1. Liczby rzeczywiste

REgblYOenDYto

Poniższe zadania zostały wybrane z arkuszy maturalnych z poprzednich lat oraz z informatora maturalnego. Sprawdź, czy umiesz je rozwiązać.

Ćwiczenie 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

RL885FM9QTHXR

Ćwiczenie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R1DOX29HZ4T95

Ćwiczenie 3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R1THFXJ5TBNLB

Ćwiczenie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

RJBXCE5NG2SVB

Ćwiczenie 5

Wykaż, że liczba $8^{50} - 2^{145}$ jest podzielna przez $31$ .

Rozwiązanie

Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:

8^{50} - 2^{145} = {(2^{3})}^{50} - 2^{145} = 2^{150} - 2^{145}

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:

= 2^{150} - 2^{145} = 2^{145} \cdot (2^{5} - 1) = 2^{145} \cdot 31

Liczba $2^{145}$ jest liczbą całkowitą, zatem liczba $8^{50} - 2^{145}$ jest podzielna przez $31$ .

Ćwiczenie 6

Liczby $x_{1}$ i $x_{2}$ są różnymi rozwiązaniami równania |𝑥 − 6| = 4.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

x_{1} \cdot x_{2}

R5CLZMBVOO3DO

Ćwiczenie 7

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

RGLSVMDVZ6848

Ćwiczenie 8

Pensja pana X jest o $50 %$ wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o $40 %$ niższa od średniej krajowej.

Dokończ zdania. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

RLS4BXPXS8UXR

R1Q7357KFG2TM

Ćwiczenie 9

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ liczba $n (n^{2} + 3 n + 2)$ jest podzielna przez $6$ .

Przykładowe pełne rozwiązanie

Przekształcamy wyrażenie $n (n^{2} + 3 n + 2)$ do postaci iloczynu trzech liczb naturalnych. Obliczamy wyróżnik trójmianu $n^{2} + 3 n + 2$

Δ = = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1

i stąd obliczamy jego pierwiastki:

n_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = - 2

n_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = - 1

Zatem

n (n^{2} + 3 n + 2) = n (n + 1) (n + 2)

Wśród każdych trzech kolejnych liczb naturalnych $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ co najmniej jedna jest podzielna przez $2$ i dokładnie jedna jest podzielna przez $3$ . Zatem liczba $n (n + 1) (n + 2)$ dzieli się przez $2$ oraz przez $3$ . Ponadto liczby $2$ oraz $3$ są względnie pierwsze. Zatem liczba $n (n^{2} + 3 n + 2) = n (n + 1) (n + 2)$ jest podzielna przez $6$ .

Ćwiczenie 10

Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi $3 %$ w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od aktualnego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R1NM9C195JGT7

Ćwiczenie 11

Na wykresie przedstawiono zależność $\log K (t)$ , gdzie $K (t)$ jest liczbą bakterii w próbce po czasie $t$ wyrażonym w godzinach, jaki upłynął od chwili $t = 0$ rozpoczęcia obserwacji.

R15AO6DUVKEOV

Wykres przedstawia zależność logarytmu pewnej funkcji K od czasu t, czyli logK(t).
Oś pozioma (t): Skala na osi poziomej, reprezentującej czas rozciąga się od 0 do ponad 6.
Oś pionowa (logK(t)): Skala na osi pionowej rozciąga się od 0 do ponad 5.
Wykres składa się z dwóch fragmentów:
Pierwszy fragment jest odcieniem. Dla czasu t od 0 do 1 (włącznie), wartość logK(t) jest stała i wynosi 1.
Drugi fragment jest półprostą Dla czasu t większego niż 1, funkcja logK(t) rośnie liniowo wraz z t. Punkt początkowy tej półprostej to (1,1). Kolejne to (2; 2,5), (3; 4), (5; 5,5).

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

RO2ZUT5M2FUD7

2. Wyrażenia algebraiczne

Przed maturą - zakres podstawowy

1. Liczby rzeczywiste