ROC5SAV7UOT58

2. Działania na wyrażeniach algebraicznych

RDHF28TG79STF1

Na ilustracji znajduje się portret mężczyzny ubranego w szatę z żabotem przy szyi. Mężczyzna pozuje lewym profilem, ma dużo lokowanych włosów oraz dosyć dużą brodę i długie wąsy. — François Viète
Źródło: domena publiczna.

Na pewno wiesz, że to francuski matematyk i astronom François Viète (1540‑1603) jako pierwszy wprowadził oznaczenia literowe dla niewiadomych i współczynników. Ale czy wiesz, że to Viète podczas wojny francusko – hiszpańskiej, posługując się wyrażeniami algebraicznymi, znalazł klucz do szyfru używanego przez Hiszpanów? Królowi Hiszpanii wydawało się niemożliwe, że jeden człowiek potrafi złamać szyfr, który zbudowany był z około 500 symboli. Wniósł więc skargę do papieża o używanie przez Francuzów czarnej magii.

Dziś wyrażania algebraiczne są używane powszechnie – do zapisywania wzorów, równań, a nawet oznaczeń na metkach ubrań. Ważna jest zatem umiejętność operowania wyrażeniami algebraicznymi – przekształcanie ich i sprowadzanie do najprostszej postaci. A w szczególności dodawania i odejmowania.

Twoje cele

Zapiszesz w prostszej postaci wyrażania zawierające sumy i różnice algebraiczne.
Rozwiniesz i utrwalisz umiejętności związane z mnożeniem wyrażeń algebraicznych.
Sprowadzisz do najprostszej postaci wyrażenia algebraiczne zawierające iloczyny i sumy algebraiczne.
Wykorzystasz wyrażania algebraiczne do dowodzenia twierdzeń.

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne to liczby, litery lub liczby i litery połączone znakami działań. W wyrażeniach algebraicznych mogą występować też nawiasy.

Przykłady wyrażań algebraicznych
Zapis symboliczny	Nazwa
$x + 6 y$	Suma
$7 x - 3 x y$	Różnica
$a b c$	Iloczyn
$(a ‑ b) : (c + d)$	Iloraz

Jednomian to liczba lub litera, lub iloczyn liter, lub iloczyn liczb i liter.

Przykłady jednomianów
$5 x$ ; $- c d e$ ; $0, 2 x^{3} y$ ; $6$ ; $a b c \cdot 3 a$

Jednomian staramy się zapisać w postaci uporządkowanej – najpierw zapisujemy współczynnik liczbowy, następnie zmienne w porządku alfabetycznym.

Przykłady jednomianów w postaci uporządkowanej
Jednomian	Współczynnik liczbowy
$j k$	$1$
$9 a^{3} x$	$9$
$- m$	$- 1$
$\frac{3}{4} a b c^{5} d^{7}$	$\frac{3}{4}$

Jednomiany, które różnią się co najwyżej współczynnikiem liczbowym, nazywamy podobnymi. Jednomiany podobne składają się z tych samych zmiennych, występujących w tej samej potędze.

Przykłady jednomianów podobnych
$a b$ ; $- 3 a b$ ; $0, 4 a b$	$2 x^{3}$ ; $x^{3}$ ; $1,2 x^{3}$	$3 m p^{2}$ ; $- m p^{2}$ ; $7 m p^{2}$

Suma algebraiczna (wielomian)suma algebraiczna (wielomian)Suma algebraiczna (wielomian) to wyrażenie algebraiczne, w którym występuje dodawanie jednomianów. Składniki sumy nazywamy wyrazami sumy algebraicznejwyrazy sumy algebraicznejwyrazami sumy algebraicznej.

Przykłady sum algebraicznych
Suma	Wyrazy sumy
$x + 5$	$x$ , $5$
$3 x - y + 20$	$3 x, - y, 20$

Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego, to liczba, którą otrzymamy, gdy do danego wyrażenia w miejsce niewiadomych (liter), wstawimy dane liczby i wykonamy wskazane działania.

Przykłady obliczania wartości liczbowej wyrażeń algebraicznych
Obliczamy wartość liczbową wyrażenia $5 x - 3 y + 1$ , jeśli $x = 0, y = - 1$	$5 \cdot 0 - 3 \cdot (- 1) + 1 = 3 + 1 = 4$

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Aby dodać lub odjąć sumy algebraiczne, należy najpierw opuścić nawiasy, o ile istnieją, a następnie wykonać redukcję wyrazów podobnych, o ile to możliwe. Przy czym nawiasy poprzedzone znakiem „+” usuwamy, bez zmiany znaków przed wyrazami w nawiasach. Nawiasy poprzedzone znakiem – usuwamy, zmieniając znak każdego wyrazu występującego w nawiasie na przeciwny.

Przykład 1

Dodamy następujące wyrażenia:

$x - 4 y + 2$ ,
$2 x + y - 1$ ,
$- 3 x + y$ .

$(x - 4 y + 2) + (2 x + y - 1) + (- 3 x + y) =$
$= x - 4 y + 2 + 2 x + y - 1 - 3 x + y =$
$= - 2 y + 1$

Zauważ, że przed każdym z nawiasów stał znak „+”, zatem opuszczając nawiasy nie zmienialiśmy znaków jednomianów zapisanych w nawiasach.

Przykład 2

Odejmiemy wyrażenia $6 a c - 2 d + 5$ i $3 a c - d + 1$ .

$(6 a c - 2 d + 5) - (3 a c - d + 1) =$
$= 6 a c - 2 d + 5 - 3 a c + d - 1 =$
$= 3 a c - d + 4$

Zauważ, że przed drugim nawiasem stał znak „-”, zatem opuszczając nawias, zmienialiśmy znaki jednomianów zapisanych w nawiasie na przeciwne.

Przykład 3

Niech
$A = - 6 x y^{3} - 5 x + 4$ ,
$B = 2 - 3 x + 2 x y^{3}$ ,
$C = 2 x - 2$ .

Zapiszemy w prostszej postaci wyrażenie:
$C - [(A - B) + (B - A) + A]$ .

1 sposób

Sprowadzamy najpierw do najprostszej postaci wyrażenie $C - [(A - B) + (B - A) + A]$ , a następnie do wyniku podstawiamy odpowiednie wyrażenia, opuszczamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne.

$C - [(A - B) + (B - A) + A] =$
$= C - (A - B + B - A + A) = C - A$

$C - A = (2 x - 2) - (- 6 x y^{3} - 5 x + 4) =$
$= 2 x - 2 + 6 x y^{3} + 5 x - 4 = 6 x y^{3} + 7 x - 6$

2 sposób

Oznaczmy: $K = C - [(A - B) + (B - A) + A]$ .

W miejsce $A$ , $B$ , $C$ podstawiamy odpowiednie wyrażenia, wykonujemy wskazane działania i redukujemy wyrazy podobne.

$K = 2 x - 2 - [(- 6 x y^{3} - 5 x + 4 - 2 + 3 x - 2 x y^{3}) +$
$+ (2 - 3 x + 2 x y^{3} + 6 x y^{3} + 5 x - 4) + (- 6 x y^{3} - 5 x + 4)]$

$K = 2 x - 2 - [(- 8 x y^{3} - 2 x + 2) +$
$+ (8 x y^{3} + 2 x - 2) + (- 6 x y^{3} - 5 x + 4)]$

$K = 2 x - 2 - (0 - 6 x y^{3} - 5 x + 4)$

$K = 2 x - 2 + 6 x y^{3} + 5 x - 4$

$K = 6 x y^{3} + 7 x - 6$

Przykład 4

Wykażemy, że suma $6$ kolejnych liczb naturalnych dodatnich jest podzielna przez $3$ .

Oznaczmy:
$a, a + 1, a + 2, a + 3, a + 4, a + 5$ - kolejne liczby naturalne dodatnie.

$a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + a + 4 + a + 5 = 6 a + 15 = 3 (2 a + 5)$

Liczba $2 a + 5$ jest liczbą naturalną.
Zatem iloczyn liczby 3 i liczby $2 a + 5$ jest podzielny przez $3$ .

Przykład 5

Wykażemy, że suma dwóch liczb naturalnych, z których pierwsza przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$ , a druga przy dzieleniu przez $10$ daje resztę $3$ , dzieli się przez $5$ .

Oznaczmy:
$5 a + 2$ - liczba, która w dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$ ,
$10 b + 3$ - liczba, która w dzieleniu przez $10$ daje resztę $3$ .

$(5 a + 2) + (10 b + 3) = 5 a + 2 + 10 b + 3 = 5 a + 10 b + 5 = 5 (a + 2 b + 1)$

Liczba $a + 2 b + 1$ to liczba naturalna, zatem iloczyn $5 (a + 2 b + 1)$ dzieli się
przez $5$ .

Mnożenie wyrażeń algebraicznych

Czy wiesz, że działania na wyrażeniach algebraicznych można wykonywać też pisemnie? Na przykład mnożenie sumy algebraicznej przez liczbę wykonujemy analogicznie jak mnożenie liczby przez liczbę. W wyniku otrzymując oczywiście wyrażenie algebraiczne.

$\begin{array}{r} 2 x + 3 y - x y + 6 \\ \cdot 4 \\ \bar{8 x + 12 y - 4 x y + 24} \end{array}$

Przykład 6

Aby pomnożyć w pamięci liczbę jednocyfrową przez dwucyfrową, można skorzystać z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Na przykład:

$6 \cdot 37 = 6 \cdot (30 + 7) = 6 \cdot 30 + 6 \cdot 7 = 180 + 42 = 222$

Pomnożyliśmy każdy składnik sumy $30 + 7$ przez $6$ , a następnie dodaliśmy otrzymane iloczyny.

Analogicznie podstępujemy, mnożąc sumę algebraicznąsuma algebraiczna (wielomian)sumę algebraiczną przez liczbę, bądź ogólnie – przez dowolny jednomian.

Przykład 7

Wykonamy mnożenie.

$3 (a + b + 1) = 3 a + 3 b + 3$

$- 5 \cdot (6 a b c - 2 a + 4 c) = - 30 a b c + 10 a - 20 c$

$k (2 x - 3 x y + 6) = 2 k x - 3 k x y + 6 k$

$x^{2} y (4 x^{3} y + 2 x^{2} - y 4) = 4 x^{5} y^{2} + 2 x^{4} y - x^{2} y^{5}$

R1D4E6XHP15BQ

Ilustracja przedstawia dwa przylegające do siebie prostokąty z opisanymi bokami a i b oraz a i c. Poniżej zapisane zostało działanie: a nawias b, plus, c zamknięcie nawiasu, równa się, a b, plus, a c Poniżej działanie zostało przedstawione w formie obrazkowej: trójkąt początek nawiasu, kwadrat dodać koło, zamknięcie nawiasu równa się trójkąt kwadrat dodać trójkąt koło.

Ważne!

Aby pomnożyć jednomian przez sumę algebraiczną, mnożymy każdy wyraz tej sumy przez ten jednomian i otrzymane iloczyny dodajemy.

Przykład 8

Aby pomnożyć w pamięci dwie liczby co najmniej dwucyfrowe, można zapisać każdą z nich w postaci sumy lub różnicy, której jednym ze składników będzie pełna dziesiątka i dopiero wykonać mnożenie.

Na przykład:

$43 \cdot 12 = (40 + 3) (10 + 2) = 40 \cdot 10 + 40 \cdot 2 + 3 \cdot 10 + 3 \cdot 2 =$
$= 400 + 80 + 30 + 6 = 516$ ,

$199 \cdot 14 = (200 - 1) (10 + 4) = 200 \cdot 10 + 200 \cdot 4 - 1 \cdot 10 - 1 \cdot 4 = 2786$ .

Mnożyliśmy każdy wyraz pierwszej sumy przez każdy wyraz drugiej sumy i otrzymane iloczyny dodawaliśmy.

Podobnie postępujemy, mnożąc sumy algebraiczne.

Przykład 9

Wykonamy mnożenie.

$(a + b) (3 + c) = 3 a + a c + 3 b + b c$

$(a - b) (a + 2 c) = a^{2} + 2 a c - a b - 2 b c$

$(- a - c) (a - b) = - a^{2} + a b - a c + b c$

$(4 a + 7 a b) (2 a - 3 b^{2}) = 8 a^{2} - 12 a b^{2} + 14 a^{2} b - 21 a b^{3}$

Przykład 10

Wykonamy mnożenie.

$(a - b - 1) (a + b + 1) = a^{2} + a b + a - a b - b^{2} - b - a - b - 1 =$
$= a^{2} - b^{2} - 2 b - 1$

$2 (a - b) (a + b) = 2 (a^{2} + a b - a b - b^{2}) = 2 (a^{2} - b^{2}) = 2 a^{2} - 2 b^{2}$

Zauważ, że w obu przypadkach, po wykonaniu mnożenia, aby zapisać wyrażenie w prostszej postaci, redukowaliśmy wyrazy podobne.

RDBFDGPL25629

Ilustracja przedstawia cztery prostokąty z opisanymi bokami a c, b c, a d, b d. Prostokąty ułożone są w taki sposób, że razem tworzą jeden prostokąt. Poniżej znajduje się działanie: nawias a, plus, b zamknięcie nawiasu nawias c, plus, d zamknięcie nawiasu, równa się, a c, plus, a d, plus, b c, plus, b d Poniżej działanie zostało przedstawione w formie obrazkowej: początek nawiasu, kwadrat dodać koło, zamknięcie nawiasu razy, początek nawiasu, trójkąt dodać Rom, zamknięcie nawiasu, równa się kwadrat trójkąt dodać kwadrat romb dodać koło trójkąt dodać koło romb.

Ważne!

Aby pomnożyć dwie sumy algebraiczne, mnożymy każdy wyraz pierwszej sumy przez każdy wyraz drugiej sumy i otrzymane iloczyny dodajemy. Następnie, jeśli jest to możliwe, redukujemy wyrazy podobne.

Przykład 11

Jak zmieni się pole koła, gdy jego promień zwiększymy o $2$ ?

Oznaczmy:
$r$ – promień koła

Wtedy:
$r + 2$ – promień koła zwiększony o $2$
$P = π r^{2}$ – początkowe pole koła
$P_{1} = π {(r + 2)}^{2}$ – pole koła o zwiększonym promieniu

$P_{1} - P = π {(r + 2)}^{2} - π r^{2} = π (r + 2) (r + 2) - π r^{2}$

$P_{1} - P = π (r^{2} + 2 r + 2 r + 4) - π r^{2} = π r^{2} + 4 π r + 4 π - π r^{2}$

$P_{1} - P = 4 π r + 4 π$

Odpowiedź:
Pole koła zwiększy się o $4 π r + 4 π$ .

Wyłączanie czynnika przed nawias

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias to zamiana sumy algebraicznej na iloczyn.

Jeżeli w każdym ze składników sumy algebraicznej występuje taki sam czynnik, to można ten wspólny czynnik wyłączyć przed nawias.

Przykład 12

Przedstawimy sumy algebraiczne w postaci iloczynów:

$7 \cdot x - 7 \cdot y = 7 \cdot (x - y)$

$4 \cdot t - 8 = 4 \cdot t - 4 \cdot 2 = 4 \cdot (t - 2)$

$a \cdot b + 2 \cdot a = a \cdot (b + 2)$

$3 \cdot x^{2} - 2 \cdot x = x \cdot (3 \cdot x - 2)$

$y^{3} - y^{2} = y^{2} \cdot (y - 1)$

$5 \cdot x^{2} + 10 \cdot x + 15 = 5 \cdot (x^{2} + 2 \cdot x + 3)$

$5 \cdot x + x^{2} + a \cdot x = x \cdot (5 + x + a)$

Interaktywny test sprawdzający

Celem testów samosprawdzających jest utrwalenie tego, co już wiesz o wyrażeniach algebraicznych i rozwinięcie umiejętności związanych z przekształcaniem sum algebraicznych.

Jeśli uda ci się poprawnie rozwiązać wszystkie zadania, jesteś prawdziwym mistrzem!

1Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych5455Brawo!Niestety, spróbuj jeszcze raz.

Test

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Liczba pytań:

Limit czasu:

4 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Pytanie 1/5

Twój ostatni wynik -

R1NXEZNL64MOB

RPKDZR1H6M4AC

RFD12LJ4MT5MM

RM5RORKQUSU42

RPXFLRV2HS7RK

R8ON4J6AOJLAN

R1AG4T69VVAKL

R1AVGECJG8RML

R1T2OLFX2JRRL

RM1SLXJ5Z2GRS

R1TQG2P4JGQAJ

RFNETFHK8LK7Q

RRH5X7JXQLTBZ

RJMHP42HC6E26

R1M3QBFDBB9M5

Polecenie 1

Wymyśl podobne zadania i zaproś koleżankę lub kolegę do ich rozwiązania.

Polecenie 2

Ułóż domino matematyczne. Staraj się większość obliczeń wykonywać w pamięci.

R1ZM1ZJ26JBFZ1

R3QJ5X4Q1DLLT

Polecenie 3

Przeanalizuj ułożone przez siebie domino i zastanów się – jakie wyrażenie otrzymujemy w wyniku mnożenia jednomianów, jakie w przypadku mnożenia sumy przez liczbę (lub jednomian), a jakie w przypadku mnożenia sum algebraicznych.

Przeanalizuj ułożone przez siebie wyrażenia i zastanów się – jakie wyrażenie otrzymujemy w wyniku mnożenia jednomianów, jakie w przypadku mnożenia sumy przez liczbę (lub jednomian), a jakie w przypadku mnożenia sum algebraicznych.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Fullpage

Pokaż ćwiczenia:

RR5N11KMG961A1

Ćwiczenie 1

RXBL2UBXHHBVK1

Ćwiczenie 2

RBG9UDHR53XTL2

Ćwiczenie 3

R1HU2QDK4C4542

Ćwiczenie 4

RCLBDRVK1D9QQ2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

R1E22GKDVXDVO

R1E2RGOM9ODD1

RM56OOCCUTKSL3

Ćwiczenie 7

R1MM5R7QKNRTX3

Ćwiczenie 8

R48FSX5QZ2V5O1

Ćwiczenie 9

R1L5E53D4FUC51

Ćwiczenie 10

RCERZPUEC1EA71

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

RUVCANS44C4MZ

R1OKJ4H1M4CMO

R1KHOLQ7SNEUQ2

Ćwiczenie 13

RRGB8SV6EJFG72

Ćwiczenie 14

R1QP1H5APM8XE31

Ćwiczenie 15

RGgjjpmwsulMg1

Ćwiczenie 16

Ćwiczenie 17

Wyłącz największy wspólny czynnik przed nawias.

$- 3 x^{2} + 5 x y - 4 x y^{3}$
$4 a^{2} b^{3} - 12 a^{2} b + 8 a^{2} b^{2}$
$- 15 x y^{2} + 3 k l - 9 a b^{3}$
$0, 2 a b + 1, 2 a^{2} b^{2} + 0, 6 a^{3} b^{2}$
$\frac{1}{2} x y - \frac{1}{4} x^{2} y^{2} + \frac{1}{8} x y^{3}$
$- 4, 8 a b c^{2} + 2, 4 a^{2} b^{3} c + 1, 2 a b c$

R1aG0X095Wi53

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$- x (3 x - 5 y + 4 y^{3})$
$4 a^{2} b (b^{2} - 3 + 2 b)$
$- 3 (5 x y^{2} - k l + 3 a b^{3})$
$0, 2 a b (1 + 6 a b + 3 a^{2} b)$
$\frac{1}{2} x y (1 - \frac{1}{2} x y + \frac{1}{4} y^{2})$
$- 1, 2 a b c (4 c - 2 a b^{2} - 1)$

RoAGFuDtbjxdJ1

Ćwiczenie 18

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RnA0PsQLdhOva2

Ćwiczenie 19

Połącz w pary wyrażenia o tych samych wartościach. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y, minus, cztery x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. dwa x y nawias, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x y, plus, trzy x, zamknięcie nawiasu, 3. dwa x y nawias, x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa y, plus, cztery x, zamknięcie nawiasu, 4. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x, minus, jeden, plus, cztery y, zamknięcie nawiasu, 5. sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, trzy x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, y, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y, minus, cztery x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. dwa x y nawias, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x y, plus, trzy x, zamknięcie nawiasu, 3. dwa x y nawias, x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa y, plus, cztery x, zamknięcie nawiasu, 4. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x, minus, jeden, plus, cztery y, zamknięcie nawiasu, 5. sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, trzy x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, y, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu cztery x y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y, minus, cztery x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. dwa x y nawias, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x y, plus, trzy x, zamknięcie nawiasu, 3. dwa x y nawias, x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa y, plus, cztery x, zamknięcie nawiasu, 4. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x, minus, jeden, plus, cztery y, zamknięcie nawiasu, 5. sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, trzy x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, y, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu dziesięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y, minus, cztery x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. dwa x y nawias, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x y, plus, trzy x, zamknięcie nawiasu, 3. dwa x y nawias, x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa y, plus, cztery x, zamknięcie nawiasu, 4. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x, minus, jeden, plus, cztery y, zamknięcie nawiasu, 5. sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, trzy x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, y, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu osiemnaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y, minus, cztery x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. dwa x y nawias, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x y, plus, trzy x, zamknięcie nawiasu, 3. dwa x y nawias, x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa y, plus, cztery x, zamknięcie nawiasu, 4. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x, minus, jeden, plus, cztery y, zamknięcie nawiasu, 5. sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, trzy x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, y, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

Wykaż, że iloczyn dwóch liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą.

Wprowadź następujące oznaczenia:

$2 n + 1$ , gdy $n \in ℕ$ – pierwsza liczba nieparzysta

$2 t + 1$ , gdy $t \in ℕ$ – druga liczba nieparzysta

$2 n + 1$ , gdy $n \in ℕ$ – pierwsza liczba nieparzysta

$2 t + 1$ , gdy $t \in ℕ$ – druga liczba nieparzysta

$(2 n + 1) (2 t + 1) = 4 n t + 2 n + 2 t + 1 = 2 (2 n t + n + t) + 1$

$2 (2 n t + n + t) + 1$ daje resztę $1$ , zatem jest to liczba nieparzysta.

Słownik

suma algebraiczna (wielomian)

wyrażenie algebraiczne, w którym występuje dodawanie jednomianów

wyrazy sumy algebraicznej

składniki sumy algebraicznej

1. Wprowadzenie do wyrażeń algebraicznych

3. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

2. Działania na wyrażeniach algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Mnożenie wyrażeń algebraicznych

Wyłączanie czynnika przed nawias

Interaktywny test sprawdzający

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik