2. Wyrażenia algebraiczne

REgblYOenDYto

Poniższe zadania zostały wybrane z arkuszy maturalnych z poprzednich lat oraz informatora maturalnego. Sprawdź, czy umiesz je rozwiązać.

Ćwiczenie 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R26Q7H45H51J4

Ćwiczenie 2

Dane są dwie liczby $x$ i $y$ , takie że iloraz $\frac{x}{y}$ jest równy $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ . Oblicz wartość wyrażenia $\frac{x + y}{x}$ . Wynik podaj w postaci $\frac{a + \sqrt{b}}{c}$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ są liczbami całkowitymi dodatnimi.

Przykładowe pełne rozwiązanie

\frac{x + y}{x} = 1 + \frac{y}{x} = 1 + \frac{2}{1 + \sqrt{5}} = \frac{1 + \sqrt{5} + 2}{1 + \sqrt{5}} = \frac{3 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}} =

= \frac{3 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}} \cdot \frac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}} =

= \frac{3 - 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} - 5}{1 - 5} = \frac{- 2 - 2 \sqrt{5}}{- 4} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Ćwiczenie 3

Dane są liczby $a = \sqrt{5} - 2$ oraz $b = \sqrt{5} + 2$ . Oblicz wartość wyrażenia $\frac{a \cdot b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} : \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$ dla podanych $a$ i $b$ .

Przykładowe pełne rozwiązanie

Przekształcamy równoważnie wyrażenie do najprostszej postaci:

\frac{a \cdot b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} : \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} = \frac{a \cdot b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{a - b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} =

= \frac{a \cdot b \cdot (a - b)}{(\sqrt{a})^{2} - (\sqrt{b})^{2}} = \frac{a \cdot b \cdot (a - b)}{a - b} = a \cdot b

Podstawiamy wartości $a$ i $b$ do otrzymanego wyrażenia i obliczamy jego wartość:

a \cdot b = (\sqrt{5} - 2) (\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1

Ćwiczenie 4

Dane jest wyrażenie

W (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x}

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

R1C1RNATFFNZ9

Ćwiczenie 5

Rozważmy takie liczby rzeczywiste $a$ i $b$ , które spełniają warunki: $a \neq 0$ , $b \neq 0$ oraz

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} + 3 a b + b^{2})

Oblicz wartość liczbową wyrażenia $\frac{a}{b}$ dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ , spełniających powyższe warunki.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Równanie podane w zadaniu przekształcamy w sposób równoważny

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} + 3 a b + b^{2})

a^{3} + b^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

a^{3} + b^{3} = a^{3} + 4 a^{2} b + 4 a b^{2} + b^{3}

0 = 4 a^{2} b + 4 a b^{2}

4 a b (a + b) = 0

Iloczyn po lewej stronie równania jest równy 0, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy 0. Zatem:

4 a b = 0 lub a + b = 0

a = 0 lub b = 0 lub a = - b

Gdy uwzględnimy warunki zadania $a \neq 0$ , $b \neq 0$ , to pozostaje jedynie możliwość $a = - b$ . Stąd otrzymujemy:

\frac{a}{b} = \frac{- b}{b} = - 1

Ćwiczenie 6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

RFLGCCMECZRQD

1. Liczby rzeczywiste

3. Równania i nierówności. Układy równań.

2. Wyrażenia algebraiczne