10. Podsumowanie wiadomości o ułamkach zwykłych

R1MC9YYeWmjc4

R1UV2XBBW8cRB1

Grafika przedstawia równoważność: półnuta z ćwierćnutą równa jest półnucie z kropką. — Źródło: Christophe Dang Ngoc Chan (cdang), licencja: CC BY-SA 3.0. wikimedia.org.

Z działaniami na ułamkach nie spotykamy się tylko w rozważaniach matematycznych. Możemy je znaleźć także w innych dziedzinach, np. w muzyce.

Wartości rytmiczne nut określają czas trwania dźwięku, który symbolizuje dana nuta. Najdłuższą wartością rytmiczną jest cała nuta. Półnuta określa połowę tego czasu, ćwierćnuta $\frac{1}{4}$ , a ósemka $\frac{1}{8}$ . Jeśli przy nucie występuje pojedyncza kropka, to przedłuża ona trwanie tej nuty o połowę. Na przykład czas trwania ćwierćnuty z kropką jest taki sam, jak czas trwania ćwierćnuty i ósemki.

W tym materiale możesz sprawdzić swoją wiedzę o ułamkach zwykłych i umiejętności wykonywania działań na ułamkach. Spróbuj samodzielnie rozwiązać zamieszczone tu ćwiczenia. Jeśli napotkasz problemy, możesz skorzystać z podpowiedzi zawartych na fiszkach.

Polecenie 1

Zapoznaj się z fiszkami dotyczącymi operacji na ułamkach zwykłych.

R12a2uGhvyQAF

Zapoznaj się z fiszkami dotyczącymi operacji na ułamkach zwykłych. Dodawanie ułamków zwykłych Możliwe odpowiedzi: 1. Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną należy zastanowić się, ile razy liczba w mianowniku mieści się w liczbie w liczniku oraz jaka reszta nam pozostaje. Liczba całości jest częścią całkowitą, reszta z dzielenia jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo:

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

., 2. Aby zamienić liczbę mieszaną na ułamek, mnożymy część całkowitą przez mianownik części ułamkowej i dodajemy licznik części ułamkowej, Tak wyznaczoną liczbę wpisujemy w liczniku ułamka niewłaściwego, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo :

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

., 3. Dodawanie ułamków zwykłych polega na sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika, a następnie na dodawaniu liczników do siebie w odpowiednio rozszerzonych ułamkach. Wspólnym mianownikiem jest najmniejsza wspólna wielokrotność obu liczb występujących w mianownikach ułamków. Przykładowo:

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

, 5. Odejmowanie ułamków zwykłych polega na sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika, a następnie na odjęciu liczników do siebie w odpowiednio rozszerzonych ułamkach. Wspólnym mianownikiem jest najmniejsza wspólna wielokrotność obu liczb występujących w mianownikach ułamków. Przykładowo:

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

Odejmowanie ułamków zwykłych Możliwe odpowiedzi: 1. Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną należy zastanowić się, ile razy liczba w mianowniku mieści się w liczbie w liczniku oraz jaka reszta nam pozostaje. Liczba całości jest częścią całkowitą, reszta z dzielenia jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo:

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

Mnożenie ułamków zwykłych Możliwe odpowiedzi: 1. Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną należy zastanowić się, ile razy liczba w mianowniku mieści się w liczbie w liczniku oraz jaka reszta nam pozostaje. Liczba całości jest częścią całkowitą, reszta z dzielenia jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo:

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

Dzielenie ułamków zwykłych Możliwe odpowiedzi: 1. Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną należy zastanowić się, ile razy liczba w mianowniku mieści się w liczbie w liczniku oraz jaka reszta nam pozostaje. Liczba całości jest częścią całkowitą, reszta z dzielenia jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo:

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną Możliwe odpowiedzi: 1. Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną należy zastanowić się, ile razy liczba w mianowniku mieści się w liczbie w liczniku oraz jaka reszta nam pozostaje. Liczba całości jest częścią całkowitą, reszta z dzielenia jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo:

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy Możliwe odpowiedzi: 1. Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną należy zastanowić się, ile razy liczba w mianowniku mieści się w liczbie w liczniku oraz jaka reszta nam pozostaje. Liczba całości jest częścią całkowitą, reszta z dzielenia jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo:

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}

, bo

23 : 7 = 3

reszty

2

4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}

\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}

., 4. Dzielenie ułamków zwykłych polega na odwróceniu drugiego ułamka i pomnożeniu go przez pierwszy. Przykładowo:

\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}

, 6. Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dodawanie ułamków zwykłych

Dodawanie ułamków zwykłych polega na sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika, a następnie na dodawaniu liczników do siebie w odpowiednio rozszerzonych ułamkach. Wspólnym mianownikiem jest najmniejsza wspólna wielokrotność obu liczb występujących w mianownikach ułamków. Przykładowo:

$\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}$ .

Odejmowanie ułamków zwykłych

Odejmowanie ułamków zwykłych polega na sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika, a następnie na odjęciu liczników do siebie w odpowiednio rozszerzonych ułamkach. Wspólnym mianownikiem jest zwykle najmniejsza wspólna wielokrotność obu liczb występujących w mianownikach ułamków. Przykładowo:

$\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$

Mnożenie ułamków zwykłych

Mnożenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika przez licznik oraz mianownika przez mianownik. Otrzymany ułamek można skrócić. Przykładowo:

$\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$

Dzielenie ułamków zwykłych

Dzielenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu dzielnej przez odwrotność dzielnika. Przykładowo:

$\frac{3}{8} : \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{1} = \frac{72}{8} = 9$

Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną

Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną należy zastanowić się, ile razy liczba stojąca w mianowniku mieści się w liczbie stojącej w liczniku oraz jaka reszta nam pozostaje. Liczba całości jest częścią całkowitą, reszta z dzielenia jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo:
$\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}$ , bo $23 : 7 = 3$ reszty $2$ .

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Aby zamienić liczbę mieszaną na ułamek, mnożymy część całkowitą przez mianownik części ułamkowej i dodajemy licznik części ułamkowej, Tak wyznaczoną liczbę wpisujemy w liczniku ułamka niewłaściwego, a mianownik pozostaje bez zmian. Przykładowo :

$4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}$ .

Podstawowe wiadomości

RFlIuBfMpBBhv

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQRBgSraUVPpP

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RmPua9GLISs6s

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

R1TQMu8Mgcurr

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1dcH5g7dSmX2

Oś ma podziałkę co jedna ósma. Jakie współrzędne mają określone poniżej punkty? Uzupełnij luki, wpisując ułamki z ukośnikiem, na przykład 1/2 . Ułamki podawaj w wersji skróconej. Punkt

A

znajduje się jedną jednostkę na prawo od zera. Ma on więc współrzędne: Tu uzupełnij. Punkt

B

znajduje się jedną jednostkę na prawo od punktu

A

. Ma on więc współrzędne: Tu uzupełnij. Punkt

C

znajduje się cztery jednostki na lewo od jeden. Ma on więc współrzędne: Tu uzupełnij. Punkt

D

znajduje się osiem jednostek na prawo od zera. Ma on więc współrzędne: Tu uzupełnij. Punkt

E

znajduje się jedną jednostkę na lewo od jeden. Ma on więc współrzędne: Tu uzupełnij. Punkt

F

znajduje się szesnaście jednostek na prawo od zera. Ma on więc współrzędne: Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rvv8WuMXqbqFW

Ćwiczenie 3

Przedstaw ułamki w postaci ilorazów. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\frac{15}{4} =

7

, 2.

4

, 3.

20

, 4.

15

, 5.

37

, 6.

39

, 7.

311

, 8.

2

:

7

, 2.

4

, 3.

20

, 4.

15

, 5.

37

, 6.

39

, 7.

311

, 8.

2

\frac{20}{7} =

7

, 2.

4

, 3.

20

, 4.

15

, 5.

37

, 6.

39

, 7.

311

, 8.

2

:

7

, 2.

4

, 3.

20

, 4.

15

, 5.

37

, 6.

39

, 7.

311

, 8.

2

\frac{37}{2} =

7

, 2.

4

, 3.

20

, 4.

15

, 5.

37

, 6.

39

, 7.

311

, 8.

2

:

7

, 2.

4

, 3.

20

, 4.

15

, 5.

37

, 6.

39

, 7.

311

, 8.

2

\frac{311}{39} =

7

, 2.

4

, 3.

20

, 4.

15

, 5.

37

, 6.

39

, 7.

311

, 8.

2

:

7

, 2.

4

, 3.

20

, 4.

15

, 5.

37

, 6.

39

, 7.

311

, 8.

2

Przeciągnij i upuść.

37, 311, 7, 39, 4, 2, 15, 20

a) $\frac{15}{4} =$ ............ : ............

b) $\frac{20}{7} =$ ............ : ............

c) $\frac{37}{2} =$ ............ : ............

d) $\frac{311}{39} =$ ............ : ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1YTUOZoNU4GZ

Ćwiczenie 4

Przeciągnij i upuść.

$\frac{3}{7}$ , $\frac{1}{5}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{3}{6}$ , $\frac{1}{7}$

$\frac{2}{7} <$ ............ $< \frac{4}{5}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDkx5sPGjSHu1

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Mja0MoGmRSU

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

R1Owgd95fsWJv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

R19hdfNimB9Dp

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

R11or67k5ofjS

Odpowiedz na pytania. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

7

minut - jaka to część godziny?
Odpowiedź:To 1.

\frac{7}{30}

, 2.

\frac{23}{1000}

, 3.

\frac{7}{60}

, 4.

\frac{23}{100}

, 5.

\frac{25}{1000}

, 6.

\frac{5}{60}

część godziny.

23

metry - jaka to część kilometra?
Odpowiedź:To 1.

\frac{7}{30}

, 2.

\frac{23}{1000}

, 3.

\frac{7}{60}

, 4.

\frac{23}{100}

, 5.

\frac{25}{1000}

, 6.

\frac{5}{60}

część kilometra.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zwróć uwagę, że

minuta, to $\frac{1}{60}$ godziny (godzina ma $60$ minut),
metr, to $\frac{1}{1000}$ kilometra (kilometr ma $1000$ metrów).

Działania na ułamkach

Ćwiczenie 10

RzUq0rh20FEzv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$1 \frac{2}{5} + 2 \frac{4}{5} = 3 \frac{6}{5} = 4 \frac{1}{5}$ ,
$2 \frac{5}{6} + 3 \frac{4}{6} = 5 \frac{9}{6} = 6 \frac{3}{6} = 6 \frac{1}{2}$ .

Ćwiczenie 11

R1axD16HnU7Tz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$3 \frac{11}{24} - 2 \frac{7}{24} = \frac{83}{24} - \frac{55}{24} = \frac{28}{24} = \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}$ ,
$6 \frac{5}{8} - 4 \frac{7}{8} = \frac{53}{8} - \frac{39}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}$ .

R16CZDJBkS1Ee

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RHzjVqf3hUcm4

Ćwiczenie 13

W sklepie było

30 m

materiału. Pierwszego dnia sprzedano

12 m

, drugiego dnia

7 \frac{3}{5} m

, a trzeciego

8 \frac{4}{5} m

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ile metrów materiału sprzedano w ciągu tych trzech dni?
Odpowiedź: W ciągu trzech dni sprzedano 1.

2 \frac{2}{5}

, 2.

25 \frac{2}{6}

, 3.

28 \frac{2}{5}

, 4.

1 \frac{3}{5}

, 5.

1 \frac{4}{9}

, 6.

28 \frac{2}{5}

m

materiału.Ile metrów materiału pozostało jeszcze w sklepie po trzech dniach?
Odpowiedź: W sklepie pozostało jeszcze 1.

2 \frac{2}{5}

, 2.

25 \frac{2}{6}

, 3.

28 \frac{2}{5}

, 4.

1 \frac{3}{5}

, 5.

1 \frac{4}{9}

, 6.

28 \frac{2}{5}

m

materiału.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R18mU6kKBoGtU

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RpGWAsB9DMuGw

Ćwiczenie 15

Oblicz obwód każdego z trójkątów, a następnie uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Boki trójkąta mają długości:

5 \frac{3}{4} cm

2 \frac{2}{4} cm

3 \frac{1}{4} cm

.
Odpowiedź: Obwód tego trójkąta wynosi 1.

12 \frac{1}{4}

, 2.

11 \frac{1}{2}

, 3.

10

, 4.

8

, 5.

7 \frac{5}{8}

, 6.

10 \frac{1}{8}

, 7.

9 \frac{3}{4}

cm

.
Jeden bok trójkąta ma długość

4 \frac{3}{8} cm

, drugi bok jest od niego krótszy o

1 \frac{5}{8} cm

, a trzeci bok jest dłuższy od drugiego o

\frac{1}{8} cm

.
Odpowiedź: Obwód tego trójkąta wynosi 1.

12 \frac{1}{4}

, 2.

11 \frac{1}{2}

, 3.

10

, 4.

8

, 5.

7 \frac{5}{8}

, 6.

10 \frac{1}{8}

, 7.

9 \frac{3}{4}

cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Kacper przeznacza codziennie $4$ godziny czasu wolnego od nauki na czytanie książki, grę na komputerze, jazdę na rowerze oraz spacer z psem. Czas przeznaczony na niektóre z tych czynności zapisał w tabeli.

Aktywność	Czas
czytanie książki	$\frac{5}{6}$ godziny
jazda na rowerze	$1 \frac{3}{6}$ godziny
spacer z psem	$\frac{2}{6}$ godziny
gra na komputerze	?

W oparciu o informacje zawarte w tabeli, odpowiedz na poniższe pytania.

RQLmcJ6IqBjTC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1VmZn80wRwOX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RO3rxuUh20s2h

Ćwiczenie 17

Kasia przeczytała

80

stron swojej dwustustronicowej książki, a Gosia

32

strony książki liczącej

76

stron. Oblicz i odpowiedz, która z dziewcząt przeczytała większą część swojej książki. Przeciągnij w luki prawidłowe odpowiedzi. Odpowiedź: Gosia przeczytała 1. Gosia, 2.

\frac{11}{15}

, 3.

\frac{8}{20}

, 4.

\frac{11}{18}

, 5. Kasia, 6.

\frac{6}{15}

, 7.

\frac{8}{19}

, 8.

\frac{13}{20}

swojej książki, a Kasia 1. Gosia, 2.

\frac{11}{15}

, 3.

\frac{8}{20}

, 4.

\frac{11}{18}

, 5. Kasia, 6.

\frac{6}{15}

, 7.

\frac{8}{19}

, 8.

\frac{13}{20}

swojej. Większą część swojej książki przeczytała 1. Gosia, 2.

\frac{11}{15}

, 3.

\frac{8}{20}

, 4.

\frac{11}{18}

, 5. Kasia, 6.

\frac{6}{15}

, 7.

\frac{8}{19}

, 8.

\frac{13}{20}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FiihybEaJNY

Ćwiczenie 18

Suma czterech liczb jest równa

18

. Pierwsza liczba to

4 \frac{5}{8}

, druga jest od niej o

1 \frac{7}{8}

mniejsza, a trzecia jest o

\frac{5}{8}

większa od drugiej. Jakie to liczby? Uzupełnij luki, przeciągając odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pierwsza liczba to 1.

7 \frac{1}{4}

, 2.

3 \frac{3}{8}

, 3.

2 \frac{3}{4}

, 4.

4 \frac{5}{8}

, 5.

6 \frac{7}{8}

, 6.

3 \frac{5}{8}

, 7.

2 \frac{1}{8}

,Druga liczba to 1.

7 \frac{1}{4}

, 2.

3 \frac{3}{8}

, 3.

2 \frac{3}{4}

, 4.

4 \frac{5}{8}

, 5.

6 \frac{7}{8}

, 6.

3 \frac{5}{8}

, 7.

2 \frac{1}{8}

,Trzecia liczba to 1.

7 \frac{1}{4}

, 2.

3 \frac{3}{8}

, 3.

2 \frac{3}{4}

, 4.

4 \frac{5}{8}

, 5.

6 \frac{7}{8}

, 6.

3 \frac{5}{8}

, 7.

2 \frac{1}{8}

,Czwarta liczba to 1.

7 \frac{1}{4}

, 2.

3 \frac{3}{8}

, 3.

2 \frac{3}{4}

, 4.

4 \frac{5}{8}

, 5.

6 \frac{7}{8}

, 6.

3 \frac{5}{8}

, 7.

2 \frac{1}{8}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RiVKVqsXdaJ17

Ćwiczenie 19

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

Roy0aLcikPKUj

Trasa rajdu pieszego ma długość

18 km

i składa się z

3

odcinków o różnej długości. Odcinek średniej długości jest o

1 \frac{3}{5} km

krótszy od najdłuższego i o tyle samo dłuższy od najkrótszego. Jakie długości mają odcinki tego rajdu? Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Najkrótszy odcinek trasy ma długość 1.

7 \frac{3}{5} km

, 2.

5 km

, 3.

6 km

, 4.

4 \frac{2}{5} km

, 5.

3 \frac{3}{5} km

, 6.

6 \frac{1}{5} km

, 7.

7 km

.Odcinek średniej długości trasy ma długość 1.

7 \frac{3}{5} km

, 2.

5 km

, 3.

6 km

, 4.

4 \frac{2}{5} km

, 5.

3 \frac{3}{5} km

, 6.

6 \frac{1}{5} km

, 7.

7 km

.Najdłuższy odcinek trasy ma długość 1.

7 \frac{3}{5} km

, 2.

5 km

, 3.

6 km

, 4.

4 \frac{2}{5} km

, 5.

3 \frac{3}{5} km

, 6.

6 \frac{1}{5} km

, 7.

7 km

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że jeżeli najdłuższy odcinek skrócimy o $1 \frac{3}{5}$ , a najkrótszy wydłużymy o $1 \frac{3}{5}$ to trasa rajdu się nie zmieni, a odcinki będą tej samej długości.

R13MwKTrFSLCn

Ćwiczenie 21

$\frac{2}{5}$
$\frac{1}{5}$
$\frac{3}{5}$
$\frac{4}{5}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7VojWYHy5ZMI

Ćwiczenie 22

$25$ minut
$10$ minut
$\frac{1}{4}$ godziny
$\frac{7}{12}$ godziny

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RffnbNrIF061x

Ćwiczenie 23

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1KCrnhxP2iiG

Ćwiczenie 24

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RHWAW7QaSMQVZ

Ćwiczenie 25

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Działania łączne

Gdy wykonujemy obliczenia, w których jest więcej niż jedno działanie, stosujemy reguły określające właściwą kolejność wykonywania działań. Wykonując działania na ułamkach, zachowujemy taką samą kolejność wykonywania działań, jak w przypadku liczb naturalnych. Umiejętności związane z tym zagadnieniem wykorzystasz, rozwiązując poniższe ćwiczenia.

Polecenie 2

Zapoznaj się z animacją i przypomnij sobie, w jakiej kolejności wykonujemy działania.

R1cObQadf9R0m1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 26

R1OnOnKH9cuIy

Pewne równości podzielono na dwie części. Połącz w pary elementy tak, aby powstały równości prawdziwe.

(\frac{2}{5} + \frac{1}{5}) \cdot \frac{3}{4} =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

(6 \frac{3}{4} - 5 \frac{1}{4}) \cdot 3 = 1 \frac{2}{4} \cdot 3 =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

\frac{2}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

\frac{1}{2} - (\frac{1}{8} + \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} - (\frac{1}{8} + \frac{2}{8}) =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

(1 \frac{4}{9} + 1 \frac{1}{3}) \cdot \frac{3}{5} = (1 \frac{4}{9} + 1 \frac{3}{9}) \cdot \frac{3}{5} =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

3 - 5 \frac{2}{3} : 3 \frac{7}{9} = 3 - \frac{17}{3} : \frac{34}{9} =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

1 \frac{2}{3} \cdot (3 \frac{1}{6} - 2 \frac{2}{3}) = 1 \frac{2}{3} \cdot (3 \frac{1}{6} - 2 \frac{4}{6}) =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

1 \frac{3}{4} : (1 \frac{1}{2} + 3 \frac{2}{5}) = 1 \frac{3}{4} : (1 \frac{5}{10} + 3 \frac{4}{10}) =

Możliwe odpowiedzi: 1.

3 - \frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = 3 - \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20}

, 3.

1 \frac{3}{4} : 4 \frac{9}{10} = \frac{7}{4} : \frac{49}{10} = \frac{7}{4} \cdot \frac{10}{49} = \frac{5}{14}

, 4.

1 \frac{2}{3} \cdot (2 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6}) = 1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

, 5.

\frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{18}{4} = 4 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{2}

, 6.

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

, 7.

2 \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

, 8.

\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rce1hAKegQZb11

Ćwiczenie 27

Oblicz, a następnie uzupełnij luki odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości.

6 \frac{2}{9} + \frac{5}{8} \cdot 16 =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

2 \frac{1}{3} + \frac{3}{4} : \frac{1}{2} =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

\frac{1}{3} \cdot (\frac{3}{5} - \frac{3}{10}) =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

(3 \frac{4}{5} - 2 \frac{3}{5}) \cdot (4 \frac{8}{9} - 3 \frac{5}{9}) =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

1 \frac{2}{5} : (6 \frac{1}{3} - 1 \frac{2}{3}) =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

2 \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{3}{4} - {(\frac{1}{2})}^{3} =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

{(2 \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{2})}^{2} =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

4 \frac{1}{5} : \frac{7}{10} - 5 \frac{3}{4} =

1 \frac{3}{5}

, 2.

\frac{1}{10}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

4 \frac{1}{4}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{25}{36}

, 7.

16 \frac{2}{9}

, 8.

3 \frac{5}{6}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7CiGOHidKHgr1

Ćwiczenie 28

Poniżej przedstawiono wyrażenia arytmetyczne oraz ich opis słowny. Połącz w pary działanie i jego opis. różnica liczb

1 \frac{1}{2}

\frac{2}{3}

pomnożona przez

2 \frac{1}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 2.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3})

, 3.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 4.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 5.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 6.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3})

liczba

2 \frac{1}{6}

podzielona przez różnicę liczb

1 \frac{1}{2}

\frac{2}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 2.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3})

, 3.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 4.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 5.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 6.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3})

iloraz liczby

2 \frac{1}{6}

przez sumę liczb

1 \frac{1}{2}

\frac{2}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 2.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3})

, 3.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 4.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 5.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 6.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3})

liczba

2 \frac{1}{6}

razy mniejsza od różnicy liczb

1 \frac{1}{2}

\frac{2}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 2.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3})

, 3.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 4.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 5.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 6.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3})

iloraz sumy liczb

1 \frac{1}{2}

\frac{2}{3}

przez liczbę

2 \frac{1}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 2.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3})

, 3.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 4.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 5.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 6.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3})

liczba

2 \frac{1}{6}

razy większa od sumy liczb

1 \frac{1}{2}

\frac{2}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 2.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3})

, 3.

(1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 4.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) : 2 \frac{1}{6}

, 5.

(1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}) \cdot 2 \frac{1}{6}

, 6.

2 \frac{1}{6} : (1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3})

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15O5RsjwIEQ6

Ćwiczenie 29

Przyjrzyj się dodawanym ułamkom i otrzymanym wynikom.

\frac{1}{2} + \frac{2}{1} = \frac{1}{2} + 2 = 2 \frac{1}{2}

\frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{2}{3} + 1 \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + 1 \frac{3}{6} = 1 \frac{7}{6} = 2 \frac{1}{6}

\frac{4}{5} + \frac{5}{4} = \frac{4}{5} + 1 \frac{1}{4} = \frac{16}{20} + 1 \frac{5}{20} = 1 \frac{21}{20} = 2 \frac{1}{20}

Uzupełnij poniższe luki, nie wykonując obliczeń. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź.

\frac{7}{8} + \frac{8}{7} =

2 \frac{1}{220}

, 2.

2 \frac{1}{210}

, 3.

2 \frac{1}{420}

, 4.

2 \frac{1}{36}

, 5.

2 \frac{1}{110}

, 6.

2 \frac{1}{56}

\frac{10}{11} + \frac{11}{10} =

2 \frac{1}{220}

, 2.

2 \frac{1}{210}

, 3.

2 \frac{1}{420}

, 4.

2 \frac{1}{36}

, 5.

2 \frac{1}{110}

, 6.

2 \frac{1}{56}

\frac{20}{21} + \frac{21}{20} =

2 \frac{1}{220}

, 2.

2 \frac{1}{210}

, 3.

2 \frac{1}{420}

, 4.

2 \frac{1}{36}

, 5.

2 \frac{1}{110}

, 6.

2 \frac{1}{56}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1QZcQG7TeNNI

Ćwiczenie 30

Na trzydniową wycieczkę do Zakopanego i Wieliczki pojechało

40

uczniów i

4

opiekunów. Całkowity koszt wycieczki wyniósł

14000 zł

. Opłata za autokar stanowiła

\frac{1}{5}

tej kwoty, a za dwa noclegi zapłacono

\frac{1}{7}

tej kwoty. Uzupełnij odpowiedzi, wpisując odpowiednie wartości w puste pola. Oblicz, ile zapłacono za autokar, a ile za noclegi.
Odpowiedź: Za autokar zapłacono Tu uzupełnij

zł

, a za noclegi Tu uzupełnij

zł

.Dwie piąte całkowitego kosztu wycieczki stanowił koszt wyżywienia. Ile to złotych?
Odpowiedź: Koszt wyżywienia wynosił Tu uzupełnij

zł

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 31

Na trzydniową wycieczkę do Zakopanego i Wieliczki pojechało $40$ uczniów i $4$ opiekunów. Całkowity koszt wycieczki wyniósł $14000 zł$ .

Tabela przedstawia cennik zwiedzania Trasy Turystycznej w Kopalni Soli „Wieliczka”.

Zwiedzanie grupowe Trasy Turystycznej (minimum $5$ osób)
Bilet normalny	$45$ PLN/ $1$ osoba
Bilet ulgowy	$31$ PLN/ $1$ osoba
Przewodnik	$165$ PLN - j. polski
Przewodnik	$245$ PLN - j. obcy
Zwiedzanie szkolne	$24$ PLN/ $1$ osoba

Rq1vPKIldmQ3H

W cenę szkolnego zwiedzania wliczona jest opłata za usługę przewodnicką. Zorganizowanym grupom przedszkolnym, ze szkół podstawowych oraz liceum przysługuje bezpłatny wstęp dla

1

opiekuna na każdych

10

uczniów (pozostali opiekunowie - indywidualne zwiedzanie płatne). Wykorzystaj dane z tabeli i oblicz, ile zapłacono za bilety do Kopalni Soli dla wszystkich uczestników wycieczki. Jaka to część całkowitego kosztu wycieczki?

Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Za bilety do Kopalni Soli zapłacono 1.

950

, 2.

940

, 3.

\frac{12}{180}

, 4.

\frac{12}{175}

, 5.

\frac{12}{170}

, 6.

960

zł

. Koszt biletów to 1.

950

, 2.

940

, 3.

\frac{12}{180}

, 4.

\frac{12}{175}

, 5.

\frac{12}{170}

, 6.

960

kosztu wycieczki.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Pqt9apnskWJ

Ćwiczenie 32

Na trzydniową wycieczkę do Zakopanego i Wieliczki pojechało

40

uczniów i

4

opiekunów. W Zakopanem uczniowie wraz z nauczycielami wjechali kolejką linową na Kasprowy Wierch, a potem z niego zjechali. Oblicz, ile zapłacili za bilety, jeśli bilet ulgowy w dwie strony kosztował

48 zł

, a normalny

58 zł

. Jaka to część całkowitego kosztu wycieczki, jeśli całkowity koszt wycieczki wyniósł

14000 zł

?

Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Za bilety zapłacili 1.

2152

, 2.

2142

, 3.

\frac{269}{1750}

, 4.

2162

, 5.

\frac{259}{1750}

, 6.

\frac{249}{1650}

zł. Koszt biletów na Kasprowy Wierch stanowi 1.

2152

, 2.

2142

, 3.

\frac{269}{1750}

, 4.

2162

, 5.

\frac{259}{1750}

, 6.

\frac{249}{1650}

całkowitego kosztu wycieczki.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ReuEnGtC3zhcI

Ćwiczenie 33

$5$
$10$
$15$
$20$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 34

W Kopalni Soli „Wieliczka” uczniowie dowiedzieli się, że w czasach Kazimierza Wielkiego dochody z żup krakowskich w wysokości $18000$ grzywien stanowiły $\frac{1}{3}$ wpływów skarbu państwa. Ile grzywien wpływało wtedy do skarbu państwa? Uzupełnij odpowiedź, wpisując odpowiednią wartość w puste pole.

RbsWd834aJbnL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RE3m49oWVEtiB

Ćwiczenie 35

Najwyższym wyrobiskiem, które uczniowie zobaczyli w kopalni, była Komora Stanisława Staszica mierząca aż

36 m

wysokości. Na trasie zwiedzania napotkali też najgłębsze jeziorko, które w swoim najniższym punkcie ma głębokość równą jednej czwartej wysokości Komory Stanisława Staszica. Jaką głębokość ma to jeziorko? Uzupełnij odpowiedź, wpisując odpowiednią wartość w puste pole. Odpowiedź: Głębokość jeziorka wynosi Tu uzupełnij

m

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15mwawwZ7vQl

Ćwiczenie 36

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RtRSf3glj8Jx2

Ćwiczenie 37

$27 \frac{1}{5} kg$
$\frac{27}{135} kg$
$27 kg$
$5 \frac{2}{5} kg$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R18wGIm58i1MD

Ćwiczenie 38

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RbclA2NlpaCoG

Ćwiczenie 39

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1SsFPbmr2lkB

Ćwiczenie 40

Z taśmy długości

25 m

odcięto najpierw

13 \frac{2}{5} m

, a następnie dwa kawałki po

1 \frac{4}{5} m

każdy. Ile metrów taśmy zostało? Do szkoły przywieziono

3

skrzynki jabłek po

7 \frac{1}{2} kg

w każdej oraz dwa razy więcej skrzynek śliwek po

9 \frac{1}{4} kg

w każdej. Ile kilogramów owoców przywieziono do szkoły?Z

2 \frac{1}{2} kg

bananów,

\frac{1}{4} kg

jogurtu i

1 \frac{3}{4} kg

brzoskwiń Kasia zrobiła

36

jednakowych porcji deseru. Oblicz, ile ważyła jedna porcja.
Treść każdego zadania zapisz za pomocą jednego wyrażenia, oblicz jego wartość, a następnie uzupełnij luki odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę. 1.

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

-

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

- 2 \cdot

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

Odpowiedź: Zostało 1.

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

m

taśmy.

3 \cdot

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

+

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

\cdot 9 \frac{1}{4}

Odpowiedź: Do szkoły przywieziono 1.

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

kg

owoców.

(2 \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 1 \frac{3}{4}) :

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

Odpowiedź: Jedna porcja ważyła 1.

78

, 2.

7 \frac{1}{2}

, 3.

6

, 4.

\frac{1}{8}

, 5.

25

, 6.

36

, 7.

8

, 8.

1 \frac{4}{5}

, 9.

13 \frac{2}{5}

kg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Poniżej zamieszczone jest pole tekstowe. Możesz je wykorzystać do zapisania swoich obliczeń, notatek lub innych rzeczy, które uważasz za ważne.

RQUCbdYpiw5f7

9. Działania na ułamkach zwykłych

Działania na ułamkach zwykłych