12. Zadania optymalizacyjne

Poniższe zadania zostały wybrane z arkuszy maturalnych z poprzednich lat oraz z informatora maturalnego. Sprawdź, czy umiesz je rozwiązać.

Ćwiczenie 1

Hotel ma do dyspozycji gości $80$ pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:

• przy wyjściowej cenie wynoszącej $120 zł$ za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte

• każdy wzrost ceny za dobę hotelową o $5 zł$ skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o $1$ .

Przyjmijmy, że dobowy przychód $P$ hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o $5 x zł$ złotych, opisuje funkcja

P (x) = (80 - x) (120 + 5 x)

gdzie $x$ jest liczbą całkowitą spełniającą warunki

x \geq 0 i x \leq 80

Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Wykresem funkcji $P (x) = (80 - x) (120 + 5 x)$ , gdzie $x$ jest liczbą całkowitą z przedziału $[0, 80]$ , jest zbiór punktów leżących na paraboli o wierzchołku w punkcie $W = (p . q)$ i ramionach skierowanych w dół. Przekształcamy wzór funkcji $P$ do postaci ogólnej:

P (x) = 9600 + 400 x - 120 x - 5 x^{2} = - 5 x^{2} + 280 x + 9600

Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:

𝑝 = \frac{- 280}{2 \cdot (- 5)} = 28 \in {0, 1, 2, \dots, 80}

To oznacza, że dobowy przychód hotelu będzie największy przy podwyżce ceny za dobę hotelową o $5 \cdot 28 = 140$ złotych. Wtedy cena wynajęcia pokoju jest równa $120 + 140 = 260$ złotych.

Ćwiczenie 2

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk $Z$ ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem

Z (x) = (500 + 50 x) (16 - x)

gdzie:

$x$ – kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki $x \geq 1 i x \leq 14$ ,

$Z$ – roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R1UZ4T5EKR86P

Ćwiczenie 3

Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości $10$ metrów (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie $580$ metrów, przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się w długość płotu.

R1HMHEJQUB2DE

Obraz przedstawia prostokątny obszar podzielony pionową linią na dwa mniejsze, równe prostokąty. Wysokość całego obszaru jest oznaczona jako x. Szerokość każdego z dwóch mniejszych prostokątów jest oznaczona jako y. Całkowita szerokość wynosi zatem 2y. Dolna krawędź każdego z dwóch mniejszych prostokątów zawiera przerwę (wejście) o szerokości 10 m. Cały obszar jest otoczony i podzielony przerywanymi liniami sugerującymi ogrodzenie.

Oblicz wymiary $x$ oraz $y$ każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Przyjmiemy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Całkowitą długość płotu – po uwzględnieniu warunków zadania – można zapisać równaniem:

3 x + 4 y - 2 \cdot 10 = 580

Powyższe równanie określa związek między wymiarami $x$ i $y$ . Wymiar $y$ jednej działki musi być większy od $10$ m, ze względu na ustaloną szerokość bramy wjazdowej. W związku z tym, w modelu matematycznym uwzględniającym warunki zadania, wymiary $x$ i $y$ spełniają:

x > 0 i y > 10

Pole $P$ całkowitej powierzchni magazynowej jest równe polu prostokąta o bokach długości $x$ oraz $2 y$ . Zatem:

P = 𝑥 \cdot 2 y

Pole powierzchni magazynowej wyrazimy jako funkcję jednej zmiennej $x$ . W tym celu najpierw wyznaczymy $y$ :

3 𝑥 + 4 𝑦 - 2 \cdot 10 = 580

4 𝑦 = 600 - 3 𝑥

𝑦 = 150 - \frac{3}{4} x

Następnie podstawimy wyznaczone $y$ do wzoru na pole $P = 𝑥 \cdot 2 y$ :

P (x) = 2 x (150 - \frac{3}{4} x)

Wyznaczymy dziedzinę funkcji $P$ . Wykorzystamy związek między wymiarami $x$ i $y$ oraz wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają:

y = 150 - \frac{3}{4} x o r a z y > 10 o r a z x > 0

Zatem:

150 - \frac{3}{4} x > 10 oraz x > 0

x < \frac{560}{3} oraz x > 0

Zmienna $x$ może przyjmować wartości z przedziału

(0, \frac{560}{3})

Wykresem funkcji $P$ jest fragment paraboli 𝒫 skierowanej ramionami do dołu. Funkcja $P$ przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli 𝒫. Współrzędną $x$ wierzchołka paraboli 𝒫 obliczymy z miejsc zerowych funkcji kwadratowej, która jest równaniem tej paraboli. Rozwiążemy zatem równanie:

2 x (150 - \frac{3}{4} x) = 0

Z powyższego równania wynika, że:

2 x = 0 lub 150 - \frac{3}{4} x = 0

x_{1} = 0 l u b x_{2} = 200

Funkcja $P$ przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli 𝒫, czyli dla:

x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = 100 m

Obliczymy drugi wymiar działki, dla którego pole powierzchni magazynowej jest największe:

𝑦 = 150 m - \frac{3}{4} \cdot 100 m = 75 m

Całkowite pole powierzchni magazynowej jest największe dla działki o wymiarach:

x = 100 m o r a z y = 75 m

Ćwiczenie 4

Rozważamy wszystkie prostopadłościany $A B C D E F G H$ , w których krawędź $B C$ ma długość $4$ oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ jest równa $15$ (zobacz rysunek).

Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $A B$ .

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$ . Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RUKLAMUCU5G4A

Rysunek przedstawia prostopadłościan o wierzchołkach oznaczonych literami. Podstawa prostopadłościanu to prostokąt ABCD. Górna podstawa to prostokąt EFGH. Oznaczenia wierzchołków (od dołu, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a następnie góra):Dolna podstawa: A, B, C, D. Górna podstawa: E, F, G, H (gdzie E jest nad A, F nad B, G nad C, a H nad D). Krawędź podstawy AB opisano literą x. Krawędź podstawy BC opisano liczbą 4.

Suma długości wszystkich trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z wierzchołka $B$ jest równa 15, zatem

$|A B|+|B C|+|B F|=15$

$x+4+|B F|=15$

$|B F|=11-x$

Pole $P$ powierzchni całkowitej prostopadłościanu $A B C D E F G H$ jest równe

$P=2 \cdot(|A B| \cdot|B C|+|A B| \cdot|B F|+|B C| \cdot|B F|)$

Ponieważ $|A B|=x,|B C|=4,|B F|=11-x$ , więc wzór funkcji $P$ zmiennej $x$ ma postać

$P(x)=2 \cdot[x \cdot 4+x \cdot(11-x)+4 \cdot(11-x)]$

$P(x)=2 \cdot\left(4 x+11 x-x^{2}+44-4 x\right)$

$P(x)=2 \cdot\left(-x^{2}+11 x+44\right)$

$P(x)=-2 x^{2}+22 x+88$

Wyznaczamy dziedzinę funkcji $P$ . Z warunków zadania wynika, że:

$|A B|=x>0 \text { oraz }|B F|=11-x>0$

Zatem

$x>0\text{ oraz }x<11$

Zmienna $x$ może przyjmować wartości z przedziału $D=(0,11)$ .

Wykresem funkcji $P$ jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka tej paraboli:

$p=\frac{-22}{2 \cdot(-2)}=\frac{-22}{-4}=\frac{11}{2} \in(0,11)$

Zatem funkcja $P$ przyjmuje wartość największą dla argumentu $\frac{11}{2}$ . Spośród rozważanych prostopadłościanów największe pole powierzchni całkowitej ma ten, w którym $x=\frac{11}{2}$ .

Ćwiczenie 5

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z $30$ kolejnych dni.

Przyjmijmy, że liczbę $L$ obsługiwanych klientów 𝑛‑tego dnia opisuje funkcja

L (𝑛) = - n^{2} + 22 n + 279

gdzie $n$ jest liczbą naturalną spełniającą warunki $n \geq 1 i n \leq 30$ .

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

RP4CGE5DNKU8G

Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Wykresem funkcji $L (𝑛) = - n^{2} + 22 n + 279$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną z przedziału $[1, 30]$ , jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół. Przekształcamy wzór funkcji 𝐿 do postaci kanonicznej:

L (n) = - n^{2} + 22 n + 279 = - [n^{2} - 22 n] + 279 =

- [{(n - 11)}^{2} - 11^{2}] + 279 =

= - (n - 11)^{2} + 121 + 279 = - (n - 11)^{2} + 400

Z postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: $W = (11, 400)$ .

Interpretujemy otrzymane wartości: największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia badanego okresu i było to $400$ osób.

11. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

12. Zadania optymalizacyjne

12. Zadania optymalizacyjne