4. Funkcje

REgblYOenDYto

Poniższe zadania zostały wybrane z arkuszy maturalnych z poprzednich lat oraz z informatora maturalnego. Sprawdź, czy umiesz je rozwiązać.

Ćwiczenie 1

Funkcja $f$ jest określona następująco: $f (x) = \{\begin{matrix} - 2 x -10 & dla & x \in (- 5, - 3] \\ x - 1 & dla & x \in (- 3, 4] \end{matrix}$

Wykres funkcji $y = f (x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.

R1QS5EXT4BD9G

Wykres przedstawia funkcję y=f(x) w układzie współrzędnych. Osie x i y są wyskalowane od −5 do 5. Wykres jest funkcją kawałkami liniową (łamaną) i rozciąga się dla x należącego do przedziału (−5,4]. Wykres zaczyna się w punkcie (−5,0) pustym kółkiem. Od tego punktu funkcja biegnie po skosie w dół do punktu (−3,−4). Następnie wykres biegnie po skosie w górę, przechodząc przez punkt (0,−1) (miejsce przecięcia z osią y) oraz przez punkt (1,0) (miejsce przecięcia z osią x).
Wykres kończy się w punkcie (4,3) zamalowanym (pełnym) kółkiem.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w okienkach, aby zdania były prawdziwe.

R51KAKKQ15DJU

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w okienkach, aby zdania były prawdziwe.

RRVUKG5MVJQJU

Ćwiczenie 2

Miejscem zerowym funkcji liniowej $g$ jest liczba $(- 3)$ . Dla argumentu $0$ funkcja $g$ przyjmuje wartość $(- \frac{3}{2})$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

REX573T9CZ2E2

Ćwiczenie 3

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ , gdzie $b$ oraz $c$ są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $6$ . W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta o równaniu $x = 1$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$ .

3.1 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R1AP1GN8GFE1J

3.2 Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

R1OJRUFLVKRJA

3.3 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g (x) = f (x - 3)$ .

R198QSCSK4ONO

Ćwiczenie 4

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f (x) = \frac{1}{2} x - k$ , gdzie $k$ jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji $f$ jest liczbą większą od $2$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R1KD97V7425TZ

Ćwiczenie 5

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f (x) = 5 x$ . W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji $f$ przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi $O x$ i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej $g$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R1L5MPEF1MG8M

Ćwiczenie 6

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji kwadratowej $f$ przechodzi przez punkt $(2, 15)$ . Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu $x = - 1$ . Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $1$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Wykres funkcji $f$ jest symetryczny względem prostej o równaniu $x = - 1$ , zatem drugie miejsce zerowe funkcji $f$ jest równe $x_{2} = - 3$ . Korzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:

f (x) = a (x - 1) (x + 3), gdzie a \neq 0

Punkt $(2, 15)$ leży na wykresie funkcji $f$ , zatem dla argumentu $2$ funkcja $f$ przyjmuje wartość $15$ . Stąd otrzymujemy:

\begin{aligned} f (2) & = 15 \\ a (2 - 1) (2 + 3) & = 15 \\ 5 a & = 15 \\ a & = 3 \end{aligned}

Zapisujemy wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej:

f (x) = 3 (x - 1) (x + 3)

Postać kanoniczną funkcji $f$ możemy uzyskać, obliczając współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji. Ponieważ osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x = - 1$ , więc pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa $p = - 1$ . Druga współrzędna wierzchołka paraboli jest równa

q = f (- 1) = 3 (- 1 - 1) (- 1 + 3) = - 12

Stąd otrzymujemy postać kanoniczną funkcji

f : f (x) = 3 (x + 1)^{2} - 12

Ćwiczenie 7

Funkcja $y = f(x)$ jest określona za pomocą tabeli

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-3	2	0	1	0	2	1

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

R1H7TUQZBZSOJ

Ćwiczenie 8

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R1FMBUT838NUH

Ćwiczenie 9

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f (x) = x^{2} - b - 2 \sqrt{2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ . Miejscem zerowym funkcji $f$ jest $x = \sqrt{2} + 1$ .

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R5P1EL85OD1LT

Ćwiczenie 10

Czas $T$ połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę – tzn. połowa jąder danego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder $N (t)$ izotopu promieniotwórczego pozostających w próbce po czasie $t$ , licząc od chwili $t_{0} = 0$ , wyraża się zależnością wykładniczą:

N (t) = N_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}

gdzie $N_{0}$ jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej $t_{0} = 0$ .

10.1 Na poniższych rysunkach 1.–4. przedstawiono wykresy zależności, z których dokładnie jeden poprawnie ilustruje $N (t)$ .

R1USZJSEME65K

Obraz przedstawia cztery wykresy na czterech układach współrzędnych, z osiami opisanymi literą "t" dla osi poziomej i "N" dla osi pionowej oraz zaznaczonymi punktami N indeks dolny zero na osi pionowej i "T" na osi poziomej.
W pierwszym wykresie (opisanym nazwą Rysunek 1) krzywa zaczyna się wysoko na osi pionowej i stopniowo opada, tworząc gładki, łagodnie zakrzywiony łuk, który nigdy nie dotyka osi poziomej.
Na drugim wykresie (opisanym nazwą Rysunek 2) wykres również zaczyna się wysoko na osi pionowej, ale opada liniowo z równym nachyleniem aż do osi poziomej, gdzie się kończy.
Oba wykresy zaczynają się w punkcie o współrzędnych nawias zero średnik n z indeksem dolnym zero zamknięcie nawiasu i przechodzą przez punkt o współrzędnych nawias T średnik jedna druga n z indeksem dolnym zero .
Na trzecim wykresie (opisanym nazwą Rysunek 3) krzywa zaczyna się wysoko w punkcie o współrzędnych nawias jedna druga T średnik N z indeksem dolnym zero i stopniowo opada, tworząc gładki, łagodnie zakrzywiony łuk, który nigdy nie dotyka osi poziomej.
Rysunek 4 pokazuje wykres składający się z łamanej stopniowo opadającej w dół. Zaczyna się w punkcie o współrzędnych nawias zero średnik n z indeksem dolnym zero zamknięcie nawiasu i przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias T średnik jedna druga n z indeksem dolnym zero . Wykres nie dotyka poziomowej osi .

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

RDOJ91PPFBUGA

10.2 Czas połowicznego rozpadu węgla $^{14} C$ to około $5700$ lat. Naukowcy oszacowali za pomocą datowania radiowęglowego, że masa izotopu węgla $^{14} C$ w pewnym organicznym znalezisku archeologicznym stanowi $\frac{1}{16}$ masy tego izotopu, jaka utrzymywała się podczas życia organizmu.

Oblicz, ile lat ma opisane znalezisko archeologiczne. Wynik podaj z dokładnością do stu lat.

Przykładowa pełna odpowiedź

Przyjmijmy, że: $t_{0}$ – masa początkowa izotopu węgla $^{14} C$ , 𝑚(𝑡) – masa izotopu węgla $^{14} C$ po czasie $t$ , licząc od chwili $t_{0} = 0$ .

Zgodnie z definicją pojęcia czasu połowicznego rozpadu, po każdym upływie czasu równym czasowi połowicznego rozpadu, masa izotopu promieniotwórczego w próbce zmniejsza się o połowę. Zatem po każdym kolejnym upływie $5700$ lat, masa izotopu węgla $^{14} C$ w próbce/znalezisku zmniejszała się o połowę.

Zatem masa izotopu węgla $^{14} C$ w próbce po około $5700$ latach:

$m_{1} = \frac{1}{2} \cdot m_{0}$

Masa izotopu węgla $^{14} C$ w próbce po około $11400$ latach:

$m_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot m_{0} = \frac{1}{4} \cdot m_{0}$

Masa izotopu węgla $^{14} C$ w próbce po około $17100$ latach:

$m_{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot m_{0} = \frac{1}{8} \cdot m_{0}$

Masa izotopu węgla $^{14} C$ w próbce po około $22800$ latach:

$m_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot m_{0} = \frac{1}{16} \cdot m_{0}$

Znalezisko archeologiczne ma około $22800$ lat.

Ćwiczenie 11

Funkcja logarytmiczna $f$ jest określona wzorem $f (x) = \log_{6} x$ dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ .

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

R8QNDE9EALRUC

3. Równania i nierówności. Układy równań.

5. Ciągi

4. Funkcje