3. Różnica kwadratów

R1K878PGZ92JN

RMUEKSU42TS861

Na ilustracji znajduje się stary mężczyzna w koszuli z wiązaną stójką , aksamitnym płaszczu i czapce. Mężczyzna ma orli nos, zapadnięte oczy oraz bokobrody. — Carl Gauss
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Zapisywanie wyrażeń algebraicznych w postaci iloczynów wcale nie jest takie łatwe, jak może ci się wydawać. Po pierwsze nie zawsze jest to możliwe (w zbiorze liczb rzeczywistych), a po drugie w wielu wypadkach trzeba się nieźle natrudzić, żeby tego dokonać.

Matematycy przez kilka stuleci usiłowali znaleźć odpowiedź na pytanie – czy każdy wielomianwielomianwielomian stopnia co najmniej $3$ można rozłożyć na czynniki, czyli znaleźć takie wielomiany jak najniższego stopnia, których iloczyn jest równy danemu. Rozstrzygającą odpowiedź na to pytanie dał w $XVIII$ wieku jeden z najsłynniejszych matematyków wszechczasów Carl Gauss, który mając zaledwie $22$ lata udowodnił, że każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego (niestety, w wielu wypadkach przy użyciu o wiele bardziej zaawansowanych narzędzi niż te, którymi dysponujesz).

Teraz poznasz wzór pozwalający zapisać różnicę kwadratów dwóch wyrażeń w postaci iloczynu pewnych wyrażeń.

Twoje cele

Poznasz wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów w obliczeniach arytmetycznych.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów w przekształceniach algebraicznych.

Zapiszemy w postaci sumy iloczyn dwóch dowolnych wyrażeń przez ich różnicę.

(a + b) (a - b) = a^{2} - a b + a b - b^{2} = a^{2} - b^{2}

Otrzymaliśmy kolejny wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Ważne!

Wzór na iloczyn sumy przez różnicę:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Wzór ten można zilustrować następująco:

RK4FSS8FC75LT

Otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu kwadrat minus koło zamknięcie nawiasu równa się kwadrat do potęgi drugiej minus koło do potęgi drugiej. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zapisujemy odpowiednie twierdzenie.

Twierdzenie o iloczynie sumy przez różnicę

Twierdzenie: Twierdzenie o iloczynie sumy przez różnicę

Iloczyn sumy dwóch dowolnych wyrażeń przez ich różnicę równa się różnicy kwadratów tych wyrażeń.

Przykład 1

Zapiszemy iloczyny w postaci różnicy kwadratów.

$(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$

$(a^{2} + b) (a^{2} - b) = a^{4} - b^{2}$

$(2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = 4 x^{2} - 9 y^{2}$

$(0, 5 x y + \sqrt{2}) (0, 5 x y - \sqrt{2}) = 0, 25 x^{2} y^{2} - 2$

Korzystając z przemienności mnożenia poznany wzór można zapisać w postaci

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

i podobnie jak w Przykładzie 1, zapisywać iloczyny w postaci różnicy kwadratów.

Przykład 2

Zapiszemy iloczyny w postaci różnicy kwadratów.

(3 - \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2}) = 9 - 2 = 7

(x - 2 \sqrt{3}) (x + 2 \sqrt{3}) = x^{2} - 12

(\sqrt{6} - \sqrt{5}) (\sqrt{6} + \sqrt{5}) = 6 - 5 = 1

Przekształcając wyrażenia algebraiczne, warto pamiętać, że chcąc w sumie algebraicznej zmienić znaki wyrażeń na przeciwne, trzeba wyłączyć $(- 1)$ przed nawias w tej sumie (czyli w praktyce – znak „ $-$ ”).

Przykład 3

Aby pomnożyć wyrażenia $(- 2 - x) (2 - x)$ , w pierwszym czynniku wyłączymy przed nawias $(- 1)$ .

(- 2 - x) (2 - x) = - (2 + x) (2 - x) = - (4 - x^{2}) = - 4 + x^{2}

W podobny sposób pomnożymy $(- 4 x + y) (- 4 x - y)$ .

(- 4 x + y) (- 4 x - y) = - (4 x - y) \cdot (- 1) \cdot (4 x + y) =

= (4 x - y) (4 x + y) = 16 x^{2} - y^{2}

Wzór $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ można zapisać też w postaci

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ .

Obie te postacie nazywamy wzorem skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

Ważne!

Wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Wzór ten można zilustrować następująco:

R12JFLLMH3ZE1

Kwadrat do potęgi drugiej minus koło do potęgi drugiej równa się otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu kwadrat minus koło zamknięcie nawiasu. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Formułujemy odpowiednie twierdzenie.

Twierdzenie o różnicy kwadratów dwóch wyrażeń

Twierdzenie: Twierdzenie o różnicy kwadratów dwóch wyrażeń

Różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę.

Oto interpretacja geometryczna wzoru.

RC5VBD35FB2EM

Na ilustracji znajdują się dwa prostokąty. W prostokącie po lewej stronie zaznaczone są ścianki A i B oraz pola A do potęgi drugiej jak i B do potęgi drugiej. Pod tym prostokątem znajduje się napis: A do potęgi drugiej minus B do potęgi drugiej. Po prawej stronie prostokąt ma zaznaczone ścianki A i B jak i pole oznaczone: otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu A minus B zamknięcie nawiasu. Pod tym prostokątem znajduje się napis otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu A minus B zamknięcie nawiasu. Pomiędzy prostokątami jak i napisami widnieją znaki 'równa się'. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 4

Przekształcimy podane sumy algebraiczne na iloczyny.

4 - y^{2} = 2^{2} - y^{2} = (2 + y) (2 - y)

16 x^{2} - 9 = {(4 x)}^{2} - 3^{2} = (4 x + 3) (4 x - 3)

a^{4} b^{4} - 25 a^{2} = {(a^{2} b^{2})}^{2} - {(5 a)}^{2} = (a^{2} b^{2} - 5 a) (a^{2} b^{2} + 5 a)

Przykład 5

Zapiszemy podane wyrażenie w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = - \sqrt{2}$ .

$2 (x + 1) (x - 1) + [(- x - 1) (x - 1) - x^{2}] =$

$= 2 (x^{2} - 1) + [- (x + 1) (x - 1) - x^{2}] =$

$= 2 x^{2} - 2 + (- x^{2} + 1 - x^{2}) = - 1$

Rozpatrywane wyrażenie dla każdej liczby rzeczywistej $x$ ma stałą wartość, równą $(- 1)$ .

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia dla $x = - \sqrt{2}$ jest równa $(- 1)$ .

Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówWzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów można wykorzystać do szybkiego mnożenia niektórych liczb.

Przykład 6

Aby obliczyć $21 \cdot 19$ przedstawimy jedną z tych liczb w postaci sumy, a drugą w postaci różnicy liczby $20$ i liczby $1$ . W ten sposób otrzymamy iloczyn sumy przez różnicę tych samych wyrażeń i skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

21 \cdot 19 = (20 + 1) (20 - 1) = 20^{2} - 1^{2} = 400 - 1 = 399

Przykład 7

W podobny sposób jak w przykładzie $1$ pomnożymy $98 \cdot 102$ .

98 \cdot 102 = (100 - 2) (100 + 2) = 100^{2} - 2^{2} = 10000 - 4 = 9996

Przykład 8

Obliczymy wartość wyrażenia

$W = \sqrt{113^{3} - 112^{2}} \cdot \sqrt{13^{2} - 12^{2}} + \sqrt{1600 + 720 + 81}$ .

Przekształcamy najpierw każdy z pierwiastków.

Zapisujemy różnicę kwadratów w postaci iloczynu, wykonujemy mnożenie i obliczamy pierwiastek.

\sqrt{113^{3} - 112^{2}} = \sqrt{(113 - 112) (113 + 112)} = \sqrt{1 \cdot 225} = 15

Postępujemy podobnie – zapisujemy różnicę kwadratów w postaci iloczynu, wykonujemy mnożenie i obliczamy pierwiastek.

\sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{(13 - 12) (13 + 12)} = \sqrt{1 \cdot 25} = 5

Wyrażenie $1600 + 720 + 81$ zapisujemy w postaci kwadratu sumy (korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy) i obliczamy pierwiastek.

\sqrt{1600 + 720 + 81} = \sqrt{{(40 + 9)}^{2}} = \sqrt{49^{2}} = 49

Wyznaczamy teraz wartość wyrażenia $W$ .

W = 15 \cdot 5 + 49 = 124

Wzór $a^{2} - b^{2}$ zastosujemy teraz do zapisu sum algebraicznych w postaci iloczynów, czyli do rozkładu sum na czynniki.

Przykład 9

Rozłożymy na czynniki podane sumy algebraiczne.

$9 x^{2} - 4 y^{2} = (3 x - 2 y) (3 x + 2 y)$

$81 a^{6} - y^{2} = (9 a^{3} - y) (9 a^{3} + y)$

$7 m^{2} - 2 t^{2} = (\sqrt{7} m + \sqrt{2} t) (\sqrt{7} m - \sqrt{2} t)$

$a^{2} b^{2} - 144 = (a b - 12) (a b + 12)$

$15 - y^{8} = (\sqrt{15} - y^{4}) (\sqrt{15} + y^{4})$

$x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})$ , jeśli $x > 0$ , $y > 0$

Przykład 10

Pokażemy teraz, jak szybko można rozłożyć na czynniki wielodziałaniowe wyrażenia algebraiczne.

{(3 a - 2 b)}^{2} - 4 b^{2} = (3 a - 2 b + 2 b) (3 a - 2 b - 2 b) = 3 a (3 a - 4 b)

{(5 a + 6 b)}^{2} - {(5 a - 6 b)}^{2} = (5 a + 6 b + 5 a - 6 b) (5 a + 6 b - 5 a + 6 b) =

= 10 a \cdot 12 b = 120 a b

Wzór $a^{2} - b^{2}$ jest często przydatny w skracaniu wyrażeń wymiernych.

Przykład 11

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie $K = \frac{18 x^{2} - 8 y^{2}}{6 y - 9 x}$ , gdy $y \neq 1,5 x$ .

Wyłączamy wspólny czynnik w liczniku i mianowniku wyrażenia.

K = \frac{18 x^{2} - 8 y^{2}}{6 y - 9 x} = \frac{2 (9 x^{2} - 4 y^{2})}{3 (2 y - 3 x)}

W liczniku sumę algebraiczną zapisujemy w postaci iloczynu.

K = \frac{2 (3 x - 2 y) (3 x + 2 y)}{3 (3 x - 2 y)}

Skracamy.

K = \frac{2 (3 x + 2 y)}{3}

Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów pozwala na uniknięcie pracochłonnych mnożeń, co jest szczególnie istotne, gdy chcemy szybko uzyskać wynik.

Przykład 12

Uzasadnimy, że dla dowolnych liczb całkowitych $x$ , $y$ liczba $M = {(5 + 2 x + y)}^{2} - {(5 - 2 x - y)}^{2}$ jest podzielna przez $20$ .

Zapisujemy różnicę kwadratów w postaci iloczynu i redukujemy wyrazy podobne.

M = {(5 + 2 x + y)}^{2} - {(5 - 2 x - y)}^{2} =

= (5 + 2 x + y - 5 + 2 x + y) (5 + 2 x + y + 5 - 2 x - y)

M = (4 x + 2 y) \cdot 10

Wyłączamy $2$ przed nawias i mnożymy przez $10$ .

M = (4 x + 2 y) \cdot 10 = 2 (2 x + y) \cdot 10 = 20 (2 x + y)

Liczba $M$ jest iloczynem liczb $20$ oraz $2 x + y$ . Ponieważ $2 x + y$ to liczba całkowita, zatem liczba $M$ jest podzielna przez $20$ .

Galerie zdjęć inetaktywnych

Przeanalizuj przykłady szybkiego mnożenia liczb z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

RAUOENZCL8TFT

REV83RO99SJ9B

R11G8SGHZOECH

R6AQKKZGUGJGN

R1JMRNBN2XGZB

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, rozwiązując samodzielnie podane przykłady, a następnie sprawdź ich rozwiązania.

R1EXBVZA2GX52

R1S552PGRU1U8

R1L374CQGMLSE

Ilustracja trzecia. Rozważymy teraz kilka przykładów zastosowania wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Iloczyn sumy dwóch wyrażeń przez ich różnicę można zapisać w postaci różnicy kwadratów. Przykład pierwszy: nawias, cztery x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, cztery x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden Komenatrz: Pierwszy wyraz każdej z sum, które mnożymy, to cztery x. nawias, cztery x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego to szesnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Teraz podnosimy do kwadratu drugi wyraz każdej z sum. jeden indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego to jeden. Tworzymy różnicę otrzymanych liczb. Przykład drugi: nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery Komentarz: Podnosimy do kwadratu oba wyrazy pierwszego dwumianu i tworzymy ich różnicę. Przykład trzeci: nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy Komentarz: Iloczyn sumy dwóch wyrażeń przez ich różnicę zapisujemy w postaci różnicy kwadratów tych wyrażeń.

RCGGUEV75ZELV

REM8EK2EMZRC2

Polecenie 1

Oblicz pole prostokąta o bokach długości $\sqrt{7} + 6 \sqrt{5}$ i $6 \sqrt{5} - \sqrt{7}$ .

$P = 173$

Polecenie 2

Oblicz najprostszym sposobem wartość wyrażenia $W$ .

a) $W = 76 \cdot 84 - 22 \cdot 18$

b) $W = 640 \cdot 560 + 45 \cdot 55$

a) $W = 76 \cdot 84 - 22 \cdot 18 = (80 - 4) (80 + 4) - (20 + 2) (20 - 2)$

$W = 80^{2} - 4^{2} - 20^{2} + 2^{2} = 6400 - 16 - 400 + 4 = 5988$

b) $W = 640 \cdot 560 + 45 \cdot 55 = (600 + 40) (600 - 40) + (50 - 5) (50 + 5)$

$W = 600^{2} - 40^{2} + 50^{2} - 5^{2} = 360000 - 1600 + 2500 - 25 = 360875$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Fullpage

Pokaż ćwiczenia:

R1ESLTZB55FAT1

Ćwiczenie 1

RMMH6LFT15TMP1

Ćwiczenie 2

R1QMPU6Z3UTE12

Ćwiczenie 3

RS3JGFXX4KX392

Ćwiczenie 4

RP9PAGF2KT6FU2

Ćwiczenie 5

Dostępne opcje do wyboru: dwadzieścia cztery, plus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, osiem, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, czterdzieści, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, dwieście czterdzieści cztery, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka. Polecenie: Przeciągnij odpowiedni wynik we właściwe miejsce. nawias, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się luka do uzupełnienia
nawias, sześć pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, równa się luka do uzupełnienia
nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się luka do uzupełnienia
nawias, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się luka do uzupełnienia

RM61O3UO3D4522

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych jest równa $27$ . Znajdź te liczby.

Oznacz jako:

$x$ – większa z poszukiwanych liczb naturalnych,

$x - 1$ – mniejsza z poszukiwanych liczb. Ułóż odpowiednie równanie.

${(x + 1)}^{2} - x^{2} = (x + 1 + x) (x + 1 - x) = 2 x + 1 = 27$

$2 x + 1 = 27$

$x = 13$

Szukane liczby to $13$ i $14$ .

Ćwiczenie 8

Zapisz podane wyrażenie w najprostszej postaci.

\sqrt{2} \cdot (2 \sqrt{6} - 3) (3 + 2 \sqrt{6}) - {(3 \sqrt{2} + 3)}^{2} + {(3 \sqrt{2} - 3)}^{2}

\sqrt{2} \cdot (2 \sqrt{6} - 3) (3 + 2 \sqrt{6}) - {(3 \sqrt{2} + 3)}^{2} + {(3 \sqrt{2} - 3)}^{2} =

= \sqrt{2} \cdot (24 - 9) - [(3 \sqrt{2} + 3 - 3 \sqrt{2} + 3) (3 \sqrt{2} + 3 + 3 \sqrt{2} - 3)] =

= 15 \sqrt{2} - 36 \sqrt{2} = - 21 \sqrt{2}

RH8HON9JJGJF41

Ćwiczenie 9

R1THX2FK4KFPL1

Ćwiczenie 10

R1RVV3246QUO12

Ćwiczenie 11

RDX1B93HCVZVF2

Ćwiczenie 12

ROF3TM744FFUJ2

Ćwiczenie 13

R132TZDEFLOE82

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Zapisz w postaci iloczynu wyrażenie ${(4 x + 2 y)}^{2} - 256 x^{2}$ .

{(4 x + 2 y)}^{2} - 256 x^{2} = (4 x + 2 y - 16 x) (4 x + 2 y + 16 x) = 4 (y - 6 x) (10 x + y)

Słownik

wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę

wielomian

wyrażenie, które jest sumą jednomianów;
wielomian można zapisać w postaci

$W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ .

2. Kwadrat różnicy

4. Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia