• Wykonasz obliczenia pieniężne.

• Zastosujesz obliczenia z zastosowaniem procentu składanego.

• Dobierzesz model matematyczny do rozwiązania problemu z kontekstem realistycznym.

Pan Włodek zaciągnął w banku pożyczkę w wysokości $5000 \mathrm{zł}$ na okres dwóch lat, oprocentowaną w skali roku $20\%$ z kapitalizacją roczną. Obliczymy, jaki będzie dług pana Włodka na koniec dwuletniego okresu.

Rozwiązanie:

Kwoty długu w kolejnych latach tworzą ciąg geometryczny.

Kwota pożyczki: $a_1=K_0=5000$.

Kwota do spłacenia po roku:

$a_2=K_1=5000·{(1+\frac{20}{100})}^1$

Kwota do spłacenia po dwóch latach:

$a_3=K_2=5000\cdot {(1+\frac{20}{100})}^2$

Obliczamy kwotę zadłużenia:

$K_2=5000·1,44=7200$

Odpowiedź:

Dług pana Włodka będzie wynosił $7200 \mathrm{zł}$.

W $2020$ roku liczba ludności pewnego miasteczka wynosiła $3000$ mieszkańców. Prognozowany roczny przyrost naturalny na najbliższe lata to $50$ promili. Obliczymy, ilu mieszkańców byłoby w tym miasteczku w $2030$ roku, gdyby tempo przyrostu utrzymało się przez cały ten okres.

Rocznie liczba ludności wzrastałaby

$\left(1+\frac{50}{1000}\right)=1,050$ razy.

Zatem po dziesięciu latach wynosiłaby

$3000·{\left(1,050\right)}^{10}\approx 4887$

Odpowiedź:

Po dziesięciu latach ludność miasteczka zwiększyłaby się o około $1887$ osób i liczyła około $4887$ mieszkańców.

W $2020$ roku liczba ludności pewnego miasteczka wynosiła $3000$ mieszkańców. Prognozowany roczny przyrost naturalny na najbliższe lata to $50$ promili. Obliczymy, ilu mieszkańców byłoby w tym miasteczku w $2030$ roku, gdyby tempo przyrostu utrzymało się przez cały ten okres.

Rocznie liczba ludności wzrastałaby

$\left(1+\frac{50}{1000}\right)=1,050$ razy.

Zatem po dziesięciu latach wynosiłaby

$3000·{\left(1,050\right)}^{10}\approx 4887$

Odpowiedź:

Po dziesięciu latach ludność miasteczka zwiększyłaby się o około $1887$ osób i liczyła około $4887$ mieszkańców.

Klient wpłacił do banku $8000 \mathrm{zł}$ na dwuletnią lokatę z oprocentowaniem rocznym w wysokości $5\%$. Odsetki dopisywane są do kapitału po upływie każdego roku.

Obliczymy, jaka będzie wartość oszczędności na koniec okresu oszczędzania.

Rozwiązanie:

Dane:

$K_0=8000 \mathrm{zł}$

$n=2$

$\frac{p}{100}=\frac{5}{100}$

Szukane:

$K=?$

Korzystamy ze wzoru na procent składanyprocent składanyprocent składany.

$K=8000·{\left(1+\frac{5}{100}\right)}^2$

$K=8000·{\left(\mathrm{1,05}\right)}^2$

$K=8000·\mathrm{1,1025}=8820$

Odpowiedź:

Kwota oszczędności na koniec okresu oszczędzania będzie równa $8820 \mathrm{zł}$.

Kwotę w wysokości $15000 \mathrm{zł}$ wpłacono na czteroletnią lokatę z rocznym oprocentowaniem $2\%$ i coroczną kapitalizacją odsetek.

Obliczymy kwotę odsetek, jaką bank dopisze na koniec okresu oszczędzania.

Rozwiązanie:

Dane:

$K_0=15000 \mathrm{zł}$

$n=4$

$\frac{p}{100}=\frac{2}{100}$

Szukane:

$K=?$

Kwota odsetek $=?$

Korzystamy ze wzoru na procent składany.

$K=15000·{\left(1+\frac{2}{100}\right)}^4$

$K=15000·{\left(\mathrm{1,02}\right)}^4$

$K=\mathrm{16236,481}...\approx \mathrm{16236,48}$

Obliczamy kwotę odsetek, jako różnicę między kwotą końcową, a wpłaconą.

$\mathrm{16236,48}-15000=\mathrm{1236,48}$

Odpowiedź:

Uzyskana kwota odsetek jest równa $\mathrm{1236,48} \mathrm{zł}$.

Pokażemy teraz, jak obliczyć kapitał końcowy, gdy odsetki kapitalizowane są co pół roku, korzystając z tego samego wzoru, co w poprzednich przykładach.

Kwotę $12000 \mathrm{zł}$ wpłacono na $2$ lata na procent składany, z rocznym oprocentowaniem lokat $4\%$. Odsetki kapitalizowane są co pół roku.

Obliczymy wartość kapitału po zakończeniu lokaty.

Rozwiązanie:

$K_0=12000 \mathrm{zł}$

Kapitalizacja odsetek odbywa się co pól roku, więc w ciągu $2$ lat dobędzie się czterokrotnie.

$n=4$

Oprocentowanie w skali roku wynosi $4\%$, zatem półroczne będzie równe $2\%$.

$\frac{p}{100}=\frac{2}{100}$

Stąd:

$K=12000·{\left(1+\frac{2}{100}\right)}^4$

$K=12000·{\left(\mathrm{1,02}\right)}^4$

$K=12000·\mathrm{1,0824321}...\approx \mathrm{12989,19}$

Odpowiedź:

Kwota oszczędności na koniec okresu oszczędzania będzie równa o $\mathrm{12989,19} \mathrm{zł}$.

Obliczymy, jaki dochód przyniesie po dwóch latach lokata $20000 \mathrm{zł}$, która jest oprocentowana w stosunku rocznym w wysokości $8\%$, a odsetki są kapitalizowane co kwartał.

Rozwiązanie:

$K_0=20000 \mathrm{zł}$

$n=2$

$m=4$

$\frac{p}{100}=\frac{8}{100}$

Powyższe dane podstawiamy do wzoru:

$K=K_0·{\left(1+\frac{p}{m·100}\right)}^{n·m}$

$K=20000·{\left(1+\frac{8}{4·100}\right)}^{4·2}$

Obliczamy:

$K=20000·{\left(1+\frac{8}{400}\right)}^8$

$K=20000·{\left(\mathrm{1,02}\right)}^8$

$K\approx \mathrm{23433,18} \mathrm{zł}$

Obliczamy, jaki dochód przyniesie lokata.

$K-K_0=\mathrm{23433,18}-20000=\mathrm{3433,18}$

Odpowiedź:

Lokata przyniesie dochód w wysokości $\mathrm{3433,18} \mathrm{zł}$.

Beata założyła w banku roczną lokatę (na procent składany) w wysokości $4800 \mathrm{zł}$.

Oprocentowanie roczne tej lokaty jest stałe i wynosi $6\%$.

Kapitalizacja odsetek odbywa się co kwartał.

Bank pobiera od każdych naliczonych odsetek $18\%$ podatku od dochodów kapitałowych, oblicz, jaką kwotą będzie dysponować Beata po roku.

Rozwiązanie:

$K_0=4800 \mathrm{zł}$

$n=1$

$m=4$

$\frac{p}{100}=\frac{6}{100}$

$\frac{r}{100}=\frac{18}{100}$

Korzystamy ze wzoru, w którym uwzględniony jest podatek od odsetek.

$K=4800·{\left[1+\frac{6}{4·100}·\left(1-\frac{18}{100}\right)\right]}^{1·4}$

$K=4800·{\left[1+\mathrm{0,015}·\left(\mathrm{0,82}\right)\right]}^{1·4}$

$K=4800·{\left(\mathrm{1,0123}\right)}^4$

$K\approx \mathrm{5040,55} \mathrm{zł}$

Odpowiedź:

Po roku Beata będzie dysponować kwotą równą $\mathrm{5040,55} \mathrm{zł}$.

to sposób oprocentowania wkładu pieniężnego polegający na tym, że odsetki za dany okres oprocentowania są doliczane do wkładu (podlegają kapitalizacji) i w ten sposób „składają się” na zysk wypracowywany w okresie następnym