4. Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

R1FS9H7HHRTXA

RRSXU6OEHUKK61

Ilustracja przedstawia popiersie kobiety pozującej lewym profilem. Kobieta ma wysoko upięte włosy. — Marie‑Sophie Germain (1776 – 1831)
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Czy wiesz, że jeszcze pod koniec XVIII wieku we Francji kobiety nie miały wstępu na wyższe uczelnie? Zatem utalentowane kobiety musiały szukać nauczycieli poza murami uniwersytetów. Jedną z takich osób była Marie‑Sophie Germain (1776 – 1831), która pod nazwiskiem Le Blanc nawiązała korespondencję z Josephem Lagrangem – jednym z najlepszych na świecie ówczesnych matematyków, a następnie z równie sławnym niemieckim matematykiem Carlem Gaussem.

Germain zajmowała się głównie teorią liczb, jej nazwiskiem zostały nazwane takie liczby pierwsze $p$ , dla których liczby $2 p + 1$ są również pierwsze. W 1811 r. wygrała konkurs ogłoszonym przez Francuską Akademię Nauk, którego tematem było wyjaśnienie powstawania wzorów, jakie tworzy piasek rozsypany na drgającej płycie.

My również będziemy zajmować się wybranymi zagadnieniami z teorii liczb. Niestety, zakres prezentowanego materiału będzie dużo uboższy niż ten, który zgłębiała Germain. Ograniczymy się bowiem tylko do pokazania możliwości stosowania wzorów skróconego mnożenia stopnia drugiego do dowodzenia twierdzeń dotyczących podzielności liczb całkowitych.

Twoje cele

Zastosujesz wzory skróconego mnożenia stopnia drugiego w obliczeniach rachunkowych.
Usuniesz niewymierność z mianownika ułamka, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Zbadasz czy dana liczba jest wymierna czy niewymierna.
Wykorzystasz wzory skróconego mnożenia w dowodzeniu podzielności liczb całkowitych.
Rozpoznasz liczby złożone, nie wykonując pracochłonnych obliczeń.
Uzasadnisz prawdziwość twierdzenia, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
Wykażesz prawdziwość niektórych nierówności.

Obliczenia rachunkowe

W obliczeniach rachunkowych występują często typowe przypadki mnożenia lub podnoszenia liczb do kwadratu. Działania te możemy wykonać w sposób uproszczony, posługując się wzorami skróconego mnożenia.

Ważne!

Bezpośrednio ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, wynika następująca własność:

Jeśli $a + b = 1$ to $a^{2} - b^{2} = a - b$ .

Jeśli $a - b = 1$ to $a^{2} - b^{2} = a + b$ .

Przykład 1

Wykorzystamy powyższą własność do obliczenia w pamięci $597^{2} - 596^{2}$ i $(0, 97)^{2} - (0, 03)^{2}$ .

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i z tego, że $597 - 596 = 1$ i $0, 97 + 0, 03 = 1$

$597^{2} - 596^{2} = 597 + 596 = 1193$

$(0, 97)^{2} - (0, 03)^{2} = 0, 97 - 0, 03 = 0, 94$

Wzory skróconego mnożenia można też wykorzystać do przekształcania wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 2

Zapiszemy wyrażenie $W = (\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} + \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}})^{2} - \sqrt{89^{2} - 80^{2}}$ w najprostszej postaci.

Uprościmy najpierw każdy ze składników.

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy i ze wzoru na różnicę kwadratów.

$W_{1} = {(\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} + \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}})}^{2} =$

$= 4 - 2 \sqrt{3} + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{(4 - 2 \sqrt{3}) (4 + 2 \sqrt{3})}$

$W_{1} = 8 + 2 \cdot \sqrt{16 - 12} = 8 + 4 = 12$

Drugi ze składników zamieniamy na iloczyn (ze wzoru na różnicę kwadratów) i pierwiastkujemy.

$W_{2} = \sqrt{89^{2} - 80^{2}} = \sqrt{(89 - 80) (89 + 80)} = \sqrt{9 \cdot 169} = 3 \cdot 13 = 39$

Teraz powracamy do rozważanego wyrażenia.

W = W_{1} - W_{2} = 12 - 39 = - 27

Podzielność liczb całkowitych

W przypadku, gdy liczba $a$ jest podzielna przez liczbę $b$ , to istnieje taka liczba całkowita $t$ , że:

a = b t

W przypadku, gdy liczba $a$ nie jest podzielna przez $b$ , to w wyniku dzielenia liczby $a$ przez liczbę $b$ otrzymujemy iloraz $t$ (będący liczbą całkowitą) i resztę $r$ .

a = t b + r

Przykład 3

Uzasadnimy, że liczba $K = 212^{2} - 127^{2}$ jest złożona i dzieli się przez $3$ .

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, zapisujemy wyrażenie określające liczbę $K$ w postaci iloczynu.

K = 212^{2} - 127^{2}

K = (212 - 127) (212 + 127)

Każda z liczb $212 - 127$ i $212 + 127$ jest dzielnikiem liczby $K$ . Zatem liczba $K$ ma co najmniej $4$ dzielniki naturalne (dzielnikami liczby $K$ są również: liczba $1$ i $K$ ), jest więc liczbą złożonąliczba złożonaliczbą złożoną.

Liczbę $K$ można zapisać też w postaci

K = 85 \cdot 339

Ponieważ suma cyfr liczby $339$ jest równa $15$ , więc liczba $339$ dzieli się przez $3$ , a co za tym idzie i liczba $K$ dzieli się przez $3$ , co należało wykazać.

Pokażemy teraz, jak łatwo uzasadnić podzielność danej liczby, za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.

Przykład 4

Wykażemy, że liczba $A = 17^{2} + 29^{2} + 986$ jest podzielna przez $23$ .

Zauważmy, że wyrażenie $17^{2} + 29^{2} + 986$ można zapisać w postaci kwadratu sumy liczb $17$ i $29$ .

Zatem

A = {(17 + 29)}^{2} = 46^{2}

Liczba $46$ jest iloczynem liczby $2$ i liczby $23$ .

A = {(2 \cdot 23)}^{2} = 23 \cdot (23 \cdot 2^{2}) = 23 \cdot 92

Zatem liczbę $A$ można zapisać w postaci iloczynu liczby $23$ i liczby całkowitej $92$ , co oznacza, że liczba $A$ jest podzielna przez $23$ .

Przypomnijmy:

liczbę naturalną parzystą można zapisać w postaci $2 n$ , gdzie $n \in ℕ$ ;
liczbę naturalną nieparzystą można zapisać w postaci $2 n + 1$ , gdzie $n \in ℕ$ ;
liczba $0$ jest liczbą parzystą;
najmniejsza liczba naturalna nieparzysta to $1$ ;
kolejne liczby naturalne, z których najmniejszą jest $n$ to: $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ , $n + 3$ , ...

Przykład 5

Wykażemy, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych w dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ .

Oznaczmy:

$n$ , $n + 1$ , $n + 2$ , gdy $n \in ℕ$ - kolejne liczby naturalne.

Chcemy wykazać, że sumę kwadratów $3$ kolejnych liczb naturalnych można zapisać w postaci sumy iloczynu liczby $3$ i liczby naturalnej oraz liczby $2$ .

Zapisujemy i przekształcamy sumę kwadratów $3$ kolejnych liczb całkowitych, korzystające ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

n^{2} + {(n + 1)}^{2} + {(n + 2)}^{2} = n^{2} + n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} + 4 n + 4 =

= 3 n^{2} + 6 n + 5 = 3 (n^{2} + 2 n + 1) + 2

Ponieważ liczba $n^{2} + 2 n + 1$ jest liczbą naturalną, zatem suma kwadratów $3$ kolejnych liczb naturalnych w dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ , co należało wykazać.

Przykład 6

Wykażemy, że różnica czwartych potęg dwóch liczb naturalnych, z których pierwsza przy dzieleniu przez $10$ daje resztę $1$ , a druga przy dzieleniu przez $10$ daje resztę $3$ , dzieli się przez $10$ .

Pierwszą z liczb możemy zapisać w postaci $10 t + 1$ , gdzie $t \in ℕ$ , a drugą w postaci $10 k + 3$ , gdzie $k \in ℕ$ .

Wtedy ${(10 t + 1)}^{4} - {(10 k + 3)}^{4}$ to różnica czwartych potęg tych liczb.

Przekształcamy otrzymane wyrażenie (oznaczmy je $W$ ), stosując dwukrotnie wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

W = {(10 t + 1)}^{4} - {(10 k + 3)}^{4} =

= [{(10 t + 1)}^{2} - {(10 k + 3)}^{2}] \cdot [{(10 t + 1)}^{2} + {(10 k + 3)}^{2}]

W = [(10 t + 1 - 10 k - 3) (10 t + 1 + 10 k + 3)] \cdot

\cdot [100 t^{2} + 20 t + 1 + 100 k^{2} + 60 k + 9]

W = (10 t - 10 k - 2) \cdot (10 t + 10 k + 4) \cdot (100 t^{2} + 100 k^{2} + 20 t + 60 k + 10)

W ostatnim iloczynie wspólny czynnik to $10$ , wyłączamy go przed nawias.

W = 10 \cdot (10 t - 10 k - 2) \cdot (10 t + 10 k + 4) \cdot (10 t^{2} + 10 k^{2} + 2 t + 6 k + 1)

Różnicę czwartych potęg dwóch liczb naturalnych, z których pierwsza przy dzieleniu przez $10$ daje resztę $1$ , a druga przy dzieleniu przez $10$ daje resztę $3$ , przedstawiliśmy w postaci iloczynu liczby $10$ i liczby całkowitej

(10 t - 10 k - 2) \cdot (10 t + 10 k + 4) \cdot (10 t^{2} + 10 k^{2} + 2 t + 6 k + 1),

zatem różnica ta dzieli się przez $10$ , co należało wykazać.

Dowodzenie nierówności

Wiemy już, że nierówności można przekształcać równoważnie. Do obu stron nierówności można dodać to samo wyrażenie, od obu stron nierówności można odjąć to samo wyrażenie, obie strony nierówności można pomnożyć przez tę samą liczbę, różną od zera. Przy czym, jeśli ta liczba jest ujemna, zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

Teraz udowodnimydowodzenie (przeprowadzenie dowodu)udowodnimy kilka nierówności z zastosowaniem poznanych wzorów i własności potęgowania: kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Przykład 7

Uzasadnimy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ zachodzi nierówność $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ .

a^{2} + b^{2} \geq 2 a b

Przenosimy wszystkie wyrazy nierówności na lewą stronę.

a^{2} + b^{2} - 2 a b \geq 0

Zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci kwadratu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

(a - b)^{2} \geq 0

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem nierówność jest prawdziwa.

Zauważ, że jeśli $a = b$ , to ${(a - b)}^{2} = 0$ , czyli $a^{2} + b^{2} - 2 a b = 0$ , zatem $a^{2} + b^{2} = 2 a b$ .

Przykład 8

Wykażemy, że jeśli $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ .

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2

Zapisujemy nierówność, którą udowodniliśmy w Przykładzie 1. Wiemy już, że jest ona prawdziwa dla każdych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ .

a^{2} + b^{2} \geq 2 a b

Dzielimy obie strony nierówności przez $a b$ zakładając, że $a > 0$ i $b > 0$ .

\frac{a^{2} + b^{2}}{a b} \geq \frac{2 a b}{a b}

Przekształcamy nierówność równoważnie.

\frac{a^{2}}{a b} + \frac{b^{2}}{a b} \geq \frac{2 a b}{a b}

Skracamy, otrzymując żądaną nierówność.

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2

Zauważ, że jeśli $a = b$ , to $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2$ .

Przykład 9

Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $5 (a^{2} + 2 b^{2}) \geq 12 a b$ .

5 (a^{2} + 2 b^{2}) \geq 12 a b

Przenosimy wszystkie wyrazy nierówności z prawej strony na lewą stronę.

5 (a^{2} + 2 b^{2}) - 12 a b \geq 0

Wykonujemy wskazane działania.

5 a^{2} + 10 b^{2} - 12 a b \geq 0

Zapisujemy sumę stojącą po lewej stronie nierówności tak, aby skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

4 a^{2} + 9 b^{2} - 12 a b + a^{2} + b^{2} \geq 0

Grupujemy wyrazy.

(4 a^{2} + 9 b^{2} - 12 a b) + (a^{2} + b^{2}) \geq 0

Zapisujemy wyrażenie stojące w pierwszym nawiasie za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

{(2 a - 3 b)}^{2} + (a^{2} + b^{2}) \geq 0

Po lewej stronie nierówności otrzymaliśmy sumę dwóch wyrażeń, które przyjmują wartości nieujemne dla każdych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ , zatem ich suma jest liczba nieujemną. Dowodzonadowodzenie (przeprowadzenie dowodu)Dowodzona nierówność jest więc prawdziwa.

Już wiesz

Wiemy już, że nierówności o tym samym zwrocie można dodać stronami (natomiast nie wolno odejmować takich nierówności stronami). Własność ta będzie nam pomocna w udowodnieniu kolejnej nierówności.

Przykład 10

Wykażemy, że dla każdych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ , $c$ spełniona jest nierówność $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + a c + b c$ .

a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + a c + b c

Dla liczb $a$ , $b$ , $c$ zapisujemy warunki, które wynikają z nierówności dowodzonejdowodzenie (przeprowadzenie dowodu)dowodzonej w Przykładzie 1.

a^{2} + b^{2} \geq 2 a b

a^{2} + c^{2} \geq 2 a c

b^{2} + c^{2} \geq 2 b c

Dodajemy stronami zapisane nierówności.

a^{2} + b^{2} + a^{2} + c^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2 a b + 2 a c + 2 b c

Redukujemy wyrazy podobne i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2 (a b + a c + b c)

Dzielimy przez $2$ obie strony nierówności.

a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + a c + b c

Otrzymaliśmy żądaną nierówność.

Porównywanie liczb

Wzory skróconego mnożenia w wielu wypadkach mogą być pomocne przy porównywaniu liczb rzeczywistych, w szczególności liczb zapisanych za pomocą potęg.

Przykład 11

Wykażemy, że $3^{100} - 2^{150} > 3^{50} - 2^{75}$ .

3^{100} - 2^{150} > 3^{50} - 2^{75}

Zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci różnicy kwadratów.

{(3^{50})}^{2} - {(2^{75})}^{2} > 3^{50} - 2^{75}

Rozkładamy na czynniki lewą stronę nierówności – ze wzoru na różnicę kwadratów.

(3^{50} + 2^{75}) (3^{50} - 2^{75}) > 3^{50} - 2^{75}

Chcemy podzielić obie strony nierówności przez $3^{50} - 2^{75}$ . Nie wiemy jednak, czy jest to liczba dodatnia, czy ujemna.

\frac{3^{50}}{2^{75}} = {(\frac{3^{2}}{2^{3}})}^{25} = {(\frac{9}{8})}^{25}

Aby to sprawdzić, zapisujemy iloraz $\frac{3^{50}}{2^{75}}$ w postaci jednej potęgi.

Ponieważ $9 > 8$ , zatem liczba $\frac{9}{8}$ jest większa od $1$ , czyli $9^{25} > 8^{25}$ , a co za tym idzie $3^{50} > 2^{75}$ . Wynika stąd, że $3^{50} - 2^{75} > 0$ .

$\frac{9}{8} > 1$ , stąd $9^{25} > 8^{25}$ , czyli $3^{50} - 2^{75} > 0$

Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę dodatnią $3^{50} - 2^{75}$ , zatem nie zmieniamy znaku nierówności.

(3^{50} + 2^{75}) (3^{50} - 2^{75}) > 3^{50} - 2^{75} / : (3^{50} - 2^{75})

Liczba $3^{50} + 2^{75}$ jest oczywiście większa od $1$ , zatem dowodzona równość jest prawdziwa, co należało wykazać.

3^{50} + 2^{75} > 1

Dowodzeniedowodzenie (przeprowadzenie dowodu)Dowodzenie równości

Przekształcając wyrażenia algebraiczne często szukamy jak najprostszych sposobów wykonywania wskazanych działań. I tu mogą być przydatne wzory skróconego mnożenia.

Przykład 12

Wykażemy, że dla każdej wartości zmiennej $x$ , wartość wyrażenia $W = 1 + x^{2} (x^{2} - 2) - {(1 - x)}^{2} \cdot {(1 + x)}^{2}$ jest liczbą naturalną.

W = 1 + x^{2} (x^{2} - 2) - {(1 - x)}^{2} \cdot {(1 + x)}^{2}

Zauważmy, że iloczyn kwadratów dwóch liczb może być zapisany w postaci kwadratu iloczynu tych liczb.

W = 1 + x^{2} (x^{2} - 2) - {[(1 - x) (1 + x)]}^{2}

Wykonujemy wskazane działania. W nawiasie kwadratowym iloczyn zamieniamy na sumę, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

W = 1 + x^{4} - 2 x^{2} - {[1 - x^{2}]}^{2}

Potęgujemy – korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

W = 1 + x^{4} - 2 x^{2} - (1 + x^{4} - 2 x^{2})

Opuszczamy nawias i redukujemy wyrazy podobne.

W = 1 + x^{4} - 2 x^{2} - 1 - x^{4} + 2 x^{2}

W = 0

Wykazaliśmy, że wartość wyrażenia dla każdej liczby rzeczywistej $x$ jest równa $0$ .

Liczba $0$ jest liczbą naturalną, zatem wartość wyrażenia dla każdej liczby rzeczywistej $x$ jest liczbą naturalną, co należało wykazać.

Przykład 13

Udowodnimy prawdziwość równości $\frac{{(a + b)}^{2}}{4} + \frac{{(a - b)}^{2}}{4} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ dla każdych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ .

\frac{{(a + b)}^{2}}{4} + \frac{{(a - b)}^{2}}{4} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2}

Sprowadzamy prawą stronę równości do mianownika $4$ i mnożymy obie strony nierówności przez $4$ .

\frac{{(a + b)}^{2}}{4} + \frac{{(a - b)}^{2}}{4} = \frac{2 a^{2} + 2 b^{2}}{4} / \cdot 4

Mamy teraz do udowodnienia znacznie prostszą równość.

{(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}

Przekształcamy lewą stronę równości, korzystając z odpowiednich wzorów skróconego mnożenia.

L = a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}

Lewa strona równości równa się prawej, zatem równość jest prawdziwa, co należało wykazać.

L = P

Animacja multimedialna

Nim zapoznasz się z animacją, przypomnij sobie wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i korzystając z tego wzoru, rozłóż na czynniki różnicę $a^{4} - b^{4}$ .

Wykorzystaj fakt, że $a^{4} = {(a^{2})}^{2}$

RUFRLOKABB4CU

Polecenie 1

Wykaż, że różnica czwartych potęg dwóch liczb naturalnych różniących się o $2$ jest podzielna przez $8$ .

A = {(n + 2)}^{4} - n^{4} = [{(n + 2)}^{2} - n^{2}] \cdot [{(n + 2)}^{2} + n^{2}]

A = (4 n + 4) \cdot (2 n^{2} + 4 n + 4) = 8 \cdot (n + 1) \cdot (n^{2} + 2 n + 2)

Zestaw ćwiczeń multimedialnych

Fullpage

Pokaż ćwiczenia:

RRR8LO253QCDD1

Ćwiczenie 1

RCT92SPGJ66KV1

Ćwiczenie 2

RJ6VTLPMRM3QE2

Ćwiczenie 3

R1XJK4QFZH9OX1

Ćwiczenie 4

R1M4FT9JA75CJ2

Ćwiczenie 5

RVRTU7ZCNX12A2

Ćwiczenie 6

RF92JOFAE3HX62

Ćwiczenie 7

R3679HK1L2JNF2

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Wykaż, że jeśli $n$ jest liczbą naturalną dodatnią, to liczba

M = (3 n + 1) (3 n - 1) + {(3 n + 1)}^{2} + {(3 n - 1)}^{2}

w dzieleniu przez $9$ daje resztę $1$ .

M = 9 n^{2} - 1 + 9 n^{2} + 6 n + 1 + 9 n^{2} - 6 n + 1

M = 27 n^{2} + 1 = 9 \cdot 3 n^{2} + 1

R12PFF4RG1KUG1

Ćwiczenie 10

R1GM275LGDKPG2

Ćwiczenie 11

RPLAG3ZJJMVJL2

Ćwiczenie 12

RR6BVNCVVPNGB2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $W = 25 x^{2} + (5 x - 1) (5 x + 1) - {(5 x + 1)}^{2} - {(5 x - 1)}^{2}$ jest liczbą całkowitą.

W = 25 x^{2} + (5 x - 1) (5 x + 1) - {(5 x + 1)}^{2} - {(5 x - 1)}^{2}

W = 25 x^{2} + 25 x^{2} - 1 - 25 x^{2} - 10 x - 1 - 25 x^{2} + 10 x - 1

W = - 3

Ćwiczenie 15

Wykaż, że jeśli $a$ , $b$ , $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi to $(a - b) (a + b) - (c - b) (c + b) = (a - c) (a + c)$ .

(a - b) (a + b) - (c - b) (c + b) = a^{2} - b^{2} - c^{2} + b^{2} = a^{2} - c^{2} = (a - c) (a + c)

Słownik

wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy

kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń powiększonej o podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie

wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń pomniejszonej o podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie

wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę

liczba pierwsza

liczba naturalna $n$ , która ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i $n$

liczba złożona

liczba naturalna, większa od $1$ , która ma więcej niż dwa dzielniki

dowodzenie (przeprowadzenie dowodu)

wykazanie, że pewne zdanie matematyczne jest prawdziwe; poszczególne kroki dowodu muszą wynikać z poprzednich lub być aksjomatami

3. Różnica kwadratów

5. Wzory skróconego mnożenia na deser