10. Stosowanie zależności między okresem i częstotliwością oraz prędkością i długością fal w obliczeniach

• definicja fali mechanicznej

• wielkości fizyczne opisujące falę;

• zależności między wielkościami opisującymi falę;

• wzory podające zależności między tymi wielkościami.

Fale na jeziorze.
Siedzący na pomoście chłopak obserwował łódkę wędkarza tkwiącą nieopodal w pewnym miejscu jeziora. Stwierdził, że regularnie co $2$ sekundy łódź unosi się do góry, w miarę jak docierają do niej kolejne grzbiety fali rozchodzącej się po powierzchni jeziora. Przyglądając się fali tuż przy pomoście, zmierzył odległość między grzbietami fali – wynosiła ona $1,5$ metra. Za pomocą danych z obserwacji tego chłopaka oblicz prędkość rozchodzenia się fal po powierzchni jeziora.

R1ZQCaS6jqeoK

Film animowany przedstawiający łódkę na falach.

Film animowany przedstawiający łódkę na falach.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1ZQCaS6jqeoK

Film animowany przedstawiający łódkę na falach.

Analiza zadania:

1. odległość między grzbietami fali, to długość fali; oznaczamy ją grecką literą $\lambda$;

2. przedział czasu upływający między kolejnymi uniesieniami łódki w górę to okres fali oznaczany literą $T$; w czasie równym okresowi fala przebywa drogę równą swojej długości;

3. fale rozchodzą się po powierzchni jeziora ruchem jednostajnym.

Dane:
$T=2 \mathrm{s}$,
$\lambda =1,5 \mathrm{m}$.

Szukane:
$v= ?$
Prędkość rozchodzenia się fali po jeziorze obliczamy tak jak w ruchu jednostajnym, czyli:
prędkość $=$ droga/czas

Dala fali: $v=\frac{\lambda }{T}=\frac{1,5 \mathrm{m}}{2 \mathrm{s}}=0,75 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Odpowiedź:
Fala obserwowana przez chłopca rozchodziła się po powierzchni jeziora z prędkością $0,75 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Sonar
Sonarsonar (echosonda)Sonar używany na statku emituje ultradźwięki o częstotliwości $40 \mathrm{kHz}$. Prędkość dźwięku w wodzie wynosi $1500 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. Jaką długość mają fale wzbudzanie w wodzie przez ten sonarsonar (echosonda)sonar? Porównaj tę długość z wielkością ryby.

RhcSeRrjHa3Us

Ilustracja przedstawia statek na wodzie. Se statku wystaje linia łamana, której jeden koniec dotyka wody. Wokół tego końca narysowano w równych odległościach łuki ćwiartki okręgu. Między półkolami zaznaczono odcinek z grotami z podpisem: mała litera lambda. W prawym dolnym rogu ilustracji wielka skała.

Analiza zadania:

1. długość fali to odległość między grzbietami fali; oznaczamy ją grecką literą $\lambda$;

2. częstotliwość fali to liczba drgań w ciągu sekundy; oznaczamy ją literą $f$; jest równa odwrotności okresu;

3. w czasie równym okresowi fala przebywa drogę równą swojej długości;

4. fale rozchodzą się w wodzie ruchem jednostajnym.
   Dane:
   $f=40 \mathrm{khz}=40000 \mathrm{hz}$,
   $v=1500 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.
   Szukane:
   $\lambda$ = ?

   Obliczenia:
   Korzystając ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnym, możemy zapisać:
   droga $=$ prędkość $·$ czas,
   czyli:
   $\lambda =v·T$,
   ale okres równy jest odwrotności częstotliwości $\left(T=\frac{1}{f}\right)$,
   zatem długość fali:
   $\lambda =v·T=\frac{v}{f}=\frac{1500 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{40000 \mathrm{Hz}}=0,0375 \mathrm{m}=3,75 \mathrm{cm}\approx 4 \mathrm{cm}$.
   Odpowiedź:
   Długość fali wzbudzanej przez sonar w wodzie wynosi około $4 \mathrm{cm}$. Jest to porównywalne z wielkością małej rybki.

Stukot końskich kopyt to źródło dźwięku. Dźwięk ten może rozchodzić się zarówno w powietrzu, jak i w ziemi (skale, glebie). Szybkość rozchodzenia się dźwięku jest różna w różnych ośrodkach. W powietrzu wynosi $340 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, a w skałach wapiennych – $3400 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. Obserwator może więc zarejestrować dźwięk docierający do niego przez skałę, a następnie przez powietrze. O ile później usłyszy on dźwięk rozchodzący się w powietrzu, jeśli jeździec znajduje się w odległości $1$ kilometra od obserwatora?

RQudhlSJTxjrV

Ilustracja przedstawia klęczącego Indianina na skraju pustynnej drogi. Indianin nasłuchuje dźwięków rozchodzących się w ziemi. W oddali ukazany jest koń na tle czerwonego Słońca. Widać pustynną roślinność.

Analiza zadania:
Znamy prędkość dźwięku w powietrzu – oznaczmy ją symbolem $v_p$, oraz prędkość dźwięku w skale – oznaczmy ją $v_s$.
Znamy długość drogi pokonywanej przez dźwięk – oznaczmy ją symbolem $s$.
Wiemy, że w jednorodnym ośrodku dźwięk rozchodzi się ruchem jednostajnym.
Dane:
$s=1 \mathrm{km}=1000 \mathrm{m}$,
$v_p=340 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$,
$v_s=3400 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.
Szukane:
$\Delta t= ?$

Za pomocą wzoru na drogę w ruchu jednostajnym $\left(s=v·t\right)$ możemy obliczyć, jak długo biegnie dźwięk od jeźdźca do obserwatora najpierw przez skałę:
$s=v_{\mathrm{s}}·t_{\mathrm{s}}|:v_{\mathrm{s}}$,
$t_s=\frac{s}{v_{\mathrm{s}}}=\frac{1000 \mathrm{m}}{3400 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}=0,29 \mathrm{s}$,
a następnie przez powietrze:
$s=v_{\mathrm{p}}·t_{\mathrm{p}}|:v_{\mathrm{p}}$
$t_p=\frac{s}{v_p}=\frac{1000 \mathrm{m}}{3400 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}=2,94 \mathrm{s}$.
Różnica czasów wynosi więc:
$\mathrm{\Delta }t=t_{\mathrm{p}}-t_{\mathrm{s}}=2,94 \mathrm{s}-0,29 \mathrm{s}=2,65 \mathrm{s}$.
Odpowiedź:
Dźwięk rozchodzący się w skałach dociera do obserwatora $10$ razy szybciej niż przez powietrze i przy odległości $1 \mathrm{km}$ będzie to o $2,65$ sekundy wcześniej.

urządzenie wykorzystujące fale dźwiękowe i ultradźwiękowe do pomiaru odległości, prędkości i wykrywania kształtu obiektów zanurzonych w wodzie, pływających po powierzchni wody lub będących powietrzu. Działanie polega na wysyłaniu fali w kierunku badanego obiektu, a następnie rejestrowaniu i analizowaniu cech fali odbitej od badanego obiektu; nazwa jest skrótem angielskiego określenia „Sound Navigation And Ranging” (tłum. nawigacja dźwiękowa i pomiar odległości).