3. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

R1HF26GATHTMG

R1RSGBKEJS6BE1

Na ilustracji znajduje się stara strona z bogato zdobioną ramą. Na kartce widnieją napisy w języku arabskim. Napisy zapisane są piórem. Kartka ze względu na jej wiek, posiada nieliczne przebarwienia. — Dzieło, z którego pochodzi określenie „algebra”
Źródło: domena publiczna.

Słowo algebra (z arabskiego al‑dżabr – przywrócenie ) pochodzi z książki Al‑Maqala fi Hisab‑al Jabr wa‑al‑Muqabilah (O odtwarzaniu i przeciwstawianiu), napisanej w IX wieku przez słynnego perskiego matematyka Muhammada ibn Mūsā al‑Khwārizmīego. W XII wieku dzieło to zostało przywiezione do Europy i przetłumaczone na łacinę , ze zmienioną nazwą „Algebra”.

Algebra to obecnie jeden z działów matematyki.

Jedną z najważniejszych umiejętności algebraicznych, jest przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Twoje cele

Sprowadzisz do najprostszej postaci wyrażenia algebraiczne, obliczysz ich wartości.
Przeprowadzisz proste rozumowania związane z równościami algebraicznymi, formułując wnioski i uzasadniając ich poprawność.

Na pewno pamiętasz, że przekształcając wyrażenia arytmetyczne, uwzględniamy ustaloną kolejność wykonywania działań.

Ważne!

Kolejność wykonywania działań

Gdy w wyrażeniu arytmetycznym nie ma nawiasów, wykonujemy kolejno:

potęgowanie wraz z pierwiastkowaniem
mnożenie wraz z dzieleniem
dodawanie wraz z odejmowaniem

Jeśli w wyrażeniu występują nawiasy, to obliczenia rozpoczyna się od działań w nawiasach najbardziej wewnętrznych. Zatem działania w nawiasach wykonuje się przed pozostającymi poza nawiasami.

Przed wykonywaniem przekształceń wyrażeń algebraicznych, przypomnij sobie jeszcze prawa działań, z których będziesz korzystać.

Ważne!

Prawa działań
$a + b = b + a$	Przemienność dodawania
$a \cdot b = b \cdot a$	Przemienność mnożenia
$(a + b) + c = a + (b + c)$	Łączność dodawania
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$	Łączność mnożenia
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$	Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Przykład 1

Obliczymy wartość wyrażenia $[\sqrt{6} (\sqrt{3} - \sqrt{6}) - \sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{6})] : 3 - \sqrt{2} \cdot 4 \cdot 0, 5$ .

Obliczenia wykonamy zgodnie z kolejnością wykonywania działań.

$[\sqrt{6} (\sqrt{3} - \sqrt{6}) - \sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{6})] : 3 - \sqrt{2} \cdot 4 \cdot 0, 5 =$

Wykonujemy mnożenie, korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowanie to dodawanie liczby przeciwnej).

$(\sqrt{18} - 6 - 3 + \sqrt{18}) : 3 - \sqrt{2} \cdot 4 \cdot 0, 5 =$

Wykonujemy działania w nawiasie.

$(6 \sqrt{2} - 9) : 3 - \sqrt{2} \cdot 4 \cdot 0, 5 =$

Korzystamy ponownie z rozdzielności mnożenia względem dodawania oraz łączności i przemienności mnożenia. Odejmujemy.

$6 \sqrt{2} : 3 - 9 : 3 - \sqrt{2} \cdot (4 \cdot 0,5) = 2 \sqrt{2} - 3 - 2 \sqrt{2} = - 3$

Otrzymujemy wynik. Wartość wyrażenia jest równa $(- 3)$ .

Wykonując działania łączne na wyrażeniach algebraicznych, korzysta się z poznanych praw działań oraz reguł dotyczących dodawania i odejmowania sum algebraicznych:

$(a + b) + (c - d) = a + b + c - d$

$(a + b) - (c - d) = a + b - c + d$

Przykład 2

Zapiszemy wyrażenie $(x + 2) (x + 1) - (x - 1) (x + 2) - 2 x (x + 1)$ w najprostszej postaci.

R5ZGGGLPTCOZO

Przykład trzeci. Zapiszemy wyrażenie otwarcie nawiasu X plus dwa zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu X plus jeden zamknięcie nawiasu minus otwarcie nawiasu X minus jeden zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu X plus dwa zamknięcie nawiasu minus dwa X otwarcie nawiasu X plus jeden zamknięcie nawiasu w najprostszej prostaci. Pierwsza linijka wykonujemy mnożenie: otwarcie nawiasu X plus dwa zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu X plus jeden zamknięcie nawiasu minus otwarcie nawiasu X minus jeden zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu X plus dwa zamknięcie nawiasu minus dwa X otwarcie nawiasu X plus jeden zamknięcie nawiasu równa się. Druga linijka redukujemy w nawiasach wyrazy podobne: otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus X plus dwa X plus dwa zamknięcie nawiasu minus otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus dwa X minus X minus dwa zamknięcie nawiasu minus dwa X do potęgi drugiej plus dwa X zamknięcie nawiasu równa się. Trzecia linijka opuszczamy nawiasy: otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus trzy X plus dwa zamknięcie nawiasu minus otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus X minus dwa zamknięcie nawiasu minus otwarcie nawiasu dwa X do potęgi drugiej plus dwa X zamknięcie nawiasu równa się. Czwarta linijka redukujemy wyrazy podobne: X do potęgi drugiej plus trzy X plus dwa minus X do potęgi drugiej minus X plus dwa minus dwa X do potęgi drugiej minus dwa X równa się minus dwa X do potęgi drugiej plus cztery.

Przykład 3

Obliczymy wartość liczbową wyrażeniawartość liczbową wyrażenia $\{3 a^{2} - [2 (a - b) (a - 1) + {(a + b)}^{2} - b^{2}]\} : 2$ , gdy $a = \sqrt{5}$ , $b = \sqrt{5} - 1$ .

Sprowadzimy najpierw podane wyrażenie do najprostszej postaci. Wykonujemy najpierw działania w nawiasie kwadratowym. W iloczynie $2 (a - b) (a - 1)$ najpierw wykonamy mnożenie sum algebraicznych i dopiero pomnożymy przez $2$ . Wyrażenie ${(a + b)}^{2}$ zapiszemy najpierw w postaci iloczynu.

$\{3 a^{2} - [2 (a - b) (a - 1) + {(a + b)}^{2} - b^{2}]\} : 2 =$

W nawiasie kwadratowym wykonujemy mnożenie.

$\{3 a^{2} - [2 (a^{2} - a - a b + b) + (a + b) (a + b) - b^{2}]\} : 2 =$

Redukujemy wyrazy podobne w nawiasie kwadratowym.

${3 a^{2} - [2 a^{2} - 2 a - 2 a b + 2 b + a^{2} + 2 a b + b^{2} - b^{2}]} : 2 =$

Wykonujemy działania w nawiasie kwadratowym.

$[3 a^{2} - (3 a^{2} - 2 a + 2 b)] : 2 =$

Dzielimy przez $2$ .

$(2 a - 2 b) : 2 = a - b$

Obliczamy teraz wartość liczbową otrzymanego wyrażenia – w miejsce liter podstawiając dane liczby.

$\sqrt{5} - (\sqrt{5} - 1) = 1$

Wartość liczbowa wyrażeniaWartość liczbowa wyrażenia jest równa $1$ .

Przykład 4

Wykażemy, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wyrażenie

$[(a + 1) (a - 2) (1 - a) + a (a - 1) (a - 1)] - 2 a$ przyjmuje tę samą wartość liczbową.

Wykonamy najpierw działania w nawiasie kwadratowym.

$[(a + 1) (a - 2) (1 - a) + a (a - 1) (a - 1)] - 2 a =$

Mnożymy pierwsze dwa czynniki w każdym z iloczynów – wykorzystując rozdzielność mnożenia względem dodawania.

$[(a^{2} - 2 a + a - 2) (1 - a) + (a^{2} - a) (a - 1)] - 2 a =$

Zredukowaliśmy wyrazy podobne.

$[(a^{2} - a - 2) (1 - a) + (a^{3} - a^{2} - a^{2} + a)] - 2 a =$

Zamieniliśmy iloczyny na sumy algebraiczne – korzystając ponownie z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

$[(a^{2} - a^{3} - a + a^{2} - 2 + 2 a) + (a^{3} - 2 a^{2} + a)] - 2 a =$

Opuszczamy nawiasy.

$(2 a^{2} - a^{3} + a - 2 + a^{3} - 2 a^{2} + a) - 2 a =$

Redukujemy wyrazy podobne.

$2 a - 2 - 2 a = - 2$

Po sprowadzaniu wyrażenia do najprostszej postaci otrzymujemy $(- 2)$ , zatem wyrażenie nie zawierające zmiennej $a$ . Czyli niezależnie od tego, jaką liczbę podstawimy do wyrażenia w miejsce zmiennej $a$ , wartość liczbowa wyrażenia jest równa $(- 2)$ .

Inforgafika

Przeanalizuj przykład przekształcania wyrażeń algebraicznych zaprezentowany na infografice. Określ, z jakich praw działań korzystano.

RGXSQ4Z1LB9B1

Infografika przedstawia sprowadzenie wyrażenia początek ułamka, dwa nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu nawias dwa, plus, x zamknięcie nawiasu, minus, nawias x, plus, dwa zamknięcie nawiasu nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, mianownik, x, koniec ułamka do najprostszej postaci. Na początku należy zauważyć że wyrażenie to ma sens liczbowy, jeśli liczba x jest różna od zera. Zanim przejdziesz dalej zastanów się dlaczego. Rozpoczynamy upraszczanie wyrażenia początek ułamka, dwa nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu nawias dwa, plus, x zamknięcie nawiasu, minus, nawias x, plus, dwa zamknięcie nawiasu nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, mianownik, x, koniec ułamka, dla ułatwienia części tego wyrażenia zaznaczono kolorami. Kolorem niebieskim zaznaczono część nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu nawias dwa, plus, x zamknięcie nawiasu, natomiast kolorem fioletowym zaznaczono część nawias x, plus, dwa zamknięcie nawiasu nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu. Przekształcanie wyrażenia zaczynamy od wykonania mnożenia. Mnożąc dwie sumy algebraiczne mnożymy każdy wyraz pierwszej sumy przez każdy wyraz drugiej sumy. Co w zapisie symbolami wygląda następująco: początek ułamka, dwa nawias dwa x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, minus, x zamknięcie nawiasu, minus, nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, dwa x, minus, cztery zamknięcie nawiasu, mianownik, x, koniec ułamka. Część nawias dwa x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, minus, x zamknięcie nawiasu jest w kolorze niebieskim, a część nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, dwa x, minus, cztery zamknięcie nawiasu w kolorze fioletowym. Kolejnym krokiem jest zredukowanie wyrazów podobnych w uzyskanych sumach algebraicznych. Otrzymujemy: początek ułamka, dwa nawias x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa zamknięcie nawiasu, minus, nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery zamknięcie nawiasu, mianownik, x, koniec ułamka, gdzie nawias x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa zamknięcie nawiasu zaznaczono kolorem niebieskim, a nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery zamknięcie nawiasu kolorem fioletowym. Następnie Pierwszą sumę algebraiczną mnożymy przez dwa, a następnie opuszczamy nawiasy, zmieniając znaki wyrazów sumy, przed którą znajduje się znak minus, zatem nasze wyrażenie prezentuje się w następujący sposób: początek ułamka, dwa x, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery, mianownik, x, koniec ułamka, gdzie dwa x, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery zaznaczono kolorem niebieskim, a minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery kolorem fioletowym. Kolejnym krokiem jest zredukowanie wyrazów podobnych, w konsekwencji otrzymujemy: początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, mianownik, x, koniec ułamka. W tym miejscu należy zauważyć, że kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia, zatem każdy wyraz otrzymanej sumy dzielimy przez x. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa x, mianownik, x, koniec ułamka Ostatecznie wyrażenie jest równe: x, plus, dwa. Zatem sprowadziliśmy wyrażenie do najprostszej postaci. Sprawdzimy wyrażenie: w liczniku dwa razy otwarcie nawiasu x odjąć jeden zamkniecie nawiasu otwarcie nawiasu dwa dodać x zamknięcie nawiasu odjąć otwarcie nawiasu x dodać dwa zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu x odjąć dwa zamknięcie nawiasu; w mianowniku x. Nagranie audio jeden. W liczniku dwa razy otwarcie nawiasu x odjąć jeden zamkniecie nawiasu otwarcie nawiasu dwa dodać x zamknięcie nawiasu odjąć otwarcie nawiasu x dodać dwa zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu x odjąć dwa zamknięcie nawiasu; w mianowniku x. Równa się. Nagranie audio dwa. Równa się w liczniku dwa razy otwarcie nawiasu dwa x dodać x do potęgi drugiej odjąć dwa odjąć x zamkniecie nawiasu odjąć otwarcie nawiasu x do potęgi drugiej odjąć dwa x dodać dwa x odjąć cztery zamknięcie nawiasu; w mianowniku x. Równa się. Nagranie audio trzy. Równa się w liczniku dwa razy otwarcie nawiasu x dodać x do potęgi drugiej odjąć dwa zamkniecie nawiasu odjąć otwarcie nawiasu x do potęgi drugiej odjąć cztery zamknięcie nawiasu; w mianowniku x. Równa się. Nagranie audio cztery. Równa się w liczniku dwa x dodać dwa x do potęgi drugiej odjąć cztery odjąć x do potęgi drugiej dodać cztery; w mianowniku x. Równa się. Nagranie audio pięć równa się w liczniku x do potęgi drugiej dodać dwa x; w mianowniku x. Równa się. Nagranie audio sześć. W liczniku x do potęgi drugiej, w mianowniku x, dodać w liczniku dwa x, w mianowniku x, równa się x dodać dwa.

Polecenie 1

Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie $\frac{(2 + 3 a) (a + 1) - 3 (a - 1) (a + 4)}{2}$ , postępując podobnie jak w przykładzie zamieszczonym na infografice.

$- 2 a + 7$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1Z5PLUSDTDME1

Ćwiczenie 1

RV5FX33QBXZGT1

Ćwiczenie 2

RNBJ81NHX9T6M2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

RET1EB8L46BCL

RO9E3TJU86NER

R1KOVLN8SSSXE2

Ćwiczenie 5

RS9XGC3NRK1RP2

Ćwiczenie 6

R1LGXZG53UBUH3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Zapisz wyrażenie $\frac{2 x (1 - 3 y) - 3 x (1 - 2 y)}{(3 x - y) (y + 3 x) + y^{2}}$ w najprostszej postaci i oblicz jego wartość, jeśli $x = - \frac{1}{9}$ .

Zacznij od przekształcania wyrażenia, a dopiero na końću wstaw podaną wartość liczbową. Zwróc uwagę, że nie ma podanej wartości zmiennej $y$ . Oznacza to, że zmienna ta w wyniku przekształceń powinna się zredukować.

\frac{2 x (1 - 3 y) - 3 x (1 - 2 y)}{(3 x - y) (y + 3 x) + y^{2}} = \frac{2 x - 6 x y - 3 x + 6 x y}{3 x y + 9 x^{2} - y^{2} - 3 x y + y^{2}} = \frac{- x}{9 x^{2}} = \frac{- 1}{9 x}

\frac{- 1}{9 \cdot (- \frac{1}{9})} = 1

Słownik

wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego

liczba otrzymana w wyniku podstawiania do wyrażenia algebraicznego w miejsce liter danych liczb

2. Działania na wyrażeniach algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne