2. Zamiana ułamków na liczby mieszane

R1dZX5dLTfbs8

Jeśli ciasto podzielimy na cztery równe części i jedną z nich usuniemy, to otrzymamy trzy czwarte całego ciasta.

R1B8lrmtw8nHh

Rysunek ciasta przekrojonego na cztery równe części. Z ciasta usunięto jedną z tych części. — Podział ciasta na równe części.
Źródło: *R.S. Shaw, Praca własna, oparta o: Cake fractions.svg od Acdx,*, domena publiczna.

Ale jeśli z dwóch takich samych ciast usuniemy po jednej czwartej każdego ciasta, to otrzymamy ... Właśnie - ile otrzymamy?

Jak zapisać otrzymaną część ciast - dowiesz się, analizując poniższy materiał. Poznasz w nim ułamki niewłaściwe oraz sposób zamiany takich ułamków na liczby mieszane. Dowiesz się też, jak przedstawiać liczby mieszane w postaci ułamków.

Ważne!

Ułamek właściwy to ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika.
Na przykład

$\frac{3}{14}$

$\frac{5}{6}$

$\frac{17}{24}$

Ważne!

Ułamek niewłaściwy to ułamek, którego licznik jest większy od mianownika.
Na przykład

$\frac{14}{3}$

$\frac{17}{2}$

$\frac{23}{22}$

Przy wykonywaniu niektórych działań na ułamkach zwykłych potrzebna jest umiejętność zamiany liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe lub ułamków niewłaściwych na liczby mieszane.

Zamiana liczby mieszanej na ułamek

Przykład 1

Poniższy film pokazuje dwa sposoby zamiany liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy.

RrLmGFY6cthcW

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LCfhDVXb1qj

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

RrN5xIm9QvXAd

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCz7xFtgIlH2i

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyjkDBNQY0YCO

Ćwiczenie 3

Przeciągnij i upuść. W liczbie

4 \frac{3}{5}

są

4

całości. Jedna całość to 1.

5

, 2.

5

, 3.

23

, 4.

20

, 5.

15

, 6.

25

, 7.

55

, 8.

20

, 9.

40

, 10.

45

, 11.

35

części piątych.
Zatem

4

całości to

4 \cdot

5

, 2.

5

, 3.

23

, 4.

20

, 5.

15

, 6.

25

, 7.

55

, 8.

20

, 9.

40

, 10.

45

, 11.

35

części piątych, czyli 1.

5

, 2.

5

, 3.

23

, 4.

20

, 5.

15

, 6.

25

, 7.

55

, 8.

20

, 9.

40

, 10.

45

, 11.

35

części piątych.
W liczbie

4 \frac{3}{5}

są więc 1.

5

, 2.

5

, 3.

23

, 4.

20

, 5.

15

, 6.

25

, 7.

55

, 8.

20

, 9.

40

, 10.

45

, 11.

35

+ 3

części piąte, czyli 1.

5

, 2.

5

, 3.

23

, 4.

20

, 5.

15

, 6.

25

, 7.

55

, 8.

20

, 9.

40

, 10.

45

, 11.

35

piąte części.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Zamieniając liczbę mieszaną na ułamek, trzeba tylko obliczyć licznik ułamka. Mianownik pozostaje taki sam jak mianownik części ułamkowej liczby mieszanej.

RWJ4uAaOY8DFG1

Ilustracja przedstawia przykład: liczba mieszana dwie całe i trzy czwarte równa się ułamek dwa razy cztery plus trzy, mianownik cztery, koniec ułamka równa się jedenaście czwartych. Każda cyfra 2 zaznaczona jest kolorem zielonym, każda cyfra 4 zaznaczona jest kolorem niebieskim, a cyfra 11 zaznaczona jest kolorem fioletowym. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RHmNDwTheahWC

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zamiana ułamka na liczbę mieszaną

Przykład 2

Zamieniając ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną, wykorzystujemy wynik dzielenia licznika przez mianownik tego ułamka.

$\frac{17}{5} = 3 \frac{2}{5},$

ponieważ

$17 : 5 = 3 r 2$

Przykład 3

Ułamek $\frac{11}{3}$ zamienimy na liczbę mieszaną.

sposób $I$

Rh6RtiiEHk70T1

sposób $I I$

Wykorzystamy do zamiany oś liczbową.

R1XGAJ5lrZw4j1

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi punktami 0, 1, 2, 3 i 4. Odcinek jednostkowy jedna trzecia. Punkt trzy całe dwie trzecie odpowiada punktowi jedenaście trzecich. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem $\frac{11}{3} = 3 \frac{2}{3}$ .

Ważne!

Zamieniając ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną, wykorzystujemy wynik dzielenia licznika przez mianownik tego ułamka.

REKjXzJrMfdUF1

Przykład: ułamek siedemnaście piątych równa się trzy całe i dwie piąte, bo 17 dzielone przez 5 =3 r 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek.

$12 \frac{9}{11} = \frac{141}{11}$

RkIZcSbjDZuzL1

"Przykłady zapisane sposobem pisemnym: 12 razy 11 =132 oraz 132 dodać 9=141 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RmiTsGhsQl4EI

Ćwiczenie 5

1. 1.

\frac{657}{145}

, 2.

\frac{267}{5}

, 3.

\frac{311}{14}

, 4.

\frac{1720}{9}

, 5.

\frac{333}{14}

, 6.

\frac{323}{16}

, 7.

\frac{1270}{8}

, 8.

\frac{257}{7}

, 9.

\frac{675}{135}

, 10.

\frac{1207}{8}

, 11.

\frac{254}{7}

, 12.

\frac{567}{154}

2. 1.

\frac{657}{145}

, 2.

\frac{267}{5}

, 3.

\frac{311}{14}

, 4.

\frac{1720}{9}

, 5.

\frac{333}{14}

, 6.

\frac{323}{16}

, 7.

\frac{1270}{8}

, 8.

\frac{257}{7}

, 9.

\frac{675}{135}

, 10.

\frac{1207}{8}

, 11.

\frac{254}{7}

, 12.

\frac{567}{154}

3. 1.

\frac{657}{145}

, 2.

\frac{267}{5}

, 3.

\frac{311}{14}

, 4.

\frac{1720}{9}

, 5.

\frac{333}{14}

, 6.

\frac{323}{16}

, 7.

\frac{1270}{8}

, 8.

\frac{257}{7}

, 9.

\frac{675}{135}

, 10.

\frac{1207}{8}

, 11.

\frac{254}{7}

, 12.

\frac{567}{154}

4. 1.

\frac{657}{145}

, 2.

\frac{267}{5}

, 3.

\frac{311}{14}

, 4.

\frac{1720}{9}

, 5.

\frac{333}{14}

, 6.

\frac{323}{16}

, 7.

\frac{1270}{8}

, 8.

\frac{257}{7}

, 9.

\frac{675}{135}

, 10.

\frac{1207}{8}

, 11.

\frac{254}{7}

, 12.

\frac{567}{154}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RRsNf8VVNbCD3

Ćwiczenie 6

Ile wynoszą podane liczby mieszane w postaci ułamków niewłaściwych? Przeciągnij i upuść poprawny ułamek w wyznaczone pole.

3 \frac{4}{5} =

\frac{75}{8}

, 2.

\frac{145}{12}

, 3.

\frac{110}{10}

, 4.

\frac{21}{5}

, 5.

\frac{79}{8}

, 6.

\frac{150}{12}

, 7.

\frac{115}{10}

, 8.

\frac{19}{5}

9 \frac{7}{8} =

\frac{75}{8}

, 2.

\frac{145}{12}

, 3.

\frac{110}{10}

, 4.

\frac{21}{5}

, 5.

\frac{79}{8}

, 6.

\frac{150}{12}

, 7.

\frac{115}{10}

, 8.

\frac{19}{5}

12 \frac{1}{12} =

\frac{75}{8}

, 2.

\frac{145}{12}

, 3.

\frac{110}{10}

, 4.

\frac{21}{5}

, 5.

\frac{79}{8}

, 6.

\frac{150}{12}

, 7.

\frac{115}{10}

, 8.

\frac{19}{5}

11 \frac{5}{10} =

\frac{75}{8}

, 2.

\frac{145}{12}

, 3.

\frac{110}{10}

, 4.

\frac{21}{5}

, 5.

\frac{79}{8}

, 6.

\frac{150}{12}

, 7.

\frac{115}{10}

, 8.

\frac{19}{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R148zCf6uetgx

Ćwiczenie 7

Połącz w pary liczby mieszane z równymi im ułamkami niewłaściwymi.

1 \frac{3}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

4 \frac{3}{11}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

1 \frac{8}{15}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

9 \frac{4}{7}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

6 \frac{4}{9}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

11 \frac{5}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

5 \frac{9}{23}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

19 \frac{5}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQj9l99Gqdtck

Ćwiczenie 8

1. 1.

4 \frac{5}{6}

, 2.

11 \frac{1}{7}

, 3.

8 \frac{3}{10}

, 4.

3 \frac{5}{6}

, 5.

10 \frac{1}{8}

, 6.

5 \frac{1}{6}

, 7.

9 \frac{3}{10}

, 8.

8 \frac{4}{8}

, 9.

8 \frac{4}{5}

, 10.

5 \frac{1}{4}

, 11.

11 \frac{2}{7}

, 12.

6 \frac{1}{4}

, 13.

3 \frac{5}{9}

, 14.

9 \frac{6}{10}

, 15.

7 \frac{4}{5}

, 16.

4 \frac{1}{5}

, 17.

5 \frac{1}{2}

, 18.

6 \frac{1}{2}

2. 1.

4 \frac{5}{6}

, 2.

11 \frac{1}{7}

, 3.

8 \frac{3}{10}

, 4.

3 \frac{5}{6}

, 5.

10 \frac{1}{8}

, 6.

5 \frac{1}{6}

, 7.

9 \frac{3}{10}

, 8.

8 \frac{4}{8}

, 9.

8 \frac{4}{5}

, 10.

5 \frac{1}{4}

, 11.

11 \frac{2}{7}

, 12.

6 \frac{1}{4}

, 13.

3 \frac{5}{9}

, 14.

9 \frac{6}{10}

, 15.

7 \frac{4}{5}

, 16.

4 \frac{1}{5}

, 17.

5 \frac{1}{2}

, 18.

6 \frac{1}{2}

3. 1.

4 \frac{5}{6}

, 2.

11 \frac{1}{7}

, 3.

8 \frac{3}{10}

, 4.

3 \frac{5}{6}

, 5.

10 \frac{1}{8}

, 6.

5 \frac{1}{6}

, 7.

9 \frac{3}{10}

, 8.

8 \frac{4}{8}

, 9.

8 \frac{4}{5}

, 10.

5 \frac{1}{4}

, 11.

11 \frac{2}{7}

, 12.

6 \frac{1}{4}

, 13.

3 \frac{5}{9}

, 14.

9 \frac{6}{10}

, 15.

7 \frac{4}{5}

, 16.

4 \frac{1}{5}

, 17.

5 \frac{1}{2}

, 18.

6 \frac{1}{2}

4. 1.

4 \frac{5}{6}

, 2.

11 \frac{1}{7}

, 3.

8 \frac{3}{10}

, 4.

3 \frac{5}{6}

, 5.

10 \frac{1}{8}

, 6.

5 \frac{1}{6}

, 7.

9 \frac{3}{10}

, 8.

8 \frac{4}{8}

, 9.

8 \frac{4}{5}

, 10.

5 \frac{1}{4}

, 11.

11 \frac{2}{7}

, 12.

6 \frac{1}{4}

, 13.

3 \frac{5}{9}

, 14.

9 \frac{6}{10}

, 15.

7 \frac{4}{5}

, 16.

4 \frac{1}{5}

, 17.

5 \frac{1}{2}

, 18.

6 \frac{1}{2}

5. 1.

4 \frac{5}{6}

, 2.

11 \frac{1}{7}

, 3.

8 \frac{3}{10}

, 4.

3 \frac{5}{6}

, 5.

10 \frac{1}{8}

, 6.

5 \frac{1}{6}

, 7.

9 \frac{3}{10}

, 8.

8 \frac{4}{8}

, 9.

8 \frac{4}{5}

, 10.

5 \frac{1}{4}

, 11.

11 \frac{2}{7}

, 12.

6 \frac{1}{4}

, 13.

3 \frac{5}{9}

, 14.

9 \frac{6}{10}

, 15.

7 \frac{4}{5}

, 16.

4 \frac{1}{5}

, 17.

5 \frac{1}{2}

, 18.

6 \frac{1}{2}

6. 1.

4 \frac{5}{6}

, 2.

11 \frac{1}{7}

, 3.

8 \frac{3}{10}

, 4.

3 \frac{5}{6}

, 5.

10 \frac{1}{8}

, 6.

5 \frac{1}{6}

, 7.

9 \frac{3}{10}

, 8.

8 \frac{4}{8}

, 9.

8 \frac{4}{5}

, 10.

5 \frac{1}{4}

, 11.

11 \frac{2}{7}

, 12.

6 \frac{1}{4}

, 13.

3 \frac{5}{9}

, 14.

9 \frac{6}{10}

, 15.

7 \frac{4}{5}

, 16.

4 \frac{1}{5}

, 17.

5 \frac{1}{2}

, 18.

6 \frac{1}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

RRpVgxqlpudQq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R192CN7LBNTQS

Ćwiczenie 9

Połącz w pary ułamki niewłaściwe z liczbą mieszaną.

\frac{11}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 \frac{1}{2}

, 2.

3 \frac{7}{9}

, 3.

2 \frac{3}{4}

, 4.

4 \frac{2}{3}

, 5.

1 \frac{6}{7}

, 6.

4 \frac{3}{4}

, 7.

5 \frac{1}{5}

\frac{5}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 \frac{1}{2}

, 2.

3 \frac{7}{9}

, 3.

2 \frac{3}{4}

, 4.

4 \frac{2}{3}

, 5.

1 \frac{6}{7}

, 6.

4 \frac{3}{4}

, 7.

5 \frac{1}{5}

\frac{19}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 \frac{1}{2}

, 2.

3 \frac{7}{9}

, 3.

2 \frac{3}{4}

, 4.

4 \frac{2}{3}

, 5.

1 \frac{6}{7}

, 6.

4 \frac{3}{4}

, 7.

5 \frac{1}{5}

\frac{14}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 \frac{1}{2}

, 2.

3 \frac{7}{9}

, 3.

2 \frac{3}{4}

, 4.

4 \frac{2}{3}

, 5.

1 \frac{6}{7}

, 6.

4 \frac{3}{4}

, 7.

5 \frac{1}{5}

\frac{26}{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 \frac{1}{2}

, 2.

3 \frac{7}{9}

, 3.

2 \frac{3}{4}

, 4.

4 \frac{2}{3}

, 5.

1 \frac{6}{7}

, 6.

4 \frac{3}{4}

, 7.

5 \frac{1}{5}

\frac{13}{7}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 \frac{1}{2}

, 2.

3 \frac{7}{9}

, 3.

2 \frac{3}{4}

, 4.

4 \frac{2}{3}

, 5.

1 \frac{6}{7}

, 6.

4 \frac{3}{4}

, 7.

5 \frac{1}{5}

\frac{34}{9}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 \frac{1}{2}

, 2.

3 \frac{7}{9}

, 3.

2 \frac{3}{4}

, 4.

4 \frac{2}{3}

, 5.

1 \frac{6}{7}

, 6.

4 \frac{3}{4}

, 7.

5 \frac{1}{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R10CS89wzGndU

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

Zamieniamy ułamek $\frac{125}{9}$ na liczbę mieszaną

$\frac{125}{9} = 13 \frac{8}{9}$

RqgGFOCgzOYoV1

Przykład zapisany sposobem pisemnym: 125 dzielone przez 9 =13 r 8. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1WwryUdhBoCv

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

1. Ułamek jako część całości

3. Ułamek jako iloraz