1. Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych

R1Hn9H9y4suwp

Z podanych składników można sporządzić około $60$ sztuk faworków.

RGNhYdpnC84JS1

Zdjęcie przedstawia talerz z faworkami posypanymi cukrem pudrem. — Źródło: Błażej Pieczyński, domena publiczna. flickr.com.

Składniki ciasta:

$250 g$ mąki,
$150 ml$ gęstej śmietany,
$4$ żółtka,
$10 g$ masła,
$\frac{1}{2}$ łyżeczki cukru,
$\frac{1}{4}$ łyżeczki soli,
$1$ łyżka octu jabłkowego.

Ile powinniśmy użyć poszczególnych składników, aby otrzymać 1,5 razy więcej faworków?

Jak obliczyć wyrażenia, w których występują ułamki zwykłe i dziesiętne dowiesz się z tego materiału.

Jeśli chcemy otrzymać wartość dokładną wyrażenia, w którym występują ułamki zwykłe i dziesiętne, najczęściej wynik podajemy w postaci ułamka zwykłego. Ważne jest więc, by umieć przekształcać wyrażenia, w których występują oba rodzaje ułamków.

Właśnie w tym materiale pokażemy, jak sobie radzić z takimi wyrażeniami.

Ważne!

Każdy ułamek dziesiętny skończony (lub okresowy) można zapisać za pomocą ułamka zwykłego, ale nie każdy ułamek zwykły można zapisać za pomocą ułamka dziesiętnego skończonego.

R1TzZsj82A9si

Ćwiczenie 1

$\frac{7}{50} = 0,14$
$3,2 = 3 \frac{1}{5}$
$1 \frac{9}{20} = 1,09$
$3,024 = 3 \frac{6}{25}$
$\frac{2}{3} = 0,6$
$\frac{7}{8} = 0,875$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Aby obliczyć wartość wyrażenia, w którym występują ułamki zwykłe i ułamki dziesiętne, należy te ułamki doprowadzić do tej samej postaci, czyli ułamki zwykłe zamienić na dziesiętne lub odwrotnie, a następnie wykonać działania.

R110QziRswoGp1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNx09krgu9EEl

Ćwiczenie 2

Oblicz w pamięci, a następnie uzupełnij luki odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości.

\frac{1}{4} + 0, 5 =

4, 25

, 2.

3, 25

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

2

, 5.

\frac{1}{8}

, 6.

1

, 7.

0, 75

, 8.

0

, 9.

0, 15

, 10.

3

0, 4 - \frac{1}{4} =

4, 25

, 2.

3, 25

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

2

, 5.

\frac{1}{8}

, 6.

1

, 7.

0, 75

, 8.

0

, 9.

0, 15

, 10.

3

2, 5 + \frac{3}{4} =

4, 25

, 2.

3, 25

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

2

, 5.

\frac{1}{8}

, 6.

1

, 7.

0, 75

, 8.

0

, 9.

0, 15

, 10.

3

0, 125 - \frac{1}{8} =

4, 25

, 2.

3, 25

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

2

, 5.

\frac{1}{8}

, 6.

1

, 7.

0, 75

, 8.

0

, 9.

0, 15

, 10.

3

0, (7) + \frac{2}{9} =

4, 25

, 2.

3, 25

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

2

, 5.

\frac{1}{8}

, 6.

1

, 7.

0, 75

, 8.

0

, 9.

0, 15

, 10.

3

0, (2) - \frac{1}{9} =

4, 25

, 2.

3, 25

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

2

, 5.

\frac{1}{8}

, 6.

1

, 7.

0, 75

, 8.

0

, 9.

0, 15

, 10.

3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RIKvjIEhLO8YD

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKpt5yUTRM2YA

Ćwiczenie 4

Poniżej przedstawiono pewne wyrażenia oraz ich rozwiązania. Połącz w pary wyrażenie z poprawnym wynikiem.

6, 42

Możliwe odpowiedzi: 1.

4 \frac{1}{6} + 1, 3

, 2.

2, 92 + 3 \frac{1}{2}

, 3.

5 \frac{27}{100} - 23

, 4.

3 \frac{1}{8} - 0, 25

, 5.

3 \frac{2}{3} + 1, 25

, 6.

3 \frac{5}{6} - 0, 4

3 \frac{13}{30}

Możliwe odpowiedzi: 1.

4 \frac{1}{6} + 1, 3

, 2.

2, 92 + 3 \frac{1}{2}

, 3.

5 \frac{27}{100} - 23

, 4.

3 \frac{1}{8} - 0, 25

, 5.

3 \frac{2}{3} + 1, 25

, 6.

3 \frac{5}{6} - 0, 4

2, 97

Możliwe odpowiedzi: 1.

4 \frac{1}{6} + 1, 3

, 2.

2, 92 + 3 \frac{1}{2}

, 3.

5 \frac{27}{100} - 23

, 4.

3 \frac{1}{8} - 0, 25

, 5.

3 \frac{2}{3} + 1, 25

, 6.

3 \frac{5}{6} - 0, 4

4 \frac{11}{12}

Możliwe odpowiedzi: 1.

4 \frac{1}{6} + 1, 3

, 2.

2, 92 + 3 \frac{1}{2}

, 3.

5 \frac{27}{100} - 23

, 4.

3 \frac{1}{8} - 0, 25

, 5.

3 \frac{2}{3} + 1, 25

, 6.

3 \frac{5}{6} - 0, 4

2, 875

Możliwe odpowiedzi: 1.

4 \frac{1}{6} + 1, 3

, 2.

2, 92 + 3 \frac{1}{2}

, 3.

5 \frac{27}{100} - 23

, 4.

3 \frac{1}{8} - 0, 25

, 5.

3 \frac{2}{3} + 1, 25

, 6.

3 \frac{5}{6} - 0, 4

5 \frac{7}{15}

Możliwe odpowiedzi: 1.

4 \frac{1}{6} + 1, 3

, 2.

2, 92 + 3 \frac{1}{2}

, 3.

5 \frac{27}{100} - 23

, 4.

3 \frac{1}{8} - 0, 25

, 5.

3 \frac{2}{3} + 1, 25

, 6.

3 \frac{5}{6} - 0, 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ra5lSRjhSKH0w

Ćwiczenie 5

Oblicz w pamięci, a następnie uzupełnij luki odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości.

\frac{1}{2} \cdot 0, 5 =

\frac{3}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

1

, 4.

1, 5

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

2

, 7.

0, 25

, 8.

1

, 9.

1, 2

, 10.

4

0, 6 : \frac{1}{2} =

\frac{3}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

1

, 4.

1, 5

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

2

, 7.

0, 25

, 8.

1

, 9.

1, 2

, 10.

4

1, 5 \cdot \frac{2}{3} =

\frac{3}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

1

, 4.

1, 5

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

2

, 7.

0, 25

, 8.

1

, 9.

1, 2

, 10.

4

1, 25 : \frac{5}{4} =

\frac{3}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

1

, 4.

1, 5

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

2

, 7.

0, 25

, 8.

1

, 9.

1, 2

, 10.

4

1, (3) \cdot \frac{1}{4} =

\frac{3}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

1

, 4.

1, 5

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

2

, 7.

0, 25

, 8.

1

, 9.

1, 2

, 10.

4

\frac{1}{9} : 0, (2) =

\frac{3}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

1

, 4.

1, 5

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

2

, 7.

0, 25

, 8.

1

, 9.

1, 2

, 10.

4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDn70mEe7cyni

Ćwiczenie 6

Poniżej przedstawiono pewne wyrażenia oraz ich rozwiązania. Połącz w pary wyrażenie z poprawnym wynikiem.

8 \frac{1}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{1}{4} \cdot 4

, 2.

10, 5 : 2 \frac{1}{4}

, 3.

3 \frac{2}{5} : 0, 2

, 4.

2, 6 \cdot \frac{1}{3}

, 5.

2, 5 : 1 \frac{1}{5}

, 6.

3 \frac{1}{3} \cdot 2, 5

5

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{1}{4} \cdot 4

, 2.

10, 5 : 2 \frac{1}{4}

, 3.

3 \frac{2}{5} : 0, 2

, 4.

2, 6 \cdot \frac{1}{3}

, 5.

2, 5 : 1 \frac{1}{5}

, 6.

3 \frac{1}{3} \cdot 2, 5

2 \frac{1}{12}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{1}{4} \cdot 4

, 2.

10, 5 : 2 \frac{1}{4}

, 3.

3 \frac{2}{5} : 0, 2

, 4.

2, 6 \cdot \frac{1}{3}

, 5.

2, 5 : 1 \frac{1}{5}

, 6.

3 \frac{1}{3} \cdot 2, 5

\frac{13}{15}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{1}{4} \cdot 4

, 2.

10, 5 : 2 \frac{1}{4}

, 3.

3 \frac{2}{5} : 0, 2

, 4.

2, 6 \cdot \frac{1}{3}

, 5.

2, 5 : 1 \frac{1}{5}

, 6.

3 \frac{1}{3} \cdot 2, 5

17

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{1}{4} \cdot 4

, 2.

10, 5 : 2 \frac{1}{4}

, 3.

3 \frac{2}{5} : 0, 2

, 4.

2, 6 \cdot \frac{1}{3}

, 5.

2, 5 : 1 \frac{1}{5}

, 6.

3 \frac{1}{3} \cdot 2, 5

4 \frac{2}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{1}{4} \cdot 4

, 2.

10, 5 : 2 \frac{1}{4}

, 3.

3 \frac{2}{5} : 0, 2

, 4.

2, 6 \cdot \frac{1}{3}

, 5.

2, 5 : 1 \frac{1}{5}

, 6.

3 \frac{1}{3} \cdot 2, 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LtJB65deB4F

Ćwiczenie 7

Iloczyn liczb $2 \frac{1}{2}$ i $1,2$ zmniejszony o $1 \frac{4}{5}$ wynosi

$1,4$
$1 \frac{1}{5}$
$4 \frac{1}{5}$
$1 \frac{3}{5}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15PstzICkKTL

Ćwiczenie 8

Litr mleka waży ok $1,14 kg$ . Ile waży $\frac{1}{3}$ litra mleka?

$0,33 kg$
$\frac{1}{3} kg$
$0,38 kg$
$3,42 kg$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16x1ZTaPVpiD

Ćwiczenie 9

Z domu do szkoły Julek pokonuje drogę długości $1,2 km$ , zaś Damian $\frac{3}{4}$ długości drogi Julka. Obaj chłopcy przez dwa dni, idąc do szkoły i z powrotem, pokonają

$2,1 km$
$4,2 km$
$6,3 km$
$8,4 km$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R13N1EOjp0Uxz

Ćwiczenie 10

Kilogram jabłek i kilogram gruszek kosztują razem $7,20 z ł$ . Cena kilograma jabłek stanowi trzecią część ceny kilograma gruszek. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Kilogram gruszek kosztuje $1,80 zł$ .
Kilogram jabłek kosztuje $1,80 zł$ .
Za $\frac{1}{2}$ kilograma gruszek zapłacimy $2,70 zł$ .
Za $\frac{1}{3}$ kilograma jabłek i $\frac{1}{3}$ kilograma gruszek zapłacimy $2,40 zł$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

R19MjO61Z8FvH

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że w rzeczywistości długości dwóch boków tego prostokąta zwiększono o $1 \frac{7}{20} cm$ , a długości dwóch pozostałych boków zmniejszono o $0, 28 cm$ . Obwód jest sumą długości wszystkich boków, więc zmianę obwodu wyznaczysz obliczając sumę wszystkich zmian długości boków.

Ćwiczenie 12

RSc2YDTadSjVi

Kasia, Julka i Patrycja czytają tę samą książkę. Kasia przeczytała już

\frac{3}{5}

wszystkich stron książki, Julka

\frac{1}{4}

, a Patrycja

\frac{4}{7}

wszystkich stron książki.
Odpowiedz na poniższe pytania i uzupełnij luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Której dziewczynce zostało najmniej stron do przeczytania?
Odpowiedź: 1.

\frac{3}{4}

, 2. Kasi, 3. Patrycji, 4.

60

, 5.

63

, 6.

61

, 7.

53

, 8. Julce, 9.

\frac{45}{105}

, 10.

26 \frac{1}{4}

zostało najmniej stron do przeczytania.Ile stron przeczytała każda z dziewczynek, jeżeli książka ma

105

stron?
Odpowiedź: Kasia przeczytała 1.

\frac{3}{4}

, 2. Kasi, 3. Patrycji, 4.

60

, 5.

63

, 6.

61

, 7.

53

, 8. Julce, 9.

\frac{45}{105}

, 10.

26 \frac{1}{4}

strony, Julka 1.

\frac{3}{4}

, 2. Kasi, 3. Patrycji, 4.

60

, 5.

63

, 6.

61

, 7.

53

, 8. Julce, 9.

\frac{45}{105}

, 10.

26 \frac{1}{4}

strony, a Patrycja 1.

\frac{3}{4}

, 2. Kasi, 3. Patrycji, 4.

60

, 5.

63

, 6.

61

, 7.

53

, 8. Julce, 9.

\frac{45}{105}

, 10.

26 \frac{1}{4}

stron.Jaki jest stosunek nieprzeczytanych stron do przeczytanych w książce Patrycji?
Odpowiedź: Stosunek stron nieprzeczytanych stron do przeczytanych wynosi 1.

\frac{3}{4}

, 2. Kasi, 3. Patrycji, 4.

60

, 5.

63

, 6.

61

, 7.

53

, 8. Julce, 9.

\frac{45}{105}

, 10.

26 \frac{1}{4}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Porównaj ze sobą ułamki i zdecyduj, która z dziewczynek przeczytała największą część książki.
Liczbę przeczytanych przez daną dziewczynkę stron książki obliczysz, mnożąc ułamek przeczytanych stron przez liczbę wszystkich stron książki, czyli $105$ .
Zauważ, że Patrycja nie przeczytała jeszcze $\frac{3}{7}$ wszystkich stron. Oznacza to, że na każde cztery przeczytane strony przypadają trzy strony, których Patrycja jeszcze nie przeczytała.

Ćwiczenie 13

R1MtFYXhm2rlA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznij od obliczenia, ile litrów wody zostaje nalanych do butelki o pojemności $0, 5$ litra. W tym celu pomnóż ułamek $\frac{4}{5}$ przez liczbę $0, 5$ . Następnie, aby policzyć ile butelek wody napełnia rozlewnia w ciągu minuty, podziel liczbę $60$ przez otrzymany wynik.

R1SgNYhIBzkUp

Ćwiczenie 14

Aby sprzedać

63

kilogramy proszku do prania trzeba przesypać go w pojemniki o wadze

2 \frac{1}{4}

kilograma każdy. Wykorzystując tę informację odpowiedz na pytania i uzupełnij puste miejsca. Ile pojemników potrzeba, aby przesypać cały proszek? Tu uzupełnij pojemnikówIle pojemników zostało, jeżeli sprzedano już

0, 75

liczby wszystkich pojemników? Tu uzupełnij pojemnikówIle kosztuje pojemnik z proszkiem, jeżeli kilogram proszku kosztuje

6, 20 zł

? Tu uzupełnij

zł

Jaki będzie zysk ze sprzedaży wszystkich pojemników, jeżeli cena zakupu kilograma proszku stanowi

0, 7

ceny sprzedaży? Tu uzupełnij

zł

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R2zfalNnuqXdS

Ćwiczenie 15

Z podanych składników można sporządzić około

60

sztuk faworków.
Składniki ciasta:

250 g

mąki,

150 ml

gęstej śmietany,

4

żółtka,

10 g

masła,

\frac{1}{2}

łyżeczki cukru,

\frac{1}{4}

łyżeczki soli,

1

łyżka octu jabłkowego. Ile powinniśmy użyć poszczególnych składników, aby otrzymać

90

sztuk faworków?
Uzupełnij listę składników, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Potrzebne składniki to:
1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

g

mąki,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

ml

gęstej śmietany,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

żółtek,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

g

masła,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

łyżeczki cukru,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

łyżeczki soli,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

łyżki octu jabłkowego.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Porównywanie liczb dodatnich

Działania na liczbach wymiernych

1. Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych

Notatnik