7. Ułamki zwykłe - podsumowanie - Nie wszystko jest całością - ułamki zwykłe

R1dZX5dLTfbs8

7. Ułamki zwykłe - podsumowanie

Z podziałem całości na jednakowe części spotykamy się niemal codziennie. Dzielimy jabłko na pół, kostkę masła na cztery równe części, tort na dwanaście jednakowych kawałków. Każdą z tak otrzymanych części możemy zapisać w postaci ułamka zwykłego. Odpowiednio: $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{12}$ .

W tym materiale omówimy najważniejsze własności ułamków zwykłych – ułamki będziemy skracać, rozszerzać, porównywać, przedstawiać je na osi liczbowej.

Ułamek zwykły zapisujemy za pomocą dwóch liczb oddzielonych kreską ułamkową. Liczba nad kreską to licznik, a liczba pod kreską to mianownik.

\frac{a}{b}

gdzie:
$a$ – licznik,
$b$ – mianownik

Mianownik ułamka pokazuje, na ile równych części podzielono daną całość. Licznik ułamka pokazuje, ile z tych części wzięto.

Przykład 1

Prostokąt podzielono na sześć równych części.

RYkyoP2HPBOS8

Ilustracja przedstawia sześć prostokątów, połączonych ze sobą krótszym bokiem. Pięć z sześciu prostokątów zacieniowano niebieskim kolorem. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Pokolorowano $\frac{5}{6}$ wszystkich części. Niezamalowana część to $\frac{1}{6}$ wszystkich części.
$\frac{5}{6}$ – czytamy: pięć szóstych,
$\frac{1}{6}$ – czytamy: jedna szósta.

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją pokazującą zastosowanie ułamków do opisu niektórych własności Ziemi i Słońca.

RJhAvPD8tgHZz1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ułamek jest inną formą zapisu ilorazu dwóch liczb, z których dzielna jest licznikiem, dzielnik mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.

Przykład 2

Każdy z podanych ułamków zapiszemy jako iloraz.

$\frac{7}{8} = 7 : 8$
$\frac{1}{16} = 1 : 16$
$\frac{5}{9} = 5 : 9$ .

Przykład 3

Każdy z ilorazów zapiszemy za pomocą ułamka.

$10 : 9 = \frac{10}{9}$
$20 : 30 = \frac{20}{30}$
$1 : 3 = \frac{1}{3}$

Ułamek, w którym licznik jest równy mianownikowi jest równy $1$ .

\frac{5}{5} = 5 : 5 = 1

\frac{17}{17} = 17 : 17 = 1

Ważne!

Mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera.

Ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika, nazywamy ułamkiem właściwymułamek właściwyułamkiem właściwym.

Ułamek, którego licznik jest większy od mianownika, nazywamy ułamkiem niewłaściwymułamek niewłaściwyułamkiem niewłaściwym.

$\frac{1}{2}$ , $\frac{7}{17}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{11}{69}$ – ułamki właściweułamek właściwyułamki właściwe,

$\frac{4}{1}$ , $\frac{9}{2}$ , $\frac{123}{120}$ , $\frac{5}{4}$ – ułamki niewłaściweułamek niewłaściwyułamki niewłaściwe.

Punkty, odpowiadające ułamkom, można zaznaczać na osi liczbowej.

Przykład 4

Zaznaczmy na osi liczbowej ułamki: $\frac{1}{4}$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{8}{4}$ , $\frac{10}{4}$ .

Na osi liczbowej odcinek jednostkowy dzielimy na cztery równe części.

R1Qy8u9qh7LPG

Ilustracja przedstawia oś liczbową od zera do jedenastu czwartych, z podziałką co jedna czwarta. Zaznaczono punkt jedna czwarta, trzy czwarte, osiem czwartych i dziesięć czwartych. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że ułamek $\frac{8}{4}$ odpowiada liczbie $2$ , a ułamek $\frac{10}{4}$ to $2$ i $\frac{2}{4}$ .
Możemy zapisać:
$\frac{8}{4} = 2$ ,

$\frac{10}{4} = 2 \frac{2}{4}$ .

Ułamek $\frac{10}{4}$ zapisaliśmy w postaci liczby mieszanej $2 \frac{2}{4}$ . Liczba mieszana składa się z części całkowitej i części ułamkowej.
$2 \frac{2}{4}$ – czytamy: dwie całe i dwie czwarte, $2$ – część całkowita, $\frac{2}{4}$ – część ułamkowa.

Przykład 5

Zapiszemy, jakiej liczbie odpowiadają zamalowane części figury składającej się czterech sześciokątów.

R1F5Zox2y5YBA

Ilustracja przedstawia cztery sześciokąty, podzielone na sześć trójkątów równobocznych. Zacieniowano trzy całe sześciokąty oraz pięć z sześciu trójkątów w czwartym sześciokącie — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Na rysunku zamalowane są trzy sześciokąty i zamalowanych jest też pięć z sześciu części czwartego sześciokąta.
Sytuację tę możemy zapisać za pomocą liczby mieszanej $3 \frac{5}{6}$ lub ułamka $\frac{23}{6}$ .
Wynika stąd, że

3 \frac{5}{6} = \frac{23}{6}

Przykład 6

Zamienimy liczbę mieszaną $4 \frac{1}{3}$ na ułamek niewłaściwyułamek niewłaściwyułamek niewłaściwy.

$I$ sposób:

4 \frac{1}{3} = 4 + \frac{1}{3} = \frac{12}{3} + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}

$II$ sposób:

4 \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{3} = \frac{12 + 1}{3} = \frac{13}{3}

Ułamek niewłaściwyułamek niewłaściwyUłamek niewłaściwy możemy zamienić na liczbę mieszaną, wykonując dzielenie z resztą.

Przykład 7

Zapiszemy każdy z ułamków $\frac{14}{5}$ , $\frac{32}{3}$ , $\frac{19}{2}$ w postaci liczby mieszanej.
$\frac{14}{5} = 14 : 5 = 2 r 4$ , czyli $\frac{14}{5} = 2 \frac{4}{5}$
$\frac{32}{3} = 32 : 3 = 10 r 2$ , czyli $\frac{32}{3} = 10 \frac{2}{3}$
$\frac{19}{2} = 19 : 2 = 9 r 1$ , czyli $\frac{19}{2} = 9 \frac{1}{2}$ .

Ułamki, podobnie jak liczby naturalne, możemy porównywać.
Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach ten jest większy, którego licznik jest większy.

Przykład 8

Porównamy ułamki $\frac{6}{8}$ i $\frac{2}{8}$ oraz $\frac{4}{10}$ i $\frac{7}{10}$ .

R1WEQDn6mE8fN

Ilustracja przedstawia dwa prostokąty, podzielone na osiem kwadratów. W prostokącie znajdującym się po lewej stronie zamalowano sześć z ośmiu kwadratów. Niżej zapisano ułamek sześć ósmych. W prostokącie znajdującym się po prawej stronie zamalowano dwa z ośmiu kwadratów. Niżej zapisano ułamek dwie ósme. Pomiędzy ułamkami znajduje się znak większości. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

RTDdwsjKJw2Qp

Ilustracja przedstawia dwa prostokąty, podzielone na dziesięć kwadratów. W prostokącie znajdującym się po lewej stronie zamalowano cztery z dziesięciu kwadratów. Niżej zapisano ułamek cztery dziesiąte. W prostokącie znajdującym się po prawej stronie zamalowano siedem z dziesięciu kwadratów. Niżej zapisano ułamek siedem dziesiątych. Pomiędzy ułamkami znajduje się znak większości. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Przykład 9

Zapiszemy ułamki $\frac{2}{4}$ , $\frac{2}{16}$ , $\frac{2}{64}$ od najmniejszego do największego.

R1GkZH4FvaGGZ

Ilustracja przedstawia trzy kwadraty o takim samym rozmiarze. Kwadrat pierwszy podzielono na cztery kwadraty, kolorem różowym zamalowano dwa z czterech kwadratów. Niżej zapisano ułamek dwie czwarte. Kwadrat drugi podzielono na szesnaście kwadratów, kolorem różowym zacieniowano dwa z szesnastu kwadratów. Niżej zapisano ułamek dwie szesnaste. Kwadrat trzeci podzielono na sześćdziesiąt cztery kwadraty, kolorem różowym zamalowano dwa z nich. Niżej zapisano ułamek dwie sześćdziesiąte czwarte. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

\frac{2}{64} < \frac{2}{16} < \frac{2}{4}

Z dwóch ułamków o jednakowych licznikach ten jest większy, którego mianownik jest mniejszy.

Na każdym z poniższych rysunków zamalowano taką samą część prostokąta. Zatem ułamki opisujące zamalowane części są równe.

R1QvBWhLJziPC

Ilustracja przedstawia trzy takie same kwadraty. Kwadrat pierwszy podzielono na dwie równe części i zamalowano jedną z nich. Niżej zapisano ułamek jedna druga. Kwadrat drugi podzielono na cztery części, dwie z nich zamalowano. Niżej zapisano ułamek dwie czwarte. Kwadrat trzeci podzielono na sześć części, trzy z nich zamalowano. Niżej zapisano ułamek trzy szóste. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}

Zauważ, że

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}

Zatem mnożąc licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę, różną od $0$ , otrzymujemy ułamek równy danemu. Taką czynność nazywamy rozszerzaniem ułamkarozszerzanie ułamkarozszerzaniem ułamka.

Przykład 10

Każdy z ułamków $\frac{3}{4}$ , $\frac{7}{6}$ , $\frac{1}{3}$ sprowadzimy do mianownika $12$ , odpowiednio go rozszerzając.

\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}

\frac{7}{6} = \frac{7 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{14}{12}

\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}

Licznik i mianownik ułamka możemy nie tylko mnożyć przez tę samą liczbę, ale również dzielić przez tę samą liczbę, różną od $0$ , będącą wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika. Taką czynność nazywamy skracaniem ułamkaskracanie ułamkaskracaniem ułamka. W wyniku otrzymujemy również ułamek równy danemu.

Przykład 11

Skrócimy każdy z ułamków $\frac{15}{30}$ , $\frac{36}{48}$ , $\frac{55}{33}$ , $\frac{6}{6}$ przez największy wspólny dzielnik licznika i mianownika.

\frac{15}{30} = \frac{15 : 15}{30 : 15} = \frac{1}{2}

\frac{36}{48} = \frac{36 : 12}{48 : 12} = \frac{3}{4}

\frac{55}{33} = \frac{55 : 11}{33 : 11} = \frac{5}{3}

\frac{12}{6} = \frac{12 : 6}{6 : 6} = \frac{2}{1} = 2

Jeżeli licznik i mianownik ułamka nie mają wspólnych dzielników większych od $1$ , to takiego ułamka nie możemy skrócić. Ułamek taki nazywamy nieskracalnym.

Przykład 12

Przykłady ułamków nieskracalnych.

\frac{1}{2}

\frac{3}{4}

\frac{5}{8}

\frac{7}{15}

\frac{20}{37}

Polecenie 2

Zagraj w poniższą grę i sprawdź swoje umiejętności dotyczące rozszerzania oraz skracania ułamków.

RWkRQr22Hd65O

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1FPVLusVTTU5

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1Z4sgl2LuIY0

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 3

Przez jaką liczbę należy rozszerzyć ułamek $\frac{9}{5}$ , aby otrzymać $1 \frac{24}{30}$ ?

Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy.

1 \frac{24}{30} = \frac{54}{30}

Określamy, przez jaką liczbę pomnożono $9$ , aby otrzymać $54$ .

54 : 9 = 6

Odpowiedź:
Ułamek rozszerzono przez $6$ .

Polecenie 4

Ułamek $\frac{32}{36}$ skrócono, otrzymując ułamek nieskracalny. Tak otrzymany ułamek rozszerzono przez $7$ . Ile otrzymano?

Skróć najpierw podany ułamek przez $4$ .

\frac{32}{36} = \frac{8}{9} = \frac{56}{63}

Polecenie 5

Ustal, jakie działania wykonano, otrzymując poniższą równość.

24 : 72 = 60 : 180

24 : 72 = 60 : 180

\frac{24}{72} = \frac{60}{180}

Na przykład:

\frac{24}{72} = \frac{1}{3} = \frac{60}{180}

Odpowiedź:
Ułamek $\frac{24}{72}$ najpierw skracamy przez $24$ , a następnie rozszerzamy przez $60$ .

Ćwiczenie 1

R1YMZGJvQ6DDi

Połącz w pary ułamek zapisany słowami i ułamek zapisany liczbami. trzy czwarte Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{15}

, 2.

\frac{4}{3}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{8}{11}

, 5.

\frac{15}{5}

, 6.

\frac{11}{8}

osiem jedenastych Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{15}

, 2.

\frac{4}{3}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{8}{11}

, 5.

\frac{15}{5}

, 6.

\frac{11}{8}

piętnaście piątych Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{15}

, 2.

\frac{4}{3}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{8}{11}

, 5.

\frac{15}{5}

, 6.

\frac{11}{8}

jedenaście ósmych Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{15}

, 2.

\frac{4}{3}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{8}{11}

, 5.

\frac{15}{5}

, 6.

\frac{11}{8}

cztery trzecie Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{15}

, 2.

\frac{4}{3}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{8}{11}

, 5.

\frac{15}{5}

, 6.

\frac{11}{8}

pięć piętnastych Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{15}

, 2.

\frac{4}{3}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{8}{11}

, 5.

\frac{15}{5}

, 6.

\frac{11}{8}

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Jaka część prostokąta jest zamalowana? Jaka część prostokąta jest niezamalowana?

R1PZr7GBrJnIS

Ilustracja przedstawia prostokąt podzielony na osiem równych części. Sześć z nich zamalowano. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

RDlvXmPnuubqL

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Janek i Basia poszli na pizzę. Podzielili ją na osiem kawałków. Janek zjadł trzy kawałki, a Basia resztę.

R17wqIByy5sT71

Rysunek pizzy podzielonej na osiem części. Trzy kawałki pizzy oddzielone są od pozostałych kawałków pizzy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1neahSCgPm8P

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQQurzOsEmMcI1

Ćwiczenie 4

Barnaba i Horacy dostali

27

mandarynek. Odłożyli jedną mandarynkę, a pozostałymi podzielili się po równo. Odłożona mandarynka przypadła Barnabie. Jaką część wszystkich mandarynek wziął Barnaba, a jaką Horacy? Uzupełnij odpowiedź, przeciągając w luki odpowiednie ułamki lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Odpowiedź: Barnaba wziął 1.

\frac{14}{27}

, 2.

\frac{15}{27}

, 3.

\frac{13}{27}

, 4.

\frac{12}{27}

mandarynek, a Horacy 1.

\frac{14}{27}

, 2.

\frac{15}{27}

, 3.

\frac{13}{27}

, 4.

\frac{12}{27}

Barnaba i Horacy dostali $27$ mandarynek. Odłożyli jedną mandarynkę, a pozostałymi podzielili się po równo. Odłożona mandarynka przypadła Barnabie. Jaką część wszystkich mandarynek wziął Barnaba, a jaką Horacy?

$\frac{14}{27}$ , $\frac{13}{27}$

Barnaba wziął ............ mandarynek, a Horacy .............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Ryg95crzoJ6RK1

Klara, Klaudyna i Kwiryna zebrały razem

53 kg

makulatury. Klara zebrała

12 kg,

Klaudyna –

24 kg .

Resztę zebrała Kwiryna. Jaką część tej makulatury zebrała każda z dziewcząt? Uzupełnij odpowiedź, przeciągając w luki odpowiednie ułamki lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Odpowiedź: Klara zebrała 1.

\frac{17}{53}

, 2.

\frac{10}{53}

, 3.

\frac{23}{53}

, 4.

\frac{12}{53}

, 5.

\frac{24}{53}

, 6.

\frac{15}{53}

, Klaudyna 1.

\frac{17}{53}

, 2.

\frac{10}{53}

, 3.

\frac{23}{53}

, 4.

\frac{12}{53}

, 5.

\frac{24}{53}

, 6.

\frac{15}{53}

, a Kwiryna 1.

\frac{17}{53}

, 2.

\frac{10}{53}

, 3.

\frac{23}{53}

, 4.

\frac{12}{53}

, 5.

\frac{24}{53}

, 6.

\frac{15}{53}

całej makulatury.

Klara, Klaudyna i Kwiryna zebrały razem $53 kg$ makulatury. Klara zebrała $12 kg,$ Klaudyna – $24 kg .$ Resztę zebrała Kwiryna. Jaką część tej makulatury zebrała każda z dziewcząt?

$\frac{24}{53}$ , $\frac{17}{53}$ , $\frac{12}{53}$

Klara zebrała ............ , Klaudyna ............ , a Kwiryna ............ całej makulatury.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RW95KEt8V02Ls1

Ćwiczenie 6

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie ułamki lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pięć godzin to 1.

\frac{7}{100}

, 2.

\frac{7}{10}

, 3.

\frac{277}{1000}

, 4.

\frac{31}{365}

, 5.

\frac{31}{366}

, 6.

\frac{5}{24}

doby.Siedem centymetrów to 1.

\frac{7}{100}

, 2.

\frac{7}{10}

, 3.

\frac{277}{1000}

, 4.

\frac{31}{365}

, 5.

\frac{31}{366}

, 6.

\frac{5}{24}

metra.Dwieście siedemdziesiąt siedem metrów to 1.

\frac{7}{100}

, 2.

\frac{7}{10}

, 3.

\frac{277}{1000}

, 4.

\frac{31}{365}

, 5.

\frac{31}{366}

, 6.

\frac{5}{24}

kilometra.Październik to 1.

\frac{7}{100}

, 2.

\frac{7}{10}

, 3.

\frac{277}{1000}

, 4.

\frac{31}{365}

, 5.

\frac{31}{366}

, 6.

\frac{5}{24}

roku zwykłego i 1.

\frac{7}{100}

, 2.

\frac{7}{10}

, 3.

\frac{277}{1000}

, 4.

\frac{31}{365}

, 5.

\frac{31}{366}

, 6.

\frac{5}{24}

roku przestępnego.

Przeciągnij i upuść.

$\frac{7}{10}$ , $\frac{31}{365}$ , $\frac{5}{24}$ , $\frac{277}{1 000}$ , $\frac{7}{100}$ , $\frac{31}{366}$

a) Pięć godzin to ................ doby.
b) Siedem centymetrów to ................ metra.
c) Dwieście siedemdziesiąt siedem metrów to ................ kilometra.
Październik to ................ lub ................ roku.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Odczytaj, jaki ułamek odpowiada punktowi zaznaczonemu na osi zieloną kropką.

R1BGMGqjqhN911

Rysunek czterech osi liczbowych z zaznaczonymi liczbami 0 i jeden. Na osi A odcinek jednostkowy podzielony jest na dwie równe części. Szukany punkt wyznacza jedną część za punktem zero. Na osi B odcinek jednostkowy podzielony jest na trzy równe części. Szukany punkt wyznacza jedną część za punktem zero. Na osi C odcinek jednostkowy podzielony jest na sześć równych części. Szukany punkt wyznacza pięć części za punktem zero. Na osi D odcinek jednostkowy podzielony jest na siedem równych części. Szukany punkt wyznacza trzy części za punktem zero. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZtCxVeUXmIbM

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie ułamki lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Punktowi zaznaczonemu na osi

a

odpowiada ułamek 1.

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{5}{6}

, 3.

\frac{4}{6}

, 4.

\frac{3}{7}

, 5.

\frac{4}{7}

, 6.

\frac{1}{2}

.Punktowi zaznaczonemu na osi

b

odpowiada ułamek 1.

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{5}{6}

, 3.

\frac{4}{6}

, 4.

\frac{3}{7}

, 5.

\frac{4}{7}

, 6.

\frac{1}{2}

.Punktowi zaznaczonemu na osi

c

odpowiada ułamek 1.

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{5}{6}

, 3.

\frac{4}{6}

, 4.

\frac{3}{7}

, 5.

\frac{4}{7}

, 6.

\frac{1}{2}

.Punktowi zaznaczonemu na osi

d

odpowiada ułamek 1.

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{5}{6}

, 3.

\frac{4}{6}

, 4.

\frac{3}{7}

, 5.

\frac{4}{7}

, 6.

\frac{1}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podziałka na osi $a$ dzieli odcinek jednostkowy na dwie równe części, czyli każda część ma długość $\frac{1}{2}$ .
Podziałka na osi $b$ dzieli odcinek jednostkowy na trzy równe części, czyli każda część ma długość $\frac{1}{3}$ .
Podziałka na osi $c$ dzieli odcinek jednostkowy na sześć równych części, czyli każda część ma długość $\frac{1}{6}$ .
Podziałka na osi $d$ dzieli odcinek jednostkowy na siedem równych części, czyli każda część ma długość $\frac{1}{7}$ .

Ćwiczenie 8

Odczytaj, jaki ułamek odpowiada punktowi zaznaczonemu na osi zieloną kropką.

R1HfhdC0gmjqB1

Rysunek czterech osi liczbowych. Na osi A zaznaczone są liczby 0 i jedna trzecia, każda część podziałki ma długość równą jedna trzecia. Szukany punkt wyznacza jedną część za punktem jedna trzecia. Na osi B zaznaczone są liczby 0 i trzy siódme, każda część podziałki ma długość równą jedna siódma. Szukany punkt wyznacza jedną część za punktem zero. Na osi C zaznaczone są liczby 0 i pięć dziewiątych, każda część podziałki ma długość równą jedna dziewiąta. Szukany punkt wyznacza trzy części za punktem zero. Na osi D zaznaczone są liczby 0 i pięć szesnastych, każda część podziałki ma długość równą jedna szesnasta. Szukany punkt wyznacza osiem części za punktem pięć szesnastych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NQDY44MlanD

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie ułamki lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Punktowi zaznaczonemu na osi

a

odpowiada ułamek 1.

\frac{2}{3}

, 2.

\frac{13}{16}

, 3.

\frac{3}{9}

, 4.

\frac{11}{16}

, 5.

\frac{4}{9}

, 6.

\frac{1}{7}

.Punktowi zaznaczonemu na osi

b

odpowiada ułamek 1.

\frac{2}{3}

, 2.

\frac{13}{16}

, 3.

\frac{3}{9}

, 4.

\frac{11}{16}

, 5.

\frac{4}{9}

, 6.

\frac{1}{7}

.Punktowi zaznaczonemu na osi

c

odpowiada ułamek 1.

\frac{2}{3}

, 2.

\frac{13}{16}

, 3.

\frac{3}{9}

, 4.

\frac{11}{16}

, 5.

\frac{4}{9}

, 6.

\frac{1}{7}

.Punktowi zaznaczonemu na osi

d

odpowiada ułamek 1.

\frac{2}{3}

, 2.

\frac{13}{16}

, 3.

\frac{3}{9}

, 4.

\frac{11}{16}

, 5.

\frac{4}{9}

, 6.

\frac{1}{7}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że każda część podziałki na osi $a$ ma długość $\frac{1}{3}$ .
Zauważ, że każda część podziałki na osi $b$ ma długość $\frac{1}{7}$ .
Zauważ, że każda część podziałki na osi $c$ ma długość $\frac{1}{9}$ .
Zauważ, że każda część podziałki na osi $d$ ma długość $\frac{1}{16}$ .

Ćwiczenie 9

Wskaż liczbę, której odpowiada punkt $P$ zaznaczony na osi liczbowej.

RvclCx6BhGWIR

Ilustracja przedstawia oś liczbową od zera do trzech, z podziałką co jedna czwarta. Zaznaczono punkt pe dwie i jedna czwarta. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

ROlXqj7RV3RgV

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Odczytaj liczbę zaznaczoną na osi liczbowej kolorem zielonym.

ROLnLCDV4OueT1

Rysunek czterech osi liczbowych. Na osi A zaznaczone są punkty 0 i 1, odcinek jednostkowy podzielony jest na cztery równe części. Szukany punkt wyznacza trzy części za punktem jeden. Na osi B zaznaczone są punkty 0 i 1, odcinek jednostkowy podzielony jest na trzy równe części. Szukany punkt wyznacza pięć części za punktem jeden. Na osi C zaznaczone są punkty 0 i dwie szóste, każda część ma długość jedna szósta. Szukany punkt wyznacza pięć części za punktem dwie szóste. Na osi D zaznaczone są punkty 0 i trzy piąte, każda część ma długość jedna piąta. Szukany punkt wyznacza pięć części za punktem trzy piąte. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NVrDnJhdpqJ

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby mieszane lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Punktowi zaznaczonemu na osi

A

odpowiada ułamek 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

1 \frac{3}{5}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

2 \frac{2}{3}

, 5.

2 \frac{1}{3}

, 6.

1 \frac{5}{6}

.Punktowi zaznaczonemu na osi

B

odpowiada ułamek 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

1 \frac{3}{5}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

2 \frac{2}{3}

, 5.

2 \frac{1}{3}

, 6.

1 \frac{5}{6}

.Punktowi zaznaczonemu na osi

C

odpowiada ułamek 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

1 \frac{3}{5}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

2 \frac{2}{3}

, 5.

2 \frac{1}{3}

, 6.

1 \frac{5}{6}

.Punktowi zaznaczonemu na osi

D

odpowiada ułamek 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

1 \frac{3}{5}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

2 \frac{2}{3}

, 5.

2 \frac{1}{3}

, 6.

1 \frac{5}{6}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podziałka na osi $a$ dzieli odcinek jednostkowy na cztery równe części, czyli każda część ma długość $\frac{1}{4}$ .
Podziałka na osi $b$ dzieli odcinek jednostkowy na trzy równe części, czyli każda część ma długość $\frac{1}{3}$ .
Zauważ, że każda część podziałki na osi $c$ ma długość $\frac{1}{6}$ .
Zauważ, że każda część podziałki na osi $d$ ma długość $\frac{1}{5}$ .

Ćwiczenie 11

RvE2QzF69MbWw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Qp68hIcMgWK

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

R1d9TV2BaR1CT

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Podpowiedź do $1$ , $2$ , $3$ i $4$ :

Ułamek można interpretować jako iloraz dwóch liczb, z których dzielna jest licznikiem, a dzielnik mianownikiem ułamka.

Podpowiedź do $5$ i $6$ :

Zamień liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy.

Ćwiczenie 14

Zastanów się, jak odczytać wyniki poniższych działań.

RbzPqDsvCJWIo

Ilustracje przedstawiają przykłady czterech działań pisemnych. Działanie A to 547 dzielone przez 22, wynikiem jest 24 z resztą dziewiętnaście. Działanie B to 995 dzielone przez 321, wynikiem jest 3 z resztą trzydzieści dwa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8bsRIdtumBWV

Działanie C to 721 dzielone przez 23, wynikiem jest 31 z resztą osiem. Działanie D to 915 dzielone przez 14, wynikiem jest 65 z resztą pięć. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFzQ0sajmgzHx

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby mieszane lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wynik działania

A

można przedstawić w postaci liczby 1.

32 \frac{3}{321}

, 2.

65 \frac{5}{14}

, 3.

31 \frac{8}{23}

, 4.

19 \frac{24}{22}

, 5.

3 \frac{32}{321}

, 6.

24 \frac{19}{22}

.Wynik działania

B

można przedstawić w postaci liczby 1.

32 \frac{3}{321}

, 2.

65 \frac{5}{14}

, 3.

31 \frac{8}{23}

, 4.

19 \frac{24}{22}

, 5.

3 \frac{32}{321}

, 6.

24 \frac{19}{22}

.Wynik działania

C

można przedstawić w postaci liczby 1.

32 \frac{3}{321}

, 2.

65 \frac{5}{14}

, 3.

31 \frac{8}{23}

, 4.

19 \frac{24}{22}

, 5.

3 \frac{32}{321}

, 6.

24 \frac{19}{22}

.Wynik działania

D

można przedstawić w postaci liczby 1.

32 \frac{3}{321}

, 2.

65 \frac{5}{14}

, 3.

31 \frac{8}{23}

, 4.

19 \frac{24}{22}

, 5.

3 \frac{32}{321}

, 6.

24 \frac{19}{22}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

RwYOoCEtQSQAI

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

R1FhmgA4wMfOv

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Zapisz ułamki $\frac{5}{9}$ , $\frac{1}{9}$ , $\frac{13}{9}$ , $\frac{8}{9}$ , $\frac{20}{9}$ od najmniejszego do największego.
Zapisz $\frac{7}{10}$ , $\frac{7}{4}$ , $\frac{7}{100}$ , $\frac{7}{2}$ , $\frac{7}{13}$ ułamki od największego do najmniejszego.

$\frac{1}{9}$ , $\frac{5}{9}$ , $\frac{8}{9}$ , $\frac{13}{9}$ , $\frac{20}{9}$ ,
$\frac{7}{2}$ , $\frac{7}{4}$ , $\frac{7}{10}$ , $\frac{7}{13}$ , $\frac{7}{100}$ .

Ćwiczenie 18

Alina i Florian zebrali cały koszyk grzybów. Alina zebrała $\frac{5}{8}$ wszystkich grzybów, a Florian $\frac{3}{8}$ .
Które z dzieci zebrało więcej grzybów?

\frac{5}{8} > \frac{3}{8}

Więcej grzybów zebrała Alina.

RGUHz1ohJw6hf

Ćwiczenie 19

Słownik

ułamek właściwy

ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika.

ułamek niewłaściwy

ułamek, którego licznik jest większy od mianownika.

rozszerzanie ułamka

mnożenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę różną od $0$ .

skracanie ułamka

dzielenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę większą od $1$

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

6. Porównywanie ułamków zwykłych

Nie wszystko jest całością - ułamki zwykłe