6. Postać dziesiętna ułamka zwykłego

RXt1Fze9RkVC7

RGEa48lYwj4Ke

Ilustracja ze starej, szesnastowicznej książki, na której widać dwóch rachmistrzów. Jeden (znajduje sie po prawej stronie ilustracji) wykonuje obliczenia za pomoca liczydła, a drugi (znajduje sie po lewej stronie ilustracji) oblicza na kartce papieru. — Ilustracja z Margarita philosophica , 1503, autorstwa Gregora Reischa (zm. 1525).
Źródło: Gregor Reisch, *Ilustrator niezidentyfikowany - Biblioteka Houghton*.

Prawdopodobnie ułamki dziesiętne znali już matematycy arabscy w X wieku. W Europie spopularyzowano je dopiero w XVI wieku. Dużym ułatwieniem dla rachmistrzów była możliwość zapisywania ułamków zwykłych w postaci dziesiętnej i wykonywanie działań na takich liczbach.

W tym materiale poznasz sposób zamiany ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne.

Niektóre ułamki zwykłe bardzo ławo zamienić na liczby dziesiętne, czyli zapisać je w postaci dziesiętnej – z przecinkiem.

Najłatwiej zamienić ułamki, których mianownik to $10$ , $100$ , $1000$ , $\dots$ .

Przykład 1

Znajdziemy postać dziesiętną ułamków zwykłych, których mianowniki są odpowiednio równe 10, 100, 1000,

$\frac{7}{10} = 0, 7$

$\frac{43}{100} = 0, 43$

$\frac{25}{1000} = 0, 025$

Jeżeli ułamek nie ma mianownika $10$ , $100$ , $1000$ , $\dots$ itd., ale da się go rozszerzyć do takiego mianownika, to zamiana również nie jest zbyt trudna.

Przykład 2

Znajdź rozwinięcia dziesiętne ułamków $\frac{1}{2}$ i $\frac{8}{400}$ .

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0, 5$

$\frac{8}{400} = \frac{8 : 4}{400 : 4} = \frac{2}{100} = 0, 02$

Przykład 3

Znajdziemy postać dziesiętną ułamka zwykłego, rozszerzając najpierw odpowiednio jego mianownik.

$\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0, 8$

$\frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 0, 45$

$\frac{103}{125} = \frac{824}{1000} = 0, 824$

Zamieniając liczbę mieszaną na liczbę dziesiętną, trzeba zająć się tylko zamianą ułamka. Całości po prostu przepisujemy.

Przykład 4

Znajdziemy postać dziesiętną liczb mieszanych.

$2 \frac{9}{100} = 2, 09$

$16 \frac{7}{250} = 16 \frac{28}{1000} = 16, 028$

Nie zawsze łatwo jest sprowadzić mianownik ułamka zwykłego do jednej z liczb 10, 100, 1000, .... ( a nawet w wielu przypadkach nie da się tego zrobić). Ułamki zwykłe można wtedy zamieniać na liczby dziesiętne, dzieląc licznik ułamka przez jego mianownik (kreska ułamkowa zastępuje bowiem znak dzielenia).

Przykład 5

Zamienimy na ułamek dziesiętny ułamek zwykły, bez sprowadzania mianownika tego ułamka do 1000.

$\frac{7}{8} = 0, 875$

R1KC240D0fIOX1

$\frac{9}{2} = 4, 5$ , bo:

R1TtlEGk39dh81

Rysunek przedstawia przykład: dziewięć drugich = 4,5 bo 9 dzielone przez 2 = 4,5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rysunek przedstawia przykład: siedem ósmych = 0,875 bo siedem dzielone przez 8 = 0,875. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 6

Zamieńmy ułamek $\frac{3}{40}$ na postać dziesiętną dwoma sposobami.

sposób $I$ :

Rozszerzamy ułamek przez dwadzieścia pięć.

$\frac{3}{40} = \frac{75}{1000} = 0, 075$

sposób $II$ :

Dzielimy $3$ przez $40$ sposobem pisemnym.

$\frac{3}{40} = 0, 075$

RwVpT84drymod1

Rysunek przedstawia przykład: trzy czterdzieste = 0,075 bo 3 dzielone przez 40 = 0,075. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1c72MVSuLR2u

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1XJiMPtAdCJ7

Ćwiczenie 2

Przeciągnij i upuść ułamek dziesiętny oraz postać dziesiętną do odpowiedniej grupy ułamków zwykłych.

\frac{3}{50}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 035

, 2.

0, 018

, 3.

0, 06

, 4.

\frac{44}{100}

, 5.

\frac{35}{1000}

, 6.

\frac{18}{1000}

, 7.

\frac{6}{100}

, 8.

0, 44

\frac{11}{25}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 035

, 2.

0, 018

, 3.

0, 06

, 4.

\frac{44}{100}

, 5.

\frac{35}{1000}

, 6.

\frac{18}{1000}

, 7.

\frac{6}{100}

, 8.

0, 44

\frac{7}{200}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 035

, 2.

0, 018

, 3.

0, 06

, 4.

\frac{44}{100}

, 5.

\frac{35}{1000}

, 6.

\frac{18}{1000}

, 7.

\frac{6}{100}

, 8.

0, 44

\frac{9}{500}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 035

, 2.

0, 018

, 3.

0, 06

, 4.

\frac{44}{100}

, 5.

\frac{35}{1000}

, 6.

\frac{18}{1000}

, 7.

\frac{6}{100}

, 8.

0, 44

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16DIObqDHVb31

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1bgzESrCH9VY1

Ćwiczenie 4

Poniżej przedstawiono pewne liczby. Połącz w pary liczby, które są sobie równe.

0, 312

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{8}

, 2.

\frac{109}{125}

, 3.

\frac{13}{40}

, 4.

\frac{39}{125}

, 5.

\frac{7}{8}

0, 875

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{8}

, 2.

\frac{109}{125}

, 3.

\frac{13}{40}

, 4.

\frac{39}{125}

, 5.

\frac{7}{8}

0, 325

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{8}

, 2.

\frac{109}{125}

, 3.

\frac{13}{40}

, 4.

\frac{39}{125}

, 5.

\frac{7}{8}

0, 375

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{8}

, 2.

\frac{109}{125}

, 3.

\frac{13}{40}

, 4.

\frac{39}{125}

, 5.

\frac{7}{8}

0, 872

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{8}

, 2.

\frac{109}{125}

, 3.

\frac{13}{40}

, 4.

\frac{39}{125}

, 5.

\frac{7}{8}

Połącz w pary równe liczby.

$0, 312$
$0, 875$
$0, 325$
$0, 375$
$0, 872$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Zamieniając ułamek na postać dziesiętną, możemy postępować na dwa sposoby:

rozszerzyć ułamek do mianownika $10$ , $100$ , $1000$ , $\dots$ itd. i zapisać go z użyciem przecinka,
podzielić licznik przez mianownik ułamka, bo kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.

R1HZWSFk4aC74

Ćwiczenie 5

Zamień ułamek zwykły na liczbę dziesiętną, a liczbę dziesiętną na ułamek zwykły.
Połącz w pary działanie z wynikiem.

0, 56

Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6.

\frac{7}{10}

Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6.

0, 098

Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6.

\frac{6}{1000}

Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6.

0, 98

Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6.

\frac{79}{100}

Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jakie ułamki mają rozwinięcie dziesiętne skończone?

R1MGhDb54wSm4

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W powyższym ćwiczeniu wszystkie ułamki miały rozwinięcie dziesiętne skończone. O tym, że dzielenie licznika przez mianownik się skończy, decyduje mianownik ułamka.

Przykład 7

Zamieńmy na postać dziesiętną ułamek $\frac{2}{15}$ .

Możemy posłużyć się tylko drugim sposobem, dzieląc licznik przez mianownik.

$\frac{2}{15} = 0, 133 \dots$

RLM8rk3cKUDpk1

Rysunek przedstawia przykład: dwie piętnaste = 0,133… bo 2 dzielone przez 15 = 0,133… — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W tym przypadku dzielenie się nie kończy. Gdybyśmy wykonywali je dalej, to cały czas powtarzałaby się cyfra $3$ .

Ważne!

Rozwinięcie dziesiętne liczby, to zapis tej liczby w postaci dziesiętnej - z przecinkiem.

Niektóre liczby mają rozwinięcie dziesiętne skończone, a niektóre nieskończone.

Przykłady liczb i ich rozwinięć dziesiętnych – skończonych:

$\frac{3}{40} = 0, 075$

$5 \frac{3}{40} = 5, 075$

Jeżeli rozłożymy mianowniki tych ułamków na czynniki pierwsze, to zauważymy pewną prawidłowość. Spróbuj ją odkryć rozwiązując kolejne ćwiczenie.

Ćwiczenie 7

Rozłóż mianowniki podanych ułamków na czynniki pierwsze. Wykorzystaj metodę „z pionową kreską”.

$\frac{13}{16}$
$\frac{57}{80}$
$\frac{35}{64}$
$\frac{39}{40}$
$\frac{122}{125}$
$\frac{61}{250}$

$\frac{13}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$
$\frac{57}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5}$
$\frac{35}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$
$\frac{39}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5}$
$\frac{122}{5 \cdot 5 \cdot 5}$
$\frac{61}{2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

Przykład 8

Wykonaj wskazane dzielenia, używając kalkulatora.

$8 : 5$

$23 : 4$

$8 : 20$

$9 : 300$

$6 : 125$

Odpowiedź:

$1, 6$ ; $5, 75$ ; $0, 4$ ; $0, 03$ ; $0, 048$ .

$\frac{8}{5} = 1, 6$

Jedynym dzielnikiem mianownika, będącym liczbą pierwszą w ułamku $\frac{8}{5}$ , jest liczba $5$ .

$\frac{23}{4} = 5, 75$

Jedynym dzielnikiem mianownika, będącym liczbą pierwszą w ułamku $\frac{23}{4}$ , jest liczba $2$ .

$\frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0, 4$

Jedynym dzielnikiem mianownika, będącym liczbą pierwszą w ułamku $\frac{2}{5}$ , jest liczba $5$ .

$\frac{9}{300} = \frac{3}{100} = \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = 0, 03$

Jedynymi dzielnikami mianownika, będącymi liczbami pierwszymi w ułamku $\frac{3}{100}$ , są liczby $2$ i $5$ .

$\frac{6}{125} = \frac{6}{5 \cdot 5 \cdot 5} = 0, 048$

Jedynym dzielnikiem mianownika, będącym liczbą pierwszą w ułamku $\frac{6}{125}$ , jest liczba $5$ .

Ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne skończone, gdy po przedstawieniu tego ułamka w postaci nieskracalnej, mianownik można zapisać w postaci iloczynu składającego się tylko z liczb 2 i 5.

R1JxjNHG2qIny1

Ćwiczenie 8

$\frac{6}{15}$
$\frac{5}{32}$
$\frac{7}{15}$
$\frac{35}{56}$
$\frac{9}{28}$
$\frac{13}{16}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RVhbmHtOdqmnW1

Ćwiczenie 9

Uporządkuj ułamki od najmniejszego do największego.

$\frac{53}{105}$
$\frac{50}{99}$
$\frac{377}{750}$
$\frac{65}{128}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14xxRFNCyNU1

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RGqieRcrZPA8v1

Ćwiczenie 11

Rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{41}{25}$ jest równe

$0,82$
$1,61$
$1,64$
$16,4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ułamki okresowe

Rozważmy teraz takie ułamki, w których w rozkładzie na czynniki pierwsze mianownika występują jeszcze inne liczby niż $2$ i $5$ .

Przykład 9

Jeśli po podzieleniu licznika danego ułamka przez mianownik otrzymamy ułamek dziesiętny nieskończony, to ten ułamek dziesiętny możemy zapisać w postaci ułamka dziesiętnego okresowego.

RKidVCDM6mNOa1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

Jeżeli mianownik ułamka zwykłego nieskracalnego jest podzielny przez liczbę pierwszą różną od $2$ i $5$ to ten ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.
Powtarzający się układ cyfr w rozwinięciu dziesiętnym nieskończonym ułamka nazywamy jego okresem. Aby uprościć zapis takiego rozwinięcia, okres zapisujemy w nawiasie.

Rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego

Własność: Rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego

Każdy ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.

Ciekawostka

Istnieją liczby, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone nieokresowe.

Na przykład:

$2, 30300300030000300000 \dots$ ,
$0, 123456789101112131415 \dots$

Powyższych liczb nie można zapisać w postaci ułamków zwykłych.

R18UG394opRPd1

Ćwiczenie 12

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Zaznacz zdania prawdziwe.

Ułamek $\frac{69}{50}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone.
Ułamek $\frac{323}{200}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.
Ułamek $\frac{8}{12}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone.
Ułamek $\frac{121}{22}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RknJeP0zRDQQy1

Ćwiczenie 13

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Zaznacz zdania prawdziwe.

Ułamek $\frac{7}{16}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe.
Ułamek $\frac{8}{13}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe.
Ułamek $\frac{22}{34}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.
Ułamek $\frac{16}{38}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Znajdź rozwinięcie dziesiętne ułamka, dzieląc pisemnie jego licznik przez mianownik.

$\frac{19}{20}$
$\frac{37}{50}$
$\frac{13}{25}$
$\frac{29}{125}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{5}{6}$
$\frac{2}{11}$
$\frac{4}{9}$

$0, 95$
$0, 74$
$0, 52$
$0, 232$
$0, 66 \dots$
$0, 833 \dots$
$0, 1818 \dots$
$0, 44 \dots$

R15pYZXuNyOOi

Ćwiczenie 15

R1ARdHz1CVaSV

Ćwiczenie 16

Ćwiczenie 17

Liczby $0, 123456789101112131415 \dots$ nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego. Podaj inny przykład liczby, której nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego.

$0, 10100100010000100000 \dots$

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

5. Ułamki dziesiętne na osi liczbowej

7. Zaokrąglanie liczb dziesiętnych