3. Równania i nierówności. Układy równań. - Przed maturą - zakres podstawowy

REgblYOenDYto

3. Równania i nierówności. Układy równań

Poniższe zadania zostały wybrane z arkuszy maturalnych z poprzednich lat oraz z informatora maturalnego. Sprawdź, czy umiesz je rozwiązać.

Ćwiczenie 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

REA4NZVON4UCL

Ćwiczenie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R1JUPF281FE28

Ćwiczenie 3

Rozwiąż nierówność

- 3 x^{2} > 6 x - 9

Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Przekształcamy nierówność:

- 3 x^{2} > 6 x - 9

- 3 x^{2} - 6 x + 9 > 0 | : (- 3)

x^{2} + 2 x - 3 < 0

Obliczamy miejsca zerowe funkcji $y = x^{2} + 2 x - 3$

Obliczamy wyróżnik trójmianu: $x^{2} + 2 x - 3$

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 16

stąd

x_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = - 3 oraz x_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = 1

Szkicujemy wykres funkcji $y = x^{2} + 2 x - 3$

Odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.

REK4BC5EN4LPA

Rysunek przedstawia wykres funkcji kwadratowej, której miejscami zerowymi są liczby minus 3 i 1 . Parabola będąca wykresem ma ramiona skierowane do góry. Na osi x wyróżniono kolorem przedział otwarty od minus 3 do 1.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział $(- 3, 1)$

Ćwiczenie 4

Właściciel restauracji kupił $75$ kilogramów pomidorów: $x$ kg pomidorów malinowych w cenie $11$ złotych za kilogram oraz $y$ kg pomidorów cherry w cenie $7,98$ złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie $752,52$ złotych.

Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji. Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Po uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:

𝑥 + 𝑦 = 75 oraz 11 𝑥 + 7, 98 𝑦 = 752, 52

Z pierwszego z tych równań wyznaczamy $𝑦 = 75 - x$ i podstawiamy w miejsce $y$ do drugiego z równań, w wyniku czego otrzymujemy:

11 x + 7, 98 \cdot (75 - x) = 752, 52

11 𝑥 + 598, 5 - 7, 98 𝑥 = 752, 52

3, 02 𝑥 = 154, 02

𝑥 = 51

Właściciel restauracji kupił $51$ kilogramów pomidorów malinowych.

Ćwiczenie 5

Dane jest równanie:

\frac{3}{3 x - 7} = \frac{5 x}{x - 8}, gdzie x \neq \frac{7}{3} i x \neq 8

Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału $(\frac{5}{4}, + \infty)$ . Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Przykładowe pełne rozwiązanie

Przekształcamy równanie:

\frac{3}{3 x - 7} = \frac{5 x}{x - 8}, gdzie x \neq \frac{7}{3} i x \neq 8

3 (x - 8) = 5 x (3 x - 7)

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:

3 𝑥 - 24 = 15 𝑥^{2} - 35 𝑥

15 x^{2} - 38 x + 24 = 0

Obliczamy wyróżnik delta trójmianu kwadratowego $15 x^{2} - 38 x + 24$

Δ = (- 38)^{} - 4 \cdot 15 \cdot 24 = 1444 - 1440 = 4

x_{1} = \frac{- (- 38) - \sqrt{4}}{2 \cdot 15} = \frac{6}{5} \notin (\frac{5}{4}, + \infty)

x_{2} = \frac{- (- 38) + \sqrt{4}}{2 \cdot 15} = \frac{4}{3} \in (\frac{5}{4}, + \infty)

Ponadto

\frac{4}{3} \neq \frac{7}{3} oraz \frac{4}{3} \neq 8

Zatem jedynym rozwiązaniem równania $\frac{3}{3 x - 7} = \frac{5 x}{x - 8},$ gdzie $x \neq \frac{7}{3} i x \neq 8$ w zbiorze $(\frac{5}{4}, + \infty)$ jest liczba $\frac{4}{3}$ .

Ćwiczenie 6

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R1EBC7AXNV1JX

Ćwiczenie 7

Para liczb $x = - 1$ i $y = 6$ jest rozwiązaniem układu równań

{\begin{cases} a x + 3 y = 20 \\ x + b y = 5 \end{cases}

gdzie $a$ oraz $b$ są liczbami rzeczywistymi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R1E6GC5ZET3UR

Ćwiczenie 8

Dany jest układ równań

{\begin{cases} y = x - 1 \\ y = - x + 1 \end{cases}

Na którym z rysunków A‑D przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego układu równań? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

RG5N2DF9L1TTT

Obraz przedstawia cztery układy współrzędnych (A, B, C, D), w każdym z nich narysowane są dwie proste w kolorze fioletowym, przecinające się w jednym punkcie.
Na rysunku A jedna z prostych przecina oś OX w punkcie jeden oraz oś Oy w punkcie jeden. Druga prosta przecina oś OX w punkcie jeden i oś OY w punkcie minus jeden. Proste przecinają się w punkcie o współrzędnych nawias jeden przecinek zero koniec nawiasu.
Na rysunku B jedna z prostych przecina oś OX w punkcie minus jeden oraz oś Oy w punkcie minus jeden. Druga prosta przecina oś OX w punkcie jeden i oś OY w punkcie minus jeden. Proste przecinają się w punkcie o współrzędnych nawias zero przecinek minus jeden koniec nawiasu.
Na rysunku C jedna z prostych przecina oś OX w punkcie minus jeden oraz oś Oy w punkcie minus jeden. Druga prosta przecina oś OX w punkcie minus jeden i oś OY w punkcie jeden. Proste przecinają się w punkcie o współrzędnych nawias minus jeden przecinek zero koniec nawiasu.
Na rysunku D jedna z prostych przecina oś OX w punkcie jeden oraz oś Oy w punkcie jeden. Druga prosta przecina oś OX w punkcie minus jeden i oś OY w punkcie jeden. Proste przecinają się w punkcie o współrzędnych nawias zero przecinek jeden koniec nawiasu.

R1JV83JUAJHE1

2. Wyrażenia algebraiczne

4. Funkcje

3. Równania i nierówności. Układy równań