RUDQNVA2Z7BEM

1. Wprowadzenie do wyrażeń algebraicznych

RTEHB4OK2LF441

Ilustracja przedstawia stronę tytułową. Od góry napis Algebra dla szkół narodowych, pierwszy raz wydano, poniżej nieoprawiona sześć złotych, oprawiona w papier sześć złotych i dziesięć groszy. Niżej rysunek i data wydania tysiąc siedemset osiemdziesiąt dwa. — Polski podręcznik do algebry z 1782 r.
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Wzory geometryczne, wzory algebraiczne, równania, nierówności czy układy równań zapisywane są najczęściej za pomocą wyrażeń algebraicznych. Dobra znajomość pojęć związanych z wyrażeniami algebraicznymi jest więc niezbędna w dalszej nauce matematyki.

W tym materiale przypomnisz sobie te pojęcia i poszerzysz dotychczasowe wiadomości o wyrażeniach algebraicznych.

Twoje cele

Odczytasz i zapiszesz wyrażenie algebraiczne.
Obliczysz wartość liczbową wyrażenia algebraicznego.
Rozpoznasz, utworzysz i uporządkujesz jednomian.

Odczytywanie i zapisywanie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenie algebraiczne

Definicja: Wyrażenie algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to liczby, litery lub liczby i litery połączone znakami działań.

W wyrażeniach algebraicznych mogą występować też nawiasy.

Litery występujące w wyrażeniach algebraicznych nazywamy zmiennymi.

Przykłady wyrażeń algebraicznych:

- 2, x, m^{2} - 6, a b c, (3 x - 2) : 4, \sqrt{k + r}

Wyrażenie algebraicznewyrażenie algebraiczneWyrażenie algebraiczne przyjmuje nazwę od ostatniego działania wykonywanego w tym wyrażeniu.

Przykład 1

Odczytamy podane wyrażenia.

Wyrażenie zapisane symbolicznie	Wyrażenie zapisane słowami
$2 x$	iloczyn liczby $2$ przez $x$
$5 c - 1$	różnica iloczynu liczby $5$ przez $c$ i liczby $1$
$x^{2} + y^{2}$	suma kwadratów liczb $x$ oraz $y$
$3 x^{2} + 2 a$	suma potrojonego kwadratu liczby $x$ i podwojonej liczby $a$
$\sqrt{a^{3}}$	pierwiastek z sześcianu liczby $a$
${(a + b)}^{3}$	sześcian sumy liczb $a$ i $b$
$a^{2} - b^{2}$	różnica kwadratów liczb $a$ i $b$

Przykład 2

Zapiszemy symbolicznie podane wyrażenia.

Wyrażenie zapisane słowami	Zapis symboliczny wyrażenia
różnica liczby $m$ i sześcianu liczby $b$	$m - b^{3}$
iloraz kwadratu liczby $a$ i sześcianu liczby $2$	$a^{2} : 2^{3}$
kwadrat sumy liczb $a$ oraz $b$	${(a + b)}^{2}$

Za pomocą wyrażeń algebraicznych możemy zapisywać rozwiązania zadań tekstowych, w których zamiast liczb występują litery (zmienne).

Przykład 3

O ile procent zwiększy się pole prostokąta o bokach długości $k$ i $b$ , jeśli każdy z jego boków powiększymy o $20 %$ ?

Analiza zadania:

$1,2 k$ oraz $1, 2 b$ – długości boków prostokąta po zwiększeniu,
$k b$ – początkowe pole prostokąta,
$1, 2 k \cdot 1, 2 b$ – pole prostokąta po zwiększeniu długości boków.

Rozwiązanie:

1,2 k \cdot 1,2 b = 1,44 k b

Odpowiedź:

Pole prostokąta zwiększy się o $44 %$ .

Obliczanie wartości liczbowej wyrażeń algebraicznych

Znamy już wzory na obliczanie pól niektórych wielokątów. Jeśli w miejsce zmiennych podstawimy liczby, możemy, korzystając z tych wzorów, obliczyć pole danego wielokąta. Mówimy wtedy, że obliczyliśmy wartość liczbową wyrażenia algebraicznego.

Ważne!

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego, należy w tym wyrażeniu w miejsce liter podstawić dane liczby.

Przykład 4

Obliczymy wartość liczbową wyrażenia $\frac{(x + y) (x - y) - x {(x - 2 y)}^{2}}{2 x + 3 y}$ , jeśli $x = \sqrt{2}$ , $y = - \sqrt{2}$ .

Rozwiązanie:

Do danego wyrażenia w miejsce liter $x$ , $y$ podstawiamy odpowiednio $\sqrt{2}$ oraz $(- \sqrt{2})$ i wykonujemy wskazane działania:

\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{2}) (\sqrt{2} + \sqrt{2}) - \sqrt{2} {(\sqrt{2} + 2 \sqrt{2})}^{2}}{2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}} = \frac{0 - \sqrt{2} {\cdot (3 \sqrt{2})}^{2}}{- \sqrt{2}} = \frac{- 18 \sqrt{2}}{- \sqrt{2}} = 18

Jednomian

Definicja: Jednomian

Jednomian to liczba lub litera, lub iloczyn liter, lub iloczyn liczb i liter.

Przykłady jednomianów:

- 6, 9 x, (- 4) a n^{2}, b k \cdot k x^{6}

Jednomiany takie, jak na przykład $- 2 a \cdot (- 3 a)$ można przedstawić w prostszej postaci, zapisując na początku współczynnik liczbowy. Takie przedstawienie jednomianu nazywamy uporządkowaniem jednomianu.

Jeżeli w jednomianie występują różne zmienne, zapisując jednomianjednomianjednomian w postaci uporządkowanej, zmienne zapisujemy w porządku alfabetycznym.

Czynnik liczbowy występujący na początku uporządkowanego jednomianu, nazywamy współczynnikiem jednomianu.

Przykład 5

Zapiszemy jednomiany w postaci uporządkowanej.

$- 2 a^{2} \cdot 4 a = - 8 a^{3}$

$0,75 x y \cdot x \cdot (- 4) y = - 3 x^{2} y^{2}$

$m a c t = a c m t$

Jednomiany podobne

Definicja: Jednomiany podobne

Jednomiany, które różnią się co najwyżej współczynnikami liczbowymi, nazywamy podobnymi.

Przykład 6

Jednomiany podobne:

$a b$ i $6 a b$

$- \sqrt{2} a m y^{3}$ i $7 a m y^{3}$

Przykład 7

Określimy stopień każdego jednomianu.

$5 x^{3}$ – jednomianjednomianjednomian zmiennej $x$ trzeciego stopnia

$- \sqrt{13} a$ – jednomian zmiennej $a$ pierwszego stopnia

$7$ – jednomian zerowego stopnia

Interaktywny test sprawdzający

Rozwiąż test, a następnie wykonaj poniższe polecenia.

1Zapisywanie wyrażeń algebraicznych i obliczanie ich wartości151560Brawo!Niestety, nie udało się.

Test

Zapisywanie wyrażeń algebraicznych i obliczanie ich wartości

Sprawdzisz:

swoje umiejętoności w zakresie odczytywania i zapisywania wyrażeń algebraicznych,
czy potrafisz obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego,
czy rozpoznajesz, umiesz utworzyć i uporządkować jednomian.

Liczba pytań:

Limit czasu:

15 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Zapisywanie wyrażeń algebraicznych i obliczanie ich wartości

Pytanie 1/5

Twój ostatni wynik -

R16JSS922JSX9

REJR6ULNLHFN8

R1FZGBMPQ32QB

R1A6A15GDBJGP

RS7TXSRFLKK4T

RSTK6RC2CDN2C

R1XN78V546MB3

R7JQ6JPGFBQJJ

R1DCRAMUC623K

R1U58KD3J9MFK

R1CR7SG2B33CB

RNRG4F2ZGCMGS

R181VOLDDC8R8

Polecenie 1

Oblicz wartość liczbową iloczynu sumy kwadratów liczb $x$ i $y$ przez różnicę tych liczb, gdy $x = - 2 \sqrt{3}$ , $y = 3 \sqrt{3}$ .

[{(- 2 \sqrt{3})}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}] (- 2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}) = 39 \cdot (- 5 \sqrt{3}) = - 195 \sqrt{3}

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

pullpage

Pokaż ćwiczenia:

R1SUOH8PFXFZ91

Ćwiczenie 1

R192ZO4JPHUTG1

Ćwiczenie 2

ROKHGXTBGHTGU2

Ćwiczenie 3

RDZ5Z3TCXH1NP2

Ćwiczenie 4

R1VKJTXC4BSQH

R1B5UZC47OSNE2

Ćwiczenie 5

RMHSTOHBBR17K

RADSO7KNP3ZX82

Ćwiczenie 6

R1M5JOOHT3KKJ3

Ćwiczenie 7

RQZBM9OB3URTF

Ćwiczenie 8

Średnią kwadratową $n$ liczb rzeczywistych $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ nazywamy liczbę:

K = \sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}{n}}

Oblicz średnią kwadratową liczb $2$ , $4$ , $4$ , $8$ .

Przyjmij, że:

a_{1} = 2, a_{2} = 4, a_{3} = 4, a_{4} = 8.

Pamiętaj też, że zmienna $n$ oznacza ilość liczb.

$K = \sqrt{\frac{2^{2} + 4^{2} + 4^{2} + 8^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{100}{4}} = 5$

Słownik

wyrażenie algebraiczne

liczby, litery lub liczby i litery połączone znakami działań; w wyrażeniach algebraicznych mogą występować też nawiasy

jednomian

liczba lub litera, lub iloczyn liter, lub iloczyn liczb i liter

2. Działania na wyrażeniach algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne

1. Wprowadzenie do wyrażeń algebraicznych

Odczytywanie i zapisywanie wyrażeń algebraicznych

Obliczanie wartości liczbowej wyrażeń algebraicznych

Jednomian

Interaktywny test sprawdzający

Zapisywanie wyrażeń algebraicznych i obliczanie ich wartości

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik