10. Podsumowanie wiadomości o ułamkach dziesiętnych

R1WKyyfUnVS1P1

Na zdjęciu przedstawiono obliczanie domowych wydatków - ręka trzymująca ołówek nad rachunkiem, obok notes i kalkulator.

Umiejętne gospodarowanie pieniędzmi to nie lada sztuka. Każda rodzina powinna rozsądnie planować dochody i wydatki, czyli tworzyć budżet w taki sposób, aby nie popaść w długi. Kiedy zsumowane wydatki przewyższają dochody, pojawia się deficyt budżetowy popularnie zwany dziurą budżetową. A ponieważ ceny towarów i usług zapisuje się w postaci ułamków dziesiętnych, obliczenia na nich przydają się w gospodarowaniu pieniędzmi.

W tym materiale zawarte są najważniejsze informacje o działaniach na ułamkach dziesiętnych. Będziemy je dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.  Będzie okazja, aby rozwinąć i utrwalić umiejętności związane z tymi ułamkami.

Najczęściej ułamki te zapisujemy w postaci dziesiętnej z zastosowaniem przecinka oddzielającego część całkowitą od części ułamkowej. Kolejne miejsca po przecinku oznaczają części dziesiąte, setne, tysięczne, itd.

Czasem warto przy tym rozszerzyć ułamki tak, aby miały tyle samo cyfr po przecinku. Ułatwia to niektóre obliczenia.

Przykład 1

Działanie	Obliczenia
$3,26+12,08=15,34$	R1AwrCmqKd6as Ilustracja przedstawia zadanie dodawania sposobem pisemnym liczb zapisanych w postaci dziesiętnej. Zapisano liczbę dwanaście i osiem setnych. Niżej zapisano trzy i dwadzieścia sześć setnych, w taki sposób że cyfry części setnych, części dziesiętnych, jedności oraz dziesiątek znajdują się odpowiednio jedna nad drugą. Po lewej stronie umieszczono znak plus i całe wyrażenie podkreślono poziomą kreską. Kolejno od prawej dodano do siebie liczby znajdujące się w danej kolumnie, zapisując pod kreską wyniki, odpowiednio: cyfrę cztery pod częściami setnymi, cyfrę trzy pod częściami dziesiętnymi, cyfrę pięć pod cyframi jedności oraz cyfrę jeden pod cyframi dziesiątek. Otrzymano końcowy wynik piętnaście i trzydzieści cztery setne.
$0,05+11,289+121,1=132,439$	RBDqqedGCQS3z Ilustracja przedstawia zadanie dodawania sposobem pisemnym liczb zapisanych w postaci dziesiętnej. Zapisano liczbę sto dwadzieścia jeden i sto tysięcznych. Niżej jedenaście i dwieście osiemdziesiąt dziewięć tysięcznych oraz niżej pięćdziesiąt tysięcznych. Cyfry części tysięcznych, części setnych, części dziesiętnych, jedności, dziesiątek oraz setek wszystkich liczb znajdują się odpowiednio jedna nad drugą. Po lewej stronie umieszczono znak plus i całe wyrażenie podkreślono poziomą kreską. Kolejno od prawej dodano do siebie liczby znajdujące się w danej kolumnie, zapisując pod kreską wyniki, odpowiednio: cyfrę dziewięć pod częściami tysięcznymi, cyfrę trzy pod częściami setnymi, cyfrę cztery pod częściami dziesiętnymi, następnie cyfrę dwa pod cyframi jedności, cyfrę trzy pod cyframi dziesiątek oraz cyfrę jeden pod cyframi setek. Otrzymano końcowy wynik sto trzydzieści dwa i czterysta trzydzieści dziewięć tysięcznych.
$5,57-2,3=3,27$	R12nLIZexfptQ Ilustracja przedstawia zadanie odejmowania sposobem pisemnym liczb zapisanych w postaci dziesiętnej. Zapisano liczbę pięć i pięćdziesiąt siedem setnych. Niżej zapisano dwa i trzydzieści setnych, w taki sposób że cyfry części dziesiętnych, części jedności oraz jedności znajdują się odpowiednio jedna nad drugą. Po lewej stronie umieszczono znak minus i całe wyrażenie podkreślono poziomą kreską. Kolejno od prawej odjęto od liczby znajdującej się wyżej, liczbę znajdującą się niżej, zapisując pod kreską wyniki, odpowiednio: cyfrę siedem pod częściami setnymi, cyfrę dwa pod częściami dziesiątymi, cyfrę trzy w rzędzie jedności. Otrzymano końcowy wynik trzy i dwadzieścia siedem setnych.
$16,2-9,863=6,337$	RnkHCbr0d5ej6 Ilustracja przedstawia zadanie odejmowania sposobem pisemnym liczb zapisanych w postaci dziesiętnej. Zapisano liczbę szesnaście i dwieście tysięcznych. Niżej zapisano liczbę dziewięć i osiemset sześćdziesiąt trzy tysięczne. Cyfry części tysięcznych, części setnych, części dziesiętnych, jedności oraz dziesiątek wszystkich liczb znajdują się odpowiednio jedna nad drugą. Po lewej stronie umieszczono znak minus i całe wyrażenie podkreślono poziomą kreską. Kolejno od prawej odjęto w kolumnach od liczby znajdującej się wyżej, liczbę znajdującą się niżej, zapisując pod kreską wyniki, odpowiednio: cyfrę siedem pod częściami tysięcznymi, cyfrę trzy pod częściami setnymi, cyfrę trzy pod częściami dziesiętnymi, następnie cyfrę sześć pod cyframi jedności. Otrzymano końcowy wynik sześć i trzysta trzydzieści siedem tysięcznych.

Aby pomnożyć ułamek dziesiętnymnożenie ułamków dziesiętnych przezpomnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000, … przesuwamy przecinek w liczbie odpowiednio o jedno, dwa, trzy, … miejsca w prawo.
$0,67·10=6,7$ – przesunęliśmy przecinek o jedno miejsce w prawo,
$1,25·1000=1250$ – przesunęliśmy przecinek o trzy miejsca w prawo (aby to było możliwe, dopisaliśmy jedno zero z prawej strony liczby).

Aby podzielić ułamek dziesiętnydzielenie ułamków dziesiętnychpodzielić ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000, … przesuwamy przecinek w liczbie odpowiednio o jedno, dwa, trzy, … miejsca w lewo.
$7,9:10=0,79$ – przesunęliśmy przecinek o jedno miejsce w lewo,
$6,567:1000=0,006567$ – przesunęliśmy przecinek o trzy miejsca w lewo.

Mnożenie ułamków dziesiętnychmnożenie ułamków dziesiętnych przezMnożenie ułamków dziesiętnych wykonujemy również podobnie, jak mnożenie liczb naturalnych, przy czym w iloczynie oddzielamy przecinkiem tyle końcowych cyfr, ile było razem cyfr po przecinku w obu czynnikach.

Przykład 2

Piotrek kupił $3 \mathrm{kg}$ marchewki i $16 \mathrm{kg}$ pietruszki. Obliczymy, ile zapłacił.

R15alpxHt1yFB

W lewej części ilustracji znajduje się fotografia świeżych marchwi ułożonych na desce do krojenia. Niżej znajduje się cena wynosząca dwa złote i czterdzieści osiem groszy. Po prawej stronie znajduje się fotografia przedstawiająca pietruszkę w koszyku wiklinowym. Niżej widoczna jest cena wynosząca siedem złotych i dwadzieścia groszy.

Za $3 \mathrm{kg}$ marchewki Piotrek zapłacił $3·2,48 \mathrm{zł}$, za $16 \mathrm{kg}$ pietruszki zapłacił $16·7,20 \mathrm{zł}$.

RN7sxW3Q2FuY1

Ilustracja przedstawia dwa zadania mnożenia sposobem pisemnym liczb zapisanych w postaci dziesiętnej. Pierwsze zadanie. Zapisano liczbę dwa i czterdzieści osiem setnych. Niżej zapisano liczbę trzy tak, aby znajdowała się pod cyfrą osiem. Po lewej stronie umieszczono znak mnożenia i całe wyrażenie podkreślono poziomą kreską. Następnie pomnożono górny czynnik przez cyfrę jedności czynnika drugiego. Pod kreską zapisano wyniki odpowiednio: cyfrę cztery pod częściami setnymi, cyfrę cztery pod częściami dziesiętnymi, cyfrę siedem pod cyframi jedności. Otrzymano końcowy wynik siedem i czterdzieści cztery setne. Zadanie drugie. Zapisano liczbę siedem i dwadzieścia setnych. Niżej zapisano liczbę szesnaście tak, aby cyfra sześć znalazła się pod cyfrą dwa, a cyfra jeden pod cyfrą siedem. Po lewej stronie umieszczono znak mnożenia i całe wyrażenie podkreślono poziomą kreską. Następnie pomnożono górny czynnik przez cyfrę jedności czynnika drugiego. Otrzymano wyniki, odpowiednio: cyfrę zero pod cyframi części setnych, cyfrę dwa pod cyframi części dziesiątych, cyfrę trzy pod cyframi jedności oraz cyfrę cztery w rzędzie dziesiątek. Następnie pomnożono górny czynnik przez cyfrę dziesiątek drugiego czynnika. Wynik tego działania zapisano cyfra po cyfrze, ale cyfrę zero zapisano pod cyfrą jedności drugiego czynnika. Otrzymano kolejno: cyfrę zero, dwa i siedem. Po lewej stronie dwóch cząstkowych wyników, znajdujących się w dwóch wierszach, zapisano znak dodawania i podkreślono je poziomą kreską. Pod kreską zapisano ostateczny wynik sto piętnaście i dwie dziesiąte.

$$3·2,48+16·7,20=7,44+115,20=122,64$$

Odpowiedź:
Piotrek zapłacił $122,64 \mathrm{zł}$.

Aby podzielić dwa ułamki dziesiętne sposobem pisemnym, dzielną i dzielnik mnożymy odpowiednio przez $10$, $100$, $1000$, $\dots$ tak, aby wykonać dzielenie ułamka przez liczbę naturalną.

Przykład 3

Pani Ewelina w ciągu $1,4$ godziny przejechała $24,15 \mathrm{km}$.

Obliczymy, z jaką średnią prędkością się poruszała.
Prędkość obliczymy jako iloraz długości przebytej drogi przez czas jazdy.
$\frac{24,15}{1,4}=\frac{241,5}{14}=17,25$.

R1N340Fz79Siq

Ilustracja przedstawia zadanie dzielenia sposobem pisemnym. Zapisano działanie: dwieście czterdzieści jeden i pięć dziesiątych podzielić przez czternaście. Nad dzielną narysowano poziomą kreskę nad którą kolejno zapisywane zostały wyniki dzielenia pisemnego. W pierwszej kolejności podzielono liczbę dwadzieścia cztery na czternaście i otrzymano jedną całość. Zatem cyfrę jeden zapisano nad kreską, nad cyfrą cztery. Pod dzielną zapisano wynik odejmowania liczby dwadzieścia cztery od wyniku mnożenia cyfry jeden i dzielnika czternaście. Otrzymano liczbę dziesięć i dopisano cyfrę jeden stanowiącą kolejną cyfrę dzielnej. Następnie sto jeden podzielono przez czternaście. Otrzymano wynik siedem, który zapisano nad kreską, nad cyfrą jeden. Od liczby sto jeden odjęto wynik mnożenia cyfry siedem i dzielnika, czyli dziewięćdziesiąt osiem. Otrzymano wynik trzy i dopisano ostatnią liczbę dzielnej czyli pięć. Liczbę trzydzieści pięć podzielono na czternaście, co dało wynik dwa, który zapisano nad kreską, nad cyfrą pięć. Następnie pomnożono cyfrę dwa przez dzielnik, czyli czternaście i otrzymano wynik dwadzieścia osiem, który odjęto od trzydziestu pięciu. Otrzymano wynik siedem, do którego dopisano zero stanowiące domyślną cyfrę po przecinku dzielnej. Liczbę siedemdziesiąt podzielono przez czternaście. Otrzymano wynik pięć, który zapisano nad kreską. Pomnożono pięć przez czternaście i otrzymano wynik siedemdziesiąt. Odejmując siedemdziesiąt od siedemdziesięciu otrzymano wynik zero. Reszta z dzielenia pisemnego wynosi zatem zero, a wynik to siedemnaście i dwadzieścia pięć setnych.

Odpowiedź:
Pani Ewelina poruszała się ze średnią prędkością $17,25 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

W codziennych obliczeniach, zwykle wyniki obliczeń na ułamkach dziesiętnych podajemy z określoną dokładnością.

Interpretując wynik uzyskany w  przykładzie $7$ możemy więc powiedzieć, że pani Ewelina poruszała się z prędkością około $17,3 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Możemy też stwierdzić, że prędkość ta była równa około $17 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Przykład 4

Obliczymy pole i obwód prostokąta $ABCD$ takiego jak na rysunku. Wyniki podamy z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.

RAFg83ODuPUGF

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D którego obszar zacieniowano niebieskim kolorem. Długość boku A B wynosi sześć i dwadzieścia trzy setne centymetra. Długość boku B C wynosi cztery i siedem dziesiątych centymetra.

Z rysunku odczytujemy długości boków prostokąta: $6,23 \mathrm{cm}$ i $4,7 \mathrm{cm}$.
Obliczamy pole prostokąta:

$$P=6,23·4,7=29,281\approx 29,3$$

Obliczamy obwód prostokąta:

$$L=2·6,23+2·4,7$$

$$L=12,46+9,4=21,86\approx 21,9$$

Odpowiedź:
Pole prostokąta jest równe około $29,3 {\mathrm{cm}}^2$, a obwód jest równy około $21,9 \mathrm{cm}$.

Polecenie 1

Zagraj w poniższą grę, a następnie wykonaj poniższe polecenia.

R1ES8I7pkTA4c

Gra edukacyjna nawiązująca do treści materiału

Gra edukacyjna nawiązująca do treści materiału

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D15t11yd2

Poziom pierwszy:

RqJgemu0rRY0V

Zapoznaj się z poniższymi zdaniami. Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zapoznaj się z poniższymi zdaniami. Zaznacz poprawną odpowiedź.

Poziom drugi:

RmNvOPdN9tIwu

Zapoznaj się z poniższymi działaniami. Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zapoznaj się z poniższymi działaniami. Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 3

Na osi liczbowej zaznaczono dwa punkty $P$ i $R$.

R1J9M48ydHZ09

Ilustracja przedstawia oś liczbową, na której odcinek jednostkowy podzielony jest na sto równych części. Na osi zaznaczono punkty pierwszy o współrzędnych jeden i trzydzieści sześć setnych oraz punkt drugi o współrzędnych jeden i czterdzieści sześć setnych. Zaznaczono punkt P znajdujący się cztery jednostki na prawo od punktu pierwszego oraz punkt R znajdujący sie dwie jednostki na prawo od punktu drugiego.

R15TbRY1ERvQC

Suma współrzędnych punktów $P$ i $R$ jest równa Możliwe odpowiedzi: 1. $2,88$, 2. $3,22$, 3. $4,96$, 4. $8,82$

Ćwiczenie 21

Korzystając z grafiki, uzupełnij zdania,  wpisując odpowiednie liczby w puste pola.

RCePaqgl530sL1

Na rysunku przedstawiono owoce. Kolejno od lewej. Banany. Jabłka. Truskawki. Odpowiednio pod każdymi owocami zapisano ich ceny. Banany - 4,10 euro za kilogram. Jabłka - 1,85 euro za kilogram. Truskawki - 1,45 euro za kilogram.

RDg5ukpZDTVOB

Za kilogram bananów, kilogram truskawek i kilogram jabłek trzeba zapłacić Tu uzupełnij $\mathrm{euro}$. Jeśli zapłacisz za $2$ kilogramy truskawek, $2$ kilogramy jabłek i kilogram bananów banknotem $20 \mathrm{euro}$ otrzymasz Tu uzupełnij $\mathrm{euro}$ reszty.

Za kilogram bananów, kilogram truskawek i kilogram jabłek trzeba zapłacić Tu uzupełnij $\mathrm{euro}$. Jeśli zapłacisz za $2$ kilogramy truskawek, $2$ kilogramy jabłek i kilogram bananów banknotem $20 \mathrm{euro}$ otrzymasz Tu uzupełnij $\mathrm{euro}$ reszty.

Ćwiczenie 29

Oto przykładowe ceny nabiału w pewnym sklepie. Wojtek kupił kilogram sera białego, $10 \mathrm{dag}$ sera żółtego, $100 \mathrm{g}$ sera topionego i $0,1 \mathrm{kg}$ oscypka. Oblicz, ile reszty otrzymał ze $100 \mathrm{zł}$.

RpNv1Wh17jtSO1

Na rysunki przedstawiono cztery tacki. Na każdej z nich znajduje się inny rodzaj sera. Odpowiednio pod każdą tacką zapisano cenę sera za kilogram. Ser biały - 35,40 złotych za kilogram. Ser żółty - 38,50 złotych za kilogram. Ser topiony - 29,80 złotych za kilogram. Ser oscypek - 45,20 złotych za kilogram.

RFEUEO2WiELcQ

Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę.
Odpowiedź: Otrzymał Tu uzupełnij $\mathrm{zł}$ reszty.

Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę.
Odpowiedź: Otrzymał Tu uzupełnij $\mathrm{zł}$ reszty.

Słownik

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.