4*. Wiedza z plusem: Bryły platońskie - Pola powierzchni i objętości brył

RUuR6qXpfQwFG

4* Wiedza z plusem: Bryły platońskie

RWyGnA0O5BktF1

Ilustracja przedstawia popiersie mężczyzny z brodą bez ubrania. Rzeźba przedstawia osobę Platona. — Platon
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Niewiele osób wie, że Platon znany głównie jako grecki filozof, był też znakomitym matematykiem. Prawdopodobnie urodził się w $427$ r. p.n.e. w Atenach, a zmarł w $347$ r. p.n.e. Był uczniem Sokratesa przez $8$ lat. Później opuścił Ateny, by po $12$ latach podróżowania wraz z innymi uczniami Sokratesa powrócić i założyć Akademię Ateńską w gaju Akademosa. Na bramie szkoły widniał napis: „Kto nie zna geometrii, niech tu nie wchodzi”.

Platon uważał, że materię tworzą idealne całostki, które są figurami geometrycznymi. Najprostszą figurą jest trójkąt i to on tworzy materię. Trójkąty są także elementami ścian brył wielościanów. Z trójkątów równobocznych można utworzyć trzy bryły idealne – czworościan, ośmiościan, dwudziestościan, zaś dwa trójkąty złożone w kwadrat utworzą ścianę sześcianu. Platon uważał, że bryły te odpowiadają czterem żywiołom: ogniowi, powietrzu, wodzie, ziemi. Piątym wielościanem foremnym jest dwunastościan, którego ścianami są pięciokąty foremne, symbolizujący według matematyka zespolenie wszystkich elementów.

W tym materiale dowiesz się, co to są bryły platońskie.

Twoje cele

Poznasz własności brył platońskich.
Poznasz ich cechy i charakterystykę.
Rozwiążesz zadania dotyczące brył platońskich.

Bryły platońskie

Bryły platońskie (wielościanywielościanwielościany foremne) to bryły, których wszystkie ściany są przystającymi wielokątamifigury przystająceprzystającymi wielokątami foremnymi i w których z każdego wierzchołka wychodzi tyle samo krawędzi.

Z trójkątów równobocznych złożyć można trzy bryły idealne:

tetraedr (czworościan foremny),
oktaedr (ośmiościan foremny),
ikosaedr (dwudziestościan foremny).

Czwartą bryłę reprezentuje heksaedr (sześcian), którego każda ściana da się podzielić na dwa trójkąty, jest więc też zbudowany z trójkątów.

Istnieje wreszcie piąta bryła foremna - dodekaedr, zbudowana z $12$ pięciokątów regularnych, którą Platon uznał za zespolenie całości, bryłę łączącą wszystkie elementy.

R10gvnVb94U7c

Dlaczego tylko pięć brył?

Pitagoras udowodnił, że płaszczyzna dookoła punktu może być zapełniona jednolicie tylko trzema rodzajami wielokątów foremnych: trójkątami, kwadratami albo pięciokątami. Żeby powstało naroże, potrzebne są co najmniej trzy ściany a suma kątów płaskich w wierzchołku musi być mniejsza od kąta pełnego. Wszystkie ściany w przypadku brył platońskich są jednakowe. Zatem jeśli wielokąty foremne tego samego rodzaju mają utworzyć naroże, to takich kombinacji jest właśnie pięć.

Omówmy po kolei wszystkie bryły.

Czworościan foremny

Czworościan foremny to taki ostrosłup, który ma w podstawie oraz ścianach bocznych trójkąty równoboczne.

R1AIDKTIegink

Wzory:

Wzór na pole powierzchni czworościanu foremnego
$P_{c} = a^{2} \sqrt{3}$
Wzór na objętość czworościanu foremnego
$V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$
Wzór na wysokość czworościanu foremnego:
$H = \frac{a \sqrt{6}}{3}$
Wzór na wysokość ściany bocznej czworościanu foremnego
$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Sześcian

Sześcian to graniastosłup, który ma sześć ścian będących przystającymi kwadratami.

RQRParYsMYZFu

Wzory:

Wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu
$P_{c} = 6 a^{2}$
Wzór na objętość sześcianu
$V = a^{3}$

Ośmiościan foremny

Ośmiościan foremny ma osiem ścian będących trójkątami równobocznymi.

R1ZZ4RZ5GX42d

Wzory:

Wzór na pole powierzchni całkowitej
$P_{C} = 2 a^{2} \sqrt{3}$
Wzór na objętość
$V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

Dwunastościan foremny

Dwunastościan foremny ma dwanaście ścian będących pięciokątami foremnymi.

R1DtU4C5TUE2z

Siatka dwunastościanu foremnego

RHzzHnpAaTmHV

Ilustracja przedstawia siatkę dwunastościanu foremnego. Siatka ta składa się z dwunastu identycznych pięciokątów foremnych. Pięciokąty ułożone są w następujący sposób, do każdego boku jednego z pięciokątów przylega swoim bokiem pięciokąt, tworząc kształt przypominający pięciolistny kwiat. Siatka dwunastościanu składa się z dwóch takich układów, które są połączone ze sobą jedną ze ścian pięciokąta.

Wzory:

Wzór na pole powierzchni całkowitej
$P_{c} = 3 a^{2} \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}$
Wzór na objętość
$V = \frac{a^{3}}{4} (15 + 7 \sqrt{5})$

Dwudziestościan foremny

Dwudziestościan foremny ma dwadzieścia ścian będących trójkątami równobocznymi.

R1ObGpi0P0aEn

Siatka dwudziestościanu foremnego

Rj2Y7LxDxB1Xt

Ilustracja przedstawia siatkę dwudziestościanu foremnego. Siatka ta składa się z dwudziestu identycznych trójkątów foremnych. Trójkąty ułożone są w 3 rzędy w taki sposób, że do podstaw pięciu trójkątów z pierwszego rzędu przylega po soją podstawą po jednym trójkącie z drugiego rzędu, pomiędzy tymi trójkątami ułożone zostały trójkąty obrócone o 180 stopni, zatem w drugim rzędzie znajduje się 10 trójkątów, w trzecim rzędzie znajduje się 5 trójkątów, które swoimi podstawami przylegają do podstaw pięciu trójkątów z drugiego rzędu.

Wzory:

Wzór na pole powierzchni całkowitej
$P_{C} = 5 a^{2} \sqrt{3}$
Wzór na objętość
$V = \frac{5}{12} a^{3} (3 + \sqrt{5})$

Zatem wzór Eulera zachodzi dla każdej bryły platońskiej.

Przykład 1

Pole powierzchni dwunastościanu foremnego jest równe $15 + 6 \sqrt{5}$ . Obliczmy sumę długości wszystkich krawędzi tego wielościanu.

Rozwiązanie

$3 a^{2} \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}} = 15 + 6 \sqrt{5}$

$a^{2} \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}} = 5 + 2 \sqrt{5}$

$a^{2} = \frac{5 + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}}$

$a^{2} = \frac{5 + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}} \cdot \frac{\sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}}{\sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}}$

$a^{2} = \frac{(5 + 2 \sqrt{5}) \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}}{25 + 10 \sqrt{5}} = \frac{(5 + 2 \sqrt{5}) \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}}{5 (5 + 2 \sqrt{5})}$

$a^{2} = \frac{\sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}}{5} = \sqrt{\frac{5 + 2 \sqrt{5}}{5}}$

$a = \sqrt[4]{\frac{5 + 2 \sqrt{5}}{5}}$

Suma długości krawędzi wynosi więc:

$30 \cdot \sqrt[4]{\frac{5 + 2 \sqrt{5}}{5}}$ .

Przykład 2

Stosunek długości krawędzi dwudziestościanu foremnego do długości krawędzi dwunastościanu foremnego jest równy $2 \sqrt[3]{3}$ . Obliczmy, który z wielościanów ma większą objętość?

Rozwiązanie

Niech $x$ – długość krawędzi dwudziestościanu foremnego, $y$ – długość krawędzi dwunastościanu foremnego.

Wówczas $\frac{x}{y} = 2 \sqrt[3]{3}$ , czyli $x = 2 y \sqrt[3]{3}$ .

Zatem objętość dwudziestościanu foremnego wynosi:

$\frac{5}{12} {(2 y \sqrt[3]{3})}^{3} (3 + \sqrt{5}) = \frac{5}{12} \cdot 24 y^{3} (3 + \sqrt{5}) = 10 y^{3} (3 + \sqrt{5})$ .

Dwunastościan foremny ma objętość równą:

$\frac{y^{3}}{4} (15 + 7 \sqrt{5})$ .

Porównajmy te dwie objętości:

$10 y^{3} (3 + \sqrt{5}) = y^{3} (30 + 10 \sqrt{5})$

$\frac{y^{3}}{4} (15 + 7 \sqrt{5}) = y^{3} (\frac{15}{4} + \frac{7 \sqrt{5}}{4})$

$30 + 10 \sqrt{5} > \frac{15}{4} + \frac{7 \sqrt{5}}{4}$ .

Objętość dwudziestościanu foremnego jest większa od objętości dwunastościanu foremnego.

Przykład 3

Przekątna sześcianu jest o $\sqrt{6}$ dłuższa od przekątnej ściany tego sześcianu. Obliczmy długość krawędzi i objętość sześcianu.

Rozwiązanie

Oznaczmy $a$ jako długość krawędzi sześcianu. Wówczas przekątna ściany ma długość $a \sqrt{2}$ , a przekątna sześcianu - $a \sqrt{3}$ . Powstaje więc równanie:

$a \sqrt{3} = a \sqrt{2} + \sqrt{6}$

$a \sqrt{3} - a \sqrt{2} = \sqrt{6}$

$a (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{6}$

$a = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ .

Usuńmy niewymierność z mianownika:

$a = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{12}}{3 - 2} = 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ .

Obliczmy objętość naszego sześcianu:

$V = {(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}^{3} = 162 \sqrt{2} + 132 \sqrt{3}$ .

Przykład 4

Obliczmy stosunek objętości przedstawionego na rysunku czworościanu foremnego do opisanego na nim sześcianu.

R1RZgK31GIybG

Ilustracja przedstawia sześcian opisany na czworościanie. Krawędzie czworościany stanowią przekątne ścian sześcianu, a wierzchołki czworościanu są w tym samym miejscu co wierzchołki sześcianu.

Rozwiązanie

Oznaczmy jako $a$ długość krawędzi sześcianu. Wówczas długość krawędzi czworościanu ma długość $a \sqrt{2}$ (przekątna ściany sześcianu).

Objętość czworościanu wynosi więc:

$V = \frac{{(a \sqrt{2})}^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{a^{3}}{3}$ .

Objętość sześcianu wynosi $a^{3}$ . Zatem stosunek objętości czworościanu foremnego do opisanego na nim sześcianu wynosi $\frac{1}{3}$ .

Infografika

RQa9GdItpvCat

Ilustracja przedstawia pięć brył. Pierwszą z nich jest ostrosłup o podstawie trójkąta, jest on podpisany czworościan foremny, czyli inaczej
tetraedrem, jego siatka składa się z czterech trójkątów. Pod ilustracją siatki zapisano:
$S = 4$ [trójkąty]
$K = 6$
$W = 4$ .

Drugą figurą jest sześcian, czyli inaczej prostopadłościan foremny, inaczej:
heksaedr jego siatka składa się z sześciu kwadratów. Pod ilustracją siatki zapisano:
$S = 6$ [kwadraty]
$K = 12$
$W = 8$ .

Kolejna figura to ośmiościan foremny, czyli oktaedr, jego siatka składa się z ośmiu trójkątów. Pod ilustracją siatki zapisano:
$S = 8$ [trójkąty]
$K = 12$
$W = 6$ .

Następna figura to dwunastościan foremny, dodekaedr jego siatka składa się z 12 pięciokątów, które wyglądają jak dwa połączone ze sobą pięciolistne kwiaty. Pod ilustracją siatki zapisano:
$S = 12$ [pięciokąty]
$K = 30$
$W = 20$ .

Ostatnią bryłą jest dwudziestościan foremny ikosaedr, jego siatka składa się z 20 trójkątów. Pod ilustracją siatki zapisano:
$S = 20$ [trójkąty]
$K = 30$
$W = 12$ .

Polecenie 1

wzór Eulera

Twierdzenie: wzór Eulera

Niech $W$ oznacza liczbę wierzchołków, $K$ liczbę krawędzi, zaś $S$ liczbę ścian wielościanu. Dla każdego wielościanu wypukłego zachodzi równość

$W + S - K = 2$

Uzupełnij w tabeli dane dotyczące wielościanów foremnych. Sprawdźmy, czy dla każdego z tych wielościanów spełniony jest wzór Eulera: $w + s - k = 2$ .

Wielościan foremny	Liczba ścian	Liczba krawędzi	Liczba wierzchołków
Czworościan
Sześcian
Ośmiościan
Dwunastościan
Dwudziestościan

Sprawdźmy wzór Eulera dla każdej bryły z osobna.

Czworościan: $4 - 6 + 4 = 2$ .

Sześcian: $6 - 12 + 8 = 2$ .

Ośmiościan: $8 - 12 + 6 = 2$ .

Dwunastościan: $12 - 30 + 20 = 2$ .

Dwudziestościan: $20 - 30 + 12 = 2$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RvuZsatKQ7pCq1

Ćwiczenie 1

Rcm0LsRXbIalH1

Ćwiczenie 2

RoCk0pvCFLJuQ2

Ćwiczenie 3

RMTRq87qydXty2

Ćwiczenie 4

R7Mri3GiCkZyY2

Ćwiczenie 5

R1a9Dd3JwpSLQ2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Pole powierzchni czworościanu foremnego jest cztery razy większe od pola powierzchni ośmiościanu foremnego. Oblicz stosunek objętości tych wielościanów.

Niech $a$ będzie długością krawędzi ośmiościanu foremnego. Wówczas jego pole wynosi $2 a^{2} \sqrt{3}$ . Pole czworościanu foremnego jest $4$ razy większe, czyli wynosi $8 a^{2} \sqrt{3}$ . Obliczmy długość jego krawędzi. Oznaczmy ją jako $x$ i ułóżmy równanie:

$x^{2} \sqrt{3} = 8 a^{2} \sqrt{3}$

$x = a \sqrt{8}$

$x = 2 a \sqrt{2}$ .

Obliczmy objętości naszych brył.

Objętość ośmiościanu foremnego:

$V_{1} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$ .

Objętość czworościanu foremnego:

$V_{2} = \frac{{(2 a \sqrt{2})}^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{16 a^{3} \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{12} = \frac{8}{3} a^{3}$ .

Zatem stosunek ich objętości wynosi:

$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8}$

lub

$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 8

Dwa czworościany foremne tej samej wielkości połączono podstawami i w ten sposób otrzymano wielościan o sześciu ścianach. Oblicz objętość bryły, jeśli pole jednego czworościanu wynosi $S \sqrt{6}$ .

Niech $a$ - długość krawędzi czworościanu foremnego.

Wówczas mamy równanie:

$a^{2} \sqrt{3} = S \sqrt{6}$

$a = \sqrt{S \sqrt{2}}$ .

Obliczmy objętość czworościanu:

$V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{{(\sqrt{S \sqrt{2}})}^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{S \sqrt{2} \sqrt{S \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}}{12} = \frac{S \sqrt{S \sqrt{2}}}{6}$ .

Objętość naszego wielościanu jest $2$ razy większa od objętości czworościanu. Wynosi ona więc:

$2 V = \frac{2 s \sqrt{s \sqrt{2}}}{6} = \frac{s \sqrt{s \sqrt{2}}}{3}$ .

Słownik

wielościan

bryła geometryczna ograniczona przez tak zwaną powierzchnię wielościenną, czyli powierzchnię utworzoną z wielokątów o rozłącznych wnętrzach i każdym boku wspólnym dla dwóch wielokątów. Każdy wielościan utworzony jest ze ścian – wielokątów, które razem tworzą powierzchnię wielościanu

figury przystające

wszystkie figury, które mają taką samą liczbą boków o takiej samej długości oraz kąty między tymi bokami mające takie same wartości; figury przystające mają więc takie samo pole powierzchni i idealnie się na siebie nakładają

Rozwiązanie

Wielościan foremny	Liczba ścian	Liczba krawędzi	Liczba wierzchołków
Czworościan	$4$	$6$	$4$
Sześcian	$6$	$12$	$8$
Ośmiościan	$8$	$12$	$6$
Dwunastościan	$12$	$30$	$20$
Dwudziestościan	$20$	$30$	$12$

3. Różne zadania dotyczące pól powierzchni i objętości brył

Pola powierzchni i objętości brył