrosłupa podpisano literą S. W ścianie bocznej A B S zaznaczono wysokość, opuszczoną z wierzchołka A na krawędź BS, spodek tej wysokości podpisano literą D. W ścianie BCS również zaznaczono wysokość opuszczoną z wierzchołka C na krawędź BS, długość tej wysokości ma długość x, a spodek tej wysokości to punkt D. Kąt ADC podpisano literą alfa.

Ściany boczne są trójkątami równobocznymi o boku długości $80 cm$ . Odcinki zaznaczone na rysunku jako $x$ są wysokościami tych trójkątów.

$x = \frac{80 \sqrt{3}}{2} = 40 \sqrt{3}$

Aby obliczyć miarę kąta $α$ , wykorzystamy twierdzenie cosinusów:

$80^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 x^{2} \cos α$

$6400 = 4800 + 4800 - 9600 \cos α$

$\cos α = \frac{1}{3}$

$α \approx 70 °$

Obliczymy teraz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

R14r11ftFgVhc

$β$ - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy,

$r$ - promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny.

$r = \frac{80 \sqrt{3}}{6} = \frac{40 \sqrt{3}}{3}$

$x$ - wysokość trójkąta równobocznego

$x = \frac{80 \sqrt{3}}{2} = 40 \sqrt{3}$

$\cos β = \frac{r}{x}$

$\cos β = \frac{\frac{40 \sqrt{3}}{3}}{40 \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$

$β \approx 70 °$

Policzymy miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

RYl8CwEk7wpXj

$γ$ - kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy,

$R$ - promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym.

$R = \frac{80 \sqrt{3}}{3}$

$cosγ = \frac{\frac{80 \sqrt{3}}{3}}{80} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$γ \approx 55^{\circ}$

Przykład 8

Pan Marek wybudował drewnianą altanę w kształcie ostrosłupa prawidłowegoostrosłup prawidłowyostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podłogi $4 m$ . Kąt nachylenia krawędzi bocznych do płaszczyzny podstawy wynosi $45 °$ . Postanowił zabudować $3$ ściany boczne deskami o grubości $2, 5 cm$ . Metr sześcienny deski kosztuje $700 zł$ . Obliczymy koszt desek potrzebnych na obicie altanki oraz jej kubaturę.

R1F7oK1h6EK0c

Grafika przedstawia altanę wykonaną z drewna, w kształcie ostrosłupa o podstawie kwadratu. Jedna ze ścian bocznych oraz podstawa zostały usunięte. Zatem z drewna wykonane zostały 3 ściany boczne.

Rozwiązanie:

Wykonamy rysunek pomocniczy. Niech $H$ oznacza długość wysokości ostrosłupa.

W podstawie mamy kwadrat o krawędzi długości $4 m$ , więc jego przekątna ma długość $4 \sqrt{2} m$ .

R1YrGLD4k71vT

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta A B C D, krawędź AB ma długość 4 metry, krawędź BC ma również długość 4 metry. W podstawie zaznaczono przekątną AC, która ma długość 42. Kąt pomiędzy przekątną AC i krawędzią boczną CS ma wartość 45 stopni. W ostrosłupie z wierzchołka górnego S opuszczono wysokość, której spodek O leży na przekątnej AC.

Trójkąt $S O C$ jest prostokątny równoramienny. $|O C| = 2 \sqrt{2}$ . Zatem również $H = 2 \sqrt{2}$ , stąd krawędzie boczne ostrosłupa mają długość $4 m$ a ściany boczne są trójkątami równobocznymi.

Obliczymy pole jednej zabudowanej ściany bocznej:

$P_{b ś} = \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} \approx 6, 93 m^{2}$

Jeśli pole ściany bocznej pomnożymy przez grubość deski, to otrzymamy ilość metrów sześciennych desek potrzebnych na jej obudowanie:

$2, 5 cm = 0, 025 m$

$6, 93 m^{2} \cdot 0, 025 m \approx 0, 17 m^{3}$

Mamy trzy ściany, więc potrzebujemy: $0, 17 m^{3} \cdot 3 = 0, 51 m^{3}$ desek.

Policzymy koszt desek:

$700 \cdot 0, 51 \approx 357 [zł]$ .

Obliczymy na koniec kubaturę altany (objętość ostrosłupa): $V = \frac{1}{3} P_{p} H = \frac{1}{3} \cdot 4^{2} \cdot 2 \sqrt{2} = \frac{32 \sqrt{2}}{3} \approx 15, 08 [m^{3}]$

Odpowiedź: Koszt obudowy $3$ ścian altanki potrzeba $357 zł$ . Kubatura altanki wynosi $15, 08 m^{3}$ .

Animacje multimedialne

Zastanów się jaki kształt ma zwykle klin używany m.in. do blokowania drzwi i sztabka złota. Zapoznaj się z treścią filmu, aby uzyskać odpowiedź.

RsPRveteQSZxg

Polecenie 1

Sprawdź, czy sztabka złota, która pojawia się w filmie zmieści się w niewielkim sejfie w kształcie prostopadłościanu o krawędziach podstawy $11 cm$ i $4 cm$ oraz pojemności $242 {cm}^{3}$ .

Zapoznaj się z treścią animacji 3D, a następnie wykonaj polenienia pod nią.

RcxWPvjnC2aaa

Polecenie 2

Na podstawie animacji 3D wyznacz wzór na objętość graniastosłupa pochyłego o podstawie trójkąta równobocznego o krawędzi podstawy $a$ , jeżeli krawędź boczna ma długość $b$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ .

Przypomnij sobie od czego zależy objętość graniastosłupa prostego. Zastanów się, czy dla graniastosłupa pochyłego wzór będzie miał taką samą postać.

V = \frac{a^{2} b \sqrt{3}}{4} \sin α

Wpływ na objętość graniastosłupa prostego ma pole jego podstawy oraz wysokość, która w graniastosłupie prostym jest tożsama z długością krawędzi ściany bocznej graniastosłupa. W graniastosłupie pochyłym wysokość jest różna od długości krawędzi bocznej, dlatego obliczając objętość takiej bryły należy uwzględnić kąt nachylenia tej krawędzi do płaszczyzny podstawy.

Polecenie 3

Odpowiedz na pytania dotyczące graniastosłupa o podstawie rombu, który pojawia się w animacji 3D:

Dany jest graniastosłup prosty o podstawie rombu o boku długości 26 centymetrów. Dłuższa przekątna graniastosłupa o długości 60 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem alfa. Przy czym $\sin (α) = 0, 6$ . Odpowiedz na następujące pytania:

a) Ile wynosi cosinus kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa, a krawędzią boczną?

b) Ile wynosi cosinus kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa, a krawędzią podstawy?

a) $0, 6$ ;

b) $\frac{13}{30}$ .

Zapoznaj się z treścią filmu edukacyjnego. Zwróć uwagę na to, na którym etapie obliczeń stosuje się wielkości przybliżone.

RykVmY92JVFWP

Polecenie 4

Namiot typu tipi ma kształt ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy długości $3 m$ i objętości $13, 5 m^{3}$ . Oblicz długość krawędzi bocznych ostrosłupa.

Obliczmy pole podstawy naszego ostrosłupa.

$P_{p} = \frac{6 \cdot 3^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{6 \cdot 9 \sqrt{3}}{4} = 13, 5 \sqrt{3} m^{2}$

Wiemy, że $V = 13, 5 m^{3}$ .

Zatem wysokość ostrosłupa $(H)$ ma długość:

$13, 5 = \frac{1}{3} \cdot 13, 5 \sqrt{3} \cdot H | : 13, 5$

$1 = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot H$

$H = \sqrt{3}$

RPK1ngtBMk31l

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt foremny o wierzchołkach A B C D E F, krawędź podstawy ma długość trzy. Wierzchołek górny ostrosłupa podpisano literą S, spodek wysokości H opuszczonej z tego wierzchołka na podstawę podpisano literą O. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt prostokątny COS.

Trójkąt $S O C$ jest prostokątny. Obliczmy długość krawędzi bocznej $S C$ , wykorzystując twierdzenie Pitagorasa.

${\sqrt{3}}^{2} + 3^{2} = {|S C|}^{2}$

$|S C| = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

Zatem krawędzie boczne mają długości równe $2 \sqrt{3} m$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

R1QNxvHiwukal1

Ćwiczenie 1

R8ANiNtEzJKbw1

Ćwiczenie 2

Rj2m5dpJAQTkO21

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Firma “FIRE” produkująca świece ozdobne kupiła pewną ilość wosku. Będzie sprzedawać świece w cenie $6 zł$ za sztukę. Który model świec w kształcie graniastosłupa prawidłowego powinna wybrać, aby przychód ze sprzedaży świec był największy?

ReFWSPuGQ8C9y

R1QJCrMLZppRh

Zastanawiamy się, których świec firma będzie mogła wyprodukować najwięcej.

Obliczamy objętość wosku potrzebną do wyprodukowania każdego rodzaju świecy:

$V_{A} = \frac{6 \sqrt{3}}{4} \cdot 8 = 12 \sqrt{3} \approx 20, 78 [c m^{3}]$

$V_{B} = 4 \cdot 6 = 24 [{c m}^{3}]$

$V_{C} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \cdot 7 = 15, 75 \sqrt{3} \approx 27, 28 [c m^{3}]$

Mamy $V_{A} < V_{B} < V_{C}$ .

Najwięcej można wyprodukować świec zaprezentowanych w podpunkcie $A$ .

Ćwiczenie 5

Zosia chce wykonać pudełko z wiekiem w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy i wysokości równej $18 cm$ z siatki, której szkic znajduje się poniżej.

RXraqiv1KCO1E

Ilustracja przedstawia siatkę graniastosłupa składającą się z trzech kwadratów ułożonych obok siebie. Do górnej oraz dolnej krawędzi drugiego kwadratu przylega trójkąt. Do górnej krawędzi pierwszego kwadratu przylega mały trapez, będący zakładką, do górnej oraz prawej krawędzi trzeciego kwadratu przylega trapez również będący zakładką.

Dodatkowo Zosia chce, aby odcinek o długości równej sumie trzech boków kwadratu był równoległy do krawędzi kartki. Zosia uwzględnia trzy zakładki w kształcie trapezu równoramiennego o podstawach $18 cm$ i $16 cm$ i wysokości $1 cm$ . Rozważa zakup jednego z poniższych formatów papieru:

A2: $420 mm \times 594 mm$ ;
B2: $500 mm \times 707 mm$ ;
C2: $458 mm \times 648 mm$ .

Doradź Zosi, który arkusz powinna kupić.

Długość siatki graniastosłupa wraz z zakładką wynosi $55 cm$ , czyli długość każdego z formatów papieru jest wystarczająca.

Sprawdźmy, czy szerokość również jest wystarczająca.

Szerokość siatki to suma długości krawędzi bocznej i dwóch wysokości trójkąta równobocznego, czyli

$18 + 2 \cdot \frac{18 \sqrt{3}}{2} = 18 + 18 \sqrt{3} \approx 49, 14 [c m]$

A zatem zarówno arkusz A2, jak i C2 będzie za wąski na wykonanie tego modelu.

Rm3yOWnctj9W22

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZyJaaJk2qC0O2

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Karnisz składa się z trzech elementów. Dwa elementy są jednakowe i każdy z nich ma kształt stożka o średnicy podstawy $120 mm$ i wysokości $8 cm$ . Trzeci element ma kształt walca o wysokości $2 m$ i średnicy podstawy $60 mm$ . Oblicz, ile ${cm}^{3}$ aluminium zużyto na wykonanie karnisza. Przyjmij $π = 3, 14$ .

R19v55vDA5x0U1

Rysunek karnisza składającego się z dwóch jednakowych stożków połączonych walcem. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1aq1p0WXBYms

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Powierzchnia boczna elementu składającego się ze stożka i walca (jak na rysunku) jest równa $135 π$ . Promień podstawy walca jest równy $5$ , a tworząca stożka $13$ . Oblicz objętość elementu.

R1QHlCD9Pc07v1

Rysunek walca i umieszczonego na nim stożka o tej samej podstawie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1WfbidbUAPaA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Trampolina ogrodowa ma kształt graniastosłupa prawidłowego ośmiokątnego. Wysokość siatki wynosi $240 cm$ , a najdłuższa przekątna podstawy ma długość $320 cm$ . Ile zapłacimy za zakup nowej siatki zewnętrznej na tę trampolinę, jeżeli metr bieżący siatki o wysokości $240 cm$ kosztuje $20 zł$ ?

R1XfG9LHNDQtk

Ilustracja przedstawia trampolinę, która została zabezpieczona siatką rozpostartą na prętach. Wysokość pręta mierzona od płaszczyzny trampoliny ma długość 240 centymetrów. Średnica całej trampoliny wraz z usztywnieniem mierzona między najbardziej odległymi prętami wynosi 320 centymetrów.

Najdłuższa przekątna ośmiokąta foremnego jest średnicą okręgu opisanego na tym ośmiokącie.

RrTaPPUPT4ozl

Ilustracja przedstawia sześciokąt foremny wpisany w okrąg. Krawędź tego sześciokąta podpisano literą a. W sześciokącie zaznaczono jego środek, który połączono z sąsiadującymi wierzchołkami sześciokąta. Odcinki te mają długość 160 centymetrów a kąt między nimi wynosi 45 stopni.

Obliczymy $a$ korzystając z twierdzenia cosinusów:

$a^{2} = 160^{2} + 160^{2} - 2 \cdot 160^{2} \cdot \cos 45 °$

Czyli $a^{2} = 51200 - 51200 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ , a stąd $a^{2} = 51200 - 25600 \sqrt{2} \approx 14996$ . A zatem $a \approx 122, 5 [c m]$ .

Ponieważ cena podana jest za metr bieżący, to wystarczy policzyć sumę wszystkich krawędzi podstawy: $8 a = 8 \cdot 122, 5 c m = 980 c m = 9, 8 m$ .

Będzie trzeba zapłacić $20 \cdot 9, 8 = 196 [z ł]$ .

Ćwiczenie 11

Pan Kowalski ma namiot bez podłogi w kształcie graniastosłupa prostego pięciokątnego o wymiarach jak na rysunku. Wejście namiotu jest zamykane rozwijaną plandeką. Pan Kowalski chciałby go umyć w myjni PCV. Koszt mycia to $2 zł$ za $m^{2}$ , przy czym pole mytej powierzchni przybliża się z nadmiarem do pełnych metrów kwadratowych. Do powierzchni namiotu dodajemy $5 %$ na zakładki i falbanki. Ile pan Nowak zapłaci za mycie namiotu?

RE6OBO60uOj6F

Ilustracja przedstawia namiot o kształcie prostopadłościanu, który został przykryty trójkątnym dachem. Długość tego namiotu ma 6 metrów, jego szerokość ma 2,4 metra. Wysokość od podłoża do dachu ma 2 metry, a wysokość razem z dachem liczona od podłoża do kalenicy ma 2,9 metra.

Najpierw obliczymy długość dwóch pozostałych krawędzi pięciokąta, który jest podstawą tego graniastosłupa korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$1, 2^{2} + 0, 9^{2} = b^{2}$

Czyli $b = 1, 5 m$ .

Obliczmy sumę pól ścian, które są prostokątami:

$P = 6 \cdot (2 \cdot 2 + 2 \cdot 1, 5) = 42 [m^{2}]$

Obliczmy pole podstawy (można podzielić ją na prostokąt i trójkąt równoramienny):

$P_{p} = 2, 4 \cdot 2 + \frac{2, 4 \cdot 0, 9}{2} = 5, 88 [m^{2}]$

A zatem $P_{n} = 42 + 2 \cdot 5, 88 = 53, 76 [m^{2}]$ .

Doliczając $5 %$ na zakładki i falbanki mamy: $56, 448 m^{2} \approx 57 m^{2}$ .

Pan Kowalski zapłaci $57 \cdot 2 = 114 [z ł]$ .

Ćwiczenie 12

Jaką powierzchnię ma szkło potrzebne do wyprodukowania świecznika w kształcie graniastosłupa prawidłowego pięciokątnego o krawędzi podstawy $10 cm$ i wysokości $6, 5 cm$ , jak na rysunku?

R1D7YbOWTjfnk

Ilustracja przedstawia szklany świecznik wewnątrz którego znajduje się świeczka. Świecznik ma kształt graniastosłupa, jego podstawą jest pięciokąt o krawędzi 10 centymetrów. Krawędź boczna tego graniastosłupa ma długość 6,5 centymetra.

Największą trudnością w tym zadaniu jest wyznaczenie pola podstawy. Dla wielokąta foremnego możemy wykorzystać wzór:

$P = n \cdot \frac{R^{2} \cdot \sin α}{2}$

gdzie:
$n$ – jest liczbą boków,
$R$ – promieniem okręgu opisanego na tym wielokącie,
$α$ – kątem środkowym wyznaczonym przez odcinki łączące sąsiednie wierzchołki wielokąta ze środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie.

RqTEooGwVVOEG

Ilustracja przedstawia pięciokąt wpisany w krąg. Krawędź pięciokąta ma długość 10. W pięciokącie zaznaczono jego środek z którego poprowadzono odcinki do wierzchołków pięciokąta, odcinki te podpisano literą R, kąt między tymi odcinkami wynosi 72 stopnie.

Obliczymy $R$ z twierdzenia cosinusów. Posłużymy się przybliżoną wartością $\cos 72 °$ odczytaną z tablic trygonometrycznych.

$10^{2} = R^{2} + R^{2} - 2 \cdot R^{2} \cdot \cos 72 °$

Czyli $100 = 2 \cdot R^{2} - 0, 618 \cdot R^{2}$ , a stąd $1, 382 \cdot R^{2} = 100$ .

Mamy więc $R^{2} \approx 72, 36$ .

Pole podstawy wynosi więc w przybliżeniu

$P_{p} = 5 \cdot \frac{72, 36 \cdot \sin 72^{\circ}}{2} \approx 172, 05 [{c m}^{2}]$

Powierzchnia szkła wynosi $P = 172, 05 + 5 \cdot 10 \cdot 6, 5 = 497, 05 [{c m}^{2}]$ .

Ćwiczenie 13

RzXPh98MZeWIN1

Zdjęcie przedstawia szklaną piramidę w Luwrze. — Źródło: pixabay.com, *Luwr*, dostępny w internecie: www.pixabay.com, licencja: CC 0 1.0.

Piramida Luwru to konstrukcja ze stali i szkła, znajdująca się na dziedzińcu Luwru w Paryżu. Ma $21, 65 m$ wysokości, a bok podstawy ma $35, 42 m$ . W piramidzie znajdują się $603$ tafle szklane o kształcie rombu i $70$ tafli trójkątnych, co daje łącznie $673$ elementy. Nachylenie ścian wynosi $51 °$ (wzorem proporcji była piramida Cheopsa, której nachylenie wynosi $51 ° 50^{'}$ ). Cała konstrukcja waży $180$ ton. Polski biznesmen postanowił stworzyć bryłę, której pole powierzchni będzie $64$ krotnie mniejsze od Piramidy Luwru, ale będzie stworzona z bursztynu (ściany grubości $20 cm$ ). Ile potrzebowałby materiału na realizację swojego pomysłu?

RZuZdtFjoqRTE

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest czworokąt A B C D. Bok tego czworokąta wynosi 35,42, górny wierzchołek ostrosłupa podpisano literą S. Spodek wysokości opuszczonej z tego wierzchołka podpisano literą O. Wysokość ma długość 21,65. W ścianie BCS zaznaczono jej wysokość, spodek tej wysokości leżący na krawędzi BC podpisano literą E, a wysokość podpisano literą h. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej BCS, a przyprostokątnymi wysokość ostrosłupa SO oraz odcinek OE o długości 17,71. Kąt OES ma miarę 51 stopni.

Niech $h$ – wysokość ściany bocznej. Mamy więc:

$\frac{21, 65}{h} = \sin 51 °$

$h \approx 27, 86 m$

$P_{b} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 35, 42 \cdot 27, 86 \approx 1973, 6 m^{2}$

$P_{p} \approx 1254, 6 m^{2}$

$P_{c} \approx 3228, 2 m^{2}$

$3228, 2 : 64 \approx 50, 44 m^{2}$

Grubość ścian z bursztynu ma wynosić $20 cm = 0, 2 m$ .

$50, 44 \cdot 0, 2 \approx 10, 09 m^{3}$

Zatem potrzeba około $10$ metrów sześciennych bursztynu na stworzenie bursztynowej piramidy.

Treść do ćwiczeń 10‑12

Rui0js3b4Md5g

Zdjęcie przedstawia budowlę sakralną wykonaną z kamienia, której zwieńczenie ma kształt ostrosłupa. Budowla znajduje się w lesie. — Piramida w Rapie
Źródło: dostępny w internecie: www.wikipedia.org, domena publiczna.

W $1811$ roku w mazurskiej wsi Rapa wybudowano grobowiec, którego kształt przypomina egipskie piramidy. Podstawa zbudowana jest z kamienia polnego, na planie kwadratu. Zewnętrzne wymiary piramidy wynoszą: wysokość – $15, 9 m$ , długość boku podstawy – $10, 4 m$ .

R44OvEux7csrI1

Ćwiczenie 14

RNbnVBeEBdWrt1

Ćwiczenie 15

RoGSlW6z4wONp2

Ćwiczenie 16

Ćwiczenie 17

Pan Adam potrzebuje pokryć połać dachu gontem bitumicznym. Kształt dachu przypomina ostrosłup ścięty o krawędziach bocznych równej długości, przedstawiony na rysunku.

ROEOHAtvwYzkh

Ilustracja przedstawia ostrosłup ścięty, którego podstawą jest czworokąt o bokach 12 metrów i 8 metrów. Długość przekroju równoległego do podstawy, który powstał z odcięcia wierzchołka jest równa 3 metry. W bryle zaznaczono trapez, powstały z wysokości H o długości 6 metrów, której spodek leży w punkcie przecięcia przekątnych, wysokości jednej ze ścian bocznych, oraz odcinków łączących te wysokości w płaszczyźnie podstawy oraz w płaszczyźnie przekroju górnego.

R19wZb7TxKEh5

R1cIMN1vP5SiE2

Ćwiczenie 18

Rwryf7G28vEx02

Ćwiczenie 19

RGVENf6Vcp2bw2

Ćwiczenie 20

Ćwiczenie 21

Walec i stożek mają równe promienie podstawy $r$ i wysokości $H$ . Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola powierzchni bocznej stożka.

Zwróć uwagę na to, że pole boczne walca będzie miało kształt prostokąta o wysokości $H$ i podstawie równej długości okręgu o promieniu $r$ . Aby obliczyć pole powierzchni bocznej stożka, należy obliczyć długość tworzącej tego stożka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

$\frac{P_{b w}}{P_{b s}} = \frac{2 π r H}{π r \sqrt{r^{2} + H^{2}}} = \frac{2 H \sqrt{r^{2} + H^{2}}}{r^{2} + H^{2}}$ .

Słownik

graniastosłup prosty

graniastosłup, którego wszystkie ściany boczne są prostokątami

graniastosłup prawidłowy

graniastosłup prosty, w którego podstawie jest wielokąt foremny

wysokość graniastosłupa

odcinek, którego długość jest równa odległości między płaszczyznami różnych podstaw graniastosłupa

prostopadłościan

graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami

ostrosłup prawidłowy

ostrosłup prosty, w którym podstawa jest wielokątem foremnym

ostrosłup prosty

ostrosłup, w którym spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na podstawie. Krawędzie boczne ostrosłupa prostego są tej samej długości

kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa

kąt pomiędzy ramionami trójkąta równoramiennego będącego jego ścianą boczną

2. Objętości brył

4*. Wiedza z plusem: Bryły platońskie