4. Zwiększanie lub zmniejszanie liczby o dany ułamek

R1RJg89UBpKey

Historia ułamków zwykłych sięga czasów starożytnej Babilonii. Wiedza na ich temat pochodzi z glinianych tabliczek, na których pismem klinowym zapisywano obliczenia. Z kolei zapis dziesiętny liczb został opracowany w $XV$ wieku przez perskiego matematyka Al‑Kaszi. Dzięki ułamkom zwykłym i dziesiętnym możemy wykonywać wiele operacji na liczbach. W materiale pokażemy, jak wyznaczać liczbę, którą otrzymujemy przez powiększenie lub pomniejszenie o pewien ułamek.

Po przeanalizowaniu części teoretycznej materiału:

obliczysz ułamek danej liczby,
wyznaczysz liczbę, która powstaje po zmniejszeniu danej liczby o pewien ułamek,
wyznaczysz liczbę, która powstaje po powiększeniu danej liczby o pewien ułamek,
zastosujesz zdobytą wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Arytmetyczne metody wyznaczania liczby po zwiekszeniu lub zmniejszeniu

Przykład 1

Wyznaczymy liczbę większą od liczby $6$ o $\frac{3}{5}$ tej liczby.

$I$ sposób:

obliczamy $\frac{3}{5}$ liczby $6$ (czyli obliczamy ułamek danej liczbyobliczanie ułamka danej liczbyułamek danej liczby):
$\frac{3}{5} \cdot 6 = \frac{3 \cdot 6}{5} = \frac{18}{5} = 3 \frac{3}{5}$
otrzymany wynik dodajemy do liczby $6$ :
$6 + 3 \frac{3}{5} = 9 \frac{3}{5}$

$II$ sposób:

jeżeli liczbę $6$ zwiększamy o $\frac{3}{5}$ tej liczby, to otrzymujemy liczbę $1 \frac{3}{5}$ razy większą od liczby $6$ :
$1 \frac{3}{5} \cdot 6 = \frac{8}{5} \cdot 6 = \frac{48}{5} = 9 \frac{3}{5}$

Zatem liczba $9 \frac{3}{5}$ jest równa liczbie $6$ powiększonej o $\frac{3}{5}$ tej liczby.

Przykład 2

Wyznaczymy liczbę mniejszą od liczby $40$ o $0, 35$ tej liczby.

$I$ sposób:

obliczamy $0, 35$ liczby $40$ :
$0, 35 \cdot 40 = 14$
otrzymany wynik odejmujemy od liczby $40$ :
$40 - 14 = 26$

$II$ sposób:

jeżeli liczbę $40$ zmniejszamy o $0, 35$ tej liczby, to otrzymujemy liczbę, która stanowi $0, 65$ liczby $40$ :
$0, 65 \cdot 40 = 26$

Zatem liczba $26$ jest mniejsza od liczby $40$ o $0, 35$ tej liczby.

Przykład 3

Ania zaoszczędziła $240 zł$ , a jej brat Maciek o $\frac{1}{5}$ mniej od Ani. Obliczymy, ile pieniędzy dzieci zaoszczędziły łącznie.

Rozwiązanie:

Obliczamy, ile zaoszczędził Maciek:

wyznaczamy $\frac{1}{5}$ z $240 zł$ :
$\frac{1}{5} \cdot 240 zł = \frac{240}{5} zł = 48 zł$
otrzymany wynik odejmujemy od $240 zł$ :
$240 zł - 48 zł = 192 zł$

Obliczamy, ile pieniędzy dzieci zaoszczędziły łącznie:

$240 zł + 192 zł = 432 zł$

Odpowiedź:
Dzieci zaoszczędziły łącznie $432 zł$ .

Przykład 4

W styczniu karnet na basen kosztował $60 zł$ . W lutym jego cena wzrosła o $0, 2$ , a w marcu spadła o $0, 25$ . Obliczymy, o ile różniła się cena karnetu w marcu w stosunku do ceny ze stycznia.

Rozwiązanie:

Cena karnetu w styczniu – $60 zł$

Cena karnetu w lutym:

$0, 2 \cdot 60 zł = 12 zł$

$60 zł + 12 zł = 72 zł$

Cena karnetu w marcu:

$0, 25 \cdot 72 zł = 18 zł$

$72 zł - 18 zł = 54 zł$

Wyznaczamy różnicę cen w styczniu i marcu:

$60 zł - 54 zł = 6 zł$

Odpowiedź:
Cena karnetu w marcu była o $6 zł$ niższa niż w styczniu.

Przykład 5

Długość prostokąta wynosi $12, 6 cm$ , a jego szerokość jest o $\frac{1}{3}$ dłuższa. Obliczymy obwód tego prostokąta.

Rozwiązanie:

Narysujmy prostokąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R11isaap87RDd

Na ilustracji przedstawiono prostokąt. Długość krótszego boku oznaczono litera a, natomiast długość dłuższego boku oznaczono literą b. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Mamy:

$a = 12, 6 cm$

$b = 12, 6 cm + \frac{1}{3} \cdot 12, 6 cm = 12, 6 cm + 4, 2 cm = 16, 8 cm$

Wobec tego obwód prostokąta przedstawionego na rysunku wynosi:

$L = 2 \cdot 12, 6 cm + 2 \cdot 16, 8 cm = 25, 2 cm + 33, 6 cm = 58, 8 cm$

Odpowiedź:
Obwód prostokąta jest równy $58, 8 cm$ .

Przykład 6

Franek, Marek i Janek zbierali grzyby. Franek zebrał $24$ grzyby, Marek zebrał tyle co Franek i jeszcze $\frac{1}{7}$ tego, co uzbierał Janek. Obliczymy, ile grzybów zebrał każdy z chłopców, jeżeli Janek zebrał o $\frac{1}{8}$ grzybów mniej niż Franek.

Rozwiązanie:

Liczba grzybów zebranych przez Franka: $24$

Liczba grzybów zebranych przez Janka: $24 - \frac{1}{8} \cdot 24 = 24 - 3 = 21$

Liczba grzybów zebranych przez Marka: $24 + \frac{1}{7} \cdot 21 = 24 + 3 = 27$

Odpowiedź:
Franek zebrał $24$ grzyby, Janek $21$ grzybów, a Marek $27$ grzybów.

Czasami mamy daną liczbę, która powstaje po pomniejszeniu lub powiększeniu o pewną część innej liczby. Wówczas możemy wyznaczyć liczbę przed pomniejszeniem lub powiększeniem.

Przykład 7

W pewnej szkole liczba chłopców wynosi $336$ i jest o $0, 4$ wyższa od liczby dziewcząt w tej szkole. Wyznaczymy liczbę wszystkich uczniów tej szkoły.

Rozwiązanie:

Liczba chłopców: $336$

Ponieważ liczba chłopców jest o $0, 4$ wyższa od liczby dziewcząt w tej szkole, zatem liczba chłopców stanowi $1, 4$ liczby dziewcząt.

Do wyznaczenia liczby dziewcząt wystarczy podzielić liczbę chłopców przez $1, 4$ .

Zatem liczba dziewcząt jest równa:

$336 : 1, 4 = 240$

Wobec tego liczba wszystkich uczniów w szkole jest równa:

$336 + 240 = 576$

Odpowiedź:
W tej szkole jest $576$ uczniów.

Graficzne metody wyznaczania liczby po zmniejszeniu lub powiększeniu

Przykład 8

W dużym opakowaniu znajduje się $12$ kroplomierzy, a w małym o $\frac{1}{4}$ mniej. Obliczymy, ile kroplomierzy łącznie znajduje się w $2$ dużych i w $3$ małych opakowaniach.

Liczba kroplomierzy w dużym opakowaniu:

RLiqw6ZM0fIoA

Na ilustracji przedstawiono kolejno 12 kroplomierzy o pojemności stu mililitrów. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ w małym opakowaniu znajduje się o $\frac{1}{4}$ mniej kroplomierzy niż w dużym opakowaniu, zatem dzielimy liczbę kroplomierzy w dużym opakowaniu na $4$ równoliczne części i odejmujemy jedną taką część.

RcSKEgD0TiyFm

Na ilustracji przedstawiono kolejno 12 kroplomierzy o pojemności stu mililitrów. Kroplomierze podzielono pionowymi kreskami na cztery grupy, w każdej po trzy kroplomierze. Jedną grupę przekreślono. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Wobec tego liczba kroplomierzy w małym opakowaniu jest równa:

$12 - 3 = 9$

Obliczamy łączną liczbę kroplomierzy w $2$ dużych i w $3$ małych opakowaniach:

$2 \cdot 12 + 3 \cdot 9 = 24 + 27 = 51$

Przykład 9

Turysta miał do przejścia $50 km$ . Pierwszego dnia przeszedł $0, 3$ tej trasy. Drugiego dnia przebył o $\frac{3}{5}$ więcej niż pierwszego dnia. Obliczymy, ile pozostało mu drogi do przebycia.

Rozwiązanie:

Sposób arytmetyczny:

$I$ dzień: $0, 3 \cdot 50 km = 15 km$

$II$ dzień:

$15 km + \frac{3}{5} \cdot 15 km = 15 km + 9 km = 24 km$

Obliczamy długość drogi, która pozostała do przebycia:

$50 km - 15 km - 24 km = 11 km$

Odpowiedź:
Turyście pozostało do przejścia $11 km$ .

Sposób geometryczny:

Narysujmy odcinek, który przedstawia trasę długości $50 km$ .

RVgMO5wJeFda2

Na ilustracji przedstawiono odcinek. Długość całego odcinka wynosi pięćdziesiąt kilometrów, co przedstawiono za pomocą zielonej klamry obejmującej cały odcinek. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Podzielmy ten odcinek na $10$ równych części i zaznaczmy $3$ części.

RV0Drn87SoAE8

Na ilustracji przedstawiono odcinek podzielony na dziesięć równych części. Długość całego odcinka wynosi pięćdziesiąt kilometrów, co przedstawiono za pomocą zielonej klamry obejmującej cały odcinek. Powyżej niebieską klamrą zaznaczono trzy odcinki, o długości piętnastu kilometrów. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Wówczas otrzymujemy odcinek o długości $15 km$ – długość trasy, którą turysta przeszedł pierwszego dnia.

Podzielmy odcinek długości $15 km$ na $5$ równych części i zaznaczmy $3$ części.

RFDMk8x7Hz91O

Wówczas otrzymujemy odcinek długości $9 km$ , który łącznie z odcinkiem długości $15 km$ wyznacza odcinek o długości $24 km$ – długość trasy, którą turysta przeszedł drugiego dnia.

RmdPIfq8VFm90

Pozostały odcinek – $26 km$ przedstawia odcinek drogi, jaka pozostała do przebycia.

Polecenie 1

Obejrzyj przedstawione przykłady w animacji. Zwróć uwagę jak zmienia się cena towarów podczas obniżek i podwyżek.

R19tWbsyzD75B

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 2

Na podstawie animacji ułóż i rozwiąż własne zadanie dotyczące wyznaczania ceny danego towaru po jednoczesnej obniżce i podwyżce.

Polecenie 3

Rozwiąż zadanie:

Cenę komputera wynoszącą $3200 zł$ obniżono o $0, 2$ tej ceny, a następnie podwyższono o $\frac{1}{4}$ nowej ceny. Oblicz cenę po podwyżce.

Obliczamy cenę po obniżce o $0, 2$ jej wartości:

$3200 zł - 0, 2 \cdot 3200 zł = 3200 zł - 640 zł = 2560 zł$

Obliczamy cenę po podwyżce o $\frac{1}{4}$ nowej ceny:

$2560 zł + \frac{1}{4} \cdot 2560 zł = 2560 zł + 640 zł = 3200 zł$

Odpowiedź:
Cena po podwyżce jest równa cenie początkowej i wynosi $3200 zł$ .

Polecenie 4

Rozwiąż zadanie:

Cenę smartfona wynoszącą $1500 zł$ obniżono o $0, 1$ , a następnie jeszcze o $\frac{1}{5}$ tej ceny. Oblicz cenę smartfona po tych dwóch obniżkach.

Obliczamy cenę po obniżce o $0, 1$ jej wartości:

$1500 zł - 0, 1 \cdot 1500 zł = 1500 zł - 150 zł = 1350 zł$

Obliczamy cenę po obniżce o $\frac{1}{5}$ nowej ceny:

$1350 zł - \frac{1}{5} \cdot 1350 zł = 1350 zł - 270 zł = 1080 zł$

Odpowiedź:
Smartfon po dwóch obniżkach kosztuje $1080 zł$ .

Polecenie 5

Sukienka kosztowała w maju $130 zł$ , a w czerwcu zdrożała o połowę. Czy Ewie wystarczy $200 zł$ na zakup tej sukienki w czerwcu?

Obliczamy cenę sukienki w czerwcu.

$130 + 0, 5 \cdot 130 = 130 + 65 = 195 (zł)$

Ustalamy, czy $200 zł$ wystarczy na zakup sukienki.

$200 zł > 195 zł$

Odpowiedź:
Ewie wystarczy $200 zł$ na zakup sukienki w czerwcu.

R1Srp8jQ1y0H6

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

RxxdFxx3OPUUr

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1U576i76luY6

Ćwiczenie 3

Źródło: GroMar sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1DR60T42bPCb

Ćwiczenie 4

Źródło: GroMar sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

RJBlbIR3Pcros

Ćwiczenie 5

Pogrupuj zgodnie z podanym opisem. Liczby mniejsze od

100

: Możliwe odpowiedzi: 1. liczba równa

120

pomniejszona o

0, 2

tej liczby, 2. liczba równa

105

pomniejszona o

0, 05

tej liczby, 3. liczba równa

90

powiększona o

0, 15

tej liczby, 4. liczba równa

80

powiększona o

0, 25

tej liczby, 5. liczba równa

120

pomniejszona o

0, 15

tej liczby, 6. liczba równa

110

pomniejszona o

\frac{1}{10}

tej liczby Liczby większe lub równe

100

: Możliwe odpowiedzi: 1. liczba równa

120

pomniejszona o

0, 2

tej liczby, 2. liczba równa

105

pomniejszona o

0, 05

tej liczby, 3. liczba równa

90

powiększona o

0, 15

tej liczby, 4. liczba równa

80

powiększona o

0, 25

tej liczby, 5. liczba równa

120

pomniejszona o

0, 15

tej liczby, 6. liczba równa

110

pomniejszona o

\frac{1}{10}

tej liczby

Źródło: GroMar sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Cenę tabletu wynoszącą $2450 zł$ obniżono o $0, 3$ tej ceny, a następnie podwyższono o $\frac{1}{5}$ nowej ceny. Oblicz cenę po podwyżce.

Obniżka ceny o $0, 3$ jej wartości:

$0, 3 \cdot 2450 zł = 735 zł$

Cena po obniżce:

$2450 zł - 735 zł = 1715 zł$

Podwyżka o $\frac{1}{5}$ nowej ceny:

$\frac{1}{5} \cdot 1715 zł = 343 zł$

Cena po podwyżce:

$1715 zł + 343 zł = 2058 zł$

Odpowiedź:
Tablet po podwyżce kosztuje $2058 zł$ .

Ćwiczenie 7

Duże opakowanie, w którym znajdują się $24$ kredki kosztuje $10, 80 zł$ , a w małym jest o $\frac{1}{3}$ kredek mniej. Oblicz, który zakup jest bardziej opłacalny: małego czy dużego opakowania, jeżeli małe opakowanie kosztuje $7, 68 zł$ .

Liczba kredek w dużym opakowaniu:

R1etNfDPbYgWY

Na ilustracji przedstawiono kolorowe kredki. — Źródło: dostępny w internecie: pexels.com, domena publiczna.

Ponieważ w małym opakowaniu znajduje się o $\frac{1}{3}$ mniej kredek niż w dużym opakowaniu, zatem dzielimy liczbę kredek w dużym opakowaniu na $3$ równoliczne części i odejmujemy jedną taką część.

RxYFo9xTOH36m

Na ilustracji przedstawiono kolejno kolorowe kredki. Kredki podzielono pionowymi kreskami na trzy grupy o takiej samej liczbie kredek w każdej. — Źródło: dostępny w internecie: pexels.com, domena publiczna.

RFBRnt6HNGSu0

Na ilustracji przedstawiono kolorowe kredki. Kredki podzielono pionowymi kreskami na trzy grupy, w każdej po osiem kredek. Jedną grupę przekreślono. — Źródło: dostępny w internecie: pexels.com, domena publiczna.

Wobec tego liczba kredek w małym opakowaniu jest równa:

$24 - 8 = 16$

Obliczamy cenę jednej kredki w dużym opakowaniu:

$10, 80 zł : 24 = 0, 45 zł$

Obliczamy cenę jednej kredki w małym opakowaniu:

$7, 68 zł : 16 = 0, 48 zł$

Odpowiedź:
Zakup kredek w dużym opakowaniu jest bardziej opłacalny.

RUoc9bEdKkeHz

Ćwiczenie 8

Przeciągnij i upuść lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej, aby uzupełnić zdania. Kasia otrzymuje miesięcznie

100 zł

kieszonkowego, czyli o

\frac{4}{21}

więcej niż Basia. Wobec tego kieszonkowe Basi jest równe 1.

450

, 2.

320

, 3.

350

, 4.

96

, 5.

84

zł.
Cena za dobę w hotelu czterogwiazdkowym wynosi

416 zł

i jest o

0, 3

wyższa od ceny za dobę w hotelu trzygwiazdkowym. Wobec tego doba w hotelu trzygwiazdkowym kosztuje 1.

450

, 2.

320

, 3.

350

, 4.

96

, 5.

84

zł.
Drukarka kosztuje

270 zł

i jest o

\frac{2}{5}

tańsza od urządzenia wielofunkcyjnego. Wobec tego urządzenie wielofunkcyjne kosztuje 1.

450

, 2.

320

, 3.

350

, 4.

96

, 5.

84

zł.

Źródło: GroMar sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Słownik

obliczanie ułamka danej liczby

aby obliczyć ułamek danej liczby, mnożymy ułamek przez tę liczbę.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

3. Porównywanie liczb wymiernych

5. Określanie liczebności zbiorów