9. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny w zadaniach

ROHGRO3JRE6M9

Przed nami kompletny ciągowy miszmasz, czyli pomieszanie z poplątaniem ciągu arytmetycznego z geometrycznym. A więc, żeby zabrać się do analizowania treści zawartych w tym materiale, musisz znać przynajmniej podstawowe pojęcia związane z tymi ciągami. Inaczej trudno będzie zrozumieć Ci odniesienia do wzorów, czy zależności między wyrazami tych ciągów.

Jeśli czujesz się na siłach, żeby podjąć się karkołomnej pracy polegającej na samodzielnym rozwiązaniu zadań – zapraszamy. Jeśli nie masz pewności, czy sprostasz wszystkim trudnościom – pocieszam Cię, że do wszystkich zadań są w materiale odpowiedzi.

Zatem do dzieła!

Twoje cele

Wykorzystasz własności ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego do znajdowania wielkości związanych z tymi ciągami.
Rozwiniesz umiejętności stosowania zależności między wyrazami ciągu arytmetycznego oraz wyrazami ciągu geometrycznego.
Zastosujesz zintegrowaną wiedzę matematyczną do rozwiązywania problemów związanych z ciągami liczbowymi.

Pokażemy teraz wykorzystanie związków między ciągami arytmetycznym i geometrycznym do znajdowania wielkości związanych z tymi ciągami.
Na początek przypomnienie definicji tych ciągów i podstawowych wzorów z nimi związanych.
Będziemy przyjmować, że dany ciąg, np. $(a_{n})$ , określony jest dla $n \in ℕ$ i $n \geq 1$ .

Ciąg arytmetyczny

Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$
Wyraz ogólny ciągu	Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu	Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$	$a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}$	$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$

Ciąg geometryczny

Definicja: Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$ , zwaną ilorazem ciągu.

Ciąg geometryczny $(a_{n})$
Wyraz ogólny ciągu	Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu	Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu
$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$	$a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}$	$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$

Pierwszy typ zadań, którym się zajmiemy, to sytuacja, gdy z wyrazów jednego ciągu budujemy wyrazy ciągu drugiego typu.

Przykład 1

Liczby $a$ , $b$ , $c$ ( w tej kolejności) są kolejnymi wyrazami trzywyrazowego ciągu arytmetycznego. Ich suma jest równa $15$ . Jeśli dodamy do pierwszej z tych liczb $1$ , do drugiej $4$ i do trzeciej $19$ , to tak otrzymane liczby będą kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (w tej samej kolejności). Znajdziemy liczby $a$ , $b$ , $c$ .

Rozwiązanie:

Najpierw korzystamy z własności ciągu arytmetycznego. Oznaczmy przez $r$ różnicę tego ciągu.

Wtedy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego,
$b = a + r$ – drugi wyraz ciągu arytmetycznego,
$c = a + 2 r$ – trzeci wyraz ciągu arytmetycznego.

Z treści zadania wynika, że suma tych wyrazów jest równa $15$ .

$a + a + r + a + 2 r = 15$

$3 a + 3 r = 15 | : 3$

$a + r = 5$

$a = 5 - r$

Teraz zajmiemy się ciągiem geometrycznym.

$a + 1$ – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,
$a + r + 4$ – drugi wyraz ciągu geometrycznego,
$a + 2 r + 19$ – trzeci wyraz ciągu geometrycznego.

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, zapisujemy odpowiednie równanie.

${(a + r + 4)}^{2} = (a + 1) (a + 2 r + 19)$

Do równania podstawiamy w miejsce $a$ wcześniej wyznaczone wyrażenie.

${(5 - r + r + 4)}^{2} = (5 - r + 1) (5 - r + 2 r + 19)$

Sprowadzamy równanie do postaci ogólnej i rozwiązujemy.

$81 = (6 - r) (r + 24)$

$r^{2} + 18 r - 63 = 0$

$∆ = 324 + 252 = 576$

$r_{1} = \frac{- 18 - 24}{2} = - 21$

$r_{2} = \frac{- 18 + 24}{2} = 3$

Stąd:

$a = 5 - (- 21) = 26$ lub $a = 5 - 3 = 2$

Jeśli $a = 26$ , to $b = 26 - 21 = 5$ i $c = 5 - 21 = - 16$ .

Jeśli $a = 2$ , to $b = 2 + 3 = 5$ i $c = 5 + 3 = 8$ .

Odpowiedź:

Szukane liczby to $26$ , $5$ , $(- 16)$ lub $2$ , $5$ , $8$ .

Kolejny typ zadań związanych z ciągiem geometrycznym i arytmetycznym polega na znalezieniu takich liczb, z których niektóre są wyrazami ciągu arytmetycznego, a niektóre geometrycznego.

Przykład 2

Dane są liczby $4$ , $x$ , $y$ , $18$ . Trzy pierwsze (w podanej kolejności) tworzą ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie (w podanej kolejności) tworzą ciąg geometryczny. Znajdziemy liczby $x$ , $y$ .

Rozwiązanie:

$(4, x, y)$ – ciąg arytmetyczny

Z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego wynika, że:

$x = \frac{4 + y}{2}$

$(x, y, 18)$ – ciąg geometryczny

Z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego wynika, że:

$y^{2} = 18 x$

Do ostatniego z zapisanych równań podstawiamy wyznaczone wcześniej $x$ .

$y^{2} = 18 \cdot \frac{4 + y}{2}$

$y^{2} - 9 y - 36 = 0$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

$∆ = 81 + 144 = 225$

$y = \frac{9 - 15}{2} = - 3$ lub $y = \frac{9 + 15}{2} = 12$

Wyznaczamy $x$ .

Jeśli $y = - 3$ to $x = \frac{4 - 3}{2} = \frac{1}{2}$ .

Jeśli $y = 12$ to $x = \frac{4 + 12}{2} = 8$ .

Odpowiedź:

Szukane liczby to $\frac{1}{2}$ i $(- 3)$ lub $8$ i $12$ .

Oczywiście możemy się spotkać także z zadaniami, w których informacje dotyczące ciągów wykorzystywane są w innych działach matematyki.

Przykład 3

Dany jest kwadrat o boku $a$ i prostokąt o bokach $x$ i $y$ . Ciąg $(x, a, y)$ jest geometryczny. Która z tych figur ma większe pole?

RK8H3MXEUA46G

Rysunek kwadratu o boku a i prostokąta o bokach długości x, y.

Rozwiązanie:

Skoro liczby $(x, a, y)$ tworzą ciąg geometryczny, więc $a^{2} = x y$ . Zatem pola obu figur są równe.

Przykład 4

Prostokąt o polu powierzchni równym $128 {cm}^{2}$ podzielono na dwa takie prostokąty, że pole większego jest trzy razy większe od pola mniejszego. Długości odcinków $a$ , $b$ są długościami boków mniejszego prostokąta, $b$ , $c$ są długościami boków większego z prostokątów, które powstały z podziału. Wiedząc, że $a$ , $b$ , $c$ tworzą ciąg arytmetyczny, wyznacz długości boków tego prostokąta.

R4M6CPRSXHGQ7

Rysunek prostokąta podzielonego na dwa mniejsze. Prostokąt P z indeksem jeden o bokach a, b. Prostokąt P z indeksem dolnym 2 o bokach b, c. Cały duży prostokąt ma wymiary b na a + c

Rozwiązanie:

Ponieważ długości boków $a$ , $b$ , $c$ tworzą ciąg arytmetyczny, więc mamy $b = \frac{a + c}{2}$ . Pole prostokąta jest równe $P = (a + c) \cdot b = 128$ . Podstawiając $a + c = 2 b$ , otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą $b$ .

$2 b \cdot b = 128$ , skąd $b = 8$ .

Z treści zadania wiemy, że $P_{2} = 3 P_{1}$ , czyli $b c = 3 a b$ , stąd $c = 3 a$ . Wiemy również, że $a + c = 2 \cdot 8 = 16$ . Mamy więc $4 a = 16$ , czyli $a = 4$ i $c = 12$ . Szukane długości boków prostokąta wynoszą $16 cm$ i $8 cm$ .

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z filmem samouczkiem. Rozwiąż najpierw samodzielnie podane przykłady, a następnie porównaj z prezentowanymi rozwiązaniami.

R1Q16AQUBMJUS

Polecenie 1

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Suma wyrazów tego ciągu jest równa $14$ . Jeśli od trzeciego wyrazu odejmiemy $2$ , nie zmieniając dwóch poprzednich wyrazów, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,
$q$ – iloraz ciągu geometrycznego $(q \neq 0)$ .

Na podstawie treści zadania otrzymujemy układ równań:

$a + a q + a q^{2} = 14$ i $a q = \frac{a + a q^{2} - 2}{2}$

Po przekształceniach układ równań przyjmuje postać:

$a + a q + a q^{2} = 14$ i $a - 2 a q + a q^{2} = 2$

Odejmujemy stronami do pierwszego równania drugie równanie.

Otrzymujemy:

$3 a q = 12$

$a q = 4$

$a = \frac{4}{q}$

Podstawiamy wyznaczone $a$ do pierwszego równania.

$\frac{4}{q} + 4 + 4 q = 14$

$4 q^{2} - 10 q + 4 = 0 | : 2$

$2 q^{2} - 5 q + 2 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$∆ = 25 - 16 = 9 > 0$

$q = 0, 5$ lub $q = 2$

Jeśli $q = 0, 5$ to $a = 8$ .

Jeśli $q = 2$ to $a = 2$ .

Odpowiedź:

Otrzymaliśmy dwa ciągi spełniające warunki zadania: $(8, 4, 2)$ oraz $(2, 4, 8)$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

RG2DCBRJJZDK81

Ćwiczenie 1

R1U3818GS9T3R1

Ćwiczenie 2

R1RN6J94NLX5J2

Ćwiczenie 3

R1Z187K1QJ2712

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

R15V82CL8CKGH

Z własności ciągu arytmetycznego wynika, że $2 x = \frac{3 + y - 3}{2}$ , czyli $x = \frac{1}{4} y$ .

Ciąg geometryczny ma postać $(64, y, \frac{1}{4} y)$ . Z własności ciągu geometrycznego wynika, że $y^{2} = 64 \cdot \frac{1}{4} y$ .

Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe $y^{2} - 16 y = 0$ , którego rozwiązaniem jest $y = 0$ lub $y = 16$ . Rozwiązanie $y = 0$ odrzucamy, ponieważ ciąg $(64, 0, 0)$ nie jest malejący. Zatem pozostaje $y = 16$ . Z tego wynika, że $x = \frac{1}{4} y = 4$ .

Ćwiczenie 6

RPPKXUTEOVXPH

Ćwiczenie 7

RMZU7KN13ZVM4

Ćwiczenie 8

Znajdź taką liczbę $x$ , dla której ciąg $(7 x - 2, 3 x, x + 1)$ jest ciągiem geometrycznym i jednocześnie jest ciągiem arytmetycznym.

Ciąg ma być arytmetyczny, zatem $3 x = \frac{7 x - 2 + x + 1}{2}$ .

Czyli $x = \frac{1}{2}$ .

Wyrazy ciągu są wtedy równe: $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ .

Ciąg jest stały, jest więc ciągiem geometrycznym o ilorazie $1$ .

Zauważmy, że dla $x = 2$ (które to rozwiązanie otrzymalibyśmy jako drugie rozpatrując najpierw ciąg geometryczny) ciąg ma postać $(12, 6, 3)$ jest więc ciągiem geometrycznym, ale nie jest ciągiem arytmetycznym.

Słownik

ciąg arytmetyczny

ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu

ciąg geometryczny

ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$ , zwaną ilorazem ciągu

8. Lokaty pieniężne i kredyty bankowe

10*. Wiedza z plusem: Średnia geometryczna