5. Ciągi

REgblYOenDYto

Poniższe zadania zostały wybrane z arkuszy maturalnych z poprzednich lat oraz z informatora maturalnego. Sprawdź, czy umiesz je rozwiązać.

Ćwiczenie 1

Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n} = \frac{32 \cdot {(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R1HR98913V2CB

Ćwiczenie 2

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Różnica tego ciągu jest równa $(- 4)$ oraz $a_{10} = - 24$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R1JM468HNVA1R

Ćwiczenie 3

Ciąg geometryczny $(a_{n})$ , o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od $0$ , jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_{3} = - 8 \cdot a_{6}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

RRG7ABZ2BGPK2

Ćwiczenie 4

Trzywyrazowy ciąg $(\sqrt{5}, 1, x)$ jest arytmetyczny.

Trzywyrazowy ciąg $(\sqrt{5}, 1, y)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

RX1FLNNA8TQLX

Ćwiczenie 5

Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n} = 3 n^{2} - 3 n$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ .

5.1 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R1R5BT775ODB1

5.2 Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

R3GVKMFEZOVA1

Ćwiczenie 6

W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ , określonym dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , dane są wyrazy: $a_{1} = 52$ oraz $a_{25} = 2$ .

6.1 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R128EGVBUZGND

6.2 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R3XA8GFQ2SU3J

Ćwiczenie 7

Dany jest ciąg $(a_{n})$ określony wzorem rekurencyjnym:

{\begin{cases} a_{1} = - 2 \\ a_{n + 1} = n \cdot a_{n} + 4 \end{cases}

dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ .

Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ .

Przykładowe pełne rozwiązanie

Obliczymy cztery kolejne wyrazy ciągu, stosując wzór rekurencyjny:

a_{1} = - 2

a_{2} = 1 \cdot a_{1} + 4 = 1 \cdot (- 2) + 4 = 2

a_{3} = 2 \cdot a_{2} + 4 = 2 \cdot 2 + 4 = 8

a_{4} = 3 \cdot a_{3} + 4 = 3 \cdot 8 + 4 = 28

Obliczymy sumę $S_{4}$ czterech kolejnych początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ :

S_{4} = - 2 + 2 + 8 + 28 = 36

Ćwiczenie 8

Dany jest ciąg $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = 4 n^{} - 9$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ .

Wykaż, że ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Żeby udowodnić, że ciąg jest arytmetyczny, należy wykazać, że różnica dwóch kolejnych wyrazów $a_{n + 1} - a_{n}$ jest stała i nie zależy od $n$ . Wyznaczymy $a_{n + 1}$ :

a_{n + 1} = = 4 (𝑛 + 1) - 9 = 4 𝑛 + 4 - 9 = 4 𝑛 - 5 dla 𝑛 \geq 1

Obliczymy różnicę kolejnych dwóch wyrazów ciągu (𝑎𝑛):

a_{n + 1} - a_{n} = 4 n - 5 - (4 n - 9) = 4 n - 5 - 4 n + 9 = 4 d l a n \geq 1

To oznacza, że ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $r = 4$ .

Ćwiczenie 9

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości $8910$ zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o $30$ zł.

Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym $S_{18} = 8910$ i $r = - 30$ . Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równanie

\frac{2 a_{1} + 17 \cdot (- 30)}{2} \cdot 18 = 8910

Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy

9 (2 a_{1} - 510) = 8910

2 a_{1} - 510 = 990

a_{1} = 750

Pierwsza rata była równa $750$ zł.

Ćwiczenie 10

Wyznacz wartość $\boldsymbol{m}$ , dla której trzywyrazowy ciąg

(2 m + 11, m^{2} + 3, 5 - m)

jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:

$\frac{2 m+11+5-m}{2}=m^{2}+3$

$m+16=2 m^{2}+6$

$2 m^{2}-m-10=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu $2 m^{2}-m-10$ :

$\Delta=(-1)^{2}-4 \cdot 2 \cdot(-10)=81$

Stąd

m_{1} = \frac{- (- 1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = - 2

m_{2} = \frac{- (- 1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2}

Dla $m=-2$ otrzymujemy ciąg $(7,7,7)$ , który jest stały. Dla $m=\frac{5}{2}$ otrzymujemy ciąg $\left(16, \frac{37}{4}, \frac{5}{2}\right)$ , który jest malejący.

Zatem ciąg $\left(2 m+11, m^{2}+3,5-m\right)$ jest malejącym ciągiem arytmetycznym, gdy $m=\frac{5}{2}$ .

Ćwiczenie 11

Ciąg $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Suma 𝑛 początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem

S_{n} = 4 \cdot (2 𝑛 - 1)

dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ .

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

RD8P2A6XBGH5J

4. Funkcje

6. Trygonometria

5. Ciągi